matematik-b-vt11:detaljplan

1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3.1 3.2 3.3 3.4

1.1 Polynom

Vad är ett polynom? (sid 8-10)

Potenser av x, med icke-negativa heltal i exponenten, är

$$x^0=1, x,x^2, x^3, x^4, \ldots$$

Om man bildar summor och differenser av sådana x-potenser får man polynom. T.ex. $x+1, 2x^2-3x+7, x^8-6x^7+x^5-x^3+2x-8.$

Graden på den "högsta" förekommande x-potensen anger polynomets grad. I raden ovan är det alltså frågan om polynom av grad ett, två och åtta. Observera att polynomet $$x-2x^2+1$$ är av grad två. Man måste alltså lokalisera högsta x-potensen.

Talen framför x-potenserna kallas koefficienter. I polynomet $2x^2-3x+7$ är koefficienten för $x^2$-termen 2, koeffcienten för x-termen -3 och konstanten 7.

Man kallar ofta polynomen för p(x), så t.ex. $p(x)= 2x^2-3x+7$. Om vi vill beräkna värdet av polynomet för t.ex. x=2 ersätter vi helt enkelt x med 2 i uttrycket och skriver

$$p(2)=2 \cdot 2^2-3 \cdot 2 +7 =9.$$

Lös uppgifter på sida 10 efter behov. En del känns nog igen från tidigare.

Räkna med polynom (sid 11-17)

Om man är lite drastisk kan man kalla det för "apgöra". Man ska träna sig på att addera, subtrahera och multiplicera polynom. Oundvikligen krävs en viss mängdträning, även om det inte är det roligaste.

Lös uppgifter efter behov, till sist är det bra om ni kan utföra räkningarna utan att ens behöva tänka efter!

Konjugat och kvadreringsregler (sid 18-20)

Vissa speciella ''parentesmultiplikationer" kan man snabba upp med reglerna i rubriken. Det är inget konstigt och råkar man glömma är det bara att utföra "ihopmultiplikationen". Vi har

$$(a+b)(a-b)=a^2-ab+ba-b^2 = a^2-b^2$$

Sambandet

$$(a+b)(a-b)= a^2-b^2$$

kallas konjugatregeln och är värt att lägga på minnet. Kvadreringsregeln (finns egentligen bara en!) säger att

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$

Om b väljs negativt får man bokens andra kvadreringsregel.

Att använda reglerna åt ena hållet är lätt. Lite svårare blir det om man vill rekonstruera parenteserna. T.ex är faktorisering av

$$4x^2-12xy+9y^2$$

inte så lätt. Efter lite eftertanke och vana inser man kanske att

$$4x^2-12xy+9y^2 = (2x-3y)^2.$$

Att gå åt vänster i likheten ovan är ganska lätt, att gå åt höger är svårare.

Lös uppgifter efter behov. En ide är att göra några a-uppgifter sedan hoppa till b och se om man klarar dessa. I så fall behöver man inte gå tillbaka.

Faktorisera (sid 21-22)

Här är det fråga om att "återställa produkter", dvs motsatsen till att utveckla eller multiplicera ihop. Ni kommer säkert att märka att detta är svårare, man måste ha lite känsla för ungefär vad det är man ska "backa" (ofta konjugat- eller kvadreringsregel). Träning ger såklart den bästa färdigheten!

Lös uppgifter efter behov, vilket nog är de flesta denna gången!

1.2 Andragradsekvationer

Enkla andragradsekvationer (sid 24-25)

Detta är till stor det repetition från MaA. Minns att om en produkt är noll måste minst en av faktorerna vara noll. Det kan man använda för att lösa ekvationer på formen

$$(x-1)(x-2)=0$$

Tydligen måste x=1 eller x=2.

Lös uppgifter efter behov. Det är rimligt att hoppa över en del. Skippa 1208 och 1209 om ni inte hinner.

Kvadratkomplettering (sid 26-27)

Taktiken för att lösa allmänna andragradsekvationer är att utföra kvadratkomplettering, som i princip innebär att man ser till så det obekanta (ofta x) endast finns på ett ställe. När ni löser ekvationen $5x-3x=4$ är första steget att samla ihop x:en och få $2x=4$. I den sista ekvationen finns bara x på ett ställe och det är dags att "städa" runt x:et.

Betrakta nu andragradsekvationen

$$x^2+4x-5=0$$

Hur få x på ett ställe enbart? Jo, vi "kör" kvadreringsregeln baklänges och fixar till så konstanten stämmer:

$$x^2+4x-5 = (x+2)^2-4-5= (x+2)^2-9=0$$

Denna omskrivning kallas kvadratkomplettering (se bok sid 26 för en geometrisk tolkning och här för en artikel i Wikipedia). När x bara finns på ett ställe "städar vi":

$$(x+2)^2-9=0 \Leftrightarrow (x+2)^2=9 \Leftrightarrow x+2=\pm \sqrt{9} = \pm 3 \Leftrightarrow x=-2 \pm 3$$

Tydligen har ekvationen lösningarna x=1 och x=-5.

Lös a-uppgifterna samt 1217b och 1218a.

En lösningsformel (sid 28-30)

Man orkar inte kvadratkomplettera varje gång. Istället kan man säga att man gör det en gång för alla och presenterar slutresultatet som en färdig formel. Resultatet (lösningsformeln) dyker upp på sida 28. Den kommer att stå på formelblad som man får ha med på alla prov. Alltså är det inte jätteviktigt att lära utantill. Däremot måste man känna igen problem där den kan användas och kunna utföra aktuella räkningar (bråkräkning, kvadratrötter etc.). Om man siktar mot MVG bör man så småningom kunna utföra och förstå härledningen på sida 28.

Lös 1223a, 1224b, 1226c, 1229, 1230c, 1231c, 1232b, 1233 samt 1235 och 1236 om man har MVG-ambition.

Algebra och tillämpningar (sid 34-36)

Här gäller det att tolka eller översätta en text eller en figur till "matematiska". Det kommer i oftast att leda till en andragradsekvation, som löser man med tekniker som man lärt sig tidigare. Till sist (som man alltid gör på textuppgifter) bedömer man rimligheten hos sitt svar, läser frågan i texten och skriver ett svar på frågan. Det är lätt hänt att man räknar rätt men glömmer att svara på den fråga som ställdes.

Lös samtliga a-uppgifter (eller ha i alla fall koll på samtliga). Lös dessutom 1244, 1246, 1247 samt om man "vill" 1249, 1250 och 1251.

1.3 Några geometriska satser

Yttervinkelsatsen (sid 37-38)

Här är det repetition av Matematik A. Minns att triangelns vinkelsumma är 180 grader. Dessutom dyker en enkel sats upp, nämligen yttervinkelsatsen. Den säger att yttervinkeln i ett hörn är lika med summan av innervinklarna i de båda andra hörnen.

Lös samliga uppgifter, 1312 kanske kräver lite fantasi!

Topptriangelsatsen och transversalsatsen (sid 39-41)

Gamla kändisar från Matematik A. Repetera!

Lös samtliga upppgifter. De är inte så svåra.

Randvinklar och medelpunktsvinklar (sid 43-44)

Det inleds med några begrepp på sida 43. Dessa gör man bäst i att lära sig. Man kan ju tänka ut bevis av satser och lösningar på uppgifter men begrepp och definitioner får man memorera.

Randvinkelsatsen är, till skillnad från yttervinkelsatsen, inte helt trivial. Man behöver rita en kritisk hjälplinje (och sedan är det enklare). Det är ganska typiskt för geometriska problem, rita "fiffiga" hjälplinjer - svårt, slutföra bevis efter att man ritat lämpliga hjälplinjer - lättare. Se fall 2 och 3 på sida 43 för "fiffiga" hjälplinjer.

Vill man se ett exempel på detta med problem med fiffiga hjälplinjer (och som inte nödvändigtvis har med randvinkelsatsen att göra) kan man kika här: lurig-vinkel.

Lös uppgifter efter behov. Det är inte säkert man behöver göra skriftliga lösningar på alla a-uppgifterna. Man kan ju nästa se svaret direkt.

Några bevis med likformighet (sid 47-48)

Här finns några trevliga problem men inte så enkla. Som oftast i geometriska problem gäller det att se ''rätt saker''. Ibland är det fråga om att rita in en lämplig hjälplinje, ibland att fokusera på en del av figuren. Hur blir man bra på detta? Jo man tränar och låter sig inte nedslås om man kör fast (ett tag).

Vill man ha ytterligare ett trevligt problem, "öppna"

Lös a- och b-uppgifterna. De med MVG-ambition kikar också på c-uppgifterna.

Avsnitten om Kongruens och Geometriska konstruktioner (sid 49-52) utgår.

1.4 Koordinatgeometri

Avståndsformeln (sid 53-54)

Om man har koll på hur koordinatssystem fungerar och Pythagoras sats så är avståndsformeln tämligen självklar. Det bästa är alltså att ha/skaffa sig denna koll och inte lära sig formeln utantill.

Lös uppgifter efter behov. 1408 kan ni strunta i.

Mittpunktsformeln (sid 55)

Slutsatsen här är samma som ovan. Lär er inte formeln utantill utan förstå den. Det är inte konstigare än att mittpunktens koordinater är medelvärde av ursprungspunkternas koordinaterna var för sig. En mittpunkt ligger ju såklart mitt emellan i såväl x- som y-led. Rita figur om ni inte förstår.

Lös uppgifter efter behov.

2.1 Grundbegreppet

Funktionsbegreppet (sid 70-72)

En funktion har tre ingredienser

  • en definitionsmängd, eller indatamängd
  • en regel, som kan ges av formel, graf, tabell eller i ord
  • en värdemängd, eller utdatamängd

I många fall är det bara regeln som anges, t.ex. med en formel $f(x)=2x+1$. Då är det underförstått att alla x-värden är tillåtna (indatamängden är alla x). Ibland är det lämpligt att speciellt ange definitionsmängden. I geometriska problem gäller t.ex. ofta $x>0$. Det betyder ju att man i sina räkningar kan stunta i alla negativa x som dyker upp. Och det kan ju vara skönt!

Notera att en funktion måste till varje indatavärde ge exakt ett utdatavärde. Det får inte finnas valmöjligheter eller "oklarheter". För då får det inte heta funktion!

En GeoGebra-illustration av bokens "rektangelareafunktion", med formel, graf och värdetabell, finns här

Lös a-uppgifterna och 2106, 2107, 2109.

Symbolen $f(x)$ (sid 73-74)

Delvis repetition från MaA. Se till så ni förstår, det är faktiskt logiskt och praktiskt (efter ett tag). På lektionen kommer Maxima att användas. Ladda gärna ner själva och testa. Det är gratis och lättanvänt, även om startsträckan är lite längre än för GeoGebra.

Lös a-uppgifterna, 2119, 2123, 2124bd, 2125 samt c-uppgifter om ambitionen finns.

2.2 Linjära funktioner

Linjers lutning (sid 75-78)

Från MaA minns man kanske att en linje kan skrivas på formen

(1)
\begin{equation} y=kx+m \end{equation}

och att k anger lutningen (hur mycket ändras det i y-led per steg i x-led) och m anger y-värdet där linjen skär y-axeln. I bästa fall kan ni se en linje framför er när ni betraktar uttrycket $y=2x+3$. Om inte kan ni träna här

Linjens ekvation av Daniel Mentrard

Ibland kan det vara en bra ide att rita koordinatsystem, pricka in punkter och rita in linjer. Men det är tidsödande och bättre är om man kan se linjen framför sig och lösa problemen direkt med algebraiska räkningar.

Lös a-uppgifterma, 2213, 2214, 2216, 2218 samt eventuellt c-uppgifterna.

Parallella och vinkelräta linjer (sid 79)

Att två linjer är parallell precis om de har samma lutning och dämed samma k-värde är närmast självklart. Sambandet mellan lutningarna hos två vinkelräta linjer kräver lite eftertanke. Som ni ser i boken så kan man illustrera det genom att rotera en lämplig triangel 90 grader och hålla koll på vad som händer med sidlängderna. Kolla in sambandet här:

Lös samtliga uppgifter.

Räta linjens ekvation (sid 80-83)

Har vi redan stött på. Linjens ekvation har formen

(2)
\begin{equation} y=kx+m \end{equation}

och man kan bestämma k och m om man t.ex. vet en punkt och lutningen eller två punkter (typiskt att man måste veta två saker eftersom det är två tal k och m som ska bestämmas).

Lös a-uppgifter efter behov (kanske inte alla), 2237, 2238, 2240, 2243a samt 2244 och 2245 om ambition finns.

Räta linjens ekvation på allmän form (sid 85-86)

Man kan ju tycka att det kan räcka med att presentera linjers ekvation på s.k. k-form:

(3)
\begin{equation} y=kx+m. \end{equation}

Särskilt lämplig är denna form då man ska rita grafen i ett koordinatsystem. I andra sammanhang kan det dock vara bättre med den så kallade allmänna formen:

(4)
\begin{equation} ax+by+c=0. \end{equation}

Ett skäl är att man också kan uttrycka vertikala linjer på denna form (tag b=0).

Lös 2248ab, 2249, 2250a, 2251a, 2254a, 2257, 2258, 2259, 2262 samt eventuellt 2263, 2264.

Linjära modeller (sid 87-89)

Ingen ny matematik här. Det handlar om att koppla sin kunskap om räta linjer och deras ekvationer till tillämpade problem.

Lös 2266, 2268, 2269, 2271, 2273, 2274.

2.3 Linjära ekvationssystem

Grafisk lösning (sid 93)

De uppgifter som innebär att man ska rita koordinatsystem löses med fördel i GeoGebra. I filen nedan finner ni ekvationssystemet i 2303a inlagt. I den andra knappmenyn finns funktionen "Skärning mellan två objekt" som är användbar.

Ekvationssystem

Genom att dubbelvänsterklicka på uttrycken i algebrafönstret kan ni sedan skriva in de uttryck ni vill. Notera också att man genom att högerklicka på uttrycken kan välja mellan visning på k-form och allmän form.

Lös samtliga uppgifter.

Substitutionsmetoden (sid 94)

Den algebraiska (och exakta) lösningen av ett ekvationssystem kan man organisera på två sätt. Om det är "små" ekvationssystem, som i MaB, fungerar det utmärkt med substitutionsmetod. Man löser helt enkelt ut en obekant i en ekvation, substituerar detta i den andra ekvationen. Man får då en ekvation med en obekant, som man löser med MaA-tekniker. Slutligen bestämmer man värdet på den andra obekanta. Se boken för konkreta exempel.

Lös (minst) 2308, 2310, 2311, 2314 och eventuellt 2315.

Additionsmetod (sid 95-96)

Egentligen räcker det i B-kursen att känna till en metod för att lösa ekvationssystem. Men när man stöter på större ekvationssystem är additionsmetoden att föredra, och då kan det ju vara bra med lite träning.

Läs igenom sidan 95 och lös sedan jämnnumrerade a- och b-uppgifter plus de båda c-uppgifterna (som vanligt om man har högre betygsambition). Räkna för hand men kolla gärna svaren med GeoGebra några gånger (rita motsvarande grafer och bestäm skärningspunkt).

Några speciella ekvationssystem (sid 97-98)

Det är lite oklart vad som menas med ett speciellt ekvationssystem, men man kan tänka sig att det handlar om system som saknar lösning (motsvarar parellella men icke-sammanfallande linjer) och system med oändligt många lösningar (motsvarar sammanfallande linjer). Om man skriver linjernas ekvation på k-form ska alltså k-värden vara samma för att man ska få dessa speciella system.

Lös 2332, 2334, 2335, 2336 och evenuellt 2340.

Tillämpningar (sid 100-101)

Läs en text, inför lämpliga obekanta, sno ihop ett ekvationssystem, lös detta på någon vänster, skriv ett ordentligt svar. Det går det ut på här, ingen ny matematik alltså utan det knepiga kan vara att göra om svenska till matematiska.

Lös 2343, 2344, 2347, 2348, 2350, 2352 och eventuellt 2356.

2.4 Olikheter (sid 102-104)

Algebraiskt löser man olikheter som man löser ekvationer, men man måste vända på olikhetstecknet vid multiplikation/division med negativa tal.

Grafiskt innebär olikheter alla punkter som ligger på lämplig sida om den linje som man får om man ersätter olikhetstecknet med likhet.

Lös jämnnumrerade uppgifter på sida 103 på eventuellt 2413. På sida 104 löser man samtliga uppgifter. Till provet på räcker det att behärska a-uppgifterna på detta avsnitt.

2.5 Icke-linjära funktioner

Andragradsfunktioner, kvadratiska modeller (sid 106-114)

Här handlar det om att begripa sig på grafen till andragradsfunktionen $f(x)=ax^2+bx+c$ och vad detta har att göra med t.ex. tidigare lösning av andragradsekvationer. Dessutom dyker det upp några textproblem som modelleras med andragradsekvationer.

Det lämpar det sig särskilt bra att arbeta med GeoGebra i detta avsnitt. Se därför dokumentet Andragradsfunktioner för ett antal uppgifter, som man parvis ska lämna in skriftliga svar på. Senast vid lektionsslut torsdag 14/4 vill jag ha era svar. Observera också att det räcker att lösa vissa av uppgifterna i boken. Man får ta ansvar för urvalet själv!

Lös (som det står på uppgiftslappen) sex uppgifter på sida 110-111, och sex på sida 113-114. Gör ett eget urval baserat på ork och ambition.

Icke linjära modeller (sid 115-116)

Alla "samband" som inte kan skrivas $y=kx+m$ kallas i boken icke-linjära. Exempel på icke-linjära funktioner är de gamla bekantingarna exponentialfunktionerna $y = C \cdot a^x$, men man kan också tänka sig t.ex. tredjegradspolynom och kvoter mellan polynom.

Flera av uppgifterna ska lösas grafiskt. Detta görs lämpligen genom att man ritar grafen på räknaren och använder någon av funktionerna "zero" eller "intersect" i räknarens CALC-menyn. Givetvis går det bra (bättre) att lösa uppgifterna i GeoGebra, men det är säkrast att träna på räknaranvändning inför NP.

Lös alla A-uppgifter plus 2540, 2542, 2544.

3.1 Enkla slumpförsök

Den klassiska sannolikhetsmodellen (sid 138-141)

Detta är nog ett ganska lätt avsnitt och ni bör känna igen er. Ha inte för bråttom dock utan se till så ni har ögnat igenom texten på sida 138-139. Det finns några begrepp som man bör känna till.

Lös jämna uppgifter bland A, B och C.

Experimentella sannolikhet (sid 142-143)

Ibland (i "verkligheten") måste man göra försök för att få fram sannolikheter för olika utfall. Det räcker alltså inte att man sätter sig på kammaren och tänker. Ideen är enkel, man gör massor av försök och räknar efter hur många utfall som är gynnsamma. Den relativa frekvensen (kvoten mellan antalet gynnsamma utfall och samtliga utfall) blir då en bra uppskattad sannolikhet.

Observera att man måste göra många försök. Om man singlar slant en gång, noterar krona, och sedan påstår att det är 100% chans att det blir krona vid slantsingling så är man "ute och cyklar".

Lös jämna uppgifter bland A, B och C.

3.2 Slumpförsök med flera föremål eller i flera steg

Försök med två föremål (sid 144-145)

Vid försök med två föremål eller i två steg kan utfallen i försöken markeras på en x- och y-axel. Punkter i koordinatsystemet kommer sedan att motsvara olika utfall. Man ser sedan lätt hur många olika utfall det finns (typ basen gånger höjden) och det är också lätt att markera och räkna gynnsamma utfall.

Lös (åtminstone) jämna uppgifter bland A och B plus samtliga C (om man har högre ambitionsnivå).

Träddiagram (sid 147-152)

I träddiagram kan man (i teorin) illustrera försök med "massor" av steg eller föremål. Observera att man behöver skriva ned sannoliketerna på de enskilda grenarna och att man sedan kan räkna ut sannolikheten för en väg genom trädet genom att multiplicera sannolikheterna på grenarna. Om det finns flera gynnsamma utfall räknar man ner sannolikheterna för varje väg genom trädet och adderar sedan de gynnsamma utfallens sannolikheter. I praktiken är det dock svårt att rita stora träddiagram, men då kan man ändå TÄNKA träddiagram även om man inte ritar.

Lös (åtminstone) jämna uppgifter bland A, B och C. Får man tid över arbetar man främst med övriga C-uppgifter.

Komplementhändelse (sid 153-154)

Ibland är det smidigast att "backstabba" vissa sannolikhetsberäkningar. På mer vårdat språk innebär det att man räknar på komplementhändelsen (motsatsen, resten). Man räknar helt enkelt ut sannolikheten för motsatsen och bestämmer sedan "ett minus motsatsens sannoliket" och får då sannolikheten för den ursprungliga händelsen.

Lös jämna uppgifter bland A och B plus samtliga C (om man har högre ambitionsnivå).

3.3 Statistik (sid 156-162)

Innehållet i detta kapitel är repetition från MaA eller nya enkla saker. När man behärskar begreppen medelvärde, median, typvärde, frekvens, variationsbredd, kvartiler, kvartilavstånd och lådagram ("löjlogram" enligt mig) så är man klar. Det låter värre än det är!

Lös 3308, 3310, 3312, 3315, 3317, 3323, 3325, 3327.

3.4 Statistiska undersökningar (sid 163-170)

Orden/begreppen population, stickprov, urval och bortfall bör man "lära sig". Bortsett från detta handlar det mest om sunt förnuft och några korta räkningar. I flera av uppgifterna ska man bedöma en undersökning eller en fråga. Använd sunt förnuft och diskutera med en kompis.

På sida 168 talas det om konfidensintervall och det finns en snitsig formel. Det utgår! Man ser till så man kan lösa 3416 och 3418, det räcker.

Lös 3402, 3404, 3405, 3408, 3411, 3412, 3416, 3418.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License