matematik-c-ht11-vt12:MVG-uppgifter

Instruktioner

Nedan följer ett antal uppgifter av MVG-karaktär inom ramen för kursen MaC. I lösningarna till man uppvisa MVG-kvaliteter av olika typ (dock inte alla i varje uppgift):

MVG-kvalitet
Formulerar och utvecklar problem, använder generella metoder/modeller vid problemlösning
Analyserar och tolkar resultat, drar slutsatser samt bedömer rimlighet
Genomför bevis och/eller analyserar matematiska resonemang
Värderar och jämför metoder/modeller
Redovisar välstrukturerat med korrekt matematiskt språk

I respektive uppgift framgår det vilka kvaliteter som är aktuella. Vad som sedan exakt krävs för att uppnå respektive kvalitet framgår först i samband med diskussionen om era lösningsförslag.

Uppgifterna löses i par eller enskilt. Skriftligt lösningsförslag inlämnas till läraren. Några dagar efter inlämning träffar man läraren och är då beredd att redovisa/diskutera sitt lösningsförslag och svara på "tuffa" förståelsefrågor. Det ska göras utan betänketid eller omtag och var och en ska kunna svara för hela lösningen. Om ni är otillräckligt förberedda eller inte "kan er sak" tillräckligt bra (för MVG) avslutas diskussionen och inga fler tillfällen erbjuds. Endast nivån MVG mäts på uppgifterna. Eftersom ni inte arbetar under (omedelbar) tidspress och får ta godtycklig hjälp kommer kravet på framställning och argumentation att vara högre än vad man begär på ett salsprov.

Man får alltså ta hjälp av vad som helst för att lösa uppgifterna (nätet, böcker, kompisar, föräldrar etc.). Fusk är alltså omöjligt. Dock måste man förstå och kunna redovisa sin lösning själv. Skriv/påstå alltså inget som ni inte kan stå för. Den enda som inte svarar på "matematiska" frågor på uppgifterna är läraren. Däremot reder han gärna ut andra oklarheter.

Sista tidpunkt (innan jul) att lämna in skriftliga lösningar är fredag 9/12.

Man väljer själv om, vilka och hur många uppgifter man vill göra. De måste inte heller göras i någon speciell ordning. Det är mycket bättre att göra färre uppgifter av god kvalitet än att göra flera halvdana! Kvaliteterna på era lösningar tas med i bedömningen främst för betyget MVG och MVG-kvaliteter. Har man samlat på sig MVG-kvaliteter via dessa uppgifter kan det kompensera för uteblivna kvaliteter på t.ex. NP. Däremot kompenserar de inte i samma utsträckning för avsaknad av totalpoäng, eftersom totalpoäng anger att man också har en bredd i sina kunskaper (om man inte når MVG poängmässigt på något av kursens prov har man t.ex. begränsad nytta av sina MVG-kvaliteter). MVG-uppgifterna nedan mäter djup, inte nödvändigtvis bredd!

Om man vill kan man scanna in sin lösning och sedan göra en skärminspelning, med tillhörande muntligt presentation. Då minskar kravet något på den skriftliga framställningen, eftersom ni pratar till, och rimligen kan vi också korta ner den muntliga efterföljande diskussionen. Inspelning kan man göra online här:

Screencast-O-Matic

Skicka filen till mig på It's Learning.

Uppgifter

Joakim von Ankas sparande

Joakim von Anka är som bekant snål/sparsam. Han har nu anställt dig för att hantera sitt banksparande och det är mycket viktigt att du maximerar hans avkastning, annars är risken att han skickar dig till Långtbortistan. Ankeborgs sparbank, som du ska spara i, betalar 3% årlig ränta och du har 10 fantasiljoner att använda.

a) Pengarna står på kontot ett år. Hur mycket finns vid årets slut på kontot? (Svara i enheten fantasiljoner.)

b) För att öka avkastningen har du kommit på följande ide. Du tar ut pengarna efter ett halvår. Då kommer banken att betala ut halva årsräntan, dvs 1.5%, och du har de 10 fantasiljonerna plus halvårsräntan. Detta belopp, de 10 fantasiljonerna plus halvårsräntan, sätter du omedelbart in igen på kontot och låter det förränta sig ytterligare ett halvår, till räntan 1.5%. Hur mycket finns nu på kontot efter 1 år? Förklara i ord varför det blir mer om man gör på detta sätt.

c) Inspirerad av ovanstående tar du ut pengarna månadsvis, får 1/12 av årsräntan och sätter omedelbart in hela kapitalet på kontot igen. Hur mycket pengar finns i så fall på kontot efter 1 år.

d) Här går det tydligen att tjäna pengar! Genom att låta en dator sköta transaktionerna tar du ut, förräntar och sätter in pengar en gång per sekund. Vad blir kapitalet då efter 1 år?

e) Eftersom du ändå befinner dig i en fantasivärld tänker vi oss att du tar ut, förräntar och sätter in pengar "oändligt snabbt" (det betyder att vi gör som tidigare men delar in året i n delar och låter n gå mot oändligheten eller slarvigare bli oändligt stort). Hur mycket pengar finns i så fall på kontot efter 1 år? Verkar det blir "hur mycket som helst" eller finns det någon övre gräns?

f) Undersök med någon riktig bank hur de gör för att hantera omedelbar förräntning.

g) Undersök vad allt detta har med talet e att göra.

Derivatan av $x^n$

I boken på sida 104-105 argumenteras det för att

(1)
\begin{equation} D(x^n)=nx^{n-1}. \end{equation}

Boken visar genom att utgå från derivatans definition att det stämmer för exponenterna 1 och 2, hänvisar därefter till ett mönster och skriver "Man kan bevisa att mönstret kommer att gälla alla $f(x)=x^n$ där $n$ är ett positivt heltal, men vi hoppar över det här".

Gör ett bevis av påståendet ovan som fungerar för alla positiva heltal $n$. Självklart finns det redan gjort på massor av ställen, i böcker och på nätet. Kika gärna där. Det är dock viktigt att du själv formulerar beviset, har förstått det och kan presentera det muntligt.

Felaktiga logaritmlagar

Logaritmlagarna brukar misshandlas i den meningen att man använder egna som inte stämmer. Följande omskrivningar är t.ex. inte korrekta i allmänhet:

(2)
\begin{align} \lg(x+y) = \lg x+ \lg y \end{align}
(3)
\begin{align} \frac{\lg a}{\lg b} = \frac{a}{b} \end{align}

a) Visa att omskrivningarna ovan inte är korrekta i allmänhet.

b) Finn några specifika tal x, y, a, b så att omskrivningarna faktiskt är korrekta.

c) Vad kan man säga om talen x och y om omskrivningen ska gälla? Ge ett generellt samband.

d) Om $a=b$ är heltal större än 1 så är det klart att omskrivningen är korrekt. Bestäm samtliga andra heltalsvärden på $a$ och $b$ så att omskrivningen är korrekt, eller motivera varför det inte finns några.

Jordens befolkning

Jordens befolkning passerade just 7 miljarder och har enligt Wikipedia, som i sin tur hänvisar till FN, utvecklats som tabellen visar.

År Befolkning i miljoner
0 300
1000 310
1500 500
1800 980
1900 1650
1930 2070
1960 3020
1990 5270
2011 7000

a) Bestäm en exponentialfunktion på formen $f(x)=C \cdot a^x$ som stämmer hyfsat bra med ovanstående data. Beskriv hur du gjorde för att bestämma funktionen och rita dess graf, t.ex. med GeoGebra.

b) Det är inte realistiskt att tro att det kommer att öka lika fort i framtiden. Undersök med den funktion du bestämt i a) vad jorden befolkning skulle vara år 2100 och när befolkningen skulle uppgå till en biljon. Motivera varför det inte är rimligt att det blir så i verkligheten.

c) Det finns de som tror att jordens befolkning inte kommer att överstiga 10 miljarder utan istället plana ut mot detta antal. En graf som beskriver en sådan situation visas nedan (klicka på för större bild).

Befolkningsgraf.png

Vilken typ av funktionsuttryck $f(x)= \ldots$ kan ge en dylik graf? De punktvisa värdena är inte så intressanta, däremot att grafen först beter sig som en exponentialfunktion sedan "svänger tillbaka" på ett liknande sätt och närmar sig "nivån" 10.

Vertex på mobil andragradskurva

Betrakta grafen till funktionen

(4)
\begin{equation} f(x)=x^2+ax+1 \end{equation}

där a är en parameter. Olika värden på talet a ger alltså olika kurvor, men var och en av dem har en minimipunkt. Längs vilken kurva rör sig grafernas minimipunkt när a varierar? Klicka på knappen nedan så öppnas en GeoGebra-konstruktion där ni kan variera a med en glidare. Samtidigt rör sig då punkten A, men längs vilken kurva? Ett fullgott argument är algebraiskt, dvs. kurvan längs vilken vertex rör sig ska "räknas fram" och det räcker inte (enbart) att hänvisa till figurer.

Samband mellan riktningskoefficienter

Som ni kanske minns från Matematik B så finns det ett enkelt samband mellan k-värdena, $k_1, \, k_2$, för två vinkelräta linjer, nämligen

(5)
\begin{align} k_1 \cdot k_2 = -1. \end{align}

Försök plocka fram ett samband ("en formel") mellan k-värden hos två linjer med mellanliggande vinkel $45^{\circ}$. Klicka på knappen nedan så öppnas en GeoGebrakonstruktion som illustrerar situationen. k-värden anges och man kan rotera figuren genom att dra i punkten B. Ser ni något samband? Kan ni bevisa det?

Medelvärdessatsen

En central sats i differentialkalkylen är medelvärdessatsen. Ta reda på vad denna sats säger, försök förstår varför den är sann (dvs. tänk igenom och återge beviset). Notera att man inte enbart kan använda argument som "man ser i figur att". Det krävs inte att ni kan rekonstruera alla delarna i ett bevis, men att ni förstår ideerna och kan redogöra för dessa på ett nyanserat sätt.

Kolla också upp varför satsen är användbar. Vad kan man bevisa med hjälp av medelvärdessatsen?

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License