matematik-e-vt11:detaljplan

1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 3.3 3.4

1.1 Ett nytt talområde

Komplexa tal (sid 7-9)

Inledningsvis handlar det om att lösa andragradsekvationer. Det är i princip samma som i Matematik B ("gamla" pq-formeln) med den skillnaden att rot ur negativ tal skrivs om med i och därmed accepteras. T.ex. $\sqrt{-13} = \sqrt{13}i$ . Man räknar alltså som vanligt men med tillägget att $i=\sqrt{-1}$.

Ett allmänt komplext tal betecknas ofta med bokstaven z och har formen $$z=x+iy$$. Exempel på komplexa tal är 2-3i, -5i och 7. Observera det sistnämnda, varje reellt tal blir också komplext eftersom man kan välja y=0.

I uttrycket $$z=x+iy$$ kallas x realdelen av z (skrivs Re z=x) och y för imaginärdelen av z (skrivs Im z=y). Om z=2-3i får vi alltså Re z=2 och Im z=-3. Observera att imaginärdelen alltid är ett reellt tal!

Lös c-uppgifterna på 1001-1004 samt hela 1005, 1006 och 1007.

Komplext talplan (sid 10-12)

En bra ide är att tolka tal, uttryck, osv geometriskt. Det förstärker ofta förståelsen. Sedan tidigare gör ni automatiskt en koppling mellan det algebraiska uttrycket $y=x^2$ och funktionens graf ("glad mun genom origo"). I bakgrunden i en sådan koppling ligger såklart ett koordinatsystem.

Även komplexa tal kan markeras i koordinatsystem, som man då kallar komplext talplan. Iden är enkel, om $z=x+yi$ så markerar man detta tal i punkten (x,y). Realdelen blir alltså x-koordinat och imaginärdelen y-koordinat. Det dyker också upp komplext konjugat. Kolla upp i boken.

Iden att markera komplexa tal i ett koordinatsystem "kläcktes" oberoende av Wessel, Argand och Gauss runt år 1800. Det tog alltså ett par hundra år från det att man införde komplexa tal till man "kom på" talplanet. Det känns faktiskt lite märkligt.

Lös uppgifter efter behov. Vad är det för fel på facit till 1015?

Vektorer och absolutbelopp (sid 13-14)

En punkt P i ett koordinatsystem motsvarar en vektor ("pil") som går från origo till punkten P (lite slarvig formulering men den duger i MaE!). Eftersom i sin tur ett komplext tal kan representeras av en punkt så kan det också representeras av en vektor. Detta kan t.ex. vara lämpligt när vi ska addera komplexa tal (nästa lektion).

Låt z=x+yi. Det icke-negativa talet |z| (absolutbeloppet av z) definieras som avståndet från z (placerat i koordinatsystemet) till origo eller alternativt som längden på motsvarande vektor. Tydligen gäller (rita figur)

$$|z|= \sqrt{x^2+y^2}.$$

Lös uppgifter efter behov. Lös 1025 såväl geometriskt som algebraiskt. Kika också på Reflektera 1, sid 55.

1.2 Komplexa tal och de fyra räknesätten

Här finns en "uråldrig" (1999) applet där man kan undersöka räkneoperationerna geometriskt. Lek gärna lite med detta som uppvärmning!

Addition, subtraktion, multiplikation (sid 15-19)

Räkning med komplexa tal fungerar precis som "vanligt", och beträffande addition, subtraktion och multiplikation är det tämligen enkelt. Tre exempel:

$$(1+2i)+(3-4i)=1+2i+3-4i=1+3+2i-4i=4-2i$$

$$(3-2i)-(1+4i)=3-2i-1-4i=2-6i$$

$$(2-i)(3+2i)=2\cdot 3 + 2 \cdot 2i- i \cdot 3 - i \cdot 2i=6+4i-3i-2i^2=6+i + 2=8+i$$

Det enda som är nytt är att $i^2$ ska ersättas med -1. Vad blir förresten $i^{2011}$? Vi "grupperar ihop" så många $i^2$ som möjligt och räknar på:

$$i^{2011} = i^{2010}\cdot i= (i^{2})^{1005} \cdot i = (-1)^{1005} \cdot i = (-1) \cdot i = -i$$

Observera den geometriska tolkningen av addition och subtraktion (som vektoraddition och -subtraktion). Den geometriska tolkningen av multiplikation återkommer i kapitel 1.3, men ni kan ju själva forska lite med hjälp av appleten ovan.

Lös uppgifter efter behov. När ni känner att räknesättet sitter, gå vidare till intressantare uppgifter.

Division (sid 20-21)

"Hanteringen" av detta räknesätt är mindre självklar än övriga. Det finns ett trix, nämligen att man ska förlänga med nämnarens konjugat för att mygla bort i från nämnaren (i i täljaren är ok däremot). Ett exempel:

$$\frac{1-4i}{2+3i}=\frac{(1-4i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)}=\frac{2-3i-8i+12i^2}{4-6i+6i-9i^2}=\frac{-10-11i}{13} = -\frac{10}{13}- \frac{11}{13}i$$

Lös uppgifter efter behov. Här gissar jag att behovet är lite större än tidigare. Notera också att man kan göra följande ungefärliga gradering, opilad uppgift - G, enpilad uppgift - VG, tvåpilad uppgift - MVG. Det kan man ha i åtanke när man löser uppgifter efter behov. Man får ta med i beräkningarna vilket betyg man strävar efter. Om man satsar mot G kan man låta bli de svårare problemen t.ex.

1.3 Polär form

Komplexa tal i polär form (sid 24-26)

Det "gamla hederliga" koordinatsystemet med en x- och en y-axel är välbekant. Man anger koordinaterna för en punkt genom att tala om hur många steg i respektive riktning man ska förflytta sig.

Det finns inget som hindrar att man anger punkter i andra koordinatsystem. Ett användbart alternativ är det polära koordinatsystemet. Här anges en punkts koordinater genom att man anger avstånd från origo, r, och riktning, v, (i ett vinkelmått) räknat moturs från x-axeln. Se hur det fungerar genom att öppna GeoGebrakonstruktionen.

Observera att en och samma punkt kan ha olika koordinater i de olika koordinatsystemen. Observera också att den polära framställningen inte är entydig (vilka "problem" finns?).

Om man tänker efter så inser man följande samband mellan de Cartesiska koordinaterna (x,y) och de polära (r,v).

(1)

\begin{cases} x= r\cos v \\ y = r \sin v \end{cases}

och

(2)

\begin{cases} r^2=x^2+y^2 \\ \tan v = \dfrac{y}{x}, (\textrm{med kvadrantkontroll}) \end{cases}

Med den sistnämnda kvadrantkontrollen menas att t.ex. de Cartesiska koordinaterna (3,4) och (-3,-4) ger samma tangensekvation och man måste hålla koll på om vinkeln är korrekt eller ska "ändras" med 180 grader.

Ovanstående kan genomföras oberoende av komplexa tal. Men eftersom vi har en tolkning av komplexa tal som punkter i ett koordinatsystem kan vi såklart använda den polära formen också till dessa. Vi har

(3)

\begin{align} z=x+iy = r \cos v + i r \sin v= r(\cos v + i \sin v) \end{align}

där det sistnämnda uttrycket säges vara z på polär form. Man efterstävar att välja vinkeln v i intervallet $0^{\circ} \leq v < 360^{\circ}, 0 \leq v \ <2\pi$. I den polära formen kallas r för beloppet av z (eftersom det är just detta) och v för argumentet av z.

Lös uppgifter efter behov, vilket nog är de flesta?! För att få "snygga" vinklar/koordinater kan man ha nytta av tabellen på sida 8 i Formelsamlingen. Dessa värden måste man inte lära sig utantill, men det gör inget om de fastnar av sig själva. På LTH förväntas man ha memorerat dessa!

Multiplikation och division (sid 28-29)

Multiplikation och division blir ganska enkelt på polär form och i vissa fall är det avsevärt enklare att arbeta på polär form ön på Cartesisk (rektangulär). Poängen är, vilket också visas i boken på sida 28, att

(4)

\begin{align} |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| \textrm{ (beloppen multipliceras)} \end{align}

(5)

\begin{align} \arg(z_1 \cdot z_2) = \arg z_1 + \arg z_2 \textrm{ (argumenten adderas)} \end{align}

Motsvarande räkneregler gäller för division. Observera att räknereglerna för argument ser ut som de för logaritmer. Det kan vara ett sätt att minnas dem (även om det är två helt olika "saker").

Observera också att addition och subtraktion inte är så lustig på polär form. Här håller man sig till den Cartesiska.

Lös uppgifter efter behov, dvs. tills ni känner er säkra.

De Moivres formel (sid 30-31)

Detta är i princip inget nytt utan en konsekvens av "räknereglerna" för belopp och argument ovan. Om

(6)

\begin{align} z=1 \cdot (\cos v +i \sin v) = \cos v + i \sin v \end{align}

så följer ju att

(7)

\begin{align} |z^n| = |z|^n=1^n = 1 \textrrm{ och } \arg z^n = n \cdot \arg z. \end{align}

Alltså

(8)

\begin{align} z^n = (\cos v + i \sin v)^n = \cos nv + i \sin nv \end{align}

där den sista likheten kallas De Moivres formel.

Lös samtliga uppgifter. 1082 kan skippas om man inte satsar på högre betyg.

Potensform (sid 32-34)

Det visar sig rimligt att göra definitionen

(9)

\begin{align} e^{iv}=\cos v + i \sin v. \end{align}

Bland annat får man räknelagar för potenser som ser ut som man hoppas (se boken). Som en konsekvens av ovanstående gäller

(10)

\begin{align} e^{-iv}= e^{i(-v)} = \cos (-v) + i \sin (-v) = \cos v - i \sin v. \end{align}

Om man nu löser ut $\cos v$ och $\sin v$ så får man Eulers formler:

(11)

\begin{align} \cos v = \frac{e^{iv}+ e^{-iv}}{2} \end{align}

och

(12)

\begin{align} \sin v = \frac{e^{iv}- e^{-iv}}{2i}. \end{align}

Tänk efter så ni förstår detta!

Nu (fast ingår ej i kursen) kan man roa sig med att bestämma $\cos i, \sin i, \ln i, i^i$ etc.

Euler är inte vem som helst precis. Han är tidernas mest produktive matematiker och en av de mest kreativa. Ett av hans ''fantastiska" resultat är lösningen av det så kallade Baselproblemet, nämligen att bestämma den oändliga summan

(13)

\begin{align} \frac{1}{1} + \frac{1}{4} +\frac{1}{9} +\frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \ldots \end{align}

Ni ser mönstret? Detta summerar till

(14)

\begin{align} \frac{\pi^2}{6}!!!! \end{align}

Det är så snyggt så man börjar nästan gråta. Eulers bevis för detta är mycket fiffigt (det räcker nästan med gymnasiekunskaper)!

Lös uppgifter efter behov. 1088 är iofs mycket intressant men kan ändå hoppas över. Observera beloppen i 1089 och lös 1090 endast med MVG-ambition.

1.4 Ekvationer

Andragradsekvationer med reella koefficienter (sid 35-37)

Inte mycket nytt under solen! Man repeterar lösning och hantering av andragradsekvationer. Den enda skillnaden mot Matematik B är att man tillåter "roten ur negativa tal".

Lös uppgifter efter behov. Rimligen räcker det med 1091b, 1092b, 1095, 1096.

Andragradsekvationer ned icke-reella koefficienter. (sid 37-41)

Boken delar upp i ett antal typer. Lite onödig kanske. Principen är följande: ALLA ekvationer kan lösas genom att man sätter z=x+iy i ekvationen, "vecklar ut", identifierar real- och imaginärdelar, får reella ekvationer med x och y som man till sist löser. Exemplena på sida 38-39 illustrerar detta. IBLAND kan man använda pq-formeln. Det går bra i de fall då uttrycket i roten blir reellt. Exemplet på sida 37 illustrerar detta.

Förslagsvis testar man först med pq-formeln. Går inte detta gör man ansatsen z=x+iy. När ni löst några problem kan ni kanske se direkt vilken metod som fungerar och varför.

Lös 1097b, 1098b, 1099b, 1100b, 1101b och eventuellt 1102, 1103b, 1104a. 1104a är rätt arbetssam, lös enbart om ni får tid över och har mycket höga ambitioner.

Potensekvationer (sid 42-45)

Även om Gauss visade att alla polynomekvationer har en komplex lösning betyder det inte att sådana lösningar är särskilt lättfunna i allmänhet. Vissa ekvationer kan man dock hantera, dels andragradsekvationer, dels så kallade binomiska ekvationer. De senare ser ut såhär

(15)

\begin{equation} z^n=c \end{equation}

där n är ett positivt heltal och c ett komplext tal. De kallas binomiska eftersom de har två termer. För att lösa sådana ekvationer arbetar man med fördel på polär form. Man skriver om c på polär form och sätter också

(16)

\begin{align} z=r(\cos v + i \sin v) \end{align}

så att

(17)

\begin{align} z^n=r^n(\cos nv + i \sin nv) \end{align}

Därefter jämför man belopp och argument och inser att beloppen måste vara lika, och att argumenten måsta vara lika upp till "varvräkning". Se boken för utförliga exempel.

Lös 1105b 1106a, 1107a.

Polynomdivision (sid 45-47)

Hur många 13 får plats 1000? Eftersom

(18)

\begin{align} 1000 = 76 \cdot 13 + 12 \end{align}

är det tydligen 76 stycken. Man kan formulera detta som att om man delar 1000 med 13 får man en kvot som är 76 och en rest på 12.

Samma sak fungerar för polynom. Hur många $z+2$ får t.ex. plats i $z^3-2z^2+3z-4$? Man utför då en polynomdivision (se bok för teknik) och kommer fram till att

(19)

\begin{equation} z^3-2z^2+3z-4 =(z+2)(z^2-4z+11) -26 \end{equation}

där $z^2-4z+11$ är kvoten och 26 är resten (kontrollera gärna att det stämmer med "hopmultiplikation" av högerledet.

I MaE kan man använda polynomdivision för att lösa ekvationer. Mer om detta i nästa avsnitt.

Lös 1110bc, 1111bc, 1112ab, 1113a.

Faktorsatsen och restsatsen (sid 48-50)

Om $p(z)$ är ett godtyckligt polynom och vi dividerar detta med förstagradspolynomet $z-a$ får vi

(20)

\begin{equation} p(z)=(z-a)q(z)+r \end{equation}

där $q(z)$ är ett polynom med en grad lägre än $p(z)$ (eller lika med 0, som saknar grad) och r är en konstant. Tänk efter så du förstår att det måste blir resultatet av en polynomdivison. Man inser nu (tänk efter igen) att

(21)

\begin{align} a \textrm{ \"ar ett nollst\"alle till } p(z) \Leftrightarrow z-a \textrm{ \"ar en faktor till } p(z) \end{align}

Detta är faktorsatsen.

Genom att sätta in $z=a$ fås dessutom

(22)

\begin{equation} p(a)=(a-a)q(a) + r = r \end{equation}

Detta är restsatsen, som alltså säger att man direkt kan bestämma resten r då $p(z)$ divideras med $z-a$. Man får, som synes, $r=p(a)$.

Lös 1114, 1115abc, 1116, 1117, 1118a samt 1119 om man vill/hinner/orkar.

Polynomekvationer (sid 51-54)

Här sammanfattas de verktyg vi har samlat på oss för att kunna lösa polynomekvationer. De är

1. Varje polynomekvation (av grad minst 1) har minst en komplex rot. Detta visades av Gauss 1799 och är inget man snyter ur näsan precis. Bevis "far beyond MaE".
2. Ett polynom av grad n kan skrivas som produkten an n stycken förstagradspolynom. Detta är en ganska enkel följd av ovanstående och faktorsatsen.
3. Om ett polynom med reella koefficienter har ett nollställe $z$ så är också $\overline{z}$ ett nollställe till polynomet. Detta följer ur räkneregler för konjugat.

1 betyder att man aldrig kan finna en polynomekvation som saknar lösning. Att man sedan själv inte kan hitta någon lösning är en annan sak! Med 2 kan man göra analogin till primtalen bland heltalen, varje heltal kan faktoriseras i primtal och varje polynom kan (över de komplexa talen) faktoriseras i förstagradsfaktorer. 3 betyder att man i vissa situationer får ytterligare en lösning gratis om man känner en lösning.

Lös 1120, 1121, 1123, 1124, 1125, 1128.

Följande film kan ni kika på som repetition av grundbegrepp som dyker upp i komplexa tal-sammanhang

2.1 Derivator (66-72)

Detta avsnitt innehåller inget nytt i förhållande till MaC och MaD. Det betyder iofs inte att alla problemen är särskilt enkla. Standardfunktionernas derivator och deriveringsreglerna ska redan "sitta" men att t.ex. teckna uttryck från text eller figur är alltid en utmaning.

Jag kommer att lägga ut lösningsskisser på uppgifterna från sida 72 på Wiki-sidan. Kika där om ni kör fast eller fråga!

Lös uppgifter på sid 71 efter behov. Dessutom 2013, 2014, 2015 om man satsar på högre betyg. 2016 är rätt seg så den skippas.

2.2 Asymptoter (sid 73-75)

Asymptoter (räta linjer som approximerar en graf allt bättre ju längre från origo man är) är ett instrument som man använder (ofta ihop med derivata) för att skaffa sig en kvalitativ bild av grafen till en funktion. Vi nöjer oss med att kika på vågräta och lodräta asymptoter, där de förstnämnda kan inträffa då $x \to \pm \infty$ och de sistnämnda i nämnarens nollställen. Man undersöker helt enkelt var funktionen blir av i dessa "lägen".

Lös 2017, 2018. Övriga skrotas.

2.3 Mer om derivata

Implicit derivering (sid 78-80)

En funktion kan vara given explicit, t.ex.

(23)

\begin{equation} y(x)=x^2. \end{equation}

Man kan då erhålla ett explicit uttryck för derivatan genom att derivera

(24)

\begin{equation} y'(x)=2x \end{equation}

Ibland är funktionen $y(x)$ given implicit (dvs. den ingår i ett uttryck) och det kan vara svårt eller omöjligt att lösa ut funktionen. Betrakta t.ex.

(25)

\begin{equation} y(x)^4+xy(x)=8 \end{equation}

där man i princip måste lösa en fjärdegradsekvation för att få $y(x)$ explicit. Men man kan ändå uttala sig om $y'(x)$ genom att helt enkelt derivera (map x) det uttryck som $y(x)$ ingår i (detta kallas implicit derivering). Notera att kedjeregeln och produktregeln används och vi får

(26)

\begin{equation} 4y(x)^3y'(x)+y(x)+xy'(x)=0 \end{equation}

Om man råkar känna till något om x och y(x) kan $y'(x)$ bestämmas. Lite småfiffigt!

Lös samtliga uppgifter på sid 80.

Tillämpningar av kedjeregeln (80-83)

Ingen ny matematik här, utan det handlar om att tillämpa kedjeregeln. I allmänhet går det ut på att läsa en text, teckna ett samband mellan storheter, hålla koll på vad som beror på vad, derivera detta samband och erhålla samband mellan förändringshastigheter och till sist peta in värden och räkna klart.

2032-2036, 2039, 2040, 2041, samt 2042, 2043 och 2044 om man har högre betygsambition.

2.4 Volymberäkningar med integraler

Areaberäkning med integraler (sid 84-85)

Detta är en snabbrepetition från MaD. Eftersom den är lite väl snabb kommer det på lektionen att utdelas lite extrauppgifter som man kan träna på. Man måste kunna baklängesderivera (bestämma primitiv funktion till) standardfunktionerna. Men inte minst viktigt för att förstå hur volymer kan beräknas är att förstå integralens definition som "summan av oändligt många oändligt små areor (eller hellre tal)". Kontemplera över detta!

Lös 2045 (ej 2045f), 2046 och utdelade uppgifter efter behov.

Allmänna volymsatsen (sid 86-88)

Läs först texten nedan om rotation runt x-axeln. Därefter konstaterar man att om man har koll på tvärsnittsarean $B(x)$ så kommer alltså $\pi f(x)^2$ som är tvärsnittsarean hos rotationskroppar att ersättas med just $B(x)$ och man får

(27)

\begin{align} V = \int_{a}^{b} B(x) dx. \end{align}

Lös 2047, 2049, 2051, 2052 men absolut INTE 2054 som förmodligen är felformulerad (eller mycket svår).

Rotation kring x-axeln med skivmetod (89-91)

Om man alstar en kropp genom att rotera en kurva $y=f(x)$ runt y-axeln ser det ut såhär (klicka runt lite så kommer en rotationskropp att alstras).

För att bestämma volymen skivar man upp kroppen med snitt vinkelräta mot x-axeln (det är som att skära upp en brödlimpa i smala skivor). Om skivorna är tunna kommer de nästan att ha formen av en cylinder med radie $f(x_i)$ och höjd $\Delta x$ (skivans tjocklek). För skivans volym $\Delta V_i$ gäller alltså

(28)

\begin{align} \Delta V_i \approx \pi f(x_i)^2 \Delta x \end{align}

Summerar vi alla skivors volym får vi något som approximerar hela rotationsvolymen

(29)

\begin{align} V \approx \sum \pi f(x_i)^2 \Delta x \end{align}

I bästa fall känner man igen detta som en Riemannsumma (som dyker upp i integralens definition) till funktionen $g(x)=\pi f(x)^2$. Låter vi nu skivornas bredd gå mot noll, och därmed deras antal mot oändligheten, övergår Riemannsumman i en integral och vi får volymens exakta värde:

(30)

\begin{align} \lim_{\Delta x \to 0}\sum \pi f(x_i)^2 \Delta x = \lim_{\Delta x \to 0} \sum g(x_i) \Delta x = \int_{a}^{b} g(x) dx = \int_{a}^{b} \pi f(x)^2 dx \end{align}

Lös samtliga uppgifter (2061 kan utelämnas om man inte har höga betygsambitioner).

Mer om rotationskroppar (sid 92-94)

Första handlar det om en enkel variant av det vi redan kan. Att rotera grafen till $y=f(x)$ runt linjen $y=k$ är, som man ganska enkelt övertygar sig om, ''detsamma'' som att rotera grafen till $y=f(x)-k$ runt x-axeln. Alltså ges rotationsvolymen av

(31)

\begin{align} V= \int_{a}^{b} \pi (f(x)-k)^2dx = \pi \int_{a}^{b} (f(x)-k)^2dx \end{align}

Observera att $\pi$ är en konstant som kan plockas ut utanför integraltecknet.

En generellare variant av ovanstående är att man låter området mellan två kurvor rotera. Det enklaste sättet att tänka är att man först bestämmer rotationsvolmen för den "yttersta'' kurvan och sedan från denna drar av rotationsvolymen av den ''innersta''. Med bokens beteckningar får man då

(32)

\begin{align} V= \pi \int_{a}^{b} f(x)^2 dx- \pi \int_{a}^{b} g(x)^2 dx = \pi \int_{a}^{b} (f(x)^2-g(x)^2) dx \end{align}

där den sista omskrivningen följer ur räkneregler för integraler (integralen av en summa är lika med summan av integralerna).

Ett vanligt och onödigt FEL är att man tror att volymen kan beräknas som

(33)

\begin{align} V=\pi \int_a^b (f(x)-g(x))^2 dx \end{align}

Detta blir en helt annan rotationskropp/volym, eftersom man här "trycker ner" området på x-axeln innan rotation. (Tänk efter!)

Lös samtliga uppgifter. Möjligen kan man strunta i 2067 eftersom vi gjort den på tavlan. Känner man inte igen detta påstående så löser man den!

Rotation kring y-axeln med skivmetoden (sid 94-96)

Kan man rotera runt en axel så kan man väl rotera runt den andra? Jodå det går bra. Om man skriver rotationsvolymen runt x-axeln, med $y=f(x)$, som

(34)

\begin{align} V= \pi \int_{a}^{b} f(x)^2 dx = \pi \int_{a}^{b} y^2 dx \end{align}

verkar det väl högst rimligt att motsvarande "formel" för rotation runt y-axeln blir

(35)

\begin{align} V= \pi \int_{a}^{b} x^2 dy \end{align}

Observera att man integrerar i y-led och att uttrycket $x^2$ måste skrivas om som ett uttryck i y.

Lös samtliga uppgifter utom 2069b. 2073 är frivillig.

Repetition

Om man får tid över kan man roa sig med följande uppgifter på sid 100-101:
Test 1: 2, 3, 5, 7
Test 2: 1, 2, 4, 6
Test 3: 1, 2, 3, 4, 5

Vill man ha (rejält) mer att bita i rekommenderas uppgifterna 24, 25, 26, 27 på sida 107. Till dessa finns lösningar på kurssidan. Min lösning på uppgift 24 måste gå att förbättra/förenkla. Hjälp mig!

3.1 Tolka och ställa upp differentialekvationer (sid 111-112)

Kanske minns ni att det i MaD fanns ett kort avsnitt om differentialekvationer. Nu ska vi bygga på detta.

En differentialekvation är ett samband mellan en (okänd) funktion och dess derivator. T.ex

(36)

\begin{equation} y'+y=x \end{equation}

Att lösa differentialekvationen innebär att bestämma alla funktioner $y$ som uppfyller ekvationen. Differentialekvationen ovan visar sig ha lösningarna

(37)

\begin{equation} y=Ce^{-x}+x-1 \end{equation}

Hur man tar fram detta kommer ni att lära er i kapitel 3.2. Att verifiera att det verkligen är en lösning kan ni redan. Derivera, sätt in, förenkla och kolla så det bara blir ett x kvar.

Differentialekvation är förmodligen det mest användbara verktyget för att modellera "verkligheten". Uppgifterna inledningsvis är några exempel på detta.

Lös samtliga uppgifter i Exponent. Dessutom kommer det att delas ut några extrauppgifter. Dessa gör man efter behov, t.ex. de inringade.

3.2 Differentialekvationer av första ordningen

Homogena differentialekvationer av första ordningen (sid 113-117)

Dessa har (efter eventuell omskrivning) utseendet

(38)

\begin{equation} y'+ay=0 \end{equation}

De är homogena eftersom det står noll i högerledet när alla termer med y och dess derivator flyttats till vänsterledet. Den är av första ordningen eftersom det förekommer förstaderivator men inga högre derivator. (Den är dessutom linjär och med konstanta koefficienter vilket boken underlåter att berätta.)

Genom derivering och insättning inser man att alla funktioner på formen

(39)

\begin{equation} y=Ce^{-ax} \end{equation}

löser differentialekvationen. Detta är också samtliga lösningar vilket boken reder ut på ett något krystat sätt på sida 114.

En sak som möjligen kan vålla problem bland uppgifterna är beteckningarna. I t.ex. uppgift 3010 minns man att

(40)

\begin{align} \dfrac{dP}{dt} = P'(t)=P' \end{align}

Sedan får man förstå att det inte är någon skillnad (matematiskt) om funktion heter P(t) eller y(x).

Lös 3006, 3008, 3010, 3012, samtliga enpilade men inte 3017.

Inhomogena differentialekvationer av första ordningen (sid 118-121)

Att differentialekvationen är inhomogen betyder att man kan ha vilken funktion av x som helst, g(x), i högerledet. Utseendet är alltså, efter eventuell omskrivning

(41)

\begin{equation} y'+ay=g(x). \end{equation}

En sådan differentialekvation löses i tre steg:

1) Bestäm samtliga lösningar $y_h$ till motsvarande homogena ekvation

(42)

\begin{equation} y'+ay=0. \end{equation}

Har man redan glömt hur det gick till får man läsa föregående rubrik.
2) Bestäm (på någon "vänster") en lösningen $y_p$ till den inhomogena ekvationen

(43)

\begin{equation} y'+ay=g(x). \end{equation}

Denna lösning kallas ofta partikulärlösning (till differentialekvationen), därför subindexet p.
3) Samtliga lösningar till den inhomogena ekvationen

(44)

\begin{equation} y'+ay=g(x) \end{equation}

fås nu genom $y=y_h+y_p$. Beviset för detta är kursivt, men ni får nog "genomlida" det på lektionen.

Det som kan vara lite knepigt är att hitta en partikulärlösning. I princip ansätter man något som ser ut som $g(x)$ och ''fixar till''. Se boken och lektionen för detaljer.

Lös 3018, 3019, 3020, 3021, 3022, 3023, 3024, 3025, 3027, 3029 och eventuellt 3030.

3.3 Diffentialekvationer av andra ordningen

Homogena differentialekvationer av andra ordningen (sid 122-128)

Dessa skiljer sig från differentialekvationerna i 3.2 i ett avseende, nämligen att de innehåller en andraderivata. Eftersom det alltså finns många likheter för övrigt (linjaritet, homogenitet, konstanta koefficienter) så blir lösningarna och lösningsmetoderna snarlika.

För att lösa

(45)

\begin{equation} y''+ay'+by=0 \end{equation}

bildar och löser man först dess karakteristiska ekvation

(46)

\begin{equation} r^2+ar+b=0. \end{equation}

(derivator ersätts alltså med r-potenser). Antag att denna ekvation har lösningarna $r_1$ och $r_2$. Tre olika fall kan uppstå (och i boken framgår någorlunda hur det hänger ihop):

Om $r_1 \neq r_2$ båda är reella så ges den allmänna lösningen av

(47)

\begin{equation} y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}. \end{equation}

Om $r_1 = r_2=r$ är reellt så ges den allmänna lösningen av

(48)

\begin{equation} y=(C_1x+C_2)e^{rx}. \end{equation}

Om $r_1 = s+ti$ och $r_2=s-ti$ är konjugerade och icke-reella så ges den allmänna lösningen av

(49)

\begin{align} y=e^{sx}(C_1 \sin tx + C_2 \cos tx). \end{align}

Detta sistnämnda fall är det som beskriver en svängande fjäder.

En ursäkt är också på sin plats. Här, liksom i kursen för övrigt, presenteras färdiga lösningsformler. Det är omatematiskt, tråkigt och lite pinsamt, men nu handlar det om att överleva ett Provbanksprov till vilket man inte behöver förstå så mycket om detta. Tyvärr! (Om man kikar på andra filmer under rubriken MaE från Matteskolan får man mer förståelse, men det räknas alltså som kursivt.)

Lös 3032a, 3033b, 3034, 3036, 3037, eventuellt 3039 (som är svår!), 3040b, 3041b, 3042, 3043, 3045, eventuellt 3046, 3047a, 3048b, 3049, 3050, 3053.

Inhomogena differentialekvationer av andra ordningen (sid 129-130)

Detta följer samma lösningsprincip som lösningen av första ordningens homogena. Man bestämmer samtliga lösningar $y_h$ till den homogena ekvation (noll i högerledet). Därefter bestämmer man en lösning $y_p$ till den inhomogena (ofta med en lämplig ansats). Slutligen får man samtliga lösningar på formen $y=y_p+y_h$.

Lös 3053, 3054, 3055, 3057, 3058, 3059

3.4 Numerisk lösning till differentialekvationer

Riktningsfält (sid 131-133)

Många (de flesta) differentialekvationer kan inte lösas exakt, dvs man kan inte finna ett explicit uttryck för funktionen y. I sådana fall får man nöja sig med approximativa/numeriska lösningar. Ett sätt att skaffa sig en kvalitativ bild av differentialekvationen och dess lösningskurvor är att rita riktningsfält. Dessa underlättar dessutom förståelsen av numeriska metoder, t.ex. Euler stegmetod (nästa rubrik).

Riktningsfält kan konstrueras till differentialekvationer som kan skrivas

(50)

\begin{equation} y'=F(x,y) \end{equation}

dvs. där derivatan kan "lösas ut". Det innebär att man i varje punkt i koordinatplanet kan bestämma hur en lösningskurva ska luta. Ritar man in sådana lutningar i ett antal punkter så har man alltså ett riktningsfält. Att göra detta för hand är tråkigt och tidsödande. Använd dator!

Euler stegmetod (sid 134-137)

Denna är tråkig att beskriva så ni får läsa själva i boken. I princip handlar det om att stegvis följa riktningsfältet.