matematik-c-ht10-vt11:inl1

Inlämningsuppgift, MaC, ht10, NV2c

Att göra

Lös i grupper om 3 (högst 4) personer uppgifterna nedan. Skriftliga lösningar inlämnas senast fredagen 21/10, kl 15.00, i mitt fack. Samtliga deltagare i gruppen ska muntligt kunna redogöra för samtliga inlämnade lösningar. Muntliga diskussioner kommer att genomföras vid behov och under vecka 43.

För att lösa uppgifterna är alla hjälpmedel tillåtna. Jag kommer dock att undvika att svara på direkt frågor om uppgifterna. Kom ihåg att man ska lära sig något av arbetet med problemen, inte få ihop lösningar på enklaste och kortaste tid. Poängen med lite svårare uppgifter som man gör under längre tid och med tillgång till godtyckliga hjälpmedel är att man får en inlärningseffekt i själva examinationen. Vanliga salsprov däremot är ju snarast en kontroll (utan inlärning).

Omdöme/betyg

För betyget G: Detta betygssteg hanteras på provet 22/10. Om man väljer att inte göra inlämningsuppgifter kan man nå högst betyget G.

För betyget VG: Man har gjort goda försök på flertalet av uppgifterna, vilket betyder att man åtminstone har några korrekta delresultat.

För betyget MVG: Man ska ha gjort goda försök på samtliga uppgifter och flertalet av dem ska vara i princip helt korrekt lösta. Enstaka slarvfel eller mindre missar som lätt kan korrigeras muntligt är acceptabelt. Framställningen är logisk, lättläst, prydlig och inte onödigt pratig.

Uppgifter

Algebraisk yoga

1. Faktorisera polynomet

(1)
\begin{equation} x^6+4x^5-8x^4+94x^3+67x^2+262x-420 \end{equation}

med hjälpmedel (WolframAlpha, Maxima etc). Multiplicera sedan ihop faktorerna för hand och kontrollera att det stämmer.

2. Konstruera en så kallad rotekvation som har lösningen x=1 men där också en falsk rot x=2 dyker upp om man kvadrerar på lämpligt sätt. Lös er rotekvation och förklara hur den konstruerades, gärna genom att rita lämpliga grafer.

3. Bestäm samtliga polynom som uppfyller

(2)
\begin{equation} p(p(x)+1)=p(x-1). \end{equation}

4. Ekvationen

(3)
\begin{equation} x^3+4x^2-19x+14=0 \end{equation}

har lösningarna $x=1$ och $x=2$. Vilken är den tredje lösningen, hur kan man se detta utan att faktorisera och varför fungerar det så? Kan man finna den tredje lösningen på flera sätt?

Försök sedan generalisera: Antag att vi har en n:te-grads ekvation och råkar känna till n-1 stycken lösningar. Hur hittar man snabbt den sista lösningen?

5. Lös uppgift 1358. Rita dessutom grafen till funktionen, t.ex. i GeoGebra. Undersök i grafen och med räkningar vad som händer med funktionsvärdena när

  • x närmar sig talet 1.
  • x blir ett stort positivt tal.
  • x blir ett stort negativt tal.
Logaritmer

6. Förklara i ord och med något konkret räkneexempel hur en logaritmtabell fungerar och kan användas. Ta också reda på och skriv kort om när och varför logaritmtabeller började användas och när och varför de slutade användas (i större omfattning). Här finns ett exempel på en logaritmtabell.

7. Vad kan man säga om

(4)
\begin{align} \log_{\frac{1}{2}} a + \log_2 a, \end{align}

där a är ett godtyckligt positivt tal? Ställ upp en hypotes och bevisa (argumentera för) den.

8. I boken behandlar man 10-logaritmen som skrives $\log = \lg = log_{10}$. Det finns inget som hindrar att man använder andra baser än just 10 och då talar om a-logaritmen $\log_{a}$.

  • Ange definitionen av talet $log_2 10$.
  • Bestäm $log_2 10$ med två decimalers noggrannhet.
  • Man kan inte välja vilket tal som helst som bas. Ange en bas som är olämpligt och förklara varför.
  • Kan man tänka sig logaritmer i negativa baser? Vad ska man mena med t.ex. $\log_{-2} 8$ och $\log_{-2} (-8)$? Försök beskriv generellt vilka tal man kan ta (-2)-logaritm på.
Derivata

9. Öppna denna GeoGebrakonstruktion. Utför följande och besvara skriftligt frågorna:

  • Flytta punkten A så att den får x-koordinaten 4,7 (använd piltangenterna för att finjustera). Vad blir dess y-koordinat? Sätt in x=4,7 i funktionsuttrycket och kontrollera. Använd räknedosa!
  • Fixera punkten A och flytta punkten S mot punkten A, genom att minska värdet på glidaren h. Observera att sekanten blir mer och mer "lik" en tangent. Vilket k-värde ser tangenten ut att ha?
  • Gå vidare till nästa steg i konstruktionen genom att flytta "punkten" i den gröna rutan till vänster.
  • Flytta punkten A och observera hur tangenten och dess k-värde (derivatan) ändras. För vilka x-värden blir derivatan 0?
  • Gå vidare till nästa steg i konstruktionen genom att flytta "punkten" i den fyllda rutan till vänster. I rutan högst upp till höger kan man bocka i en uppgiftsruta (Uppgifter 1). Gör det och besvara de frågor som dyker upp i deluppgift 1 (den första). Skippa övriga deluppgifter.
  • Gå vidare till nästa steg i konstruktionen genom att flytta "punkten" i den fyllda rutan till vänster. I rutan högst upp till höger kan man bocka i en uppgiftsruta (Uppgifter 2). Gör det och besvara de frågor som dyker upp i deluppgift 1 (den första). Skippa övriga deluppgifter.
  • Om man hinner! I GeoGebrafönstret finns algebraiska uttryck för såväl ursprungsfunktionen som dess derivata. Kika i läroboken och försök hitta "regler" för algebraisk derivering. Hur får man fram derivatans funktionsuttryck utan att rita grafer? Redogör om ni hinner/orkar för era upptäckter!
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License