Polynom Som Antar Kvadrattal

Låt $p(x) \in \mathbb{Z}[x]$ ha egenskapen att $p(n)$ är ett kvadrattal, dvs ett tal i mängden $\{0,1,4,9,16, \ldots \}$, för varje heltal $n$. Finns det i så fall ett polynom $q(x) \in \mathbb{Z}[x]$ sådant att $p(x)=q(x)^2$?

Problemet är löst (dock inte av mig) och svaret är ja. Två texter som reder ut det är

POLYNOMIALS ASSUMING SQUARE VALUES av M. Ram Murty

Polynompotenser av Kjell Elfström

I båda fallen generaliseras resultatet fast åt olika håll, Murty behandlar polynom i flera variabler och Elfström högre potenser än 2.

Om vi istället har ett polynom $p(x) \in \mathbb{Z}[x]$ sådant att $p(n)$ är ett kvadrattal plus ett så gäller alltså att $p(x)=q(x)^2+1$. Vi kan ju bilda $p(x)-1$ som måste vara kvadraten på ett polynom enligt resultaten ovan. Men vad kan sägas om vi t.ex. kräver att $p(n)$ är summan av ett kvadrattal och ett kubtal? Gäller i så fall att $p(x)=q(x)^2+r(x)^3$?

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License