MVG-uppgifter

Derivator av $\sin 2x$

Låt $f(x)=\sin 2x$ och låt $f^{(n)}(x)$ beteckna den funktion som fås om man deriverar $f(x)$ n gånger.

a) Bestäm $f''(x)$.

b) Bestäm $f^{(100)}(x)$

c) Beskriv hur $f^{(n)}(x)$ "ser ut" för godtyckligt n. Du får dela upp i olika fall och kan beskriva både med algebraiskt uttryck och med ord.

d) Betrakta differentialekvationen $f''(x)=-4f(x)$. Ange så många funktioner $f(x)$ som du kan komma på som uppfyller differentialekvationen.

Sinuskurvor

En allmän sinuskurva kan skrivas på formen

(1)
\begin{align} y=A \sin b(x+c)+d. \end{align}

där vi (i denna uppgift) arbetar i radianer.

a) Ge exempel på en sinuskurva som har största värde 8 och minsta värde 2.

b) Ge exempel på en sinuskurva som har största värde 8, minsta värde 2 och som går genom punkten $(\frac{\pi}{6}, 5)$.

c) Ge exempel på en sinuskurva som, utöver villkoren i b), också uppfyller att ekvationen $f'(x)=0$ har exakt tre lösningar i intervallet $0 \leq x \leq 2\pi$

d) Ange det minsta positiva värde på b som ger en kurva som uppfyller villkoren i c).

e) Finns det ett största värde på b som ger en kurva som uppfyller villkoren i c)?

$x^2$-kaka

X har en jämntjock, homogen kaka som har samma form som området mellan x-axeln och grafen till $y=x^2$ i intervallet $0 \leq x \leq 1$. Denna kaka ska X dela lika med mellan sig själv och sina kompisar.

X^2-kaka.png

a) Om X bara har en kompis, hur kan han då dela? (Området/kakan ska alltså delas i två delar med lika stora areor.)

b) Om X har två kompisar, hur kan han då dela?

c) Nu är det dags för det allmänna fallet. Antag att X har $n \geq 1$ kompisar. Hur kan han i så fall dela så att alla får lika stora bitar?

Trapetsapproximationer

Låt $f(x) = e^x$.

a) Bestäm med primitiv funktion ett exakt värde på

(2)
\begin{align} \int_{0}^{2} e^x dx. \end{align}

b) Bestäm ett approximativt värde på integralen ovan genom att dela upp i två intervall och använda trapetser.

c) Bestäm ett approximativt värde på integralen ovan genom att dela upp i fyra intervall och använda trapetser.

d) Vilken approximation hamnar närmast det korrekta värdet?

e) För att få ännu bättre approximationer delar man upp i trapetser över fler intervall. Motivera varför man, i fallet då $f(x)=e^x$, får bättre närmevärde till integralen för varje dubblering av antalet intervall.

f) Konstruera en funktion $g(x)$, antingen algebraiskt eller genom att skissa en graf, så att man vid något tillfälle då man dubblerar antalet intervall i sin trapetsapproximation faktisk får ett sämre närmevärde till $\int_0^2 g(x) dx$.

Anm. I samliga fall ska intervallen i respektive uppdelning vara inbördes lika långa.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License