matematik-d-vt11-ht11:detaljplan

1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 3.3 3.4

HT11

Vårens skåpmat (snabbrepetition)

Som ni kanske minns (annars kolla ovan) så tog vi oss igenom kapitel 3.1 till 3.3 under våren. Det är lämpligt att genast friska upp minnet beträffande derivator, deriveringsregler och primitiver. Detta gör man på egen hand (och då och då). Istället för att genast ge er i kast med boken för denna repetition kan ni försöka er på en Funktionslek (öppna genom att klicka). Det blir repetition och "pyssel" på samma gång.

1.1 Från rätvinkliga till godtyckliga trianglar

Trigonometrin i rätvinkliga trianglar (sid 8-11)

För att definiera $\sin$, $\cos$ och $\tan$ för vinklar mellan 0 och 90 grader utgår man från rätvinkliga trianglar. Indata är vinkeln i ett orät (ok, det kan nog inte heta så men jag kom inte på något bättre) hörn och utdata är kvoter av sidlängder.

Lös alla uppgifter.

Två speciella trianglar (sid 12)

I viss rätvinkliga trianglar kan man bestämma $\sin$, $\cos$ och $\tan$ exakt. Det handlar om likbent respektive halv liksidig triangel. Man behöver inte lära sig värdena utantill, utan de kan t.ex. hämtas från sista sidan på standardformelbladet. Däremot kan man träna sin förståelse och lite räkningar genom att ta fram värdena.

Lös a-uppgifterna, det räcker, fast spara hela avsnittet till efter helgen!

Godtyckliga trianglar (sid 13-17)

Vill man räkna ut t.ex. $\sin 135^{\circ}$ får man problem med vår definition, några rätvinkliga trianglar med trubbiga vinklar låter sig inte ritas. Istället gör man en "ny" definition av $\sin$, $\cos$ och $\tan$ med hjälp av enhetscirkeln (cirkel med radie 1). Man kan då bestämma t.ex. $\sin v$ för vilken "vinkel" som helst (t.o.m. negativ eller "jättetrubbiga", dvs mer är $180^{\circ}$).

Här finns en enhetscirkel i GeoGebra: Enhetscirkel

Man observerar sedan att våra ny definition överensstämmer med den gamla om man håller sig i första kvadranten.

Lös alla uppgifter.

1.2 Triangelsatserna

Areasatsen (sid 18-20)

Detta är en ganska "sketen" (enkel) sats, som fungerar i alla trianglar. Man utgår från areaformeln för en triangel

(6)
\begin{align} T=\frac{b \cdot h}{2} \end{align}

(ja jag får kalla arean för T om jag vill, och det vill jag) och skriver om triangelns höjd (man kan välja vilken av de tre möjliga höjderna som helst) med sinus och får

(7)
\begin{align} T=\frac{b \cdot c \cdot \sin A}{2} \end{align}

med bokens beteckningar. Det är bättre att lära sig hur man tar fram areaformeln än att lära sig den utantill. Observera att areaformeln fungerar också om vinkeln $A$ är trubbig. Det beror på att $\sin(180-A)=\sin A$, vilket inses genom att kika i enhetscirkeln.

Lös samtliga uppgifter. Fast kom ihåg approximationen a $\approx$ G, b $\approx$ VG, c $\approx$ MVG, så man får känna efter vad man har för ambition och ork, och eventuellt ta bort "svåra" uppgifter.

Sinussatsen (sid 21-22)

Om man känner tre vinkel- eller längdmått i en triangel är den "oftast" entydigt bestämd och man kan med trigonometri bestämma övriga mått. Undantagen från denna regel är

1. Om man känner tre vinklar så är triangeln bestämd till form men inte storlek.

2. Om man känner två sidor och icke-mellanliggande vinkel kan det finnas två olika trianglar med dessa mått (men måste inte). Detta hanteras i boken på sid 23-27.

Sinussatsen, i en triangel med bokens beteckningar, lyder

(8)
\begin{align} \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} \end{align}

Den fungerar i alla trianglar och är användbar om man känner till en vinkel och dess motstående sida plus ytterligare ett mått. Beviset av satsen är en direkt följd av areasatsen. Man skriver upp arean på tre sätt och förlänger med 2/abc.

Lös samtliga uppgifter.

När ger sinussatsen två fall? (sid 23-27)

Som ni minns så har ekvationen

(9)
\begin{align} \sin v = a \end{align}

"oftast" två lösningar i intervallet $0 < v < 180$ (vilka undantag finns?). Geometriskt och lite slarvigt formulerat svarar detta mot att vissa trianglar inte blir entydigt bestämda, en vinkel i triangeln kan vara $v$ eller $180-v$ t.ex.

I tabellen på sida 23 finns de olika möjligheterna uppradade med tillhörande villkor på sidor och vinklar. Detta är inget att lära sig utantill, det är bättre att vara vaksam när man löser uppgifterna och rekonstruera situationerna vid behov. Det kan vara bra att inledningsvis, t.ex. genom en skiss eller i GeoGebra, försöka skaffa sig en uppfattning om vilka och hur många trianglar som kan vara möjliga.

Lös samtliga a-uppgifter samt UDDANUMRERADE b- och c-uppgifter.

Cosinussatsen (28-32)

Detta är den sista av de trigonometriska satserna (areasatsen, sinussatsen, cosinussatsen). Den är användbar t.ex. om man i en triangel känner två sidor och mellanliggande vinkel och vill ta reda på återstående sida och vinklar. Kom ihåg att en triangel är entydigt bestämd av just två sidor och mellanliggande vinkel så det uppstår inte samma problem som med trianglarna i förra avsnittet. Varför kan man förresten inte "fläska på" med sinussatsen om man känner två sidor och mellanliggande vinkel?

Såhär ser cosinussatsen ut (med bokens beteckningar):

(10)
\begin{align} c^2 = a^2+b^2-2ab \cdot \cos C \end{align}

Observera att om vinkel C är rät så blir $\cos C=0$ och cosinussatsen kokar ner till gamla hederliga Pythagoras sats ($c^2=a^2+b^2$). Ett slarvigt sätt att formulera detta är att cosinussatsen är en "tillfixad" variant av Pythagoras sats som fungerar i alla trianglar (trubbvinkliga såväl som spetsvinkliga).

Uppgifterna 1256 och 1257 kan vara lite besvärliga, inte trigonometriskt utan för att de utspelar sig i tre dimensioner. Pythagoras sats i tre dimensioner kommer väl till pass. Tänk först, men om du kör fast kan du kolla in mina lösningar på nämnda uppgifter.

Lös samtliga a-uppgifter (eller kolla i alla fall igenom), dessutom 1249, 1250, 1252, 1254a, 1256, 1257.

Blandade uppgifter (sid 33-36)

Precis som i en godispåse så finns det i detta avsnitt några fina och blandade matematiska karameller. Vissa karameller är sura, i den meningen att de inte är så enkla att lösa. Men det betyder ju inte automatiskt att de ska undvikas. Vi gör ett urval. Undertecknad tyckte att 1277 och 1278 var något att bita i, så misströsta inte om ni inte får ut dem direkt. Observera också att c-uppgifterna finns lösta här. Titta inte innan ni försökt på allvar själva.

Lös 1260, 1263, 1265, 1268, 1270, 1271, och för de ambitiösa dessutom 1273, 1275, 1276, 1277, 1278.

1.3 Trigonometriska formler

De trigonometriska funktionerna för godtyckliga vinklar, enhetscirkeln och formler (sid 39-42)

Den minnesgode kommer ihåg att vi sysslade med detta i våras, så det får räknas som repetition. Ta för vana att rita en enhetscirkel varje gång ni känner er minsta osäker på hur det funkar. Det är bättre att rita en för mycket än en för lite!

Klickar du på knappen nedan öppnas en enhetscirkel i GeoGebra.

Lös uppgifter efter behov.

Trigonometriska identiteter (sid 43-46)

Som ni har upptäckt, och kommer att upptäcka, finns det en mängd samband mellan olika trigonometriska uttryck. Man reder ut ett antal sådana samband utifrån enhetscirkeln (se till så att ni kan detta), och sedan kan alla andra härledas genom algebraiska manipulationer.

En central "formel" är den så kallade trigonometriska ettan som säger att

(11)
\begin{align} \sin^2 v + \cos ^2 v =1 \end{align}

för alla vinklar v. Beviset följer av definitionen av sin och cos i enhetscirkeln och Pythagoras sats. Observera att man av lathetsskäl har infört notationskonventionen

(12)
\begin{align} \sin^2v = (\sin v)^2, \cos ^2 v = (\cos v)^2. \end{align}

Detta sistnämnda är alltså inget man kan bevisa utan som man bestämt!

En typisk uppgift kan sedan vara att t.ex. visa att

(13)
\begin{align} \frac{1}{\cos^2v}-\tan^2 v = 1 \end{align}

Det är oftast enklast att börja med den "sunkigaste" sidan och försöka skriva om det till den mindre "sunkiga". I exemplet ovan startar man i så fall med vänsterledet och försöker skriva om det (utan att bryta mot några regler) till talet 1.

I vissa svårare problem kan det vara så att båda sidorna är "sunkiga". En möjlig strategi kan i så fall vara att flytta över allt på en sida, få ett "supersunkigt" uttryck som man sedan ska visa är noll.

En annan typ av uppgift på dessa sidor är att växla mellan sin och cos utan att bestämma vinklar på vägen. T.ex. kan man fråga sig vilka värden $\cos v$ kan anta om man vet att $\sin v = 0.5$. Man skissar en enhetscirkel och ser att två värden kan komma ifråga (om det i uppgiften står ett vilkor på vinkeln kan ibland enbart ett värde komma ifråga). Dessa kan sedan bestämmas med trigonometriska ettan.

Lös samtliga a-uppgifter samt 1317b, 1319b, 1320, 1322, 1324, 1325, 1329, 1331, 1333, 1335.

Addition- och subtraktionsformler för sinus och cosinus (sid 47-49).

Till sin samling av trigonometriska identiteter bör man lägga de så kallade additionsformlerna. Man kan t.ex. ha nytta av dessa när man överlagrar sinus- och cosinuskurvor i fysiken, och i samband med lösning av vissa ekvationer. Det är lätt att glömma formlernas exakta utseende så man kollar upp dem i t.ex. formelblad vid behov. Det viktiga är att veta när och hur de kan användas och eventuellt känna till hur man plockar fram dem/bevisar dem. Någon kan ju faktiskt ha snott ens formelblad!

Den "jobbiga" formeln att ta fram, om man gör som boken, är

(14)
\begin{align} \cos(u-v)= \cos u \cos v+\sin u \sin v. \end{align}

Denna bevisar man genom att uttrycka ett avstånd mellan två punkter på två sätt, dels "direkt" med Pythagoras sats, dels med cosinussatsen. Sen flyttar man om lite … . När man är klar med ovanstående följer övriga ganska lätt, man byter v mot -v och man använder t.ex. att $\cos v = \sin(90-v)$. Som vanligt går det bra att använda formlerna utan att känna till beviset. I själva verkat ska alla kunna använda dem medan beviset ligger på MVG-nivå, i alla fall av den ursprungliga additionsformeln.

De som är intresserade av bevisen kan kolla in Anders Karlssons YouTubeklipp. Han bevisar alla fyra varianterna och gör ett bra jobb som vanligt.

Lös a-uppgifterna samt 1343, 1344, 1346, 1348, 1350

Formler för dubbla vinkeln (sid 50-51)

Detta är inget nytt utan en följd av de framplockade additionsformlerna. I likheten

(15)
\begin{align} \sin(u+v)=\sin u \cos v + \sin v \cos u, \end{align}

som gäller för alla u och v, är det ju möjligt att sätta $u=v$. Då fås

(16)
\begin{align} \sin 2u = \sin(u+u)= \sin u \cos u + \sin u \cos u= 2 \sin u \cos u. \end{align}

Detta är formeln för dubbla vinkeln för sinus. På motsvarande sätt plockar man fram en formel för cosinus av dubbla vinkeln.

Lös samtliga uppgifter, c-uppgifter efter ambitionsnivå.

1.4 Trigonometriska ekvationer

Grundekvationer (sid 53-57)

Det finns, av naturliga skäl, tre grundläggande varianter,

(17)
\begin{align} \sin x= \textrm{konstant}, \, \cos x= \textrm{konstant}, \, \tan x= \textrm{konstant}. \end{align}

Av för mig okända och obegripliga skäl behandlas bara de två förstnämnda i boken. Därmed sätter vi tangensvarianten inom parentes och sparar den till senare (eller aldrig).

Som vanligt vid ekvationslösning gäller det att få x:et fritt. Det väsentliga är att komma ihåg att man kan få oändligt många lösningar, i princip två för varje varv och sedan kan man ju "snurra". Man kan inte anta att t.ex. x är en vinkel i en triangel, utan ALLA möjliga x-värden måste presenteras.

Som vanligt är det helt avgörande att man förstår hur det fungerar i enhetscirkeln. Då blir ekvationslösningen logisk och ganska enkel, och man förstår varför det blir lite olika hantering beroende på vilken trigonometrisk funktion som är inblandad.

Man kan, nästan som vanligt, kolla in Anders Karlsson när han löser grundekvationer. Han håller på att göra mig arbetslös!

Lös samtliga a-uppgifter, 1412cd, 1415, 1416, 1417 samt 1418, 1419, 1420 om man har MVG-ambitition (man kan skippa några av a-uppgifterna om man istället gör c-uppgifterna).

Ekvationer som omformas med formler (sid 58-59)

Egentligen inget nytt här, men ändå inte helt lätt. Man måste dels ha koll på sina trigonometriska omskrivningar, dels på ekvationslösning. Det är omöjligt att formulera en taktik som fungerar alltid men här kommer några tips:

1425 Om en ekvation med faktorer är noll så måste en faktor vara noll. Multiplicera inte ihop!

1431 Detta är en andragradsekvation i "enheten" $\sin x$. Alltså sätter vi $t=\sin x$, löser en andragradsekvation i t och bestämmer sedan x utifrån eventuella t-värden.

1432 Fixa till så att "enheten" blir $\sin x$. Observera att det är sämre att "byta in" $\cos x$ (varför?).

1433 Kan man få en faktor $\sin 2x$ i högerledet? Om man lyckas med detta, flytta över allt till en sida! Kom ihåg att det är obra att dividera med uttryck med x. De kan ju vara noll!

Lös a-uppgifterna, 1431, 1432, 1433, 1436, 1437, 1439.

2.1 Trigonometriska kurvor

Sinus- och cosinuskurvor, förskjuta kurvor vertikalt och horisontellt, ekvationen för en sinusformad kurva (74-83 men inte 78)

De trigonometriska funktionerna är användbara i andra sammanhang än de rent geometriska. Om man låter en vikt hänga i en svängande fjäder och ritar grafen med viktens avvikelsen från jämvikt på y-axeln och tiden på x-axeln kommer man att få en sinuskurva (om man bortser från t.ex. luftmotstånd, i annat fall dämpas svängningen). Ett annat exempel är ljudvågor som också beter sig som en sinuskurva (även om svängningarna här motsvarar kontraktioner i rörelseriktningen).

För att konstruera en "originalkurva" $y = \sin x$ eller $y = \cos x$ snurrar man runt i enhetscirkel, sätter av vinklar på x-axeln och motsvarande sinusvärden (eller cosinusvärden) i y-led. Prova själv i denna GeoGebrakonstruktion

Från enhetscirkel till de trigonometriska funktionerna

I denna applikation kan man också se hur man löser de så kallade grundekvationerna och hur detta ser ut i förhållande till de trigonometriska kurvorna. Bocka i någon av rutorna uppe till höger för att "lösa ekvationer".

Genom att "lägga på" diverse konstanter

(18)
\begin{align} y=a \sin (b(x-v))+ c \end{align}

kan man sedan flytta, sträcka ut och trycka ihop "originalkurvan" på olika sätt. Testa själv i denna GeoGebrakonstruktion

y=a sin (b(x-v))+c

Se till så att sinusrutan är ikryssad och flytta det lodräta reglaget längst ned. Då får du den allmänna kurvan. Ändra sedan på parametrarna en i taget och observera hur kurvan ändras (i förhållande till originalet). Försök också förstå varför det blir som det blir.

Lös på sida 77; alla a-uppgifter, 2108, 2109, 2111, 2113, 2114
på sida 81; alla a-uppgifter, 2127, 2129, 2130, 2132, 2135
på sida 83; 2138, 2139, 2140, 2143, 2144

Kurvan $y=\tan x$ (sid 84-85)

Hitintill har vi främst studerat sinus och cosinus. Nu är det dags för den sista trigonometriska funktionen, tangens.

Man ska kunna lösa ekvationer av typen $\tan x = k$ (med varianter). Se gärna Anders Karlssons klipp ovan i detta ärendet. Man noterar att $\tan x$ anger lutningen vid vridningsvinkel x, så man får till grundekvationen två lösningar per varv som ligger mitt emot varandra i enhetscirkeln. Samtliga lösningar fås genom att man hittar en lösning (t.ex. med hjälp av räknedosa) och lägger på halvvarv, $n \cdot 180^{\circ}$.

Man ska också skaffa sig lite känsla för grafen till funktionen $y=\tan x$. Kika gärna här (dra glidaren i mitten till tan-kurva)

Från enhetscirkel till de trigonometriska funktionerna

Observera att grafen (kurvan) har en period på $180^{\circ}$ och att $\tan x$ inte är definierat för $x = 90^{\circ} + n \cdot 180^{\circ}$. Detta beror i sin tur på att $\cos x = 0$ för dessa x-värden.

Lös samtliga a-uppgifter, 2156a, 2158, 2160 samt eventuellt 2161, 2163.

Kurvan $y=a \sin x + b \cos x$ (sid 86-87)

Om man ritar grafen till funktionen $y=2 \sin x + 3 \cos x$ blir man kanske lite överraskad. Det ser ut som en sinuskurva på formen $y=a \sin (x+v)$ (Obs, vi kör med +v som boken)! Hur kan det komma sig och vad är a (som vi kan anta >0) och v?

Förklaringen får man om man kör additionsformeln för sinus baklänges. Vi skriver upp vårt önskemål, vecklar ut och bestämmer a och v.

(19)
\begin{align} 2 \sin x + 3 \cos x = a \sin (x+v) = a(\cos v \sin x + \sin v \cos x)=a \cos v \sin x + a \sin v \cos x \end{align}

För att få likheten att stämma (för alla x) måste

(20)
\begin{cases} a \cos v =2\\ b \sin v =3 \end{cases}

Efter omskrivningar (se boken) fås

(21)
\begin{align} a = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}\\ \tan v = 3/2 \textrm{ med kvadrantkontroll!} \end{align}

Med kvadrantkontroll menas att man måste ha koll på vilken kvadrant v hamnar i. I vårt exempel ser vi att såväl $\sin v$ som $\cos v$ är positiva så v ligger i första kvadranten. Alltså

(22)
\begin{align} \tan v = 3/2 \Leftrightarrow v = \arctan (3/2)= 56,3^{\circ} \end{align}

Sammantaget har vi alltså

(23)
\begin{align} y=2 \sin x + 3 \cos x = \sqrt{13} \sin (x+56,3) \end{align}

Anmärkning: För att metoden ska fungera är det viktigt att argumenten i sin och cos i det ursprungliga uttrycket är samma. Vi kan alltså skriva om $2 \sin 2x + 3 \cos 2x$ på formen $a \sin 2(x+v)$ men inte $2 \sin x + 3 \cos 2x$!

Nedan finns ett klipp där Anders Karlsson istället skriver om som consinuskurva. Det fungerar i princip likadant och ett påseende av klippet fördjupar säkert förståelsen.

Lös a-uppgifterna, resten skippas. När det efterfrågas grafisk lösning, använd GeoGebra eller räknedosa.

2.2 Radianbegreppet

Ett nytt vinkelmått (sid 88-91)

Vad som menas med ett varv är knappast oklart eller något som kan missuppfattats. Men varför ska man, vid vinkelmätning, dela upp varvet i 360 grundenheter (så kallade grader)? Det finns inget matematiskt skäl till detta. I själva verket är det ganska ologiskt för oss. Att det ändå blivit så kan vi skylla på babylonierna och möjligen på det faktum att det går drygt 360 dygn på ett år.

Ett av matematiska skäl bättre vinkelmått är radianer (t.ex. blir vissa deriveringsregler enklare). Man utgår från en enhetscirkel och säger helt enkelt att en vinkel är lika många radianer som motvarande cirkelbåge är lång. Eftersom enhetscirkelns omkrets är $2 \pi$ så kommer alltså ett varv att utgöras av $2 \pi$ radianer.

Att växla mellan grader och radianer är en "bit kaka", eftersom

(24)
\begin{align} 1 \textrm{ grad} = \frac{2 \pi}{360} \textrm{ rad} = \frac{\pi}{180} \textrm{ rad} \end{align}

och

(25)
\begin{align} 1 \textrm{ rad} = \frac{180}{\pi} \textrm{ grader} \end{align}

Notera att man ofta utelämnar enheten radianer. Man talar om och skriver vinklar som t.ex. $\frac{\pi}{2}$ (vinkeln är alltså 90 grader).

Observera att bortsett från enhetsbytet fungerar allting precis som tidigare, graferna blir likadana (fast enheterna på x-axeln ändras), ekvationer löses på samma sätt (fast man svarar i radianer och lägger t.ex. på varv med $n 2 \pi$).

Lös samtliga a-uppgifter samt 2213, 2214, 2217 och eventuellt 2219.

Cirkelsektorns båge och area (sid 92-93)

Jag kommer inte på något att skriva om detta. Se bok eller Anders Karlssons klipp nedan.

Lös samtliga a-uppgifter samt 2224, 2225, 2227 och eventuellt 2229.

2.3 De trigonometriska funktionernas derivator

Derivatan av $\sin x$ och $\cos x$ (95-96)

Detta avsnitt kan man hantera på två sätt. Antingen ett mycket omatematiskt men ändå tillräckligt för G, eller ett mer matematiskt där man försöker förstå varför det blir som det blir.

I det förstnämnda fallet lär man sig att

(26)
\begin{align} D(\sin x) = \cos x \textrm{ och } D(\cos x) = -\sin x \end{align}

Möjligen kan man övertyga sig om detta genom att kika på respektive graf och hur den lutar i olika punkter. Sedan tränar man de gamla hederliga deriveringsreglerna (produkt, kvot, sammansatt funktion) i fall då trigonometriska funktioner ingår.

Strävar man mot högre betyg är det alltså säkrast att försöka förstå. Först noterar man att derivatan av cos får man ganska enkelt genom omskrivningar så svårigheten är att derivera sin.

Man har nu inget annat val än att utgår från derivatans definition och försöka bestämma detta gränsvärde. På vägen i räkningarna nyttjar man additionsformlerna (se bok för dessa steg). Slutligen återstår ett par problematiska gränsvärden som måste bestämmas, nämligen

(27)
\begin{align} \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \textrm{ och } \lim_{h \to 0} \frac{\cos h -1}{h} \end{align}

I bifogad GeoGebrakonstruktion kan ni förhoppningsvis se hur det hänger ihop. Det knepiga kan vara att tolka gränsvärdena geometriskt, när väl detta är gjort är det ganska lätt att se vad man kan förvänta sig.

Lös samtliga uppgifter utom 2313 och 2317. Som vanligt kan c- och eventuellt b-uppgifter skippas om man inte siktar mot de högre betygen.

Derivatan av sammansatta funktioner (98-99)

Detta stötte vi på redan i våras, men då undvek vi alla uppgifter med trigonometriska funktioner. Nu är det dags att ge sig på dem. Text om kedjeregeln finns här.

Lös samtliga uppgifter utom 2332 och 2336.

Tillämpningar och blandade problem (sid 100-104)

Ingen ny matematik, däremot handlar det om att omsätta text till matematik och tvärtom. I vissa uppgifter kan det vara lämpligt att arbeta med räknedosan (rita grafer etc.). Vi löser bara ett urval av uppgifterna.

Lös 2338, 2339, 2341 (delvis med räknare), 2344, 2347 (med räknare), 2348, 2350, 2354 (med räknare), 2356.

3.1 Derivator och deriveringsregler

Kapitel 3.1-3.3 behandlades under våren, men eftersom vi då inte kände till de trigonometriska funktionerna hoppades uppgifter innehållande dem över. Nu (oktober) är det lämpligt att friska upp deriveringsregler genom att arbeta med "överblivna" problem. Det är inte nödvändigt att göra alla, utan bara så många så att ni känner er säkra på kedjeregel, deriveringsregler för produkt och kvot, andraderivatan och bestämmande av primitiv funktion. Följande uppgifter kan ni välja bland (fast tänk efter så ni kan derivera också de "gamla" funktionerna):

3104b, 3105a, 3106b, 3109a, 3110, 3111
3119, 3121, 3122, 3124, 3125, 3129
3136b, 3137, 3138, 3141
3146b, 3147cd, 3148cd, 3153abc, 3158
3223
3310, 3313
3323, 3327cd, 3331
3341c, 3343

Kort om derivator (sid 121-124)

Detta är till största delen en snabbrepetition av MaC. Undantaget är andraderivatan $y''$ (som man får genom att derivera två gånger) och derivatorna av $\sin$ och $\cos$ som behandlats i bokens tidigare kapitel (och hoppas över för nu).

Lös 3103, 3104acd, 3105b, 3106a, 3107, 3108a, 3112a, 3113a, 3114 samt 3116 och 3117 om man har hög ambition.

Derivatan av en produkt (sid 126-128)

Minns att summor och differenser får deriveras termvis, dvs

(28)
\begin{align} D(f+g)=D(f)+D(g),\, D(f-g)=D(f)-D(g) \end{align}

Leibniz, som inte var vem som helst precis, trodde i något ögonblick att produkter kunde deriveras faktorvis. Testa att "derivera" $f(x)=x^2=x \cdot x$ på detta sätt, och se att det inte blir $2x$. Efter lite eftertanke och kanske resonemang som utgick från derivatans definition insåg Leibniz att följande fungerar;

(29)
\begin{align} D(f \cdot g) = D(f) \cdot g + f \cdot D(g). \end{align}

Ni kan vänta med att tänka igenom "beviset" och först lösa ett antal uppgifter där ni använder regeln.

Lös 3120, 3123, 3126, 3127, 3128, 3130 samt 3132a. Det blev inte så många a-uppgifter. Vill ni ha lite mer träning kan ni derivera (använd produktregeln)

(30)
\begin{array} {ll} a) & (2+x^{3})(x+x^2) \\ b) & x^3 e^{2x} \\ c) & 2^x \cdot 3^x \end{array}

Derivatan av en kvot (sid 130-131)

Observera att jag använder den praktiska beteckningen $D$ för derivata, dvs $D(f)=f'$. Eftersom det finns en "regel" för att derivera produkter är det inte otänkbart att det finns en "regel" också för kvoter. Här kommer den:

(32)
\begin{align} D \left( \frac{f}{g} \right) = \frac{D(f)\cdot g - f \cdot D(g)}{g^2}. \end{align}

Bokens bevis bygger på produktregel och kedjeregel och det kan ni vänta med. Istället blir det träningsläger!

Lös 3134, 3135, 3136a, 3139, 3140. Om detta inte räcker kan man öva sig med att derivera följande:

(33)
\begin{array} {ll} a) & \dfrac{x^2+x}{x^2-x} \\ b) & \dfrac{e^{2x}}{x^3} \\ c) & \dfrac{x^2}{2^x} \\ d) & \dfrac{\sqrt{x}}{x^{3/2}} \end{array}

Några andra uppgifter att tänka på

Derivatan av sammansatta funktioner (98-99)/Följder av kedjeregeln (sid 133-134)

Denna deriveringsregel introducerar boken i avsnittet om trigonometriska funktioner. Eftersom vi sparar dessa får man nöja sig med ett litet urval från sid 98-99 och ett större från 132-134.

En sammansatt funktion har formen

(40)
\begin{equation} f(g(x)). \end{equation}

Ett exempel är $(x^2+1)^{10}$ där $g(x)=x^2+1$ är den inre funktionen och $f(u)=u^{10}$ är den yttre funktionen. Sätter vi in g(x) som u fås alltså den sammansatta funktionen

(41)
\begin{equation} f(g(x))=(x^2+1)^{10} \end{equation}

Sådana sammansättningar deriveras som följer:

(42)
\begin{align} (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \end{align}

Lite löst kan man tolka det som yttre derivatan gånger den inre derivatan. I exemplet får vi

(43)
\begin{align} D((x^2+1)^{10})=10(x^2+1)^{9} \cdot 2x. \end{align}

Med hjälp av kedjeregel visar boken (sid 132) att

(44)
\begin{align} D(\ln x)=\dfrac{1}{x}. \end{align}

Lös 2320b, 2328a, 3145, 3147ab, 3148ab, 3149ab, 3150, 3151, 3152, 3153d, 3154, 3155, 3156, 3157 samt eventuellt 3159 och 3160.

Samband mellan förändringshastigheter (sid 135-136)

Detta är i princip användning av kedjeregeln, fast man måste hantera "okända" funktioner i sin derivering. Momentet återkommer i E-kursen och vi gör ett urval av uppgifter nu.

Ett exempel (lite krystat och där notationen inte är exakt som boken): Arena av en kvadrat ökar med 5 $cm^2/s$. Hur fort ökar sidlängden i det ögonblick ($t = t_0$) då sidan är 10 cm? Vi vet (såklart) att

(45)
\begin{equation} A(t)=s(t)^2 \end{equation}

Eftersom det efterfrågas hastighet deriverar vi ovanstående med avseende på t och får

(46)
\begin{align} A'(t)=2\cdot s(t) \cdot s'(t) \end{align}

Observera användningen av kedjeregeln då högerledet deriveras. Insättning av kända värden ger nu

(47)
\begin{align} 5=2 \cdot 10 \cdot s'(t_0) \end{align}

ur vilket $s'(t_0)$ enkelt kan bestämmas.

Principen är alltså att man tecknar ett samband för storheter (som var och en t.ex. beror på tiden). Detta samband deriveras sedan och man erhåller ett samband mellan motsvarande derivator/förändringshastigheter.

Lös 3163, 3164, 3165, 3166.

3.2 Derivator och grafer

Första- och andraderivatan och grafen (sid 137-144)

Vad förstaderivatan säger om grafen bör vara bekant från MaC, medan vad andraderivatans säger om grafen är nytt. Lite slarvig kan man säga att andraderivatar anger hur det "buktar". Om $y''>0$ buktar grafen nedåt ("hänger nedåt") medan den buktar uppåt om $y''<0$. Tänk efter varför det blir så! Ha i minnet att andraderivatan anger derivatans växande och avtagande.

Man kan använda andraderivata för att avgöra om ett nollställe till derivatan är lokalt max eller min (och alltså spara in på en teckenstudie) enligt följande: Om $y''>0$ är det fråga om lokalt min (lekskolepedagogik: positiv andraderivata ger glad graf) och om $y''<0$ är det fråga om max (lekskolepedagogik: negativ andraderivata ger ledsen graf).

Observera att om $y''=0$ kan inget sägas, punkten i fråga kan vara max, min eller terrass. Man får använda t.ex. teckenstudie istället.

Lös 3202, 3203, 3204, 3205, 3207, 3208, 3211, 3212, 3214, 3215, 3217, 3219, 3224, 3225 samt c-uppgifter UTOM 3227 efter ambitionsnivå.

Numerisk ekvationslösning (sid 145-148)

Här presenteras två metoder för att lösa ekvationer numeriskt. Det betyder att lösningen inte nödvändigtvis blir exakt, men å andra sidan kan man behandla nästan vilka ekvationer som helst.

Metoden med intervallhalvering är enkel att förstå men inte så effektiv. Newton-Raphsons metod, å andra sidan, blandar in derivator, är lite svårare att förstå (kanske), men överlägset mer effektiv. Bäst känsla får man genom att tänka och testa geometriskt. Här finns en GeoGebrafil för detta ändamål. Använd glidaren för att genomföra iterationen. Ni kan ändra både funktion och startvärde för iterationen.

Lös 3234, 3236, 3239, 3241, 3245 (enbart ln).

3.3 Från derivata till funktion

Differentialekvationer (sid 149-151)

Med en ekvation menas ett algebraisk samband mellan tal, där det ingår ett okänt tal, som ofta ska bestämmas, t.ex.

(48)
\begin{equation} 2x+3=0 \end{equation}

En differentialelkvation är ett algebraiskt samband mellan funktioner, där det ingår en okänd funktion och dess derivator, t.ex.

(49)
\begin{equation} 2y-y'=0 \end{equation}

Att lösa differentialekvationen betyder att bestämma funktionen y. I fallet ovan ser man kanske att t.ex. $y=e^{2x}$ fungerar (men det finns fler).

Skälet till att diffentialekvationer är intressanta också för en icke-matematiker är att många naturvetenskapliga modeller blir just differentialekvationer. Ett intressant exempel vars modellering och lösning ligger långt utanför gymnasiekursen är brachistochrone-kurvan. Som vanligt har Newton ett finger med i spelet!

I matematik E blir det lite mer om differentialekvationer.

Lös 3303, 3304, 3306, 3308, 3312, 3314, 3318 eventuellt.

Primitiva funktioner (sid 153-155)

Den enklaste typen av differentialekvationen man kan tänka sig är nog $y'=f(x)$, där $f(x)$ är en given funktion och $y(x)$ (kommer att skrivas $F(x)$ framöver) den funktion som sökes. Situationen är alltså den att vi känner till en funktions derivata och söker själva funktionen. Man löser detta genom att (helt enkelt) ''baklängesderivera'' $f(x)$, eller med korrektare språkbruk ta primitiv funktion till $f(x)$. Om man är slängd på derivering så kommer bestämmande av primitiv funktion vara relativt smärtfritt.

Låt oss ta ett exempel: Bestäm samtliga (observera, det finns många) primitiva funktioner till

(50)
\begin{equation} f(x)=2x. \end{equation}

Man inser efter lite eftertanke att en primitiv funktion (skrivs med stor bokstav) är

(51)
\begin{equation} F(x)=x^2. \end{equation}

Finns det fler? Ja, alla funktioner på formen

(52)
\begin{equation} F(x)=x^2+C \end{equation}

där C är en godtycklig konstant duger. Man kan visa (överkurs) att det inte finns fler, så lösningstekniken blir att hitta en specifik primitiv funktion och sedan lägga till konstanten C till denna.

Primitiva funktioner är mycket användbara i olika sammanhang, men mer om detta längre fram. Nu får ni hålla till goda med träning!

Lös 3321, 3322, 3324, 3326, 3327ab, 3328, 3329, 3330.

Primitiva funktioner med villkor (sid 156-157)

Ovan konstaterades att samtliga primitiva till $f(x)=2x$ ges av $F(x)=x^2+C$ där C är en godtycklig konstant. Det är ju inte så konstigt, om man känner till en derivata (lutning) så är ju "formen" på ursprungsfunktionen given men inte dess position i y-led.

Om man däremot känner till ett specifikt funktionsvärde till den primitiva funktionen blir det ett entydigt svar. T.ex. kan vi bestämma den primitiva funktion till $f(x)=2x$ som uppfyller att $F(1)=2$. Vi vet att $F(x)=x^2+C$ och villkoret ger att $1^2+C=2$$C=1$ och den specifika primitiva blir $F(x)=x^2+1$.

Taktiken är alltså att först bestämma samtliga primitiva och sedan använda givet villkor för att hitta den specifika.

Lös 3334ab, 3335, 3337, 3338, 3339, 3340, 3341

3.4 Integraler

Inledning, numerisk integration, numerisk integration med över- och undersummor (sid 158-166)

Integraler är väsentligt redskap i matematik såväl som fysik. I viss mening är det en sorts invers till derivata, så lite slarvigt kan man nog säga att i de flesta sammanhang där derivata används dyker också integraler upp. Den enkla och första geometriska tolkningen av en integral är som area mellan en funktionsgraf (ovanför x-axeln) och x-axeln.

Vad som är mindre klart är hur en sådan area kan räknas ut. Boken presenterar ett antal numeriska metoder, trapetsmetod, mittpunktsmetod och över- och undersummor. De två förstnämnda får man kika på själv i boken. Den sistnämnda, med över- och undersummor, tas i själva verket som definition, alltså (med bokens notation)

(53)
\begin{align} U \leq \int_a^b f(x) dx \leq Ö \end{align}

för godtyckliga undersummor U och översummor Ö. När sedan finheten hos indelningen (w i boken av någon anledning, $\Delta x$ är bättre) kommer undersummorna U växa och översummorna Ö avta mot samma tal, nämligen just $\int_a^b f(x) dx$.

Öppna GeoGebrafilen nedan och se en illustration av ovannämnda. Dra i glidaren n så ser ni hur approximationerna blir "allt bättre" och närmar sig ett visst tal, nämligen integralen som alltså kan tolkas som arean under kurvan.

Ett numeriskt alternativ till över- och undersummor är uppskattningar med trapetser och mittpunktsrektanglar. Se GeoGebrafilerna nedan

Trapetser.ggb
Mittpunktsrektanglar.ggb

Uppgifterna i detta avsnitt är inte så roliga eftersom det blir en del numeriska beräkningar. Därför gör vi bara ett fåtal. Men det är viktigt att ni förstår vad som händer, så ha inte för bråttom utan tänk efter samtidigt som ni löser uppgifterna. Se också till så ni kan bestämma integralen (numeriskt) med räknedosan.

Lös 3402, 3403, 3405, 3407, 3412, 3415, 3416, 3418.

Integralberäkning med primitiv funktion (sid 168-171)

Integralens definition, som summa av "oändlig många oändligt små bitar" och med areatolkningen, verkar inte ha något med derivata att göra. Men enligt Analysens huvudsats finns det ett samband mellan primitiva funktioner ("baklängesderivator") och integraler. Låt nämligen $F(x)$ vara en primitiv funktion till $f(x)$. Då gäller

(54)
\begin{align} \int_{a}^{b} f(x)dx=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a) \end{align}

under rimliga förutsättningar på funktionen $f$ (som alltid är uppfyllda i kursen).

Antag t.ex. att vi vill bestämma

(55)
\begin{align} \int_{0}^{1} x^2 dx \end{align}

som alltså geometriskt svarar mot arean mellan x-axeln och grafen till $f(x)=x^2$ i intervallet $0 \leq x \leq 1$ och som per definition ges av ett gränsvärde av en rektangelsumma. Analysens huvudsats ger ett mycket effektivare sätt att bestämma integralen, i princip behöver vi bara en primitiv till $x^2$ t.ex. $x^3/3$. Vi får sedan

(56)
\begin{align} \int_0^1 x^2 dx =\left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \end{align}

Man kan alltså bestämma värdet på en integral genom att sätta in gränserna i den primitiva funktionen och subtrahera. Informellt kan man tänka sig $F(x)$ som en arearäknarfunktion. $F(b)-F(a)$ anger arean under grafen fram till b minus arean fram till a, dvs arean mellan a och b.

För ett troliggörande av analysens huvudsats hänvisas till bok eller lektion.

Lös samtliga uppgifter utom eventuellt 3430.

Arean mellan två kurvor (sid 172-175)

Som bokens illustration visar kan man beräkna areor mellan kurvor genom att integrera $f(x)-g(x)$. Det är viktigt att grafen till $f$ hela tiden ligger ovanför grafen till $g$ (däremot spelar det ingen roll om graferna råkar ligga under x-axeln). Skulle graferna "växla" mellan att ligga över respektive under varandra får man helt enkelt dela upp integralen i lämpliga delar. Om graferna är ritade kan man ofta direkt avläsa lämplig indelning, om man istället enbart har algebraiska uttryck måste man skaffa sig en bild av graferna själv, och då särskilt grafernas skärningspunkter.

Observera också att när man väl har tecknat integranden $f(x)-g(x)$ är det tillåtet att förenkla denna innan man bestämmer primitiv funktion. Det kan underlätta räkningarna i vissa fall.

Lös samtliga a-uppgifter, 3438, 3440, 3442, 3444.

Integraler och area (sid 176-179)

Om funktionsgrafen ligger över x-axeln i ett intervall $a \leq x \leq b$ kan integralen

(57)
\begin{align} \int_{a}^{b} f(x) dx \end{align}

tolkas som arean av området mellan grafen och x-axeln.

Om däremot grafen ligger under x-axeln anger integralen "arean med minustecken". Det beror på att samtliga värden $f(x)\Delta x$ i Riemannsumman blir negativa ($f(x)$ är ju negativt).

Önskar man beräkna arean av ett område som ligger både över och under x-axeln får man alltså dela upp integralen i lämpliga delar och hålla koll på tecken. En självklar kontroll man gör är att man inte får ett negativt värde som area, det är ju orimligt.

Fundera på hur

(58)
\begin{align} \int_0^{2\pi} \sin x dx = 0 \end{align}

kan "stämma".

Lös samtliga a-uppgifter, 3452, 3453, 3455, 3457 samt eventuellt 3460, 3461.

Tillämpningar och blandade problem (sid 180-184)

Ingen ny matte här. Istället gäller det att använda "gamla" kunskaper i "verkliga" situationer. Läs texten noga så ni förstår vad som ska göras, gör om situationen till en rent matematisk frågeställning, lös problemet och skriv ett ordentligt svar i löpande text och med korrekta enheter. Ofta kan man kontrollera om ens svar är rimligt dessutom.

Lös (eller ha koll på) samtliga a-uppgifter, 3472, 3473, 3475, 3477 samt eventuellt 3480, 3481.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License