Växande funktioner och derivator

Låt $f$ vara en funktion som har en delmängd av $\mathbb{R}$ (de reella talen) som definitionsmängd och en delmängd av $\mathbb{R}$ som värdemängd. Detta kan man skriva kortfattat

(1)
\begin{align} f: \mathbb{R} \supseteq D_f \mapsto V_f \subseteq \mathbb{R}. \end{align}

En naturlig och central egenskap hos en sådan funktion är dess växande och avtagande. Om man har ritat grafen till funktionen är det tämligen klart vad som bör avses med dessa begrepp. Detta duger emellertid inte (för en matematiker). Kanhända man ser dåligt, ritar slarvig graf eller råkar funktionen ha en mycket svårritad graf. Då är det svårt att avgöra med blotta ögat och det kan sluta med att olika individer har olika uppfattning om när en viss funktion växer eller avtar. Så kan man inte ha det!

Vi söker därför ett algebraiskt villkor som motsvarar vår intuitiva bild, och vi ''skjuter in oss'' på växande (analoga definitioner och resonemang kan göras för avtagande) . Observera, det är alltså inte meningen att vi ska åstadkomma en onödigt komplicerad definition, utan en definition som fångar vår intuitiva bild men som samtidigt inte kan missuppfattas.

Inspirerade av innehållet i C- och D-kurserna gör vi ett första försök att definiera egenskapen växande:

Definition 1a En funktion $f$ (som ovan) sägs vara växande om $f'(x) > 0$ för alla $x$ i $D_f$.

Visst, man får definiera saker som man vill. Men definitionen är inte den gängse och har flera brister.

Övning 1 Fundera på vad som är dåligt med Definition 1a.

Vi skrotar därför Definition 1a och gör oss av med det malplacerade derivatavillkoret. Om vi tänker grafiskt ett ögonblick så ligger följande nära till hands: funktionen är växande om $y$-värdena blir större ju längre åt höger man går på $x$-axeln.

Övning 2 Försök formalisera villkoret ovan till en ''algebraisk" Definition 1b!


Tänk efter! Stämmer definitionen med din grafiska bild av begreppet växande?

Definition 1b är, i princip, den allmänt vedertagna. Tyvärr(?) har emellertid följande definitioner "satt sig" och för att man ska känna igen sig i matematisk litteratur är det säkrast att hålla sig till dem. Vi återger dem och känner sedan på dem med några exempel.

Definition 1c En funktion $f$ sägs vara växande om för varje par $x_1$ och $x_2$ av tal i $D_f$, sådana att $x_1 < x_2$, gäller att $f(x_1) \leq f(x_2)$.

Definition 1d En funktion $f$ sägs vara strängt växande om för varje par $x_1$ och $x_2$ av tal i $D_f$, sådana att $x_1 < x_2$, gäller att $f(x_1) < f(x_2)$.

Vår Definition 1b av växande svarar alltså mot begreppet strängt växande medan man i fallet enbart växande tillåter likhet mellan $f(x_1)$ och $f(x_1)$. Ett bra sätt att få en känsla för definitionerna är att konstruera exempel. Försök själv!

Övning 3
a) Varje funktion som är strängt växande är också växande. Motivera detta!


b) Ge exempel på en funktion som inte är växande (och därmed inte heller strängt växande) Motivera utifrån definitionerna, INTE enbart grafiskt.

c) Ge exempel på en funktion som är strängt växande (och därmed växande). Motivera utifrån definitionerna, INTE enbart grafiskt.

d) Ge exempel på en funktion som är växande men inte strängt växande. Motivera utifrån definitionerna, INTE enbart grafiskt.

På svenska och grafiskt kan man alltså beskriva skillnaden mellan växande och strängt växande ungefär såhär: en växande funktion går aldrig nedåt, en strängt växande funktion går alltid uppåt. Konstanta funktioner blir därmed växande men inte strängt växande.

Som bekant så är vår ursprungliga derivatadefinition av växande inte helt uppåt väggarna och man använder ju derivata för att studera funktioners växande (och avtagande). Vi ska nu undersöka hur detta hänger ihop och börjar med ett par exempel.

Övning 4
a) Är funktionen $f(x)=-1/x$ med $D_f$ alla reella tal utom noll växande?


b) Är funktionen $f(x)=-1/x$ med $D_f$ alla positiva reella tal växande?

Med tanke på detta kan man misstänka följande

Hypotes 1 Om funktionen $f$ är växande och deriverbar i hela sin definitionsmängd så gäller att $f'(x) \geq 0$ för alla $x$ i definitionsmängden.

Hypotes 2 Om funktionen $f$ är definierad på ett intervall $I$ (dvs har en sammanhängande definitionsmängd) och $f'(x) \geq 0$ för alla $x$ i $I$ så är $f$ växande på $I$.

Övning 5 Tror du hypteserna är sanna? Varför eller varför inte?

Låt oss börja att fundera på Hypotes 1. I talspråk så hävdar den att om funktionen aldrig avtar (och har tangent i varje punkt) så måste derivatan, dvs k-värdet för tangenterna, vara större än eller lika med noll överallt. Det verkar ju troligt (rita lite figurer), men hur bevisa. Eftersom det påstås något om derivatan behöver vi ha koll på dess definition.

Övning 6 Ange defintionen av $f'(x)$

Enligt förutsättningarna vet vi att $f'(x)$ existerar och att $f(x_1) \leq f(x_2)$ om $x_1 < x_2$. Om $h > 0$$x < x+h$ och

(3)
\begin{align} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} >\dfrac{0}{h} = 0 \end{align}

för alla $h>0$. Alltså gäller för gränsvärdet att

(4)
\begin{align} f'(x)= \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \geq 0 \end{align}

vilket är slutsatsen i Hypotes 1, som alltså är korrekt.

Övning 7.Varför kan man inte använda $>$ i olikheten ovan?

Övning 8. Genomför argumentationen för $h<0$.

Sammanfattningsvis har vi alltså ett korrekt och inte helt trivialt samband. Sådana brukar kallas satser. Alltså byter vi namn på Hypotes 1:

Sats 1 Om funktionen $f$ är växande och deriverbar i hela sin definitionsmängd så gäller att $f'(x) \geq 0$ för alla $x$ i definitionsmängden.

Låt oss nu tackla Hypotes 2.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License