Detaljplan

1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 4.1 4.2 4.3

1.1 Polynom

Räkning med polynom (sid 7-11)

Det är bra att känna till vad som är ett polynom (och vad som inte är det). Längre fram kommer vi t.ex. stöta på deriveringsregler och då finns det vissa regler som fungerar för polynom, men inte för "opolynom".

Det viktigast är dock att ni träna er på algebraiska manipulation, här räkning med polynom.

Lös ab på samtliga A-uppgifter och eventuellt 1113, 1114 och 1115.

Andragradsekvationer (sid 10-11)

Här är det främst fråga om repetition av s.k. pq-formeln för lösning av andragradsekvationer. Kom dock ihåg att det i vissa fall (uppgift 1119-1121) finns snabbare/bättre metoder.

Lös ac på samtliga A-uppgifter och eventuellt 1126cd och 1128.

Två lösningsmetoder (sid 12-13)

Den första metoden kan populärt(?) kallas "bullshitprincipen". Om man ser ett lite obehagligt uttryck och dessutom ser det flera gånger så kan man ersätta det med en variabel t. Man löser seda ekvationen med t och avslutar med att bestämma ursprungsvariablen.

Den andra metoden behandlar ekvationer med kvadratrötter. Det är egentligen inte mycket till metod utan enda rimliga sättet att lösa ekvationen på, man "kvadrerar bort" rotuttrycket vid lämpligt tillfälle. Vad man då måste komma ihåg är att man kan få "falska lösningar" som förkastas med avslutande kontroll i ursprungsekvationen.

Lös ac på samtliga A-uppgifter och eventuellt 1138, 1139d, 1141 och 1143a.

Polynom i faktorform (sid 14-15)

Ett uttryck är i faktorform om "de yttersta" räknesätten är multiplikation. Ofta kan man uppnå denna faktorisering genom att bryta ut en gemensam faktor eller genom att "köra" kvadrerings- och konjugatreglerna baklänges. Om man tycker att det är mycket svårare att faktorisera än att multiplicera ihop så har man koll på läget. Det ÄR svårare och kräver viss träning.

Det finns ett enkelt samband mellan nollställen till polynom och polynomets faktorer, nämligen:

Att a är ett nollställe till ett polynom är ekvivalent med att $(x-a)$ är en faktor.

För att t.ex. faktorisera polynomet $p(x)=x^2+2x-3$ löser man ekvationen $x^2+2x-3=0$, får $x=1$ eller $x=-3$. Man kan därmed dra slutsatsen att $p(x)$ har faktorerna $x-1$ och $x-(-3)=x+3$. Alltså

(1)
\begin{equation} x^2+2x-3=k(x-1)(x+3) \end{equation}

där k är ett tal, som väljes så att koefficienten framför $x^2$ stämmer. Vi får $k=1$.

Om man råkar ha grafen till ett polynom ritad och beordras att skriva upp det algebraiska uttrycket är det lämpligt att leta fram nollställena (där grafen skär x-axeln) och med hjälp av dessa snickra faktorer.

Lös 1147, 1148, 1149, 1150a, 1151a, 1152a och eventuellt 1155, 1156, 1157a, 1158.

1.2 Rationella uttryck

Kvoten av två polynom (sid 16-17)

Ett rationellt tal (eller kanske vanligare, ett bråk) är en kvot mellan två heltal. På motsvarande är ett rationellt uttryck en kvot mellan två polynom. Kom ihåg att man aldrig får dela med 0, och om detta inträffar i nämnaren säger man att det rationella uttrycket inte är definierat då.

Lös ab som samtliga A-uppgifter och eventuellt 1208, 1209.

Förkortning och förlängning (18-21)

Räkning med rationella uttryck följer samma "regler" som räkning med bråk. Så om ni är vältränade bråkräknare kommer ni att känna igen er, om inte så får ni vara beredda att svettas lite.

Som vi sa på senaste lektionen så kan ett bråk och ett rationellt uttryck "vara lika men inte se likadana ut". T.ex.

(2)
\begin{align} \frac{x}{2} = \frac{2x}{4} = \frac{-3x}{-6} = \frac{x^2}{2x} \end{align}

där den sista likheten är korrekt om $x \neq 0$ om man ska vara petig.

Med förlängning/förkortning växlar man mellan de olika uttrycken. För att t.ex. "komma från" $\frac{x}{2}$ till $\frac{x^2}{2x}$ förlänger man täljare och nämnare med $x$ (dvs man multiplicerar både täljare och nämnare med $x$). För att t.ex. "komma från" $\frac{2x}{4}$ till $\frac{x}{2}$ måste man inse att 2 är en faktor i både täljare och nämnare. Sådana faktorer kan sedan förkortas bort (man delar med 2 i både täljare och nämnare).

Även om principerna är ganska enkla kan utförandet vara svårt. Det är inte alla gånger så lätt att se vilka faktorer som ingår i täljare och nämnare och därmed vad som kan förkortas bort. Man får vara beredd på att 1) bryta ut, 2) köra konjugat- och kvadreringsregler "baklänges". Träning ger färdighet!

Lös, på sid 19, ac på A-uppgifterna och eventuellt ac på B-uppgifterna och 1222ab. Lös, på sid 20-21, ac på A-uppgifterna och eventuellt ac på B- och C-uppgifterna.'

Addition och subtraktion (sid 22-24)

Det är fungerar precis som vid "vanlig" bråkräkning. Man måste fixa gemensam nämnare, gärna minsta, så man får samma "sort". Därefter är det bara att skriva allt på ett bråkstreck och räkna klart i täljare och eventuellt nämnare.

Lös ac bland A-uppgifterna, fast hela 1246, och eventuellt ac bland B- och C-uppgifterna.

Multiplikation och division (sid 25-26)

Även med dessa räknesätt är det som "vanlig" bråkräkning. Dessutom är det enklare! När man multiplicerar bråk multiplicerar man täljare och nämnare var för sig. När man dividerar bråk multiplicerar man med nämnarbråket inverterat.

Lös ac bland A-uppgifterna och eventuellt ac bland B- och C-uppgifterna.

1.3 Linjära och kvadratiska funktioner

Funktionsbegreppet, beteckningen f(x) (sid 27-29)

Observera att definitionen av funktion inte har något med formler eller algebraiska uttryck att göra. Det handlar istället om en regel som från en defintionsmängd (indatamängd) ordnar tal i en värdemängd (utdatamängd). Regeln kan sedan presenteras i ord, med formel, i tabell eller med hjälp av en graf.

I funktionssymbolen $f(x)$ är x bara en "dummy" och följande beskriver samma funktion (eller regel):

(3)
\begin{align} f(x)=2x, \, f(t)=2t, \, f(\square) =2 \square \end{align}

Varianten med $\square$ kan vara användbara när indatan är "komplicerad". Det "gör inget" det är bara att sätta in hela det "komplicerade" uttrycket i rutan och räknar på.

Lös a-uppgifterna och 1308, 1310, 1313, 1315 och 1317.

Linjära funktioner (sid 30-31)

Detta är repetition av MaB. Man skaffar sig/friskar upp en känsla för hur algebraiska uttryck, $y=kx+m$ hänger samman med grafiska.

Lös uppgifter efter behov. Minimikravet är att man har koll på A-uppgifterna.

Andragradsfunktioner (sid 32-33)

Precis som ovan repetition av MaB. Dock är det lite fler begrepp att ta till sig, så läs igenom sida 32 innan ni börjar räkna.

Lös uppgifter efter behov. T.ex. kan detta innebär två på varje uppgift med deluppgifter.

Exponential- och potensfunktioner

Exponentialfunktioner och potenser, potenslagar (34-37)

Det är viktigt att ha klart för sig vilken funktion som är vilken. En exponentialfunktion har variabeln (x ofta) i exponenten och en konstant i basen, dvs är på formen $f(x)=a^x$, medan en potensfunktion har variabeln i basen och en konstant exponent, dvs är på formen $f(x)=x^a$. Bland annat kommer vi att stöta på olika deriveringsregler längre fram, och de är olika för olika typer av funktioner.

Man ska också friska upp potenslagarna. Det skadar inte man, förutom att träna på dem, också tänker efter varför de ser ut som de gör.

Lös a-uppgifter efter behov, kanske ett par på varje deluppgift. Dessutom eventuellt 1413a, 1414ab, 1416, 1417, 1420b, 1421ab.

Tillämpningar på potenser (38-39)

Ingen ny matematik här. Däremot gäller det att översätta svensk text till "matematiska" och vice versa.

Lös a-uppgifter efter behov och eventuellt 1429, 1430, 1433, 1435.

Exponentialekvationer och logaritmer (sid 40-43)

Om man kan/förstår defintionen av logaritm så blir det mesta logiskt.

Definition: $\lg x$ är det tal som 10 ska upphöjas med för att man ska få x. Man har de synonyma uttrycken: $\lg x = \log x = ^{10}\log x = \log_{10} x$.

Att man ibland behöver skriva ut 10:an i logaritmen beror på att man kan ha logaritmer i olika baser. Mer om detta senare.

Vi har t.ex. $\lg 100 = 2$ ty $10^2 =100$ och $\lg 0,1=-1$ ty $10^{-1} = 0,1$. Man kan också tänka sig $\lg 20$ som är det tal som 10 ska upphöjas med för att bli 20. Att det finns ett sådant tal (mellan 1 och 2) känns tämligen klart, men det är inte så lätt att bestämma. Räknaren är "programmerad" för att räkna ut detta (hur är överkurs), så några knapptryckningar ger $\lg 20 \approx 1,30$ ty $10^{1,30} \approx 20$.

Eftersom logaritmer har med potenser att göra finns det räkneregler för logaritmer, s.k. logaritmlagar, som motsvarar potenslagarna. Dessa logaritmlagar finns på sida 41 och man lär sig dem utantill (och kanske lär man sig varför de fungerar).

Lös 1440, 1441, 1444, 1445, 1446ab och eventuellt 1148, 1449ab, 1451, 1453.

Från graf till algebraiskt uttryck (45)

Avsnittet utgår till vidare, i all fall till efter Prov 2

Avsnittet känns lite malplacerat men det innebär ju inte att det är onödigt. Att kunna växla mellan olika representationsformer (graf-algebraiskt uttryck) är hälsosamt, och fördjupar förståelsen.

Lös a-uppgifterna och eventuellt b-uppgifterna.

Tillämpningar på exponentialfunktioner (46-51)

Ingen ny matematik, utan istället mer eller mindre realistiska situationer som ska behandlas matematiskt.

Lös 1470, 1471, 1472, 1473, 1480, 1483, 1486, 1489 och eventuellt 1492, 1493 (svåra!).

2,1 Förändringshastigheter

Genomsnittlig förändringshastighet (59-62)

Om man tillryggalägger en viss sträcka $\Delta s$ på en viss tid $\Delta t$ så blir (såklart) medelhastigheten eller den genomsnittliga förändringshastigheten

(4)
\begin{align} v=\frac{\Delta s}{\Delta t}. \end{align}

På samma sätt kan man tala om den genomsnittliga förändringshastigheten

(5)
\begin{align} \frac{\Delta y}{\Delta x} \end{align}

om y är en variabel som beror på x. Om funktionens graf är en rät linje känner ni igen ovanstående som linjens lutning (k-värde). Observera att denna blir samma överallt på en linje (men inte på kurvor/grafer i allmänhet). Om man slutligen tänker sig att $y=f(x)$ så ges den genomsnittliga förändringshastigheten då x går från a till b av

(6)
\begin{align} \frac{f(b)-f(a)}{b-a}. \end{align}

Tänk efter så ni inser att de tre formuleringarna "fångar" samma sak!

I uppgifterna nedan handlar det om att just räkna ut diverse förändringshastigheter. Värden kan man behöva räkna ut eller läsa av i graf eller tabell.

Lös 2104, 2106, 2107, 2108, 2109, 2110 och eventuellt 2112, 2113, 2114.

Kurvors lutning (sid 63-65)

Grafisk är det ganska lätt att föreställa sig vad som ska menas med lutningen till en kurva i en punkt (på kurvan). Man ritar helt enkelt tangentlinjen till kurvan i punkten och låter tangentens lutning vara kurvans lutning. Om man vill räkna ut denna lutning utan att varje gång behöva rita figur (det blir ju inte heller särskilt exakt i en figur) är det kanske mindre klart hur man gör. Tekniken är att använda sekanter som passerar genom den aktuella punkten och en annan punkt på kurvan. Denna andra punkt flyttar man sedan allt närmre ursprungspunkten och bestämmer sekanternas lutning. I "gränsläget" kommer sekanten att övergå i tangent och man får då lutningen i punkten.

Lös 2121, 2122, 2124a, 2125a, 2126, 2127 och eventuellt 2130a, 2132, 2133cd, 2134.

2.2 Begreppet derivata

Gränsvärden (sid 66-67)

Det värde som man får på sekanters lutning i "gränsläget" då man låter avståndet mellan punkterna "bli oändligt litet" är ett exempel på ett gränsvärde. Poängen är att man undersöker vad värdet av ett uttryck kommer hur nära som helst om variabeln i sin tur kommer hur nära ett givet värde som helst. Om man t.ex. vill studera att uttrycks värde så $h$ närmar sig noll skriver man $\lim_{h \to 0}$ (limes=gräns). Ett enkelt exempel

(7)
\begin{align} \lim_{h \to 0} (2+3h) = 2 \end{align}

eftersom uttrycket $2+3h$ kan fås hur nära 2 som helst om bara $h$ är hur nära 0 som helst. I själva verket kan man beräkna detta gränsvärde genom att helt enkelt sätta in $h=0$ i uttrycket $2+3h$. Detta fungerar dock inte alltid, utan i många fall måste man först förenkla.

Lös 2202 och 2203. Strunta i resten på sid 67.

Derivatans defintion (sid 68-69)

För att bestämma lutningen i en punkt har vi tidigare studerat sekanter till en kurva. Genom att hålla en punkt fixerade och låta den andra närma sig den fixerade punkten "obegränsat" erhåller man tangentens lutning som "gränsläget" av sekanternas lutningar. Att formalisera detta (är h lika med 0 eller är det inte?) tog flera hundra år och inblandade de allra största matematikerna. Om det tar några veckor för er att fatta så är det alltså lugnt :-). Ideen är i vilket fall att definiera derivatan som gränsvärdet av differenskvoten då h går mot noll. När man räknar i praktiken innebär det att man räknar på med h, förenklar och när h väl är borta från nämnaren så sätter man det lika med noll.

Vill ni se några exempel på derivatabetämningar från definitionen rekommenderas Anders Karlssons klipp:

Matteskolan: Derivatan av x^2 med definitionen
Matteskolan: Derivatan av x^2+2x med definitionen

Lös 2208, 2209, 2211 och eventuellt 2213b, 2214.

Grafisk och numerisk derivering (sid 70-73)

Vissa funktioner låter sig inte deriveras så lätt (mer precist så är det besvärligt att låta $h \to 0$). Då kan man istället minnas att derivatan anger gränsläget av sekanters lutningar och helt enkelt räkna ut sådana sekantlutningar och i alla fall få bra närmevärde till derivatan (i en given punkt). Boken presenterar några olika varianter av sekantlutningar, och det är den centrala som ger bäst närmevärde snabbast.

Räknaren kan göra ovanstående, dvs. derivera numeriskt i en punkt. Detta kan man också ha nytta av då man vill kontrollera en handräknad derivata. Se sida 72 för en kort instruktion till räknaren.

Lös 2219, 2220, 2221bc (för hand och med räknare), 2222 och eventuellt 2227.

2.3 Deriveringsregler

Derivatan av ett polynom (sid 74-76)

Att gå tillbaka till derivatans definition varje gång ett uttryck ska deriveras är för jobbigt. Istället bevisar man räkneregler en gång för alla (och de blir ofta ganska "enkla") och använder sedan dessa.

I detta avsnitt är det polynom som ska deriveras. Ni kan ge er på uppgifterna utan att ha kikat igenom bevisen, använd reglerna i de blå rutorna på sida 75. Observera dock att reglerna gäller polynom, så det kan vara bra att veta exakt vad som är ett polynom (och vad som inte är det).

Lös samtliga a-uppgifter och eventuellt 2310, 2311, 2312.

Derivatan av potensfunktioner (78-79)

En potensfunktion har formen $f(x)=x^a$ där a är vilket tal som helst. Om a råkar vara ett positivt heltal får vi ett polynom och vi vet att derivatan då blir $f'(x)=ax^{a-1}$. Det visar sig (men är ingalunda självklart) att samma deriveringsregel gäller även om a inte är ett heltal, dvs

(8)
\begin{align} f(x)=x^a \Rightarrow f'(x)=ax^{a-1} \end{align}

oavsett värde på konstanten a. Observera att om a=1/2 får vi $f(x)=x^{1/2}=\sqrt{x}$ och om a=-1 får vi $f(x)=1/x$, funktioner som vi nu alltså kan derivera.

Den som siktar på högsta betyget kan sätta sig in i bevisen på sida 78, för övriga räcker det att kunna använda deriveringsregeln.

Lös samtliga a-uppgifter och eventuellt 2320a, 2321, 2324 (svår!).

Derivatan av exponentialfunktioner (sid 80-83)

Ovan har vi lärt oss att derivera potensfunktioner, $f(x)=C x^a$, där vi alltså har en variabel i basen och en konstant i exponenten. Nu är det dags att derivera exponentialfunktioner, $f(x)=C a^x$ där vi alltså har en konstant bas och en variabel exponent. Observera att funktionstyperna ser snarlika ut men är att helt olika typ. Därför blir också deriveringsreglerna olika!

Det visar sig att det finns ett speciellt tal, sådan att exponentialfunktionen med detta tal i basen blir oförändrad vid derivering. Detta tal är

(9)
\begin{align} e \approx 2.718281828459045 \end{align}

där man behöver memorera $e \approx 2.7$. Alltså gäller

(10)
\begin{align} f(x)=Ce^x \Rightarrow f'(x)=Ce^x \end{align}

Man kan också visa att

(11)
\begin{align} f(x)=Ce^{kx}\Rightarrow f'(x)=kCe^{kx} \end{align}

där k är en godtycklig konstant.

För att bevisa/härleda resultaten ovan behöver man utgå från derivatans definition och utföra lite algebraiska manövrer. Den som är intresserad av detta hänvisas till bokens genomgång. Ni kan ge er på uppgifterna direkt med reglerna.

Lös samtliga a-uppgifter, använd räknare vid behov. Dessutom eventuellt 2335, 2338, 2340, 2341, 2343 (fast du måste du först ha kikat på bokens genomgång för att lösa 2343).

Derivatan av $a^x$ (sid 84)

Då är det dags för kursens sista "standardderivata", nämligen derivatan av en allmän exponentialfunktion $Ca^x$. Varför det funkar som det gör framgår av bokens argument, man skriver om i bas e. Resultat är

(12)
\begin{align} D(Ca^x) = Ca^x \ln a \end{align}

där $\ln$ är logaritmen i basen e. Den uppfyller samma räkneregler som 10-logartimen som det kanske kan vara anledning att repetera.

Lös 2346ef, 2347cde, 2349, 2350, 2351.

Blandade övningar (sid 85-87)

Ingen ny matematik här, men träning på det ni gjort tidigare i blandade sammanhang.

Lös 2358, 2361, 2362, 2364 och eventuellt 2368, 2371, 2374, 2376.

3.1 Vad säger förstaderivatan om grafen?

Hur används förstaderivatan vid kurvkonstruktion? (sid 146-150)

I detta avsnitt ska ni alltså lära er hur man kan använda derivata för att skissa grafer till funktioner. Detta är mycket smidigare och effektivare (åtminstone för en människa) än att göra finmaskiga värdetabeller. Ni behöver också tänka "bakvänt": vad säger en given graf om motsvarande derivata.

Tekniken för ovanstående följer följande schema.

  1. Undersök funktionens definitionsmängd, finns det några ''x-värden'' som inte ingår.
  2. Derivera: $f'(x) \ldots$
  3. Bestäm derivatans nollställen: lös ekvationen $f'(x)=0$. Ni får då reda på x-koordinaterna för max/min/terrasspunkter.
  4. Teckenstudera derivatan för att få reda på vilken typ av punkt det är fråga om, av max/min/terrasspunkter.
  5. Bestäm y-värden för de intressanta punkterna.
  6. Skissa grafen med hjälp av den information du räknat fram.

Lös a-uppgifterna och eventuellt 3106, 3107, 3109, 3110.

Skissa grafer (sid 102-103)

Förutom studie av derivata och bestämmande av max/min, växande/avtagande så behöver man ibland reda ut hur funktionsgrafen beter sig "långt bort", dvs när x är stort positivt eller negativt, vilket i boken skrivs som att |x| (utläses absolutbeloppet av x) stort.

Hur beter sig t.ex. $f(x)=x^3-3x^2-9x+3$ om |x| är stort? Uttrycket består av fyra termer och om man tänker efter så inser man att den högsta x-potensen spelar i särklass störst roll då |x| är stort. Alltså

(13)
\begin{align} f(x)=x^3-3x^2-9x+3 \approx x^3 \end{align}

då |x| stort.

I princip betyder detta att om man zoomar ut grafen till $f(x)=x^3-3x^2-9x+3$ rejält kommer det att se ut ungefär som grafen till $f(x)=x^3$. Om man däremot zoomar in kring origo ser man stora skillnader (och de upptäcker man med derivatastudier). Kolla gärna genom att rita grafen i GeoGebra!

Lös 3112, 3113, 3114 och 3118 och 3122 om man vill/orkar.

Största och minsta värde (sid 104-105)

Tidigare har vi letat upp lokala maximi- och minimipunkter med hjälp av derivata. Dessa punkter kallas med ett samlingsnamn lokala extrempunkter. Observera att en terrasspunkt inte är en extrempunkt. Med lokala menas i princip att om man ställer sig i en lokal extrempunkt på grafen och är närsynt så tycker man att man är högst upp eller längst ner. Att det kan finnas större eller mindre funktionvärden en bit bort tar man inte hänsyn till.

Med globala extremvärden menas de totalt sett största och minsta funktionsvärdena. Man får alltså inte vara närsynt utan har tillgång till en oändligt bra kikare. Lokala extremvärden kan antas i två typer av punkter, nämligen derivatans nollställen och definitionsmängdens ändpunkter (intervallgränser). Taktiken för att leta upp globala extremvärden blir därför; bestäm derivatans nollställen och funktionsvärdena där, bestäm funktionsvärden i ändpunkter, kolla efter vilket värde som är störst respektive minst. Se också figur i boken sida 155.

Lös a-uppgifterna och eventuellt 3128, 3129, 3130.

3.2 Derivator och tillämpningar

Polynomfunktioner (sid 106-112)

"Räknemässigt" är det inte mycket nytt. Det kokar ofta ned till derivering, derivatans nollställen osv. Det som är nytt, och ibland svårt, är att förstå vad som ska göras och bestämmas i textuppgifterna. I de lite svårare problemen blir det också fråga om att man själv ska snickra ihop den funktion man ska studera. Det finns många uppgifter och vi glesar ut lite. Det är lugnt, om ni som motprestation gör uppgifterna nedan ordentligt!

Lös 3202, 3204, 3206, 3208, 3210, 3213 samt om man har högre ambitioner än G, 3215, 3218, 3221, 3222, 3227 och eventuellt 3229, 3230, 3233, 3235, 3238. Lösningar till C-uppgifterna finns skissade i bokens facit och här.

Några enkla potensfunktioner (sid 113-115)

Till stor del repetition, det är iofs lite text att läsa men sedan kokar det ner till att derivera potensfunktioner (konstant bas, variabel exponent). Principen är "att sparka ned exponenten och dra av ett". Observera att en väsentlig sak kan skilja från hanteringen av polynomfunktioner nämligen, om x finns i nämnaren kan uttrycket vara odefinierat för vissa x och det måste hanteras/observeras, t.ex. i teckenstudium av derivata!

Lös 3242b, 3243a, 3245, 3248 och eventuellt 3251.

Exponentialfunktioner (sid 116-117)

Först erinrar vi derivatan av exponentialfunktionen

$$f(x)=a^x \Rightarrow f'(x)=a^x \ln a$$

Detta innebär t.ex. att

$$f(x)=e^x \Rightarrow f'(x)=e^x \ln e = e^x$$

och

$$f(x)=e^{kx} \Rightarrow f'(x)=ke^{kx}.$$

Därefter är det "som vanligt", en radda textproblem som handlar om att avgöra om funktioner är växande/avtagande, bestämma max/min etc. Det följer samma lösningsmönster som tidigare liknande problem.

Lös 3253, 3254, 3255 och eventuellt 3261 (graf ritas på räknaren), 3264 (graf ritas på räknaren), 3267.

4.1 Talföljder och serier

Vad menas med en talföljd? (sid 127-129)

Med en talföljd menas en följd av tal (såklart), såväl ändlig som oändlig. Exempel:

(14)
\begin{equation} 1, 65, 43, -3 , 42, -4, 7 , -2 ,3,-9,0 \end{equation}
(15)
\begin{align} 1,3,5,7,9,11, \ldots \end{align}

Med … menas att följden fortsätter på samma sätt, och det blir läsarens uppgift att förstå mönstret.

Istället för att skriva upp själva följden kan man tala om hur elementen genereras. En möjlighet är på sluten form där elementen $a_n$ uttrycks som funktion av platsnumret n. Vår följd ovan kan skrivas

(16)
\begin{equation} a_n=2n-1 \end{equation}

En annan möjlighet är på rekursiv form där elementen uttrycks med hjälp av sin (sina) föregångare. Vår följd kan skrivas

(17)
\begin{equation} a_n=a_{n-1} +2, a_1 =1 \end{equation}

Observera att vi måste ange startvärdet annars kan vi inte starta vår rekursion.

Lös a-uppgifter samt 4112b, 4114, 4117, 4119. c-uppgifterna behöver man inte göra.

4.2 Summor

Aritmetisk summa (sid 130-131)

En sådan summa får man om man summerar termerna i en ändlig aritmetisk talföljd. Kom ihåg att en sådan genereras genom att man till ett godtyckligt startvärde successivt adderar en konstant. Ett exempel på en sådan talföljd och summa är

(18)
\begin{equation} 3+7+11+15+19+23+27+31+35+39 \end{equation}

som startar med 3 och där man successivt adderar 4.

Vad blir talföljdens summa S? Som man lätt reder ut (se bok) får man

(19)
\begin{align} S=\frac{\textrm{''första termen"} + \textrm{''sista termen''}}{2} \cdot \textbf{''antalet termer''} = \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n \end{align}

vilket i vårt fall ger

(20)
\begin{align} S=\frac{3+39}{2} \cdot 10 = 210. \end{align}

Det som kan kräva lite eftertanke är hur många termer, n, en viss talföljd består av. Vad blir n i talföljden

(21)
\begin{align} 2, 7, 12, 17 , 22, \ldots ,272, 277? \end{align}

Tydligen innehåller följden

(22)
\begin{align} \frac{277-2}{5} = 55 \end{align}

''femsteg''. Alltså har följden 55+1=56 termer (och INTE 55).

Lös a-uppgifterna och samt eventuellt 4208, 4209 och 4211.

Geometrisk summa (sid 132-133)

En sådan summa får man om man summerar termerna i en ändlig geometrisk talföljd. Kom ihåg att en sådan genereras genom att man till ett godtyckligt startvärde successivt multiplicerar en konstant. Ett exempel på en sådan talföljd och summa S är

(23)
\begin{equation} S=4+12+36+108+324+972 \end{equation}

som startar med 4 ($=a_1$) och där man successivt multiplicerar med 3 (=k).

Om vi bildar 3S fås

(24)
\begin{equation} 3S=12+36+108+324+972+2916 \end{equation}

dvs. samma följd så när som på första och sista termen (4 och 2916). Vi bildar nu

(25)
\begin{equation} 3S-S=2916-4 \end{equation}

eller

(26)
\begin{align} S=\frac{2916-4}{3-1}=1456 \end{align}

Om man tänker igenom det generella fallet med första tal $a_1$, faktor k och n element får man

(27)
\begin{align} S=\frac{a_1 \cdot(k^n-1)}{k-1} = \frac{a_1 \cdot(1-k^n)}{1-k} \end{align}

Lös a-uppgifterna och 4219, 4221.

4.3 Tillämpningar (sid 134-137)

I boken behandlas två områden, nämligen ekonomi och naturvetenskap. Den främsta tilllämpningen inom ekonomi är geometriska talföljder som anger hur kapital/lån förräntas. Om man t.ex gör upprepade årliga insättningar av samma belopp på ett konto kommer behållning att ges av summan av en geometrisk talföljd. Det som är knepigast är att hålla koll på antal insättningar och hur många år det har förräntas, därefter är det relativt enkelt att sätta in i summaformeln och räkna ut.

Lös, på sida 135; 4304, 4307, 4308 och eventuellt 4310, 4312. Lös på sida 137; 4316, 4318.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License