matematik-c-ht10-vt11:detaljplan

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 4.1 4.2 4.3

1.1 Polynom

En hel del av detta avsnitt är repetition från Matematik B.

Polynom och räkneregler (sid 8-11)

Kolla upp vad som menas med ett polynom och vad som inte är ett polynom. Repetera beteckningen $p(x)$ och varianter på detta som t.ex. $p(a+1)$. Ett sätt och tänka är med tomma rutor och cirklar som man sedan sätter in lämpliga "saker" i.

Gör inte samma misstag som jag och läs uppgifter dåligt. I 1117 är det alltså givet vad x ska vara. Väljer man något annat kan man råka ut för poängavdrag på prov.

Lös uppgifter efter behov. Det betyder (framöver) att man tänker efter vad man inte kan, vilket mål man har och hur mycket tid man orkar lägga. I princip ska alla klara samtliga A-uppgifter, men det betyder inte att man måste räkna alla. Det kan räcka att ögna igenom och räkna en av varje typ. Beroende på betygsmål ger man sig sedan i kast med B- och C-uppgifter.

Ekvationer och lösningsmetoder (sid 12-14)

Här är det fråga om att repetera den s.k. pq-formeln. Visst, den finns på formelblad, men man måste vara stensäker på användningen. Vissa ekvationer löses enkelt med s.k. nollproduktmetod. Om man är oförsiktig och multiplicerar ihop parenteserna så blir det onödigt svårt. Så det kan vara värt att tänka några sekunder innan man fläskar på med räkningar.

Lös uppgifter efter behov.

Mer om ekvationer (sid 15-17)

På dessa sidor förekommer i princip två typer av ekvationer, rotekvationer och ekvationer som man löser med fiffig substitution.

Vid lösning av rotekvation behöver man nästan alltid "kvadrera" bort roten vid lämpligt tillfälle. Då måste man ha klart för sig att det samtidigt kan dyka upp falska lösningar (dock kan inga lösningar försvinna). För att se om man fått några falska lösningar kontrollerar man helt enkelt de lösningar man får genom insättning i den ursprungliga ekvationen. De lösningar som stämmer är korrekta, de andra förkastas.

Genom substitution kan man återföra ekvationer som kanske ser lite halvläskiga ut på sådana som man känner igen. Betrakta t.ex.

(1)
\begin{equation} (x^2+5)^2-15(x^2+5)+54 =0 \end{equation}

Det är iofs en fjärdegradsekvation men man noterar att varje gång x:et förekommer så förekommer det i "paketet" $x^2+5$. Aha, vi ersätter $x^2+5$ med t och får då

(2)
\begin{equation} t^2-15t+54 =0 \end{equation}

Här är det en smal sak att bestämma t. Sedan använder man sambandet $t=x^2+5$ för att till sist bestämma x:en.

Lös 1141bd, 1142a, 1143a, 1146a, 1147, 1149ab samt C-uppgifterna 1150a, 1151a, 1152a, 1153a, 1154 beroende på ambitionsnivå (som vanligt).

Polynom i faktorform (sid 18-19)

Ett uttryck är i faktorform om "de yttersta" räknesätten är multiplikation. Ofta kan man uppnå denna faktorisering genom att bryta ut en gemensam faktor eller genom att "köra" kvadrerings- och konjugatreglerna baklänges. Om man tycker att det är mycket svårare att faktorisera än att multiplicera ihop så har man koll på läget. Det ÄR svårare och kräver viss träning.

Det finns ett enkelt samband mellan nollställen till polynom och polynomets faktorer, nämligen:

Att a är ett nollställe till ett polynom är ekvivalent med att $(x-a)$ är en faktor.

För att t.ex. faktorisera polynomet $p(x)=x^2+2x-3$ löser man ekvationen $x^2+2x-3=0$, får $x=1$ eller $x=-3$. Man kan därmed dra slutsatsen att $p(x)$ har faktorerna $x-1$ och $x-(-3)=x+3$. Alltså

(3)
\begin{equation} x^2+2x-3=k(x-1)(x+3) \end{equation}

där k är ett tal, som väljes så att koefficienten framför $x^2$ stämmer. Vi får $k=1$.

Om man råkar ha grafen till ett polynom ritad och beordras att skriva upp det algebraiska uttrycket är det lämpligt att leta fram nollställena (där grafen skär x-axeln) och med hjälp av dessa snickra faktorer.

Lös uppgifter efter behov, t.ex. en deluppgift per A-uppgift, och sedan B- och C-uppgifter

1.2 Rationella uttryck

Vad menas med ett rationellt uttryck? (sid 22-24)

Med rationella tal (bråk) menar man tal på formen "heltal genom heltal". På motsvarande sätt är ett rationellt uttryck något som har formen "polynom genom polynom". Minns det elfte budet: du skall icke dela med noll. Det innebär att variabelvärden (x-värden) som gör nämnaren till noll måste exkluderas. Man säger att det rationella uttrycket inte är definierat för dessa x.

Lös uppgifter efter behov. Stryk 1211.

Förkortning och förlängning (sid 25-29)

Det är i princip ingen skillnad på att förlänga och förkorta rationella uttryck och förlänga och förkorta bråk. Alltså är mycket vunnet om man är säker i bråkräkning. Det som kan vara knepigt är att "se" hur man ska förlänga och vad som kan förkortas.

Förlänga behöver man göra t.ex. om man ska addera eller subtrahera rationella uttryck. Man studerar då nämnarna och försöker hitta en så liten gemensam nämnare som möjligt. Det betyder att man behöver ha med faktorerna från samtliga nämnare men inget mer.

Ska man förkorta ett rationellt uttryck behöver man i princip faktorisera täljare och nämnare. Sedan delar man bort gemensamma faktorer.

Lös 1217cd, 1218, 1219ac, 1221bd, 1227, 1230cd, 1231cd, 1232, 1233, 1238cd, 1240, 1241

Addition och subtraktion (sid 30-33)

Man använder samma teknik när man adderar/subtraherar rationella uttryck som när man adderar/subtraherar bråk. Man förlänger alltså till minsta gemensam nämnare och adderar/subtraherar sedan täljarna. Notera att det kan vara en ide att t.ex. faktorisera nämnarna först så man verkligen använder minsta gemensam nämnare. Man kan såklart vara brutal och använda produkten av samtliga nämnare som gemensam, men det leder till jobbigare räkningar och behov av förkortning.

När man löser ekvationer är det ofta lämpligt att skriva leden var för sig på bråkform, "korsmultiplicera" bort nämnare osv.

Lös 1248cd, 1249cd, 1250b, 1252b, 1254, 1257cd, 1258, 1259b samt 1260cd och 1261 om man siktar mot MVG.

Multiplikation och division (sid 34-35)

Samma gamla visa; är man säker på vanlig hederlig bråkräkning så ligger man bra till. Kom ihåg att undersöka om det är möjligt att förkorta bort faktorer innan man sätter igång och multiplicera ihop.

Lös 1263d, 1264a, 1265cd, 1266cd, 1268cd, 1269cd, 1270cd, 1271b, 1272 samt 1273b, 1274b, 1275 om man siktar mot MVG.

Linjära och icke-linjära funktioner

Funktionsbegreppet (sid 36-38)

En funktion består in princip av en indatamängd (definitionsmängd) och en tillordningsregel. Själva tillordningsregel ges ofta av en formel, men man kan också tänka sig en värdetabell eller en graf. De värden man kan få "ut" ur en funktion kallas värdemängd.

Ofta anger man inte definitionsmängden explicit utan låter den vara underförstådd (och maximal).

Betrakta funktionen $y=f(x)=x^2$. Varje tal kan kvadreras så definitionsmängden blir alla (reella) tal. Värdemängden (möjliga y-värden) blir däremot $y \geq 0$ eftersom en kvadrat aldrig kan bli negativ.

När man skriver $f(x)=x^2$ är det oväsentligt (men vanligt) att man använder just bokstaven x. Alltså är t.ex. $f(t)=t^2$ och $f(\square) = \square^2$ samma funktion. Den sista beteckningen kan man med fördel använda om man t.ex. ska bestämma $f(x^2+1)$. Det är bara att sätta in i rutan och fixa till;

(4)
\begin{equation} f(x^2+1) = (x^2+1)^2 +1 = x^4+2x^2+2. \end{equation}

Lös 1306, 1307, 1308, 1311, 1314, 1315a, 1317b, samt 1318bd, 1319, 1320 om man siktar mot MVG.

Linjära funktioner (sid 39-41)

Detta är i princip en repetition av Matematik B. Det mesta bör kännas igen.

Lös uppgifter efter behov, knappast alla eller kanske ens de flesta.

Andragradsfunktioner (sid 42-44)

Även detta är huvudsakligen repetition från Matematik B. Det mesta bör alltså kännas igen.

Lös uppgifter efter behov, knappast alla.

1.4 Potenser och logaritmer

Exponentialfunktioner och potenser, potenslagar (sid 49-52)

Det är som vanligt (än så länge), mest repetition av gamla kunskaper. I nästa avsnitt ska det handla om logaritmer som, på något vis, är "motsatser" till exponenter och potenser. Har man bra koll på potenslagarna så är det lättare att begripa och använda logaritmlagarna.

I 1417 bryter man ut faktorer i täljare och nämnare var för sig, och sedan förkortar man. Om man blir osäker på hur det funkar med x i exponenten så kan man först sätta in tal på x:ets plats och "känna efter" hur det funkar med siffror.

I 1419 får man testa sig fram.

Lös uppgifter efter behov utom 1419 som iofs är intressant men överkurs just här.

Bråk som exponenter (sid 53-55)

Det finns inte så mycket att säga om detta, potenslagarna fungerar som vanligt också med bråk i exponenten.

Lös uppgifter efter behov. Uppgift 1427 är "jönsig" så den skippas.

Tillämpningar på exponenter (sid 56-57)

Här gäller det att omformulera svensk text till matematiska uttryck, ofta något potensaktigt. Sen kör man på som tidigare, dvs. sätter in lämpliga värden eller löser en ekvation.

I uppgift 1450 behöver man känna till sfärens yta, $4 \pi r^2$, och volym, $4 \pi r^3/3$.

Lös 1441, 1445, 1447, 1449, 1450.

1.5 Logaritmer

Exponentialekvationer och logaritmer (sid 58-60)

Om man kan/förstår defintionen av logaritm så blir det mesta enkelt och logiskt.

Definition: $\lg x$ är det tal som 10 ska upphöjas med för att man ska få x. Man har de synonyma uttrycken: $\lg x = \log x = ^{10}\log x = \log_{10} x$.

Att man ibland behöver skriva ut 10:an i logaritmen beror på att man kan ha logaritmer i olika baser. Mer om detta senare.

Vi har t.ex. $\lg 100 = 2$ ty $10^2 =100$ och $\lg 0,1=-1$ ty $10^{-1} = 0,1$. Man kan också tänka sig $\lg 20$ som är det tal som 10 ska upphöjas med för att bli 20. Att det finns ett sådant tal (mellan 1 och 2) känns tämligen klart, men det är inte så lätt att bestämma. Räknaren är "programmerad" för att räkna ut detta (hur är överkurs), så några knapptryckningar ger $\lg 20 \approx 1,30$ ty $10^{1,30} \approx 20$.

Lös uppgifter efter behov, vilket rimligen innebär de flesta.

Logaritmlagar (sid 61-62)

Eftersom logaritmer har att gör med expontenter/potenser så kommer det att finnas en logaritmlag för varje potenslag. Följande gäller

(5)
\begin{array} {l} \lg (A \cdot B) = \lg A + \lg B\\ \lg \frac{A}{B} = \lg A - \lg B\\ \lg A^y=y \cdot \lg A \end{array}

Observera att det INTE är så att $\lg(A+B)$ är lika med $\lg A+ \lg B$ eller $\lg A \cdot \lg B$. Glöm aldrig att komma ihåg det!

Lös uppgifter efter behov. Möjligen kan man bara ögna igenom a-uppgifterna om man redan vid påseende känner att man vet hur man skulle gjort.

Logaritmer i olika baser (sid 63)

På räknedosor finns det i allmänhet knappar för beräkning av logaritmer i bas 10 (lg) och bas e (ln). Men hur gör man då om man t.ex. drabbas av $\log_5 73$, som alltså är det tal som 5 ska upphöjas med för att bli 73? Man sätter $x=\log_5 73$ och skriver om i kända logaritmer som följer:

(6)
\begin{align} x=\log_5 73 \Leftrightarrow 5^x=73 \Leftrightarrow \lg 5^x= \lg 73 \Leftrightarrow x \lg 5 = \lg 73 \Leftrightarrow x = \frac{\log 73}{\lg 5} \approx 2,67. \end{align}

Som man lätt inser kan man hantera $\log_a b$ på liknande sätt:

(7)
\begin{align} \log_a b = \frac{\lg b}{\lg a}. \end{align}

Detta samband är enklare att härleda än att komma ihåg, så det är inget man lär sig utantill!

Lös samtliga uppgifter. Viss varning för 1544 som brukar uppfattas som svår.

Tillämpningar på exponentialekvationer (sid 65-70)

Ökning och minskning som sker med samma procent (andel) per tidsenhet beskrivs med exponentialfunktioner. T.ex beskriver

(8)
\begin{align} H(t) = H_0 \cdot (1/2)^{\frac{t}{5780}} \end{align}

halten av kol14, t år efter det att halten var $H_0$ (ursprungshalten).

I uttrycket ovan är alltså halten exponentiellt avtagande med tiden och halveringstiden är 5780 år. Det ser man genom att sätta in t=5780 vilket ger en faktor 1/2. Anm. man kan tänka sig att använda en annan bas än 1/2, men när det handlar om halveringstider är denna bas mest praktisk.

Om man vill räkna ut halten vid en viss tidpunkt är det bara att stoppa in den aktuella tiden i formeln och slå på räknaren. Om man istället har halten given stoppar man in denna vid $H(t)$ och löser ekvationen (löser ut t). Detta inblandar bland annat logaritmräkningar.

Lös 1549, 1551, 1552, 1554, 1557, 1560, 1563, 1569, 1570.

Från graf till algebraiskt uttryck (sid 71)

Precis som rubriken anger så ska man utgå från grafer och snickra uttryck. Det handlar om linjära funktioner, andragradsfunktioner och exponentialfunktioner. I vissa fall är sambandet mellan faktorer till polynom och dess nollställe användbart.

I uppgift 1578 noterar man att grafen tangerar x-axeln (där y alltså är 0). Vad kan man då säga om funktionens nollställen?

Lös samtliga uppgifter.

2.1 Förändringshastigheter

Genomsnittlig förändringshastighet (sid 88-91)

Om man tillryggalägger en viss sträcka $$\Delta s$ på en viss tid $$\Delta t$$ så blir (såklart) medelhastigheten eller den genomsnittliga förändringshastigheten:

(9)
\begin{align} v=\frac{\Delta s}{\Delta t}. \end{align}

På samma sätt kan man tala om den genomsnittliga förändringshastigheten

(10)
\begin{align} \frac{\Delta y}{\Delta x} \end{align}

om y är en variabel som beror på x. Om man slutligen tänker sig att $y=f(x)$ så ges den genomsnittliga förändringshastigheten då x går från a till b av

(11)
\begin{align} \frac{f(b)-f(a)}{b-a}. \end{align}

Tänk efter så ni inser att de tre formuleringarna "fångar" samma sak!

I uppgifterna nedan handlar det om att just räkna ut diverse förändringshastigheter. Värden kan man behöva räkna ut eller läsa av i graf eller tabell.

Lös 2104, 2105, 2106, 2107, 2113, 2114 samt 2116, 2118 om man har den ambitionen.

Kurvors lutning (sid 92-96)

Grafisk är det ganska lätt att föreställa sig vad som ska menas med lutningen till en kurva i en punkt (på kurvan). Man ritar helt enkelt tangentlinjen till kurvan i punkten och låter tangentens lutning vara kurvans lutning. Om man vill räkna ut denna lutning utan att varje gång behöva rita figur (det blir ju inte heller särskilt exakt i en figur) är det kanske mindre klart hur man gör. Tekniken är att använda sekanter som passerar genom den aktuella punkten och annan punkt på kurvan. Denna andra punkt flyttar man sedan allt närmre ursprungspunkten och bestämmer sekanternas lutning. I "gränsläget" kommer sekanten att övergå i tangent och man får då lutningen i punkten.

GeoGebraillustrationen av kurvan $y=x^2$:s lutning i punkten (1,1) kommer här. Dra i glidaren h.

Lös 2121, 2123, 2127, 2129, 2132abcd (till man kan tekniken), 2134, 2135, 2136, 2137.

2.2 Derivata

Begreppet derivata (sid 97-99)

Här handlar det om derivatans geometriska tolkning som lutning av tangent till kurva och fysikaliska som hastighet. Själva prim-beteckningen i $f'$ och namnet derivata lär ha myntas av Lagrange.

Lös samtliga uppgifter.

Derivatans definition (sid 100-102)

För att bestämma lutningen i en punkt har vi tidigare studerat sekanter till en kurva. Genom att hålla en punkt fix och låta den andra närma sig den fixa punkten "obegränsat" erhåller man tangentens lutning som "gränsläget" av sekanternas lutningar. Att formalisera detta (är h lika med 0 eller är det inte?) tog flera hundra år och inblandade de allra största matematikerna. Om det tar några veckor för er att fatta så är det alltså lugnt :-). Ideen är i vilket fall att definiera derivatan som gränsvärdet av differenskvoten då h går mot noll. När man räknar i praktiken innebär det att man räknar på med h, förenklar och när h väl är borta från nämnaren så sätter man det lika med noll. Man kan därmed lösa många problem även om själva gränsvärdetsbegreppet får hänga i luften genom hela gymnasiet.

Lös 2217, 2218abc (tills man tröttnar), 2221abc (tills man tröttnar), 2222d, 2224, 2225, 2226.

Grafritande räknare och derivators värde (sid 103)

Sparas till längre fram.

2.3 Deriveringsregler

Derivatan av ett polynom (sid 104-107)

Kolla upp så ni vet vad ett polynom är, annars är risken att ni använder fel regler vid fel tillfällen. Överhuvudtaget så behandlas bevisen för räkneregler för derivator mycket sparsamt i gymnasiekursen. Ni bör kunna härleda derivatan för andragradsfunktioner, men inte för högre grad. Likaså kan man använda resultaten att en summa eller differens får deriveras termvis utan vidare motivering.

Lös uppgifter efter behov. När ni är klara ska deriveringsreglerna för polynom "sitta säkert".

Derivatan av potensfunktioner (108-110)

En potensfunktion har formen $f(x)=x^a$ där a är vilket tal som helst. Om a råkar vara ett positivt heltal får vi ett polynom och vi vet att derivatan då blir $f'(x)=ax^{a-1}$. Det visar sig (men är ingalunda självklart) att samma deriveringsregel gäller även om a inte är ett heltal, dvs

(12)
\begin{align} f(x)=x^a \Rightarrow f'(x)=ax^{a-1} \end{align}

för alla värden på a. Observera att om a=1/2 får vi $f(x)=x^{1/2}=\sqrt{x}$ och om a=-1 får vi $f(x)=1/x$, funktioner som vi nu alltså kan derivera.

Den som siktar på högsta betyget kan sätta sig in i bevisen på sida 108, för övriga räcker det att kunna använda deriveringsregeln.

Lös samtliga uppgifter.

Derivatan av exponentialfunktionen (sid 113-116)

Exponentialfunktioner har formen

(13)
\begin{align} f(x)=C \cdot a^x \end{align}

där C och a är konstanter. Blanda inte ihop dessa med potensfunktionerna, de har bland annat olika "regler" vid derivering. Man kan tänka sig många olika värden på basen a och kan tycka att a =10 är mest naturligt då man får $f(x)=C \cdot 10^x$, vilken hänger ihop med 10-logaritmen lg som vi stött på tidigare. Det visar sig dock att talet $e \approx 2,718282828459045 \ldots$ faktiskt är enklare att arbeta med. Det viktigaste skälet (just nu) är att

(14)
\begin{align} f(x)=e^x \Rightarrow f'(x)=e^x \end{align}

dvs med basen e blir exponentialfunktionen sin egen derivata! Boken noterar också (utan bevis) att:

(15)
\begin{align} f(x)=e^{kx} \Rightarrow f'(x)=ke^x \end{align}

vilket alltså betyder att om man har konstant gånger x i exponenten så kommer konstanten ner som faktor medan EXPONENTEN BLIR INTAKT. Om man råkar minska med ett (som i potensfunktioner) som kommer provpoängen att minsta med minst en poäng!

Talet e dyker upp i många en del andra sammanhang som dock ligger utanför kursens ramar.

Lös uppgifter tills deriveringsregeln sitter. 2341, 2344, 2345 kan man spara till senare.

Naturliga logaritmen och derivatan av $a^x$ (sid 117-118)

Eftersom derivatan av $e^x$ blir särskilt enkel (nämligen sig själv) så kan det vara lämpligt att arbeta med basen i som någon sorts "standardbas". När väl bestämt sig för detta är det lika naturligt att arbeta med logaritmer i basen e. En sådan skrivs $\ln a$, där $\ln a$ alltså är det tal som e ska upphöjas med för att man ska få a. Om basen e är naturlig så är det lika bra att kalla $\ln$ för den naturliga logartmen.

Med omskrivning i basen e kan man sedan visa att

(16)
\begin{align} f(x)=a^x \Rightarrow f'(x)=a^x \ln a \end{align}

Deriverar man en exponentialfunktion med annan bas än e kommer man förutom funktionen själv få med en faktor $\ln a$.

Lös 2348a, 2349e, 2350ef, 2352, 2353, 2356, 2358, 2361.

Blandade tillämpningar och problem (sid 119-121)

Ingen ny matematik här. Istället ska man läsa texter, översätta till matematik och tillämpa gamla kunskaper.

Lös 2365, 2366, 2369, 2371, 2372, 2374, 2376, 2379, 2380 (Rätt svar ska vara $4,0 \cdot 10^{21} \cdot e^{-0,1t}$).

2.4 Grafisk och numerisk derivering

Olika differenskvoter (sid 122-124)

I derivatans definition fixerar man den punkt man söker derivatan i och bestämmer sekantlutningar till punkter i "närheten" på kurvan. Oftast illustrerar man detta genom att välja en punkt h enheter till höger på kurvan. Det finns emellertid inget som hindrar att man väljer punkten h enhet till vänster. Man får då

(17)
\begin{align} f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x)- f(x-h)}{h} \end{align}

Observera ordningen i täljaren.

Ett annat sätt att angripa problem med lutningen i en punkt på en kurva är att betrakta ett intervall symmetriskt kring den aktuella punkten och successivt minska detta intervall. Man får

(18)
\begin{align} f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)- f(x-h)}{2h} \end{align}

Observera att skillnaden mellan x+h och x-h är 2h, därav nämnaren. Om det är fråga om att göra numeriska approximationer av derivatan är ofta den sistnämnda symmetriska varianten bäst.

Lös 2403, 2405, 2407, 2410, 2411 och se till så ni kan använda deriveringsfunktionerna på räknedosan.

Mer om gränsvärden (sid 125-126) UTGÅR

3.1 Vad säger förstaderivatan om grafen?

Som introduktion kan ni göra följande uppgifter, delvis med hjälp av GeoGebra.

  1. Rita grafen till $f(x)=x^3-3x^2-9x+3$ i GeoGebra. Detta gör man helt enkelt genom att skriva in uttrycket på kommandoraden längst ner i fönstret.
  2. Vilka punkter är "vändpunkter" på grafen? Dessa punkter kallas för övrigt lokalt maximum respektive lokalt minimum. Vilket är vad och varför heter det så?
  3. I vilka intervall (i x-led) är grafen växande (stigande) respektive avtagande (minskande).
  4. Derivera funktionen algebraiskt med kända deriveringsregler.
  5. Hur kan man med hjälp av derivatan räkna ut grafens "vändpunkter"? Räkna ut dem och jämför med GeoGebra-grafen.
  6. Hur kan man med hjälp av derivatan räkna ut var grafen (funktionen) är växande respektive avtagande? Utför räkningarna och jämför.
  7. Skriv f'(x) på inmatningsraden så att GeoGebra ritar grafen till f:s derivata. Hur kan man se på derivatagrafen att ursprungsgrafen är växande/avtagande/har maximipunkt/har minimipunkt?
  8. Hur skulle grafen till en funktion som har derivatan $f(x)=x^3-3x^2-9x+3$ se ut? Tänk först igenom det grafiskt utgående från f:s graf. Försök sedan "baklängesderivera" $f(x)=x^3-3x^2-9x+3$ för hand och rita motsvarande graf i GeoGebra.
  9. Läs igenom sida 144-147 i boken.
Hur används förstaderivatan vid kurvkonstruktion? (sid 146-150)

I detta avsnitt ska ni alltså lära er hur man kan använda derivata för att skissa grafer till funktioner. Detta är mycket smidigare och effektivare (åtminstone för en människa) än att göra finmaskiga värdetabeller. Ni behöver också tänka "bakvänt": vad säger en given graf om motsvarande derivata.

Tekniken för ovanstående följer följande schema.

  1. Undersök funktionens definitionsmängd, finns det några ''x-värden'' som inte ingår.
  2. Derivera: $f'(x) \ldots$
  3. Bestäm derivatans nollställen: lös ekvationen $f'(x)=0$. Ni får då reda på x-koordinaterna för max/min/terrasspunkter.
  4. Teckenstudera derivatan för att få reda på vilken typ av punkt det är fråga om, av max/min/terrasspunkter.
  5. Bestäm y-värden för de intressanta punkterna.
  6. Skissa grafen med hjälp av den information du räknat fram.

Det är viktigt att tekniken ovan sitter "som berget". Lös samtliga a-uppgifter och 3112, 3113, 3114. Om man tycker att det är för enkla a-uppgifter kan man hoppa och istället göra några av 3110-3111. Bland c-uppgifterna rekommenderas 3115, 3117 samt 3119.

Skissa grafer (sid 152-154)

Förutom studie av derivata och bestämmande av max/min, växande/avtagande så behöver man ibland reda ut hur funktionsgrafen beter sig "långt bort", dvs när x är stort positivt eller negativt, vilket i boken skrivs som att |x| (utläses absolutbeloppet av x) stort.

Hur beter sig t.ex. $f(x)=x^3-3x^2-9x+3$ om |x| är stort? Uttrycket består av fyra termer och om man tänker efter så inser man att den högsta x-potensen spelar i särklass störst roll då |x| är stort. Alltså

(19)
\begin{align} f(x)=x^3-3x^2-9x+3 \approx x^3 \end{align}

då |x| stort.

I princip betyder detta att om man zoomar ut grafen till $f(x)=x^3-3x^2-9x+3$ rejält kommer det att se ut ungefär som grafen till $f(x)=x^3$. Om man däremot zoomar in kring origo ser man stora skillnader (och de upptäcker man med derivatastudier). Kolla gärna genom att rita grafen i GeoGebra!

Lös 3121, 3125, 3126 och 3132 om man vill/orkar.

Största och minsta värde (sid 155-157)

Tidigare har vi letat upp lokala maximi- och minimipunkter med hjälp av derivata. Dessa punkter kallas med ett samlingsnamn lokala extrempunkter. Observera att en terrasspunkt inte är en extrempunkt. Med lokala menas i princip att om man ställer sig i en lokal extrempunkt på grafen och är närsynt så tycker man att man är högst upp eller längst ner. Att det kan finnas större eller mindre funktionvärden en bit bort tar man inte hänsyn till.

Med globala extremvärden menas de totalt sett största och minsta funktionsvärdena. Man får alltså inte vara närsynt utan ha tillgång till en oändligt bra kikare. Lokala extremvärden kan antas i två typer av punkter, nämligen derivatans nollställen och definitionsmängdens ändpunkter (intervallgränser). Taktiken för att leta upp globala extremvärden blir därför; bestäm derivatans nollställen och funktionsvärdena där, bestäm funktionsvärden i ändpunkter, kolla efter vilket värde som är störst respektive minst. Se också figur i boken sida 155.

Lös samtliga a-uppgifter samt b- och c-uppgifter efter behov.

3.2 Derivator och tillämpningar

Polynomfunktioner (sid 158-164)

"Räknemässigt" är det inte mycket nytt. Det kokar ofta ned till derivering, derivatans nollställen osv. Det som är nytt, och ibland svårt, är att förstå vad som ska göras och bestämmas i textuppgifterna. I de lite svårare problemen blir det också fråga om att man själv ska snickra ihop den funktion man ska studera. Det finns många uppgifter och vi glesar ut lite. Det är lugnt, om ni som motprestation gör uppgifterna nedan ordentligt!

Den som får tid över kan fundera på följande (som inte ingår i kursen):

  • Hur visar man geometriskt att kvadraten är den fyrhörning som innesluter störst area för en given omkrets?
  • Hur visar man geometriskt att rektangeln med sidförhållandet 2:1 och med den längre sidan parallell med ån är den fyrhörning som innesluter störst area för en given staketlängd?

Lös 3204, 3206, 3208, 3210, 3213, 3216, 3219, 3224 samt om man har höga ambitioner 3226, 3227, 3230, 3231. Lösningar på b- och c-uppgifterna läggs upp under Material på kurssidan. Kika där efter era egna försök, inte innan.

Några enkla potensfunktioner (sid 165-167)

Till stor del repetition, det är iofs lite text att läsa men sedan kokar det ner till att derivera potensfunktioner (konstant bas, variabel exponent). Principen är "att sparka ned exponenten och dra av ett".

Lös a-uppgifterna och 3241b, 3242. De med MVG-ambition kikar också på c-uppgifterna 3245 och 3246 (3244 skippas). 3245 kan lösas mycket elegant med kvadratkomplettering. Försök gärna. Lösningar till c-uppgifterna dyker upp på kurssidan.

Exponentialfunktioner (sid 168-170)

Först erinrar vi derivatan av exponentialfunktionen

$$f(x)=a^x \Rightarrow f'(x)=a^x \ln a$$

Detta innebär t.ex. att

$$f(x)=e^x \Rightarrow f'(x)=e^x \ln e = e^x$$

och

$$f(x)=e^{kx} \Rightarrow f'(x)=ke^{kx}.$$

Därefter är det "som vanligt", en radda textproblem som handlar om att avgöra om funktioner är växande/avtagande, bestämma max/min etc. Det följer samma lösningsmönster som tidigare liknande problem.

Lös a-uppgifterna och 3254, 3255, 3257, samt eventuellt 3259 och 3261 bland c-uppgifterna.

Grafritande räknare (sid 169-170)

Ingen ny matematik. Däremot är det bra att träna lite på att använda sin räknedosa. Den är såklart helt underlägsen t.ex. GeoGebra, men räknaren får användas på prov, inte GeoGebra. Det viktigaste är att ni kan göra följande på er räknare

  • skriva in funktionsuttryck
  • rita lämplig graf
  • göra lämplig värdetabell
  • lösa ekvationer (numeriskt)
  • bestämma derivator (numeriskt)
  • bestämma max/min (numeriskt)

Om man kör fast på något frågar man. Det kommer inte att bli fullständig kurs på tavlan.

Lös 3265, 3267 och eventuellt 3272. Det viktiga är som sagt inte att lösa många problem här, utan att ha grundkoll på räknaren.

4.1 Talföljder och serier

Vad menas med en talföljd? (sid 192-195)

Med en talföljd menas en följd av tal (såklart), såväl ändlig som oändlig. Exempel:

(20)
\begin{equation} 1, 65, 43, -3 , 42, -4, 7 , -2 ,3,-9,0 \end{equation}
(21)
\begin{align} 1,3,5,7,9,11, \ldots \end{align}

Med … menas att följden fortsätter på samma sätt, och det blir läsarens uppgift att förstå mönstret.

Istället för att skriva upp själva följden kan man tala om hur elementen genereras. En möjlighet är på sluten form där elementen $a_n$ uttrycks som funktion av platsnumret n. Vår följd (21) ovan kan skrivas

(22)
\begin{equation} a_n=2n-1 \end{equation}

En annan möjlighet är på rekursiv form där elementen uttrycks med hjälp av sin (sina) föregångare. Vår följd (21) kan skrivas

(23)
\begin{equation} a_n=a_{n-1} +2, a_1 =1 \end{equation}

Lös a-uppgifter samt 4110, 4112, 4114, 4114.

4.2 Summor

Aritmetisk summa (sid 197-198)

En sådan summa får man om man summerar termerna i en ändlig aritmetisk talföljd. Kom ihåg att en sådan genereras genom att man till ett godtyckligt startvärde successivt adderar en konstant. Ett exempel på en sådan talföljd och summa är

(24)
\begin{equation} 3+7+11+15+19+23+27+31+35+39 \end{equation}

som startar med 3 och där man successivt adderar 4.

Vad blir talföljdens summa S? Som man lätt reder ut (se bok) får man

(25)
\begin{align} S=\frac{\textrm{''första termen"} + \textrm{''sista termen''}}{2} \cdot \textbf{''antalet termer''} = \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n \end{align}

vilket i vårt fall ger

(26)
\begin{align} S=\frac{3+39}{2} \cdot 10 = 210. \end{align}

Det som kan kräva lite eftertanke är hur många termer en viss talföljd består av. Vad blir n i talföljden

(27)
\begin{align} 2, 7, 12, 17 , 22, \ldots ,272, 277? \end{align}

Tydligen innehåller följden

(28)
\begin{align} \frac{277-2}{5} = 55 \end{align}

''femsteg''. Alltså har följden 55+1=56 termer (och INTE 55).

Lös a-uppgifterna och 4207, 4209.

Geometrisk summa (sid 199-200)

En sådan summa får man om man summerar termerna i en ändlig geometrisk talföljd. Kom ihåg att en sådan genereras genom att man till ett godtyckligt startvärde successivt multiplicerar en konstant. Ett exempel på en sådan talföljd och summa är

(29)
\begin{equation} 4+12+36+108+324+972 \end{equation}

som startar med 4 ($=a_1$) och där man successivt multiplicerar med 3 (=k).

Låt S beteckna summan av talföljden. Om vi bildar 3S fås

(30)
\begin{equation} 12+36+108+324+972+2916 \end{equation}

dvs. samman följd så när som på första och sista termen (4 och 2916). Vi bildar nu

(31)
\begin{equation} 3S-S=2916-4 \end{equation}

eller

(32)
\begin{align} S=\frac{2916-4}{3-1}=1456 \end{align}

Om man tänker igenom det generella fallet med första tal $a_1$, faktor k och n element får man

(33)
\begin{align} S=\frac{a_1 \cdot(k^n-1)}{k-1} \end{align}

Lös a-uppgifterna och 4219, 4221.

4.3 Tillämpningar (sid 201-205)

I boken behandlas två områden, nämligen ekonomi och naturvetenskap. Den främsta tilllämpningen inom ekonomi är geometriska talföljder som anger hur kapital/lån förräntas. Om man t.ex gör upprepade årliga insättningar av samma belopp på ett konto kommer behållning att ges av summan av en geometrisk talföljd. Det som är knepigast är att hålla koll på antal insättningar och hur många år det har förräntas, därefter är det relativt enkelt att sätta in i summaformeln och räkna ut.

Lös, på sida 203; 4306, 4307, 4309, 4310, 4311 och eventuellt 4313. Lös på sida 205; 4315, 4316, 4318, 4320 och eventuellt 4321.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License