matematik-e-vt12:detaljplan

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 3.3 3.4

1.1 Inledning (sid 7-9)

En genomgång av de olika talområdena och varför man till sist introducerar i och komplexa tal gjordes på lektionen.

En bra ide är att tolka tal, uttryck, osv geometriskt. Det förstärker ofta förståelsen. Sedan tidigare gör ni automatiskt en koppling mellan det algebraiska uttrycket $y=x^2$ och funktionens graf ("glad mun genom origo"). I bakgrunden i en sådan koppling ligger såklart ett koordinatsystem.

Även komplexa tal kan markeras i koordinatsystem, som man då kallar komplext talplan. Iden är enkel, om $z=a+bi$ så markerar man detta tal i punkten (a,b). Realdelen blir alltså x-koordinat och imaginärdelen y-koordinat.

Iden att markera komplexa tal i ett koordinatsystem "kläcktes" oberoende av Wessel, Argand och Gauss runt år 1800. Det tog alltså ett par hundra år från det att man införde komplexa tal till man "kom på" talplanet. Det känns faktiskt lite märkligt.

1.2 Räkning med komplexa tal

Några begrepp (sid 10-13)

Ett allmänt komplext tal betecknas ofta med bokstaven z och har formen

(1)
\begin{equation} z=a+bi. \end{equation}

Exempel på komplexa tal är 2-3i, -5i och 7. Observera det sistnämnda, varje reellt tal blir också komplext eftersom man kan välja b=0. Räknereglerna, för de komplexa talen, fungerar precis likadant som för vanliga reella, med tillägget att $i^2=-1$.

I uttrycket $z=a+bi$ kallas a realdelen av z (skrivs Re z=a) och b för imaginärdelen av z (skrivs Im z=b). Om z=2-3i får vi alltså Re z=2 och Im z=-3. Observera att imaginärdelen alltid är ett reellt tal! Det dyker också upp komplext konjugat $\overline{z}$ och absolutbelopp $|z|$. Kolla upp i boken.

Räkning med komplexa tal fungerar precis som "vanligt", och beträffande addition, subtraktion och multiplikation är det tämligen enkelt. Tre exempel:

$$(1+2i)+(3-4i)=1+2i+3-4i=1+3+2i-4i=4-2i$$

$$(3-2i)-(1+4i)=3-2i-1-4i=2-6i$$

$$(2-i)(3+2i)=2\cdot 3 + 2 \cdot 2i- i \cdot 3 - i \cdot 2i=6+4i-3i-2i^2=6+i + 2=8+i$$

Det enda som är nytt är alltså att $i^2$ ska ersättas med -1. Vad blir förresten $i^{2011}$? Vi "grupperar ihop" så många $i^2$ som möjligt och räknar på:

$$i^{2011} = i^{2010}\cdot i= (i^{2})^{1005} \cdot i = (-1)^{1005} \cdot i = (-1) \cdot i = -i$$

Division är lite knepigare än övriga räknesätt. Det finns ett trix, nämligen att man ska förlänga med nämnarens konjugat för att mygla bort i från nämnaren (i i täljaren är ok däremot). Ett exempel:

$$\frac{1-4i}{2+3i}=\frac{(1-4i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)}=\frac{2-3i-8i+12i^2}{4-6i+6i-9i^2}=\frac{-10-11i}{13} = -\frac{10}{13}- \frac{11}{13}i$$

Anders Karlsson (gymnasielärare på Ållebergsgymnasiet i Falköping) har producerat instruktiva genomgångar i YouTube. Se nedan.

Matteskolan: Introduktion till komplexa tal
Matteskolan: Definition av komplext tal, Rez, Imz, konjugat, samt punkter i komplexa talplanet
Matteskolan: Komplexa tal; de fyra räknesätten

Lös på sid 11: Två deluppgifter på 1204-1207, 1209, 1210. Dessutom 1208 och 1212.
Lös på sid 13: a-uppgifter efter behov. Dessutom jämnnumrerade b- och c-uppgifter om man satsar på de högre betygen.

Blandande övningar … (sid 14-15)

Det finns bara fyra räknesätt så i den meningen är det inget nytt här. Däremot är problemen lite svårare och ofta ingår det parametrar som ska bestämmas.

Lös, bland a-uppgifterna, två deluppgifter vardera på 1238-1241 samt på 1243 och dessutom 1242 och 1244a. Därefter kan ni ge er i kast med 1246a, 1247ab, 1248 samt eventuellt 1251, 1253, 1255.

1.3 Det komplexa talplanet

Addition och subtraktion (sid 16-19)

Som nämnts ovan kan ett komplex tal representeras av en punkt i ett koordinatplan med realdel på x-axeln och imaginärdel på y-axeln. I vissa fall är det dock mera praktiskt att representera det komplexa talet med en vektor ("pil") som går från origo till motsvarande punkt.

Med vektortolkningen blir addition och subtraktion enkla att "minnas", det motsvarar helt enkelt vanlig vektoraddition/subtraktion där man "sätter pilarna efter varandra och bestämmer resultant" (tänk efter varför det blir så).

Lös a-uppgifterna utom 1306, 1309. Dessutom 1312, 1314 och eventuellt 1316, 1318.

Komplexa tal i polär form (sid 20-23)

Det "gamla hederliga" koordinatsystemet med en x- och en y-axel är välbekant. Man anger koordinaterna för en punkt genom att tala om hur många steg i respektive riktning man ska förflytta sig.

Det finns inget som hindrar att man anger punkter i andra koordinatsystem. Ett användbart alternativ är det polära koordinatsystemet. Här anges en punkts koordinater genom att man anger avstånd från origo, r, och riktning, v, (i ett vinkelmått) räknat moturs från x-axeln. Se hur det fungerar genom att öppna GeoGebrakonstruktionen.

Observera att en och samma punkt kan ha olika koordinater i de olika koordinatsystemen. Observera också att den polära framställningen inte är entydig (vilka "problem" finns?).

Om man tänker efter så inser man följande samband mellan de Cartesiska koordinaterna (x,y) och de polära (r,v).

(2)
\begin{cases} x= r\cos v \\ y = r \sin v \end{cases}

och

(3)
\begin{cases} r^2=x^2+y^2 \\ \tan v = \dfrac{y}{x}, (\textrm{med kvadrantkontroll}) \end{cases}

Med den sistnämnda kvadrantkontrollen menas att t.ex. de Cartesiska koordinaterna (3,4) och (-3,-4) ger samma tangensekvation och man måste hålla koll på om vinkeln är korrekt eller ska "ändras" med 180 grader.

Ovanstående kan genomföras oberoende av komplexa tal. Men eftersom vi har en tolkning av komplexa tal som punkter i ett koordinatsystem kan vi såklart använda den polära formen också till dessa. Vi har

(4)
\begin{align} z=x+iy = r \cos v + i r \sin v= r(\cos v + i \sin v) \end{align}

där det sistnämnda uttrycket säges vara z på polär form. Man efterstävar att välja vinkeln v i intervallet $0^{\circ} \leq v < 360^{\circ}, 0 \leq v \ <2\pi$. I den polära formen kallas r för beloppet av z (eftersom det är just detta) och v för argumentet av z.

Kolla gärna in Anders Karlsson!

Matteskolan: Komplexa tal polär form, introduktion
Matteskolan: Komplexa tal; övergång mellan rektangulär och polär form

Lös 1322, 1326, 1327, 1329, 1330, 1331ab, 1332ab, 1333aeh, 1335, 1336ab och eventuellt 1338. För att få "snygga" vinklar/koordinater kan man ha nytta av tabellen på sida 8 i Formelsamlingen. Dessa värden måste man inte lära sig utantill, men det gör inget om de fastnar av sig själva. På LTH förväntas man ha memorerat dessa!

Multiplikation/division i polär form (sid 24-26)

Multiplikation och division blir ganska enkelt på polär form och i vissa fall är det avsevärt enklare att arbeta på polär form ön på Cartesisk (rektangulär). Poängen är, vilket också visas i boken på sida 24, att

(5)
\begin{align} |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| \textrm{ (beloppen multipliceras)} \end{align}
(6)
\begin{align} \arg(z_1 \cdot z_2) = \arg z_1 + \arg z_2 \textrm{ (argumenten adderas)} \end{align}

Motsvarande räkneregler gäller för division. Observera att räknereglerna för argument ser ut som de för logaritmer. Det kan vara ett sätt att minnas dem (även om det är två helt olika "saker").

Observera också att addition och subtraktion inte är så lustig på polär form. Här håller man sig till den Cartesiska.

Lös uppgifter efter behov, vilket kan betyda samtliga.

Avläs och rita i det komplexa talplanet (sid 28-29)

Egentligen är det inte så mycket nytt i detta avsnitt. Det handlar om att förstå hur de algebraiska manipulationerna kan tolkas geometriskt. Försök därför räkna så lite som möjligt och tänka och rita desto mer.

Använd gärna GeoGebra för att fördjupa er förståelse om sambanden mellan algebraisk och geometri. Fråga gärna om ni får problem med GeoGebra.

Lös samtliga uppgifter utom 1368.

1.4 Potenser av komplexa tal

de Moivres formel (sid 34-35)

Detta är i princip inget nytt utan en konsekvens av "räknereglerna" för belopp och argument som vi redan sett. Om

(7)
\begin{align} z=1 \cdot (\cos v +i \sin v) = \cos v + i \sin v \end{align}

så följer ju att

(8)
\begin{align} |z^n| = |z|^n=1^n = 1 \textrm{ och } \arg z^n = n \cdot \arg z. \end{align}

Alltså

(9)
\begin{align} z^n = (\cos v + i \sin v)^n = \cos nv + i \sin nv \end{align}

där den sista likheten kallas De Moivres formel.

Lös samtliga uppgifter, men efter behov. Det innebär att man klarar sig med bara A-uppgifter om man satsar mot G och arbetar med B- och C-uppgifter enbart om man satsar mot de högre betygen.

Ekvationer av typen $z^n = w$ (sid 36-37)

Även om Gauss visade att alla polynomekvationer har en komplex lösning betyder det inte att sådana lösningar är särskilt lättfunna i allmänhet. Vissa ekvationer kan man dock hantera, dels andragradsekvationer (mer om dessa senare), dels så kallade binomiska ekvationer. De senare ser ut såhär

(10)
\begin{equation} z^n=w \end{equation}

där n är ett positivt heltal och w ett komplext tal. De kallas binomiska eftersom de har två termer. För att lösa sådana ekvationer arbetar man med fördel på polär form. Man skriver om w på polär form och sätter också

(11)
\begin{align} z=r(\cos v + i \sin v) \end{align}

så att

(12)
\begin{align} z^n=r^n(\cos nv + i \sin nv) \end{align}

Därefter jämför man belopp och argument och inser att beloppen måste vara lika, och att argumenten måsta vara lika upp till "varvräkning". Se boken för utförliga exempel.

Lös 1415, 1416, 1417, 1422, 1423, 1425.

Eulers formel (sid 38-39)

Det visar sig rimligt att göra definitionen

(13)
\begin{align} e^{iv}=\cos v + i \sin v. \end{align}

Bland annat får man räknelagar för potenser som ser ut som man hoppas. Som en konsekvens av ovanstående gäller

(14)
\begin{align} e^{-iv}= e^{i(-v)} = \cos (-v) + i \sin (-v) = \cos v - i \sin v. \end{align}

Om man nu löser ut $\cos v$ och $\sin v$ så får man Eulers formler:

(15)
\begin{align} \cos v = \frac{e^{iv}+ e^{-iv}}{2} \end{align}

och

(16)
\begin{align} \sin v = \frac{e^{iv}- e^{-iv}}{2i}. \end{align}

Därmed är uppgift 1439 löst!

Nu kan man roa sig med att bestämma $\cos i, \sin i, \ln i, i^i$ etc. Se uppgift 1440.

Euler är inte vem som helst precis. Han är tidernas mest produktive matematiker och en av de mest kreativa. Ett av hans ''fantastiska" resultat är lösningen av det så kallade Baselproblemet, nämligen att bestämma den oändliga summan

(17)
\begin{align} \frac{1}{1} + \frac{1}{4} +\frac{1}{9} +\frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \ldots \end{align}

Ni ser mönstret? Detta summerar till

(18)
\begin{align} \frac{\pi^2}{6}!!!! \end{align}

Det är så snyggt så man börjar nästan gråta. Eulers bevis för detta är mycket fiffigt (det räcker nästan med gymnasiekunskaper)!

Lös 1429, 1430, 1432, 1433, 1434, och eventuellt 1438 och 1440 (1439 är som behövs i 1440 är löst ovan).

1.5 Polynomekvationer

Andragradsekvationer (sid 40-41)

Inte mycket nytt under solen egentligen. Man repeterar lösning och hantering av andragradsekvationer. Den enda skillnaden mot Matematik B är att man tillåter "roten ur negativa tal" m.h.a. i.

Lös uppgifter bland a-uppgifterna tills det sitter, b- och c-uppgifter efter betygsmål. Dvs G-ambition - hoppa över.

Faktorsatsen (sid 42-43)

Betrakta ekvationen

(19)
\begin{equation} (x-1)(x-2)=x^2-3x+2 = 0. \end{equation}

Om man bara tittar på den sista likheten kanske man inte omedelbart ser lösningarna, utan man får "fläska på" med pq-formeln. Om man däremot tittar på ursprungsuttrycket (innan hopmultiplikation) ser man omedelbart att nollställena är x=1 och x=2. En faktor måste ju bli noll!

Alltså kan man dra slutsatsen att om $x-a$ är en faktor i ett polynom så måste $x=a$ vara ett nollställe. I själva verket gäller också omvändningen, nämligen att om ett polynom har ett nollställe $x=a$ så har det också en faktor $x-a$. Beviset bygger på att man begriper utfallet av en polynomdivision.

Allt detta sammanfattas i faktorsatsen:

Ett polynom har en faktor $x-a \Leftrightarrow$ polynomet har ett nollställe $x=a$.

Boken nämner också en så kallad restsats. Kolla upp i boken.

Lös samtliga a-uppgifter (inte så mycket att räkna om man begripit). Dessutom 1519cd, 1520cd och eventuellt 1521 och 1522a.

Polynomdivision (sid 44)

Hur många 13 får plats 1000? Eftersom

(20)
\begin{align} 1000 = 76 \cdot 13 + 12 \end{align}

är det tydligen 76 stycken. Man kan formulera detta som att om man delar 1000 med 13 får man en kvot som är 76 och en rest på 12.

Samma sak fungerar för polynom. Hur många $z+2$ får t.ex. plats i $z^3-2z^2+3z-4$? Man utför då en polynomdivision (se bok för teknik) och kommer fram till att

(21)
\begin{equation} z^3-2z^2+3z-4 =(z+2)(z^2-4z+11) -26 \end{equation}

där $z^2-4z+11$ är kvoten och 26 är resten (kontrollera gärna att det stämmer med "hopmultiplikation" av högerledet.

I MaE kan man använda polynomdivision för att lösa ekvationer. Mer om detta i nästa avsnitt.

Lös 1525, 1526b, 1527d, 1528 och eventuellt 1529.

Polynomekvationer av högre grad (45-47)

Här kommer ett "hopkok" av uppgifter på lösning av polynomekvationer. Man använder sig av faktorsats, polynomdivision, att rötter kommer i konjugerade par i vissa ekvationer. Alla (andra) metoder som fungerar är såklart användbara. Det finns ganska många problem så vi gör ett urval bland de svårare.

Lös samtliga a-uppgifter om inga b- eller c-uppgifter löses. Annars varannan a-uppgift och dessutom 1545, 1546, 1547, 1548, 1551 och eventuellt 1552.

2.1 Derivator

Grundläggande färdigheter, tangenter och linjär approximation (58-67)

Detta är egentligen inte något nytt, om man har sina kunskaper från MaCD under någorlunda kontroll. Lite uppfriskning behövs säkert, men exakt vad och hur mycket som ska uppfriskas varierar säkert. Därför får ni själva välja ut uppgifter efter behov. Ni kan använda följande checklista över vad ni bör ha koll på t.o.m. sid 67

  • de elementära funktionernas derivator
  • deriveringsregler, kedjeregeln är särskilt viktig för kommande avsnitt
  • derivatans definition
  • geometrisk/grafisk tolkning av derivata och andraderivata
  • tolkning av ovanstående som hastighet och acceleration
  • kunna ta fram tangenter till kurvor
  • kunna använda tangenter för att göra en linjär approximation

Lös efter behov, och absolut inte alla uppgifter.

Förändringshastigheter och derivata (sid 68-71)

Detta handlar i princip användning av användning kedjeregeln, fast man måste hantera "okända" funktioner i sin derivering.

Ett exempel (lite krystat och där notationen inte är exakt som boken): Arean av en kvadrat ökar med 5 $cm^2/s$. Hur fort ökar sidlängden i det ögonblick ($t = t_0$) då sidan är 10 cm? Vi vet (såklart) att

(22)
\begin{equation} A(t)=s(t)^2 \end{equation}

Eftersom det efterfrågas hastighet deriverar vi ovanstående med avseende på t och får

(23)
\begin{align} A'(t)=2\cdot s(t) \cdot s'(t) \end{align}

Observera användningen av kedjeregeln då högerledet deriveras. Insättning av kända värden ger nu

(24)
\begin{align} 5=2 \cdot 10 \cdot s'(t_0) \end{align}

ur vilket $s'(t_0)$ enkelt kan bestämmas.

Principen är alltså att man tecknar ett samband för storheter (som var och en t.ex. beror på tiden). Detta samband deriveras sedan och man erhåller ett samband mellan motsvarande derivator/förändringshastigheter.

Observera att boken använder ett alternativt skrivsätt för derivator, nämligen

(25)
\begin{align} A'(t)=\frac{dA}{dt}, \, s'(t)=\frac{ds}{dt}, A'(s)=\frac{dA}{ds} \end{align}

I exemplet ovan kan kedjeregeln alltså formuleras

(26)
\begin{align} \frac{dA}{dt} = \frac{dA}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} \end{align}

Lös 2165, 2166, 2168, 2169, 2172 samt eventuellt 2174, 2177 och 2180.

2.2 Extremvärden (sid 72-80)

Egentligen inget nytt i detta avsnitt, om ni har MaC och MaD någorlunda aktuellt. Lite repetition skadar inte och alla bör kika på ett urval av A-uppgifter (se nedan). B- och framförallt C-uppgifterna kan vara lite svåra/arbetssamma. Beroende på ambitionsnivå väljer ni om och hur mycket ni vill göra av dessa. Men gör inte fler än de som finns i urvalet nedan.

Lös 2205, 2208, 2211, 2215, 2218, 2220, 2222, 2229 samt eventuellt 2233, 2235, 2239, 2244, 2247, 2252, 2253, 2255, 2258, 2260.

2.3 Primitiva funktioner och integraler

Grundläggande färdigheter (sid 82-83)

Stoff från MaD som behövs till avsnitt 2.4.

Lös efter behov, t.ex. en deluppgift per uppgift.

Areaberäkning och andra tillämpningar (84-85)

Återigen stoff från MaD.

Lös efter behov, t.ex. samtliga A-uppgifter.

3.3. Numeriska lösningsmetoder

Riktningsfält (sid 126-129)

Många (de flesta) differentialekvationer kan inte lösas exakt, dvs man kan inte finna ett explicit uttryck för funktionen y. I sådana fall får man nöja sig med approximativa/numeriska lösningar. Ett sätt att skaffa sig en kvalitativ bild av differentialekvationen och dess lösningskurvor är att rita riktningsfält. Dessa underlättar dessutom förståelsen av numeriska metoder, t.ex. Euler stegmetod (nästa rubrik).

Riktningsfält kan konstrueras till differentialekvationer som kan skrivas

(27)
\begin{equation} y'=F(x,y) \end{equation}

dvs. där derivatan kan "lösas ut". Det innebär att man i varje punkt i koordinatplanet kan bestämma hur en lösningskurva ska luta. Ritar man in sådana lutningar i ett antal punkter så har man alltså ett riktningsfält. Att göra detta för hand är tråkigt och tidsödande. Använd dator!

Lös 3309, 3310, 3311, 3312

Euler stegmetod (sid 130-131)

Denna är tråkig att beskriva så ni får läsa själva i boken. I princip handlar det om att stegvis följa riktningsfältet.

Lös 3318, 3319, 3320, 3321d, 3323

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License