matematik-c-ht11-vt12:detaljplan

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 4.1 4.2 4.3 4.4

Uppvärmning

Matematikkurser bygger oftast på varandra, och MaB till MaC är inget undantag. Det ni framför allt måste ha aktuellt för att komma igång är den algebraiska hanteringen. Alltså bör ni friska upp minnet vad gäller t.ex. räkning med tal och algebraiska uttryck, potenser, polynom, räta linjen och andragradsekvationer.

I bokens första kapitel får ni chans att repetera och fylla på era färdigheter inom ovanstående. Som en inledande övning kan ni dock istället kika på övningarna som finns på

Khan academy

Klicka på Practice i menyraden så kommer ni till ett träd med övningar. De första (översta) är för lätta. Titta istället lite längre ned och roa er med t.ex.

Diverse övningnar med "fractions" (bråkräkning)
Systems of equations
Quadratic equations
Exponent rules
Functions 1
Expressions with unknown variables
Multiplying expression

När du är "godkänd" på en övning (klarat 10 uppgifter I RAD) kommer det att dyka upp en stjärna (mot blå bakgrund), och det står "Nice work!, You're proficient in this topic". Då är det säkert dags för nästa övning, men du kan såklart också byta innan om du lessnar.

Om du vill spara dina resultat kan du logga in INNAN du börjar öva. Inlogging kan göras med Google- eller Facebookinloggning.

Gör så mycket ni orkar/behöver av ovanstående till imorgon (torsdag). Man hinner säkert inte allt och det är inte meningen. Men ni får rimligen en känsla för vad ni kommer ihåg och vad som glömts. Gå sedan tillbaka till övningarna när ni känner för det.

1.1 Polynom

En hel del av detta avsnitt är repetition från Matematik B.

Polynom och räkneregler (sid 8-11)

Kolla upp vad som menas med ett polynom och vad som inte är ett polynom. Repetera beteckningen $p(x)$ och varianter på detta som t.ex. $p(a+1)$. Ett sätt och tänka är med tomma rutor och cirklar som man sedan sätter in lämpliga "saker" i. Friska också upp minnet på att räkna med polynom, sätta in värden, göra matematik av text.

Lös uppgifter efter behov. Det betyder (framöver) att man tänker efter vad man inte kan, vilket mål man har och hur mycket tid man orkar lägga. I princip ska alla klara samtliga A-uppgifter, men det betyder inte att man måste räkna alla. Det kan räcka att ögna igenom och räkna en av varje typ. Beroende på betygsmål ger man sig sedan i kast med B- och C-uppgifter. Jag länkar lämpliga "Khan-övningar" efterhand. Observera dock att de inte täcker in allt!

Khan: Multiplying expressions 1

Ekvationer och lösningsmetoder (sid 12-14)

Här är det bland annat fråga om att repetera den s.k. pq-formeln. Visst, den finns på formelblad, men man måste vara stensäker på användningen. Vissa ekvationer löses enkelt med s.k. nollproduktmetod. Om man är oförsiktig och multiplicerar ihop parenteserna så blir det onödigt svårt. Så det kan vara värt att tänka några sekunder innan man fläskar på med räkningar. I uppgift 1137 försöker man bryta ut/faktorisera lämpligt.

Som ni kanske minns så bygger pq-formel på att man gör en kvadratkomplettering. Detta kan man friska upp genom att t.ex. kika på Anders Karlsson på YouTube nedan.

Lös uppgifter efter behov.

Khan: Solving quadratics by factoring
Khan: Quadratic equation

Matteskolan: Kvadratkomplettering
Matteskolan: Andragradsekvationer med kvadratkomplettering

Mer om ekvationer (sid 15-17)

På dessa sidor förekommer i princip två typer av ekvationer, rotekvationer och ekvationer som man löser med fiffig substitution.

Vid lösning av rotekvation behöver man nästan alltid "kvadrera" bort roten vid lämpligt tillfälle. Då måste man ha klart för sig att det samtidigt kan dyka upp falska lösningar (dock kan inga lösningar försvinna). För att se om man fått några falska lösningar kontrollerar man helt enkelt de lösningar man får genom insättning i den ursprungliga ekvationen. De lösningar som stämmer är korrekta, de andra förkastas.

Genom substitution kan man återföra ekvationer som kanske ser lite halvläskiga ut på sådana som man känner igen. Betrakta t.ex.

(1)
\begin{equation} (x^2+5)^2-15(x^2+5)+54 =0 \end{equation}

Det är iofs en fjärdegradsekvation men man noterar att varje gång x:et förekommer så förekommer det i "paketet" $x^2+5$. Aha, vi ersätter $x^2+5$ med t och får då

(2)
\begin{equation} t^2-15t+54 =0 \end{equation}

Här är det en smal sak att bestämma t. Sedan använder man sambandet $t=x^2+5$ för att till sist bestämma x:en.

Lös 1141bd, 1142a, 1143a, 1146a, 1147, 1149ab samt C-uppgifterna 1150a, 1151a, 1152a, 1153a, 1154 beroende på ambitionsnivå (som vanligt).

Polynom i faktorform (sid 18-19)

Ett uttryck är i faktorform om "de yttersta" räknesätten är multiplikation. Ofta kan man uppnå denna faktorisering genom att bryta ut en gemensam faktor eller genom att "köra" kvadrerings- och konjugatreglerna baklänges. Om man tycker att det är mycket svårare att faktorisera än att multiplicera ihop så har man koll på läget. Det ÄR svårare och kräver viss träning.

Det finns ett enkelt samband mellan nollställen till polynom och polynomets faktorer, nämligen:

Att a är ett nollställe till ett polynom är ekvivalent med att $(x-a)$ är en faktor.

För att t.ex. faktorisera polynomet $p(x)=x^2+2x-3$ löser man ekvationen $x^2+2x-3=0$, får $x=1$ eller $x=-3$. Man kan därmed dra slutsatsen att $p(x)$ har faktorerna $x-1$ och $x-(-3)=x+3$. Alltså

(3)
\begin{equation} x^2+2x-3=k(x-1)(x+3) \end{equation}

där k är ett tal, som väljes så att koefficienten framför $x^2$ stämmer. Vi får $k=1$.

Om man råkar ha grafen till ett polynom ritad och beordras att skriva upp det algebraiska uttrycket är det lämpligt att leta fram nollställena (där grafen skär x-axeln) och med hjälp av dessa snickra faktorer.

Lös uppgifter efter behov, t.ex. en deluppgift per A-uppgift, och sedan B- och C-uppgifter

Som avslutning på kapitel 1.1 kan ni kolla in följande "ekvationskonstighet":

1.2 Rationella uttryck

Vad menas med ett rationellt uttryck? (sid 22-24)

Med rationella tal (bråk) menar man tal på formen "heltal genom heltal". På motsvarande sätt är ett rationellt uttryck något som har formen "polynom genom polynom". Minns det elfte budet: du skall icke dela med noll. Det innebär att variabelvärden (x-värden) som gör nämnaren till noll måste exkluderas. Man säger att det rationella uttrycket inte är definierat för dessa x.

Lös uppgifter efter behov. Stryk 1211.

Förkortning och förlängning (sid 25-29)

Det är i princip ingen skillnad på att förlänga och förkorta rationella uttryck och förlänga och förkorta bråk. Alltså är mycket vunnet om man är säker i bråkräkning. Det som kan vara knepigt är att "se" hur man ska förlänga och vad som kan förkortas. Jag har medvetet valt bort "taluttryck" bland övningarna. Känner man sig osäker på sådant kan man t.ex. tugga sig igenom Khan-övningarna nedan.

Förlänga behöver man göra t.ex. om man ska addera eller subtrahera rationella uttryck. Man studerar då nämnarna och försöker hitta en så liten gemensam nämnare som möjligt. Det betyder att man behöver ha med faktorerna från samtliga nämnare men inget mer.

Ska man förkorta ett rationellt uttryck behöver man i princip faktorisera täljare och nämnare. Sedan delar man bort gemensamma faktorer.

Lös 1217cd, 1218, 1219ac, 1221bd, 1227, 1230cd, 1231cd, 1232, 1233, 1238cd, 1240, 1241.

Khan: Adding fractions
Khan: Adding and subtracting fractions
Khan: Multiplying fractions
Khan: Dividing fractions

Addition och subtraktion (sid 30-33)

Man använder samma teknik när man adderar/subtraherar rationella uttryck som när man adderar/subtraherar bråk. Man förlänger alltså till minsta gemensam nämnare och adderar/subtraherar sedan täljarna. Notera att det kan vara en ide att t.ex. faktorisera nämnarna först så man verkligen använder minsta gemensam nämnare. Man kan såklart vara brutal och använda produkten av samtliga nämnare som gemensam, men det leder till jobbigare räkningar och behov av förkortning.

När man löser ekvationer är det ofta lämpligt att skriva leden var för sig på bråkform, "korsmultiplicera" bort nämnare osv.

Lös 1248cd, 1249cd, 1250b, 1252b, 1254, 1257cd, 1258, 1259b samt 1260cd och 1261 om man siktar mot MVG.

Multiplikation och division (sid 34-35)

Samma gamla visa; är man säker på vanlig hederlig bråkräkning så ligger man bra till. Kom ihåg att undersöka om det är möjligt att förkorta bort faktorer innan ni sätter igång och multiplicera ihop.

Lös 1263d, 1264a, 1265cd, 1266cd, 1268cd, 1269cd, 1270cd, 1271b, 1272 samt 1273b, 1274b, 1275 om man siktar mot MVG.

1.3 Linjära och ickelinjära funktioner

Funktionsbegreppet (sid 36-38)

En funktion består in princip av en indatamängd (definitionsmängd) och en tillordningsregel. Själva tillordningsregel ges ofta av en formel, men man kan också tänka sig en värdetabell eller en graf. De värden man kan få "ut" ur en funktion kallas värdemängd.

Ofta anger man inte definitionsmängden explicit utan låter den vara underförstådd (och maximal).

Betrakta funktionen $y=f(x)=x^2+1$. Varje tal kan kvadreras så definitionsmängden blir alla (reella) tal. Värdemängden (möjliga y-värden) blir däremot $y \geq 1$ eftersom en kvadrat aldrig kan bli negativ.

När man skriver $f(x)=x^2+1$ är det oväsentligt (men vanligt) att man använder just bokstaven x. Alltså är t.ex. $f(t)=t^2+1$ och $f(\square) = \square^2+1$ samma funktion. Den sista beteckningen kan man med fördel använda om man t.ex. ska bestämma $f(x^2+x)$. Det är bara att sätta in i rutan och fixa till;

(8)
\begin{equation} f(x^2+x) = (x^2+x)^2 +1 = x^4+2x^3+x^2+1. \end{equation}

Khan: Functions 1 (grafisk övning)
Khan: Functions 2 (grafisk övning)
Khan: Functions 3 (algebraisk övning)

Lös 1306, 1307, 1308, 1311, 1314, 1315a, 1317b, samt 1318bd, 1319, 1320 om man siktar mot MVG.

Linjära funktioner (sid 39-41)

Detta är i princip en repetition av Matematik B. Det mesta bör kännas igen. Om man lessnar på boken kan man roa sig med Khan-övningen eller kika på Anders Karlsson när han ritar grafer utifrån algebraiska uttryck. Bådadera är bra repetition.

Lös uppgifter efter behov, knappast alla eller kanske ens de flesta.


Utmaning - räta linjen

Som ni kanske minns från Matematik B så finns det ett enkelt samband mellan k-värdena, $k_1, \, k_2$, för två vinkelräta linjer, nämligen

(9)
\begin{align} k_1 \cdot k_2 = -1. \end{align}

Försök plocka fram ett samband ("en formel") mellan k-värden hos två linjer med mellanliggande vinkel $45^{\circ}$. Klicka på knappen nedan så öppnas en GeoGebrakonstruktion som illustrerar situationen. k-värden anges och man kan rotera figuren genom att dra i punkten B. Ser ni något samband? Kan ni bevisa det?


Khan: Line graph intuition

Matteskolan: Rita linje med värdetabell
Matteskolan: Rita linje från ekvation på allmän form

Andragradsfunktioner (sid 42-44)

Även detta är huvudsakligen repetition från Matematik B. Det mesta bör alltså kännas igen. Se gärna Anders Karlssons klipp nedan!

Lös uppgifter efter behov, knappast alla.


Utmaning - andragradskurvor

Betrakta grafen till funktionen

(10)
\begin{equation} f(x)=x^2+ax+1 \end{equation}

där a är en parameter. Olika värden på talet a ger alltså olika kurvor, men var och en av dem har en minimipunkt. Längs vilken kurva rör sig grafernas minimipunkt när a varierar? Klicka på knappen nedan så öppnas en GeoGebra-konstruktion där ni kan variera a med en glidare. Samtidigt rör sig då punkten A, men längs vilken kurva? Hypotes? Bevis?


Matteskolan: Andragradsfunktionens graf, inledning
Matteskolan: Andragradsfunktionens graf, fortsättning

1.4 Potenser och logaritmer

Exponentialfunktioner och potenser, potenslagar (sid 49-52)

Det är som vanligt (än så länge), mest repetition av gamla kunskaper. I nästa avsnitt ska det handla om logaritmer som, på något vis, är "motsatser" till exponenter och potenser. Har man bra koll på potenslagarna så är det lättare att begripa och använda logaritmlagarna.

I 1417 bryter man ut faktorer i täljare och nämnare var för sig, och sedan förkortar man. Om man blir osäker på hur det funkar med x i exponenten så kan man först sätta in tal på x:ets plats och "känna efter" hur det funkar med siffror.

Nedan finns några Khan-övningar som också kan användas som repetition. Det är bara uppgifter med "siffror" och inte särskilt roliga (men kanske nyttiga).

Lös uppgifter efter behov utom 1419.


Utmaning - potenslagar

Betrakta följande "räkning"

(11)
\begin{align} 1=1^1=1^{2 \cdot \frac{1}{2}}=(1^2)^{\frac{1}{2}} = ((-1)^2)^{\frac{1}{2}}=(-1)^{2 \cdot \frac{1}{2}} = (-1)^1 = -1 \end{align}

Något har uppenbarligen blivit allvarligt fel, eftersom 1 knappast är lika med -1. Men vilket likhetstecken är inkorrekt, och vilken potenslag är det som "misshandlats"?


Khan:Exponents 1
Khan: Exponents 2
Khan: Exponents 3
Khan: Exponents 4
Khan: Exponent rules

Bråk som exponenter (sid 53-55)

Det finns inte så mycket att säga om detta, potenslagarna fungerar som vanligt också med bråk i exponenten. Det är dock säkrast att man har ett positivt tal i basen om man har bråk i exponenten. Annars får man problem med räkneregler.

Lös uppgifter efter behov. Uppgift 1427 är "lite märklig" så den skippas (likheten gäller eftersom man bestämt det!)

Tillämpningar på exponenter (sid 56-57)

Här gäller det att omformulera svensk text till matematiska uttryck, ofta något potensaktigt. Sen kör man på som tidigare, dvs. sätter in lämpliga värden eller löser en ekvation.

I uppgift 1450 behöver man känna till sfärens yta, $4 \pi r^2$, och volym, $4 \pi r^3/3$.

Lös 1441, 1445, 1447 samt 1449, 1450 om man har högre betygsambition.

1.5 Logaritmer

Nicklas hade hand om detta avsnitt, så man får konsultera sina egna anteckningar. Anders Karlssons klipp är dock alltid sevärda.

Matteskolan: Logaritmer, introduktion
Matteskolan: Räkneregler, del 1
Matteskolan: Räkneregler, del 2
Matteskolan: Logaritmer, tre enkla exempel
Matteskolan: Exponentialekvationer, tre exempel

2.1 Förändringshastigheter

Genomsnittlig förändringshastighet (sid 88-91)

Om man tillryggalägger en viss sträcka $\Delta s$ på en viss tid $\Delta t$ så blir (såklart) medelhastigheten eller den genomsnittliga förändringshastigheten

(12)
\begin{align} v=\frac{\Delta s}{\Delta t}. \end{align}

På samma sätt kan man tala om den genomsnittliga förändringshastigheten

(13)
\begin{align} \frac{\Delta y}{\Delta x} \end{align}

om y är en variabel som beror på x. Om man slutligen tänker sig att $y=f(x)$ så ges den genomsnittliga förändringshastigheten då x går från a till b av

(14)
\begin{align} \frac{f(b)-f(a)}{b-a}. \end{align}

Tänk efter så ni inser att de tre formuleringarna "fångar" samma sak!

I uppgifterna nedan handlar det om att just räkna ut diverse förändringshastigheter. Värden kan man behöva räkna ut eller läsa av i graf eller tabell.

Lös 2104, 2105, 2106, 2107, 2113, 2114 samt 2116, 2118 om man har lite högre ambition.

Kurvors lutning (sid 92-96)

Grafisk är det ganska lätt att föreställa sig vad som ska menas med lutningen till en kurva i en punkt (på kurvan). Man ritar helt enkelt tangentlinjen till kurvan i punkten och låter tangentens lutning vara kurvans lutning. Om man vill räkna ut denna lutning utan att varje gång behöva rita figur (det blir ju inte heller särskilt exakt i en figur) är det kanske mindre klart hur man gör. Tekniken är att använda sekanter som passerar genom den aktuella punkten och annan punkt på kurvan. Denna andra punkt flyttar man sedan allt närmre ursprungspunkten och bestämmer sekanternas lutning. I "gränsläget" kommer sekanten att övergå i tangent och man får då lutningen i punkten.

GeoGebraillustrationen av kurvan $y=x^2$:s lutning i punkten (1,1) kommer här. Dra i glidaren h.

Lös 2121, 2123, 2125, 2127, 2129b, 2132abcd (till man kan tekniken), 2134 samt 2135, 2136, 2137 om man har högre betygsambitioner.

2.2 Derivata

Begreppet derivata (sid 97-99)

Här handlar det om derivatans geometriska tolkning som lutning av tangent till kurva och fysikaliska som hastighet. Själva prim-beteckningen i $f'$ och namnet derivata lär ha myntas av Lagrange.

Lös samtliga uppgifter.

Derivatans definition (sid 100-102)

För att bestämma lutningen i en punkt har vi tidigare studerat sekanter till en kurva. Genom att hålla en punkt fixerade och låta den andra närma sig den fixerade punkten "obegränsat" erhåller man tangentens lutning som "gränsläget" av sekanternas lutningar. Att formalisera detta (är h lika med 0 eller är det inte?) tog flera hundra år och inblandade de allra största matematikerna. Om det tar några veckor för er att fatta så är det alltså lugnt :-). Ideen är i vilket fall att definiera derivatan som gränsvärdet av differenskvoten då h går mot noll. När man räknar i praktiken innebär det att man räknar på med h, förenklar och när h väl är borta från nämnaren så sätter man det lika med noll. Man kan därmed lösa många problem även om själva gränsvärdetsbegreppet får hänga i luften genom hela gymnasiet.

Lös 2217, 2218abc (tills man tröttnar), 2221abc (tills man tröttnar), 2222d, 2224, 2225, 2226.

Anders Karlsson excellerar i derivatans definition och räkningar nedan. Sevärt!

Matteskolan: Derivatans definition till skön(?) musik
Matteskolan: Derivatan av x^2 med definitionen
Matteskolan: Derivatan av x^2+2x med definitionen
Matteskolan: Derivatan av 1/x med definitionen

Grafritande räknare och derivators värde (sid 103)

Er räknaren kan derivera numeriskt i enstaka punkter, men har ingen algebraisk "motor". Således har man begränsad nytta av räknedosan i derivatasammanhang, men det kan ändå vara bra att ibland göra kontroller med hjälp av densamma. Poängen med uppgifterna på sida 103 är att ni ska lära er lite om räknaren, inte något nytt om derivator.

Observera att det finns betydligt bättre "datorprogram" som klarar algebraisk hantering, t.ex. WolframAlpha, Maxima, Sage, GeoGebra, Maple, Mathematica etc.

Frågan blir då: varför hålla på med räknedosan? Svar: de andra hjälpmedlena tillåts inte på NP, bara i verkligheten.

Lös 2228, 2230.

2.3 Deriveringsregler

Derivatan av ett polynom (sid 104-107)

Kolla upp så ni vet vad ett polynom är, annars är risken att ni använder fel regler vid fel tillfällen. Överhuvudtaget så behandlas bevisen för räkneregler för derivator mycket sparsamt i gymnasiekursen. Ni bör kunna härleda derivatan för andragradsfunktioner och eventuellt tredjegradsfunktioner, men inte för högre grad. Man använda resultaten att en summa eller differens får deriveras termvis utan vidare motivering.

Lös uppgifter efter behov. När ni är klara ska deriveringsreglerna för polynom "sitta säkert".

Derivatan av potensfunktioner (108-110)

En potensfunktion har formen $f(x)=x^a$ där a är vilket tal som helst. Om a råkar vara ett positivt heltal får vi ett polynom och vi vet att derivatan då blir $f'(x)=ax^{a-1}$. Det visar sig (men är ingalunda självklart) att samma deriveringsregel gäller även om a inte är ett heltal, dvs

(15)
\begin{align} f(x)=x^a \Rightarrow f'(x)=ax^{a-1} \end{align}

för alla värden på a. Observera att om a=1/2 får vi $f(x)=x^{1/2}=\sqrt{x}$ och om a=-1 får vi $f(x)=1/x$, funktioner som vi nu alltså kan derivera.

Den som siktar på högsta betyget kan sätta sig in i bevisen på sida 108, för övriga räcker det att kunna använda deriveringsregeln.

Lös samtliga uppgifter, eventuellt utom c-uppgifterna.

Derivatan av exponentialfunktionen (sid 113-116)

Exponentialfunktioner har formen

(16)
\begin{align} f(x)=C \cdot a^x \end{align}

där C och a är konstanter. Blanda inte ihop dessa med potensfunktionerna, de har bland annat olika "regler" vid derivering. Man kan tänka sig många olika värden på basen a och kan tycka att a =10 är mest naturligt då man får $f(x)=C \cdot 10^x$, vilken hänger ihop med 10-logaritmen lg som vi stött på tidigare. Det visar sig dock att talet

(17)
\begin{align} e \approx 2,718282828459045 \ldots \end{align}

faktiskt är enklare att arbeta med. Det viktigaste skälet (just nu) är att

(18)
\begin{align} f(x)=e^x \Rightarrow f'(x)=e^x \end{align}

dvs med basen e blir exponentialfunktionen sin egen derivata! Boken noterar också (utan bevis) att:

(19)
\begin{align} f(x)=e^{kx} \Rightarrow f'(x)=ke^x \end{align}

vilket alltså betyder att om man har konstant gånger x i exponenten så kommer konstanten ner som faktor medan EXPONENTEN BLIR INTAKT. Om man råkar minska med ett (som i potensfunktioner) som kommer provpoängen att minska med minst en!

Talet e dyker upp i många en del andra sammanhang som dock ligger utanför kursens ramar.

Lös uppgifter tills deriveringsregeln sitter. 2341, 2344, 2345 kan man spara till senare.

Naturliga logaritmen och derivatan av $a^x$ (sid 117-118)

Eftersom derivatan av $e^x$ blir särskilt enkel (nämligen sig själv) så kan det vara lämpligt att arbeta med basen i som någon sorts "standardbas". När man väl bestämt sig för detta är det lika naturligt att arbeta med logaritmer i basen e (som i basen 10). En sådan skrivs logaritm skrivs $\ln a$, där $\ln a$ alltså är det tal som e ska upphöjas med för att man ska få a. Om basen e är naturlig så är det lika bra att kalla $\ln$ för den naturliga logaritmen.

Med omskrivning i basen e kan man sedan visa att

(20)
\begin{align} f(x)=a^x \Rightarrow f'(x)=a^x \ln a \end{align}

Deriverar man en exponentialfunktion med annan bas än e kommer man förutom funktionen själv få med en faktor $\ln a$ (som alltså är en konstant).

Lös 2348a, 2349e, 2350ef, 2352, 2353, 2356, 2358, 2361.

Blandade tillämpningar och problem (sid 119-121)

Ingen ny matematik här. Istället ska man läsa texter, översätta till matematik och tillämpa gamla kunskaper.

Lös 2365, 2366, 2369, 2371, 2372, 2374 samt eventuellt 2376, 2379, 2380 (Rätt svar ska vara $4,0 \cdot 10^{21} \cdot e^{-0,1t}$).

2.4 Grafisk och numerisk derivering

Olika differenskvoter (sid 122-124)

I derivatans definition fixerar man den punkt man söker derivatan i och bestämmer sekantlutningar till punkter i "närheten" på kurvan. Oftast illustrerar man detta genom att välja en punkt h enheter till höger på kurvan. Det finns emellertid inget som hindrar att man väljer punkten h enhet till vänster. Man får då

(21)
\begin{align} f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x)- f(x-h)}{h} \end{align}

Observera ordningen i täljaren.

Ett annat sätt att angripa problem med lutningen i en punkt på en kurva är att betrakta ett intervall symmetriskt kring den aktuella punkten och successivt minska detta intervall. Man får

(22)
\begin{align} f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)- f(x-h)}{2h} \end{align}

Observera att skillnaden mellan x+h och x-h är 2h, därav nämnaren. Om det är fråga om att göra numeriska approximationer av derivatan är ofta den sistnämnda symmetriska varianten bäst.

Lös 2403, 2405, 2407 samt eventuellt 2410, 2411 och se till så ni kan använda deriveringsfunktionerna på räknedosan.

Mer om gränsvärden (sid 125-126) UTGÅR

3.1 Vad säger förstaderivatan om grafen?

Hur används förstaderivatan vid kurvkonstruktion? (sid 146-150)

I detta avsnitt ska ni alltså lära er hur man kan använda derivata för att skissa grafer till funktioner. Detta är mycket smidigare och effektivare (åtminstone för en människa) än att göra finmaskiga värdetabeller. Ni behöver också tänka "bakvänt": vad säger en given graf om motsvarande derivata.

Tekniken för ovanstående följer följande schema.

  1. Undersök funktionens definitionsmängd, finns det några ''x-värden'' som inte ingår.
  2. Derivera: $f'(x) \ldots$
  3. Bestäm derivatans nollställen: lös ekvationen $f'(x)=0$. Ni får då reda på x-koordinaterna för max/min/terrasspunkter.
  4. Teckenstudera derivatan för att få reda på vilken typ av punkt det är fråga om, av max/min/terrasspunkter.
  5. Bestäm y-värden för de intressanta punkterna.
  6. Skissa grafen med hjälp av den information du räknat fram.

Det är viktigt att tekniken ovan sitter "som berget". Lös samtliga a-uppgifter och 3112, 3113, 3114. Om man tycker att det är för enkla a-uppgifter kan man hoppa och istället göra några av 3110-3111. Bland c-uppgifterna rekommenderas 3115, 3117 samt 3119.

Skissa grafer (sid 152-154)

Förutom studie av derivata och bestämmande av max/min, växande/avtagande så behöver man ibland reda ut hur funktionsgrafen beter sig "långt bort", dvs när x är stort positivt eller negativt, vilket i boken skrivs som att |x| (utläses absolutbeloppet av x) stort.

Hur beter sig t.ex. $f(x)=x^3-3x^2-9x+3$ om |x| är stort? Uttrycket består av fyra termer och om man tänker efter så inser man att den högsta x-potensen spelar i särklass störst roll då |x| är stort. Alltså

(23)
\begin{align} f(x)=x^3-3x^2-9x+3 \approx x^3 \end{align}

då |x| stort.

I princip betyder detta att om man zoomar ut grafen till $f(x)=x^3-3x^2-9x+3$ rejält kommer det att se ut ungefär som grafen till $f(x)=x^3$. Om man däremot zoomar in kring origo ser man stora skillnader (och de upptäcker man med derivatastudier). Kolla gärna genom att rita grafen i GeoGebra!

Lös 3121, 3125, 3126 och 3132 om man vill/orkar.

Största och minsta värde (sid 155-157)

Tidigare har vi letat upp lokala maximi- och minimipunkter med hjälp av derivata. Dessa punkter kallas med ett samlingsnamn lokala extrempunkter. Observera att en terrasspunkt inte är en extrempunkt. Med lokala menas i princip att om man ställer sig i en lokal extrempunkt på grafen och är närsynt så tycker man att man är högst upp eller längst ner. Att det kan finnas större eller mindre funktionvärden en bit bort tar man inte hänsyn till.

Med globala extremvärden menas de totalt sett största och minsta funktionsvärdena. Man får alltså inte vara närsynt utan ha tillgång till en oändligt bra kikare. Lokala extremvärden kan antas i två typer av punkter, nämligen derivatans nollställen och definitionsmängdens ändpunkter (intervallgränser). Taktiken för att leta upp globala extremvärden blir därför; bestäm derivatans nollställen och funktionsvärdena där, bestäm funktionsvärden i ändpunkter, kolla efter vilket värde som är störst respektive minst. Se också figur i boken sida 155.

Lös först 3135 och 3136. Därefter kan man välja att lösa de återstående a-uppgifterna (37, 38, 39) eller arbeta med b- och c-uppgifter. b-uppgifterna är i så fall "obligatoriska" medan c-uppgifterna görs beroende på ambitionsnivå.

3.2 Derivator och tillämpningar

Polynomfunktioner (sid 158-164)

"Räknemässigt" är det inte mycket nytt. Det kokar ofta ned till derivering, derivatans nollställen osv. Det som är nytt, och ibland svårt, är att förstå vad som ska göras och bestämmas i textuppgifterna. I de lite svårare problemen blir det också fråga om att man själv ska snickra ihop den funktion man ska studera. Det finns många uppgifter och vi glesar ut lite. Det är lugnt, om ni som motprestation gör uppgifterna nedan ordentligt!

Den som får tid över kan fundera på följande (som inte ingår i kursen):

  • Hur visar man geometriskt att kvadraten är den fyrhörning som innesluter störst area för en given omkrets?
  • Hur visar man geometriskt att rektangeln med sidförhållandet 2:1 och med den längre sidan parallell med ån är den fyrhörning som innesluter störst area för en given staketlängd?

Lös 3204, 3206, 3208, 3210, 3213, 3216, 3219, 3224 samt om man har höga ambitioner 3226, 3227, 3230, 3231. Lösningar på b- och c-uppgifterna finns här. Kika där efter era egna försök, inte innan.

Några enkla potensfunktioner (sid 165-167)

Till stor del repetition, det är iofs lite text att läsa men sedan kokar det ner till att derivera potensfunktioner (konstant bas, variabel exponent). Principen är "att sparka ned exponenten och dra av ett". Observera att en väsentlig sak kan skilja från hanteringen av polynomfunktioner nämligen, om x finns i nämnaren kan uttrycket vara odefinierat för vissa x och det måste hanteras/observeras, t.ex. i teckenstudium av derivata!

Lös a-uppgifterna och 3241a, 3242. De med MVG-ambition kikar också på c-uppgifterna 3245 och 3246 (3244 skippas). 3245 kan lösas mycket elegant med kvadratkomplettering. Försök gärna. Lösningar till c-uppgifterna finns här.

Exponentialfunktioner (sid 168-170)

Först erinrar vi derivatan av exponentialfunktionen

$$f(x)=a^x \Rightarrow f'(x)=a^x \ln a$$

Detta innebär t.ex. att

$$f(x)=e^x \Rightarrow f'(x)=e^x \ln e = e^x$$

och

$$f(x)=e^{kx} \Rightarrow f'(x)=ke^{kx}.$$

Därefter är det "som vanligt", en radda textproblem som handlar om att avgöra om funktioner är växande/avtagande, bestämma max/min etc. Det följer samma lösningsmönster som tidigare liknande problem.

Lös a-uppgifterna och 3254, 3255, 3257, samt eventuellt 3259 och 3261 bland c-uppgifterna.

Grafritande räknare (sid 171-172)

Ingen ny matematik. Däremot är det bra att träna lite på att använda sin räknedosa. Den är såklart helt underlägsen t.ex. GeoGebra, men räknaren får användas på prov, inte GeoGebra. Det viktigaste är att ni kan göra följande på er räknare

  • skriva in funktionsuttryck
  • rita lämplig graf
  • göra lämplig värdetabell
  • lösa ekvationer (numeriskt)
  • bestämma derivator (numeriskt)
  • bestämma max/min (numeriskt)

Om man kör fast på något frågar man. Det kommer inte att bli fullständig kurs på tavlan.

Lös 3265, 3267 och eventuellt 3272. Det viktiga är som sagt inte att lösa många problem här, utan att ha grundkoll på räknaren.

4.1 Talföljder och serier

Vad menas med en talföljd? (sid 192-195)

Med en talföljd menas en följd av tal (såklart), såväl ändlig som oändlig. Exempel:

(24)
\begin{equation} 1, 65, 43, -3 , 42, -4, 7 , -2 ,3,-9,0 \end{equation}
(25)
\begin{align} 1,3,5,7,9,11, \ldots \end{align}

Med … menas att följden fortsätter på samma sätt, och det blir läsarens uppgift att förstå mönstret.

Istället för att skriva upp själva följden kan man tala om hur elementen genereras. En möjlighet är på sluten form där elementen $a_n$ uttrycks som funktion av platsnumret n. Vår följd (25) ovan kan skrivas

(26)
\begin{equation} a_n=2n-1 \end{equation}

En annan möjlighet är på rekursiv form där elementen uttrycks med hjälp av sin (sina) föregångare. Vår följd (25) kan skrivas

(27)
\begin{equation} a_n=a_{n-1} +2, a_1 =1 \end{equation}

Observera att vi måste ange startvärdet annars kan vi inte starta vår rekursion.

Lös a-uppgifter samt 4110, 4112, 4114, 4116. c-uppgifterna behöver man inte göra.

4.2 Summor

Aritmetisk summa (sid 197-198)

En sådan summa får man om man summerar termerna i en ändlig aritmetisk talföljd. Kom ihåg att en sådan genereras genom att man till ett godtyckligt startvärde successivt adderar en konstant. Ett exempel på en sådan talföljd och summa är

(28)
\begin{equation} 3+7+11+15+19+23+27+31+35+39 \end{equation}

som startar med 3 och där man successivt adderar 4.

Vad blir talföljdens summa S? Som man lätt reder ut (se bok) får man

(29)
\begin{align} S=\frac{\textrm{''första termen"} + \textrm{''sista termen''}}{2} \cdot \textbf{''antalet termer''} = \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n \end{align}

vilket i vårt fall ger

(30)
\begin{align} S=\frac{3+39}{2} \cdot 10 = 210. \end{align}

Det som kan kräva lite eftertanke är hur många termer, n, en viss talföljd består av. Vad blir n i talföljden

(31)
\begin{align} 2, 7, 12, 17 , 22, \ldots ,272, 277? \end{align}

Tydligen innehåller följden

(32)
\begin{align} \frac{277-2}{5} = 55 \end{align}

''femsteg''. Alltså har följden 55+1=56 termer (och INTE 55).

Lös a-uppgifterna och 4208, 4209 samt eventuellt 4211.

Geometrisk summa (sid 199-200)

En sådan summa får man om man summerar termerna i en ändlig geometrisk talföljd. Kom ihåg att en sådan genereras genom att man till ett godtyckligt startvärde successivt multiplicerar en konstant. Ett exempel på en sådan talföljd och summa S är

(33)
\begin{equation} S=4+12+36+108+324+972 \end{equation}

som startar med 4 ($=a_1$) och där man successivt multiplicerar med 3 (=k).

Om vi bildar 3S fås

(34)
\begin{equation} 3S=12+36+108+324+972+2916 \end{equation}

dvs. samma följd så när som på första och sista termen (4 och 2916). Vi bildar nu

(35)
\begin{equation} 3S-S=2916-4 \end{equation}

eller

(36)
\begin{align} S=\frac{2916-4}{3-1}=1456 \end{align}

Om man tänker igenom det generella fallet med första tal $a_1$, faktor k och n element får man

(37)
\begin{align} S=\frac{a_1 \cdot(k^n-1)}{k-1} \end{align}

Lös a-uppgifterna och 4219, 4221.

4.3 Tillämpningar (sid 201-205)

I boken behandlas två områden, nämligen ekonomi och naturvetenskap. Den främsta tilllämpningen inom ekonomi är geometriska talföljder som anger hur kapital/lån förräntas. Om man t.ex gör upprepade årliga insättningar av samma belopp på ett konto kommer behållning att ges av summan av en geometrisk talföljd. Det som är knepigast är att hålla koll på antal insättningar och hur många år det har förräntas, därefter är det relativt enkelt att sätta in i summaformeln och räkna ut.

Lös, på sida 203; 4306, 4307, 4309, 4310, 4311 och eventuellt 4313. Lös på sida 205; 4315, 4316, 4318, 4320 och eventuellt 4321.

4.4 Kalkylmodeller/kalkylprogram (sid 208-211)

I detta avsnitt ska vi kika på hur man lägger in formler och sedan utför upprepade beräkningar i Excel. Sådant orkar man inte göra för hand och också räknedosan är jobbig att använda. Själva matematiken är just att tänka ut och lägga in formler, själva syntaxen och utseendet är rena Excel-kunskaper och inte så viktigt (i MaC).

Avsnittet med upprepade beräkningar med räknare (sid 212-213) struntar vi i (inte så intressant enligt läraren).

Lös 4403-4405 om ni behöver för att komma igång. Därefter 4407 och 4408 som är "obligatoriska".

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License