matematik-e-vt13:detaljplan

1. Nya tal 1. Räkna med komplexa tal 1. Exponentiell form 1.5 Polynomekvationer ut Matematik4000 3. Volymberäkningar 3. Implicit derivering 2. Differentialekvationer/exakta metoder 2. Differentialekvationer/numeriska metoder

Kursen kommer att läsa i ordningen kapitel 3, 1, 2. Därav ordningen nedan.

3. Integraler och derivator

Volymberäkningar (sid 91-94)

I detta avsnitt ska vi lära oss att bestämma volymen av vissa kroppar med integraler. Det kommer att oftast att handla om så kallade rotationskroppar som fås genom att ett plant kurvsegment roterar runt en fix axel ut i en tredje dimension. Ska man förstå hur detta kan ge upphov till en integral behöver man först repetera lite om integralens defintion.

I MaD tecknade vi arean $A$ mellan en kurva och x-axeln som en integral. Man approximerar området med en massa smala rektanglar

(1)
\begin{align} A \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x \end{align}

(med beteckningar från lektionen). Låter man nu antalet rektanglar, $n$, gå mot oändligheten, eller $\Delta x$ gå mot noll får man rimligen ett värde på arean. I själva verket gör man definitionen

(2)
\begin{align} A := \int_{a}^{b}f(x)dx \end{align}

där högerledet, integralen, betecknar summan i gränsläget och arean definieras som denna integral.

Observera att beteckningen och uttrycket

(3)
\begin{align} \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{n \to \infty, \Delta x \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x. \end{align}

inte behöver ha något med area att göra. Varje uttryck som är ett gränsläge av summor som ovan ger upphov till en integral.

Som boken beskriver kan man teckna volymen av t.ex. en rotationskropp (rotation runt x-axeln) genom att dela upp i en massa smala cylindrar och gå i gräns. Man får

(4)
\begin{align} \int_{a}^{b}A(x)dx = \lim_{n \to \infty, \Delta x \to 0} \sum_{i=1}^{n} A(x_i) \Delta x \end{align}

där $A(x_i) \Delta x$ är volymen på en "smal" cylinder och där alltså $A(x)=\pi y(x)^2$ är tvärsnittsarean.

Integralen, oavsett var den kommer ifrån, kan sedan beräknas med primitiv funktion (förutsatt att vi kan finna en primitiv, och det kan vi nästan alltid i denna kurs)!

Rotationer runt y-axeln hanteras på motsvarande sätt. I princip handlar det bara om att "byta variabel".

Lös 3001, 3029, 3035, 3006abc, 3007, 3037 och eventuellt 3002, 3004, 3005, 3045, 3060.

Observera att avsnittet om generaliserade integraler (sid 95-99) utgår

Implicit derivering (sid 100-105)

Detta handlar i princip användning av användning kedjeregeln, fast man måste hantera "okända" funktioner i sin derivering.

Ett exempel (lite krystat och där notationen inte är exakt som boken): Arean av en kvadrat ökar med 5 $cm^2/s$. Hur fort ökar sidlängden i det ögonblick ($t = t_0$) då sidan är 10 cm? Vi vet (såklart) att

(5)
\begin{equation} A(t)=s(t)^2 \end{equation}

Eftersom det efterfrågas hastighet deriverar vi ovanstående med avseende på t och får

(6)
\begin{align} A'(t)=2\cdot s(t) \cdot s'(t) \end{align}

Observera användningen av kedjeregeln då högerledet deriveras. Insättning av kända värden ger nu

(7)
\begin{align} 5=2 \cdot 10 \cdot s'(t_0) \end{align}

ur vilket $s'(t_0)$ enkelt kan bestämmas.

Principen är alltså att man tecknar ett samband för storheter (som var och en t.ex. beror på tiden). Detta samband deriveras sedan och man erhåller ett samband mellan motsvarande derivator/förändringshastigheter.

Observera att boken använder ett alternativt skrivsätt för derivator, nämligen

(8)
\begin{align} A'(t)=\frac{dA}{dt}, \, s'(t)=\frac{ds}{dt}, A'(s)=\frac{dA}{ds} \end{align}

I exemplet ovan kan kedjeregeln alltså formuleras

(9)
\begin{align} \frac{dA}{dt} = \frac{dA}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} \end{align}

Ni kan använda den notation ni tycker känns bäst, men observera att det måste framgå med avseende på vilken variabel ni deriverar (så hade t.ex. $A'$ varit olämpligt i ovanstående problem). Dessutom bör man inte blanda de båda notationerna, i alla fall inte i en och samma uppgift.

Lös 3015, 3016, 3018, 3020, 3021, 3023, 3025, 3026, 3019, 3024, 3052, 3053, 3055.

1. Nya tal (9-16)

Av skäl som framgår av boken sid 6-8, 38-41 (som läses kursivt) och torsdagslektionen inför man ett nytt tal i med egenskapen att $i^2 = -1$. Man kan tänka sig att $i = \sqrt{-1}$ (även om $\sqrt{-1}$ inte är riktigt bra notation med.

Ett godtyckligt komplext tal har formen $z=a+bi$ där $a$ och $b$ är vanliga reella tal. Det blir nu naturligt att representera komplexa tal med punkter i planet, och talet $z=a+bi$ representeras helt enkelt av punkten $(a,b)$ i ett rätvinkligt koordinatsystem.

Man noterar att punkter i planet kan skrivas också med polära koordinater. Sådana visar sig vara särskilt lämpliga när det blir fråga om att multiplicera och dividera motsvarande komplexa tal. En punkts polära koordinater ges av $(r,v)$, där $r$ anger avståndet från punkten till origo och $v$ punkterns "riktningsvinkel" räknar moturs från positiva x-axeln.

Om punkten representerar ett komplext tal $z$ talar man om $r$ som beloppet av $z$ och $v$ som argumentet av $z$. Med enkel trigometri kan man växla mellan de båda koordinatsystemen, och på så sätt skriva ett komplext tal på polär form. För detaljer se bok.

Lös 1001, 1002, 1003ab, 1004ad, 1005d (fre 8/2); 1006, 1007, 1008, 1009acef, 1010ac, 1011, 1012bc (ons 12/2); 1013, 1014adeh, 1015, 1016 (tors 13/2).

1. Räkna med komplexa tal (17-25)

Vi börjar med att kika på hur räknesätten fungerar om de komplexa talen är skrivna på rektangulär form ($z=a+bi$). Räkning fungerar då precis som "vanligt", och beträffande addition, subtraktion och multiplikation är det tämligen enkelt. Tre exempel:

$$(1+2i)+(3-4i)=1+2i+3-4i=1+3+2i-4i=4-2i$$

$$(3-2i)-(1+4i)=3-2i-1-4i=2-6i$$

$$(2-i)(3+2i)=2\cdot 3 + 2 \cdot 2i- i \cdot 3 - i \cdot 2i=6+4i-3i-2i^2=6+i + 2=8+i$$

Det enda som är nytt är alltså att $i^2$ ska ersättas med -1. Vad blir förresten $i^{2011}$? Vi "grupperar ihop" så många $i^2$ som möjligt och räknar på:

$$i^{2011} = i^{2010}\cdot i= (i^{2})^{1005} \cdot i = (-1)^{1005} \cdot i = (-1) \cdot i = -i$$

Division är lite knepigare än övriga räknesätt. Det finns ett trix, nämligen att man ska förlänga med nämnarens konjugat för att mygla bort i från nämnaren (i i täljaren är ok däremot). Ett exempel:

$$\frac{1-4i}{2+3i}=\frac{(1-4i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)}=\frac{2-3i-8i+12i^2}{4-6i+6i-9i^2}=\frac{-10-11i}{13} = -\frac{10}{13}- \frac{11}{13}i$$

På polär form blir multiplikation och division blir ganska enkelt och i vissa fall är det avsevärt enklare att arbeta på polär form ön på Cartesisk (rektangulär). Poängen är, vilket också visas i boken på sida 19, att

(10)
\begin{align} |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| \textrm{ (beloppen multipliceras)} \end{align}
(11)
\begin{align} \arg(z_1 \cdot z_2) = \arg z_1 + \arg z_2 \textrm{ (argumenten adderas)} \end{align}

Motsvarande räkneregler gäller för division. Observera att räknereglerna för argument ser ut som de för logaritmer. Det kan vara ett sätt att minnas dem (även om det är två helt olika "saker").

Observera också att addition och subtraktion inte är så lustig på polär form. Här håller man sig till den Cartesiska.

de Moivres formel bygger på räknereglerna ovan (upprepade lämpligt antal gånger).Om

(12)
\begin{align} z=1 \cdot (\cos v +i \sin v) = \cos v + i \sin v \end{align}

så följer ju att

(13)
\begin{align} |z^n| = |z|^n=1^n = \textrm{ och } \arg z^n = n \cdot \arg z. \end{align}

Alltså

(14)
\begin{align} z^n = (\cos v + i \sin v)^n = \cos nv + i \sin nv \end{align}

där den sista likheten kallas de Moivres formel.

Lös ett urval till det sitter, 1017-1023 (tors 13/2); 1024-1032 (fre 14/2); 1033-1045 (ons 27/2, tors 28/2, fre 1/3).

1. Exponentiell form (27-32)

Det visar sig rimligt att göra definitionen

(15)
\begin{align} e^{iu}=\cos u+ i \sin u. \end{align}

Bland annat får man räknelagar för potenser som ser ut som man hoppas. Som en konsekvens av ovanstående gäller t.ex.

(16)
\begin{align} e^{-iu}= e^{i(-u)} = \cos (-u) + i \sin (-u) = \cos u - i \sin u. \end{align}

Om man nu löser ut $\cos u$ och $\sin u$ så får man Eulers formler:

(17)
\begin{align} \cos u = \frac{e^{iu}+ e^{-iu}}{2} \end{align}

och

(18)
\begin{align} \sin u = \frac{e^{iu}- e^{-iu}}{2i}. \end{align}

Ett godtyckligt komplext tal $z=a+bi=r(\cos v + i \sin v)$ kan nu presenteras på exponentiell form som

(19)
\begin{equation} z=re^{iv}. \end{equation}

där $v$ anges i radianer. Formen ovan är kortfattad, praktisk, aningen abstrakt men egentligen bara en variant av polär form!
Med $v=\pi, r=1$ fås matematikens kanske snyggast samband, nämligen

(20)
\begin{align} e^{i\pi}= -1. \end{align}

Den expontentiella formen visar sig särskilt praktisk om man vill lösa ekvationer av typen $z^n=a+bi$ där n är ett positivt heltal. En dylik ekvationer kallas binomisk eftersom den har två termer (högerledet räknas härvid som ett komplext tal). Man skriver om $a+bi$ på exponentiell form och sätter också

(21)
\begin{equation} z=re^{iv} \end{equation}

så att

(22)
\begin{equation} z^n=r^ne^{inv} \end{equation}

(notera att de Moivres formel svara precis mot en lämpligt potenslag: $(e^{iv})^n=e^{niv})$. Därefter jämför man belopp och argument och inser att beloppen måste vara lika, och att argumenten måsta vara lika upp till "varvräkning". Se boken 28-29 för utförliga exempel.

Lös uppgifter efter behov på sida 32.

Blandade uppgifter (sid 34-36)

De löpande uppgifterna i detta avsnitt har varit relativt enkla. Bland de blandade uppgifterna finns det lite svårare problem, men också mer ordinära. Man kan tänka sig att följa ett av nedanstående spår beroende på kapacitet och ambitionsnivå. Väljer man de svårare uppgifterna får man räkna med att det dyker upp saker som vi inte direkt har behandlat. Lösningar på uppgifter ner * eller ** finns här.

Lös i spår 1; 1058, 1059, 1060, 1061, 1063, 1067, 1068, 1069, 1072, 1074, 1075, 1080, 1083, 1084, 1085. I spår 2; uppgift 1088-1103 (eller så mycket man orkar).

1.5 Polynomekvationer (från Matematik4000, kurs E)

Andragradsekvationer (sid 46-47)

Inte mycket nytt under solen egentligen. Man repeterar lösning och hantering av andragradsekvationer. Den enda skillnaden mot Matematik B är att man tillåter "roten ur negativa tal" m.h.a. i. Man kan också notera att rötterna till en andragradsekvation med reella koefficienter kommer i konjugerade par.

Lös 1510, 1511 (och några a-uppgifter om det känns osäkert).

Faktorsatsen (sid 48-49)

Betrakta ekvationen

(23)
\begin{equation} (x-1)(x-2)=x^2-3x+2 = 0. \end{equation}

Om man bara tittar på den sista likheten kanske man inte omedelbart ser lösningarna, utan man får "fläska på" med pq-formeln. Om man däremot tittar på ursprungsuttrycket (innan hopmultiplikation) ser man omedelbart att röptterna är x=1 och x=2. En faktor måste ju bli noll!

Alltså kan man dra slutsatsen att om $x-a$ är en faktor i ett polynom så måste $x=a$ vara ett nollställe. I själva verket gäller också omvändningen, nämligen att om ett polynom har ett nollställe $x=a$ så har det också en faktor $x-a$. Beviset bygger på att man begriper utfallet av en polynomdivision.

Allt detta sammanfattas i faktorsatsen:

Ett polynom har en faktor $x-a \Leftrightarrow$ polynomet har ett nollställe $x=a$.

Lös 1515, 1516, 1517, 1519, 1520, 1521ad och eventuellt 1522.

Polynomdivision (sid 50)

Hur många 13 får plats 1000? Eftersom

(24)
\begin{align} 1000 = 76 \cdot 13 + 12 \end{align}

är det tydligen 76 stycken. Man kan formulera detta som att om man delar 1000 med 13 får man en kvot som är 76 och en rest på 12.

Samma sak fungerar för polynom. Hur många $z+2$ får t.ex. plats i $z^3-2z^2+3z-4$? Man utför då en polynomdivision (se bok för teknik) och kommer fram till att

(25)
\begin{equation} z^3-2z^2+3z-4 =(z+2)(z^2-4z+11) -26 \end{equation}

där $z^2-4z+11$ är kvoten och 26 är resten (kontrollera gärna att det stämmer med "hopmultiplikation" av högerledet).

I MaE kan man använda polynomdivision för att lösa ekvationer. Mer om detta i nästa avsnitt.

Lös 1526, 1527, 1529ab och eventuellt 1531, 1532.

Polynomekvationer av högre grad (52-54)

Här kommer ett "hopkok" av uppgifter på lösning av polynomekvationer. Man använder sig av faktorsats, polynomdivision, att rötter kommer i konjugerade par i vissa ekvationer. Alla (andra) metoder som fungerar är såklart användbara. Det finns ganska många problem så vi gör ett urval.

Lös 1542, 1545, 1546, 1547, 1550. Skulle dessa vara för svåra kan man byta ut dem mott a-uppgifterna.

2. Differentialekvationer/exakta metoder (44-68)

Det börjar men en text (sid 43) så påstår att differentialekvationer är användbara i tillämpningar. Vill man se några fler/andra exempel kan man kika här

Primitiva funktioner

Gammal skåpmat!? I alla fall är detta gjort i MaD, så repetera efter behov och under eget ansvar.

Att pröva lösningar (sid 45-46)

Att lösa en ekvation kan vara knepigt, men att undersöka om ett givet tal är en lösning är enklare - bara "sätt in". På samma sätt är det ganska enkelt att kolla om en föreslagen funktion löser en given differentialekvation. Derivera bara lämpligt antal gånger, sätt in och se om det stämmer.

Lös 2007ab, 2011, 2013.

Ekvationen $y'+ay=0 \,$ (sid 49-50)

Detta är den enklaste typen av differentialekvation som inte är trivial. Den kallas homogen eftersom det står noll i högerledet när alla termer med y och dess derivator flyttats till vänsterledet. Den är av första ordningen eftersom det förekommer förstaderivator men inga högre derivator. (Den är dessutom linjär och med konstanta koefficienter vilket boken underlåter att berätta.)

Genom derivering och insättning inser man att alla funktioner på formen

(26)
\begin{equation} y=Ce^{-ax} \end{equation}

löser differentialekvationen. Detta är också samtliga lösningar vilket boken reder ut på sida 48. Man säger att $y=Ce^{-ax}$ är den allmänna lösningen till differentialekvationen.

En sak som möjligen kan vålla problem bland uppgifterna är beteckningarna. I t.ex. uppgift 2016 minns man att

(27)
\begin{align} \dfrac{dN}{dt} = N'(t)=N' \end{align}

Sedan får man förstå att det inte är någon skillnad (matematiskt) om funktion heter N(t) eller y(x).

Lös 2014-2020.

Tillämpningar (sid 53-54)

Differentialekvationen $y'+ay=0$ eller kanske hellre $y'=ky$ anger att tillväxthastigheten är proportionell mot funktionens värde. Detta är en rimlig modellering av hur en biologisk population tillväxer eller hur radioaktiva isotoper sönderfaller. Här finns några sådana exempel.

Lös 2029 till 2033.

Ekvationen $y''+ay'+by=0$ (sid 55-61)

Dessa skiljer sig från föregående diffekvation i ett avseende, nämligen att de innehåller en andraderivata. Men de är ändå så pass snarlika (linjaritet, homogenitet, konstanta koefficienter) att lösningarna och lösningsmetoderna påminner om varandra.

För att lösa

(28)
\begin{equation} y''+ay'+by=0 \end{equation}

bildar och löser man först dess karakteristiska ekvation

(29)
\begin{equation} r^2+ar+b=0. \end{equation}

(derivator ersätts alltså med r-potenser). Antag att denna ekvation har lösningarna $r_1$ och $r_2$. Tre olika fall kan uppstå (och i boken framgår någorlunda hur det hänger ihop):

Om $r_1 \neq r_2$ båda är reella så ges den allmänna lösningen av

(30)
\begin{equation} y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}. \end{equation}

Om $r_1 = r_2=r$ är reellt så ges den allmänna lösningen av

(31)
\begin{equation} y=(C_1x+C_2)e^{rx}. \end{equation}

Om $r_1 = \alpha+\beta$ och $r_2=\alpha-\beta$ är konjugerade och icke-reella så ges den allmänna lösningen av

(32)
\begin{align} y=e^{\alpha x}(C_1 \sin \beta x + C_2 \cos \beta x). \end{align}

Detta sistnämnda fall är det som beskriver en svängande fjäder.

Lös åtminstone 2034 till 2043 (jag uppfattar inte 2042 och 2043 som särskilt svåra…).

Anmärkning
I t.ex. 2041 anges i facit ett alternativt skrivsätt. Man observerar att, i 2041a,

(33)
\begin{align} C e^{-x} \sin(2x+v)= e^{-x}(A \sin2x + B \cos2x). \end{align}

Ett sätt att snabbt kontrollera om man har rätt är att se att man fått $\alpha = -1$ och $\beta = 2$ (för då har man rätt). Ni kan svara på den andra formen om ni vill!

Inhomogena ekvationer (sid 61-65)

De ekvationer, $y'+ay=0$ och $y''+ay'+by=0$, som vi studerat ovan kallas, om man ska vara ordentlig, för en första/andra ordningens, homogen, linjär differentialekvation med konstanta koefficienter. Ordet homogen innebär att högerledet är 0 eller mer korrekt att alla termer innehåller y eller dess derivator. Som boken antyder kan man intressera sig för motsvarande inhomogena differentialekvation

(34)
\begin{align} y'+ay=f(x) \textrm{ respektive } y''+ay'+by=f(x). \end{align}

där alltså högerledet är en funktion av x.

Lösningsmetoden är som följer:

1) Bestäm samtliga lösningar $y_h$ till motsvarande homogena ekvation

(35)
\begin{align} y'+ay=0 \textrm{ respektive } y''+ay'+by=0 \end{align}

Har man redan glömt hur det gick till får man läsa på!
2) Bestäm (på någon "vänster") en lösningen $y_p$ till den inhomogena ekvationen

(36)
\begin{align} y'+ay=f(x) \textrm{ respektive } y''+ay'+by=f(x). \end{align}

Denna lösning kallas ofta partikulärlösning (till differentialekvationen), därför subindexet p.
3) Samtliga lösningar till den inhomogena ekvationen

(37)
\begin{align} y'+ay=f(x) \textrm{ respektive } y''+ay'+by = f(x) \end{align}

fås nu genom $y=y_h+y_p$.

Det som kan vara lite knepigt är att hitta en partikulärlösning. I princip ansätter man något som ser ut som $f(x)$ och ''fixar till''. Se boken och lektionen för detaljer.

Lös 2044-2051.

2 . Differentialekvationer/numeriska metoder (69-72)

Riktningsfält (sid 69-70)

Många (de flesta) differentialekvationer kan inte lösas exakt, dvs man kan inte finna ett explicit uttryck för funktionen y. I sådana fall får man nöja sig med approximativa/numeriska lösningar. Ett sätt att skaffa sig en kvalitativ bild av differentialekvationen och dess lösningskurvor är att rita riktningsfält. Dessa underlättar dessutom förståelsen av numeriska metoder, t.ex. Euler stegmetod (nästa rubrik).

Riktningsfält kan konstrueras till differentialekvationer som kan skrivas

(38)
\begin{equation} y'=F(x,y) \end{equation}

dvs. där derivatan kan "lösas ut". Det innebär att man i varje punkt i koordinatplanet kan bestämma hur en lösningskurva ska luta. Ritar man in sådana lutningar i ett antal punkter så har man alltså ett riktningsfält. Att göra detta för hand är tråkigt och tidsödande. Använd dator!

2052, 2054

Euler stegmetod (sid 71-72)

Denna är tråkig att beskriva så ni får läsa själva i boken. I princip handlar det om att stegvis följa riktningsfältet.

Lös 2055, 2056

Blandade uppgifter (sid 85-86)

Lös t.ex. 2071ace, 2072abd, 2073-76, 2078-82, 2085, 2086, 2088, 2090, 2092, 2093-96, 2098-2100, 2102. Om man satsar mot G kan man hoppa över alla med asterisk.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License