Matematiklyftet

"Problem" till Matematiklyftet

Modul: Undervisa matematik utifrån problemlösning (ht14)

Modul: Undervisa matemtik utifrån förmågorna (vt14)

En av förmågorna som lyfts fram i ämnesplanen i matematik är Problemlösning:

"Undervisningen i ämnet matematik ska ge eleverna förutsättningar att utveckla förmåga att formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier, metoder och resultat."

Utöver att vara en förmåga som ska utvecklas för sin egen skull är det ofta roligt och spännande att lära sig matematik i allmänhet genom problemlösning.

Nedan följer de problem som jag planerar använda i klassrummet under respektive modul och del. Vill man veta mer om själva mattelyftet kan man läsa här. Är man elev eller enbart intresserad av matematik är det säkert roligast att enbart ägna sig åt problemen!

Del 1: Matematiska problem och problemlösning

1. På varje ruta i ett $5 \times 5$-rutnät sitter en myra. På en given signal flyttar sig varje myra till en intilliggande ruta (två rutor är intilliggande om de har en gemensam sida). Kan förflyttningen organiseras så att efteråt finns det återigen en myra på varje ruta i nätet?

2. Kan stjärnorna i uttrycket

(1)
\begin{equation} *1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 = 20 \end{equation}

ersättas med tecknen + eller – så att likheten blir sann?

3. Läraren har ett antal lappar som är antingen vita eller svarta. På ryggen av var och en av eleverna i en grupp kommer läraren att fästa en lapp (vit eller svart, slumpad). Eleven själv kan inte se lappen på sin rygg. När lapparna är utplacerade får eleverna i gruppen titta på de andras ryggar/lappar men inte kommunicera på något sätt. Därefter ska var och en gissa vilken färg hen har på sin lapp. Målet för elevgruppen är att antingen ska ALLA ha gissat RÄTT eller ska ALLA ha gissat FEL! Om vissa har rätt färg och andra fel räknas det som ett misslyckande.

Innan läraren sätter lappar på ryggarna på eleverna får gruppen prata ihop sig om en strategi. (Men när lapparna är "satta" är kommunikation förbjuden).

4. (om man får tid över, t.ex. utanför lektionstid). Är det möjligt att pussla ihop nedanstående fem tetrisblock till en rektangel av storlek $5 \times 4$ rutor? Man får rotera och vända ("spegla") blocken som man vill, men såklart inte ha sönder.

Tetrisblock.jpg

Del 2: Problemlösning och centralt innehåll

I kurs 1c finns följande centrala innehåll

  • Egenskaper hos mängden av heltal, olika talbaser samt begreppen primtal och delbarhet.
  • Generalisering av aritmetikens räknelagar till att hantera algebraiska uttryck.

Dessa "dyker upp", i någon omfattning i nedanstående uppgifter.

1. Välj ett godtyckligt tvåsiffrigt heltal, byt plats på siffrorna och subtrahera det större från det mindre. Undersök vilka tal som det resulterande talet kan delas (jämnt) med. Ställ upp en hypotes och försök bevisa/argumentera för denna. (Skriv t.ex. upp ett godtyckligt tal ab=10a+b ….)

Ex: Med talet 37 fås det omvända talet 73 och differensen 73-37=36.

2. Skriv upp ett tresiffrigt tal, tex 473, och skriv talet efter sig självt, 473473. Dela detta tal (med räknaren) med 7, med 11, med 13. Vad observerar du? Hypotes! Bevis?

3. Konstruera en uppgift som ovan, fast där man utgår från ett fyrsiffrigt tal. Vilka tal ska man låta "försökspersonen" dela med för att det ska funka?

Del 3: En undervisningsmetod

Denna gången handlar det om en japansk undervisningsmetod som beskrivs som "Strukturerad problemlösning". I lektionen ingår att

  • presentera problemet
  • eleverna arbetar med problemet på egen hand
  • helklassdiskussion
  • summering
  • eventuellt övningar eller utvecklingar

Detta hinns med på 40-50 minuter!

Den uppgift som används i detta moment är "Cops and robbers" från NRICH. Själva appleten finns här http://nrich.maths.org/content/id/6288/CopsAndRobbers.swf

Det går ut på att finna en rånare genom att placera ut poliser i ett rutnät/koordinatsystem. En utplacerad polis kommer att meddela hur många steg, horisontellt och vertikalt, som det är till rånarens position. När en polis placeras på rånarens position är han fångad. Uppgiften går ut på att finna en effektiv strategi och fånga rånaren mha så få poliser som möjligt.

Problemet har 4 svårighetsgrader. Börja med den första!

Del 4: Klassrumsnormer

Här ska man utmana sina klassrumsnormer. När man har genomgångar/klassrumsdiskussioner är det lätt att bara ett fåtal elever får komma till tals, och att det är samma fåtal varje gång. Tanken med uppgiften nedan är att få alla elever att prata matematik. Vissa tycker det är obehagligt att göra det i helklass, därför organiseras det i grupper.

Det finns fem olika uppgifter om sannolikheter. Varje grupp tilldelas en uppgift och gruppen presterar en gemensam lösning (30 min). Därefter bildas tvärgrupper med en person vardera från ursprungsgrupperna, och var och en presenterar en lösning på sin uppgift (30 min).

Uppgifter

Del 5: Strategier

Eftersom vi ändå ska syssla med koordinatsystem blir det återanvändning av "Cops and robbers" från NRICH. Nu vet jag vad som fungerade och inte sedan förra försöket. Eftersom det handlar om att observera strategier ska eleverna i grupper om tre skriftligt presentera (och lämna in) sin "metod" och tankar kring denna. Några grupper presenterar inför klassen.

De eventuella strategier som kan tänkas dyka upp är

  • rita figurer
  • algebraisera
  • testa "mindre" exempel
  • "trial and error"

Lektionsplanering

  1. Introduktion: 5 min
  2. Enskilt arbete: 5 min
  3. Arbete i grupper om tre: 20 minuter
  4. Tavelredovisning: 10 minuter
  5. Gemensam sammanfattning/utvärdering: 10 minuter
  6. Totalt 50 minuter (= överoptimistikt?!)

Anm. Det gick sådär. Många hade redan arbetat med problemet på en SI-övning.

Del 6: Matematisk modellering

Jag använde uppgiften om stiftpennor från materialet. Eleverna fick ut två pennor (0,5 och 0,7) och ombads sätta upp en matematisk modell.

Det fungerade hyfsat. Några grupper hade väl bråttom och fick därför alldeles för "slarvig" modell. Många hade en ganska bra uppfattning om vilka brister deras modellering hade.

Eleverna lämnade in sin modellering skriftligt, men delvis pga tidsbrist blev deras framställning ofta ofärdig/hafsig.

Del 7: Argumentation och bevis

Jag använde Vaderlind bevis av Pythagoras sats, nämligen Bhaskaras första och andra bevis, Aryabhatas bevis och Garfields bevis. Eleverna fick arbeta med var sitt bevis i grupp. Därefter bildade vi "tvärgrupper" där en elev från varje grupp fick presentera sitt bevis för övriga.

Det fungerade bra, med bra aktivitet. Jag tycker dock att eleverna ifrågasätter varandras resonemang för lite. Dessutom behöver man "utbilda" eleverna om varför (och kanske när) bevis är väsentliga. Det kräver dock ett annat upplägg och kan inte göras på en enstaka lektion.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License