matematik-c-ht12-vt13:mvg-uppgifter

Instruktioner

Nedan följer ett antal uppgifter av MVG-karaktär inom ramen för kursen MaC. I lösningarna till man uppvisa MVG-kvaliteter av olika typ. Följande kvaliteter förekommer på nationella prov och också i nedanstående uppgifter.

MVG-kvalitet
Formulerar och utvecklar problem, använder generella metoder/modeller vid problemlösning
Analyserar och tolkar resultat, drar slutsatser samt bedömer rimlighet
Genomför bevis och/eller analyserar matematiska resonemang
Värderar och jämför metoder/modeller
Redovisar välstrukturerat med korrekt matematiskt språk

Vad som sedan exakt krävs för att uppnå respektive kvalitet framgår först i samband med diskussionen om era lösningsförslag. Man kan nog uppvisa alla kvaliteter utom den fjärde i var och en av uppgifterna.

Uppgifterna löses enskilt. Skriftligt lösningsförslag inlämnas till läraren, antingen elektroniskt eller fysiskt i lärarens fack. Några dagar efter inlämning träffar man läraren och är då beredd att redovisa/diskutera sitt lösningsförslag och svara på "tuffa" förståelsefrågor. Det ska göras utan betänketid eller omtag och man ska såklart svara för allt man påstått. Om ni är otillräckligt förberedda eller inte "kan er sak" tillräckligt bra (för MVG) avslutas diskussionen och inga fler tillfällen erbjuds. Endast nivån MVG mäts på uppgifterna. Eftersom ni inte arbetar under (omedelbar) tidspress och får ta godtycklig hjälp kommer kravet på framställning och argumentation att vara högre än vad man begär på ett salsprov.

Man får alltså ta hjälp av vad som helst för att lösa uppgifterna (nätet, böcker, kompisar, föräldrar etc.). Fusk är alltså omöjligt. Dock måste man förstå och kunna redovisa sin lösning själv. Skriv/påstå alltså inget som ni inte kan stå för. Den enda som inte svarar på "matematiska" frågor på uppgifterna är läraren. Däremot reder han gärna ut andra oklarheter.

Observera att uppgifterna är svårare än vad man kan förvänta på t.ex. ett salsprov. Men å andra sidan har ni rätt till all möjlig hjälp och gott om tid. Notera också att vägen till ert resultat/er slutsats är det mest intressanta. Man behöver inte ta kortaste vägen!

Sista tidpunkt för inlämning är tisdag 23/4. Men man får gärna lämna in tidigare!

Man väljer själv om, vilka och hur många uppgifter man vill göra. De måste inte heller göras i någon speciell ordning. Det är mycket bättre att göra färre uppgifter av god kvalitet än att göra flera halvdana! Kvaliteterna på era lösningar tas med i bedömningen främst för betyget MVG och MVG-kvaliteter. Har man samlat på sig MVG-kvaliteter via dessa uppgifter kan det kompensera för uteblivna kvaliteter på t.ex. NP. Däremot kompenserar de inte i samma utsträckning för avsaknad av totalpoäng, eftersom totalpoäng anger att man också har en bredd i sina kunskaper (om man inte når MVG poängmässigt på något av kursens prov har man t.ex. begränsad nytta av sina MVG-kvaliteter). MVG-uppgifterna nedan mäter djup, inte nödvändigtvis bredd!

Uppgifter

Joakim von Ankas sparande

Joakim von Anka är som bekant snål/sparsam. Han har nu anställt dig för att hantera sitt banksparande och det är mycket viktigt att du maximerar hans avkastning, annars är risken att han skickar dig till Långtbortistan. Ankeborgs sparbank, som du ska spara i, betalar 3% årlig ränta och du har 10 fantasiljoner att använda.

a) Pengarna står på kontot ett år. Hur mycket finns vid årets slut på kontot? (Svara i enheten fantasiljoner.)

b) För att öka avkastningen har du kommit på följande ide. Du tar ut pengarna efter ett halvår. Då kommer banken att betala ut halva årsräntan, dvs 1.5%, och du har de 10 fantasiljonerna plus halvårsräntan. Detta belopp, de 10 fantasiljonerna plus halvårsräntan, sätter du omedelbart in igen på kontot och låter det förränta sig ytterligare ett halvår, till räntan 1.5%. Hur mycket finns nu på kontot efter 1 år? Förklara i ord varför det blir mer om man gör på detta sätt.

c) Inspirerad av ovanstående tar du ut pengarna månadsvis, får 1/12 av årsräntan och sätter omedelbart in hela kapitalet på kontot igen. Hur mycket pengar finns i så fall på kontot efter 1 år.

d) Här går det tydligen att tjäna pengar! Genom att låta en dator sköta transaktionerna tar du ut, förräntar och sätter in pengar en gång per sekund. Vad blir kapitalet då efter 1 år?

e) Eftersom du ändå befinner dig i en fantasivärld tänker vi oss att du tar ut, förräntar och sätter in pengar "oändligt snabbt" (det betyder att vi gör som tidigare men delar in året i n delar och låter n gå mot oändligheten eller slarvigare bli oändligt stort). Hur mycket pengar finns i så fall på kontot efter 1 år? Verkar det blir "hur mycket som helst" eller finns det någon övre gräns?

f) Undersök med någon riktig bank hur de gör för att hantera omedelbar förräntning.

g) Undersök vad allt detta har med talet e att göra.

Derivatan av $x^n$

I boken på sida 74-75 argumenteras det för att

(1)
\begin{align} D(x^n)=nx^{n-1}, \textrm{ där } n \textrm{ är ett postitivt heltal.} \end{align}

Boken visar genom att utgå från derivatans definition att det stämmer för exponenterna 1 till 4, hänvisar därefter till ett mönster och skriver "Man kan bevisa att så är fallet, men vi går förbi beviset här.

Gör ett bevis av påståendet ovan som fungerar för alla positiva heltal $n$. Självklart finns det redan gjort på massor av ställen, i böcker och på nätet. Kika gärna där. Det är dock viktigt att du själv formulerar beviset, har förstått det och kan presentera det muntligt.

Felaktiga logaritmlagar

Logaritmlagarna brukar misshandlas i den meningen att man använder egna som inte stämmer. Följande omskrivningar är t.ex. inte korrekta i allmänhet:

(2)
\begin{align} \lg(x+y) = \lg x+ \lg y \end{align}
(3)
\begin{align} \frac{\lg a}{\lg b} = \frac{a}{b} \end{align}

a) Visa att omskrivningarna ovan inte är korrekta i allmänhet.

b) Finn några specifika tal x, y, a, b så att omskrivningarna faktiskt är korrekta.

c) Vad kan man säga om talen x och y om omskrivningen ska gälla? Ge ett generellt samband.

d) Om $a=b$ är heltal större än 1 så är det klart att omskrivningen är korrekt. Bestäm samtliga andra heltalsvärden på $a$ och $b$ så att omskrivningen är korrekt, eller motivera varför det inte finns några.

Logaritmer i andra baser

Vi har, eller kommer att, behandla logaritmer i baserna 10 och $e \approx 2.718$. Det finns dock inget som hindrar att man "tar" logaritmer i andra baser (boken har några exempel på sid 43).

a) Hur definieras logaritmen i bas $a$, dvs vad avses med talet $\log_a x$?

b) Vad finns det för samband mellan $\log_a x$ och $\log_{\frac{1}{a}} x$, där $a$ konstant? Bevis?

c) Ange något/några värden som är olämpliga/omöjliga att använda som baser för logaritmer. Motivera!

d) Kan man tänka sig logaritmer i negativa baser? Vad ska man mena med t.ex. $\log_{-2} 8$ och $\log_{-2} (-8)$? Försök beskriv generellt vilka tal man kan ta (-2)-logaritm på.

Central differenskvot

På sida 70 i läroboken introduceras Central differenskvot, som ger bra närmevärde till derivator. I själva verket ger den centrala differenskvoten oftast bättre närmevärde (för samma $h$) jämfört med den "ensidiga" kvoten som används i derivatans definition.

a) Låt $p(x)=ax^2+bx+c$ vara ett godtyckligt andragradspolynom. Visa att att oberoende av värdet på $h$ och för varje $x=a$ gäller att den centrala differenskvoten blir lika med $f'(a)$. Gör också en grafisk tolkning av detta.

b) I ingressen påstods att den centrala differenskvoten oftast blir en bättre approximation än den ensidiga för samma $h$. Ge exempel på en funktion (och ett specifikt $x=a$) där detta inte stämmer.

Snabb ekvationslösning

Ekvationen

(4)
\begin{equation} x^3+4x^2-19x+14=0 \end{equation}

har lösningarna $x=1$ och $x=2$ (verifiera detta). Vilken är den tredje lösningen, hur kan man se detta utan att faktorisera och varför fungerar det så? Kan man finna den tredje lösningen på flera sätt?

Försök sedan generalisera: Antag att vi har en n:te-grads ekvation och råkar känna till n-1 stycken lösningar. Hur hittar man snabbt den sista lösningen?

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License