matematik-a-ht10:detaljplan

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 2.3 2.4 4.1 4.2 4.3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 5.1 5.2 5.3 MaB

1.1 Hela tal

Positiva tal (sid 10-11)

Förutom räknesätten måste man känna till och respektera prioriteringsregler. Observera att i ett uttryck som $\frac{2+8}{3+2}$ ska man först beräkna täljare och nämnare för sig (trots att parentes saknas).

Lös uppgifter efter behov. Det betyder rimligen att man kollar igenom A-uppgifterna och kanske löser en av varje typ. Går detta bra ägnar man sig åt B- och C-uppgifter. Uppgifterna 1106-1109 kan ni spara tills ni fått räknedosa.

Primtal (sid 12-14)

Primtal är ett tal som bara kan delas (jämnt) av 1 och sig självt. De första primtalen är alltså 2, 3, 5, 7, 11, 13. Observera att talet 1 inte räknas som ett primtal (det visar sig vara praktiskt så). Varje heltal kan på ett (och endast ett) sätt faktoriseras i primtal, t.ex

(1)
\begin{align} 5746=2 \cdot 13^2 \cdot 17. \end{align}

Med hjälp av ett faktorträd kan man successivt hitta primfaktorerna i enkla fall. Observera att det är mycket enklare att multiplicera två primtal än att faktorisera "tillbaka". Detta faktum använder man i princip för att skicka kodad information över internet.

Lös 1120-1122, 1124-1126.

Negativa tal (sid 15-17)

Negativa tal kan man se som "motsatstal" till de positiva. Med det menas att t.ex. $2+(-2)=0$, dvs om man adderar ett postivit tal med det motsatta negativa får man noll.

Observera att det i princip är två olika minustecken i ett uttryck som $5-(-2)$ även om de ser likadana ut (på räknedosan ser de olika ut dock). Det första minustecknet anger att två tal ska subtraheras, det andra att det är fråga om en "negativ" tvåa.

Precis som boken skriver tyckte man länge att negativa tal var skumma, och det dröjde in på 1600-talet innan de började accepteras i Europa. Det har vi svårt att förstå idag!

Lös uppgfiter efter behov.

1.2 Rationella och reella tal

Bråkbegreppet (sid 18-20)

Det finns en väsentlig skillnad mellan bråk och hela tal, hela tal som ser olika ut har olika värde medan bråk som ser olika ut kan ha samma värde, t.ex.

(2)
\begin{align} \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{-3}{-6}. \end{align}

När man ska jämföra storleken på två bråk, eller kanske ange ett bråk mellan två givna bråk, är det lämpligt att skriva om dem på en gememsam nämnare.

Lös uppgifter efter behov.

Räkna med bråk (sid 21-23)

Vid addition och subtraktion ser man till så man får gemensam nämnare, sedan skriver man på ett bråkstreck med additionen eller subtraktionen i täljaren. Amatörfelet

(3)
\begin{align} \frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{2+1}{3+4} = \frac{3}{7} \end{align}

passar man sig för. Tänk efter själv varför räkningen ovan är helt orimlig.

När det gäller multiplikation av bråk fungerar det däremot att multiplicera täljare och nämnare var för sig. Tänk efter varför!

Vid division skriver man som en multiplikation mellan täljaren och nämnarens inverterade värde. Tänk efter varför!

Någon kanske tycker det räcker att veta ATT något fungerar och struntar i VARFÖR. Givetvis blir matematiken mycket roligare och "räkneregler" blir mycket lättare att komma ihåg om man vet VARFÖR!

Lös uppgifter efter behov. Just här kan det vara bra att lägga lite extra krut också på A-uppgifterna. Säkerhet i bråkräkning är en god investering.

Tal i decimalform (sid 24-25)

Alla reella tal (alla tal på tallinjen) kan skrivas på decimalform. Ibland behövs oändligt många decimaler, t.ex

(4)
\begin{align} \frac{1}{3}=0,333 \ldots, \, \pi = 3,1415 \ldots \end{align}

Vid avrundning måste man kan koll på vilken position som är tiondel, hundradel osv. En 5:a avrundas alltid uppåt så t.ex. $3,65 \approx 3,7$. Vad får man om man avrundar 0,9999 till tusendelar, hundradelar, tiondelar respektive ental förresten?

Lös samtliga uppgifter (råkar vara enbart A-uppgifter).

Överslagsräkning (sid 27-28)

Överslagsräkning är ingen "djup" matematik, men däremot kanske praktiskt när man ska kolla att kassören på Konsum inte blåser en, eller när man vill göra en snabb rimlighetsbedömning av svar på ett prov. Även om man inte kan huvudräkna $432,84 \cdot 7032,94$ så kan man såklart snabbt avgöra att $432,84 \cdot 7032,94 = 3429191,234$ verkar orimligt.

När det gäller närmevärden och värdesiffor så är det mycket viktigt i tillämpningar som fysik, kemi m.m. där man måste ta hänsyn till noggrannhet i mätningarna. Det känns ofta helt naturligt. I matteuppgifter är det inte alltid så klart om man förväntas avrunda eller ska räkna exakt. Man svarar som man tycker är rimligt och drabbas inte av "fel" om man inte är helt ute och cyklar.

På några uppgifter ska räknare användas. "Kör" med t.ex. datorns räknare tills vidare.

Lös eller i alla fall titta igenom uppgifterna. De är inte så roliga enligt mig.

1.3 Potenser

Positiva heltalexponenter (30-31)

Detta bör ni känna igen. Så länge man har positiva heltalsexponenter så kan man tänka ut alla räkneregler enkelt utifrån upprepad mulitplikation.

Lös uppgifter efter behov.

Exponenten noll och negativa exponenten noll (sid 32-33)

Notera att $a^0=1$ (varför?) och $0^a = 0$ (varför?) om $a \neq 0$. I uttrycket $0^0$ kan man säga att dessa båda regler konkurrerar och det enklaste är att låta $0^0$ vara odefinierat, precis som t.ex. $\frac{1}{0}$.

Tänk efter varför man har gjort definitionen

(5)
\begin{align} a^{-x} = \frac{1}{a^x}. \end{align}

I matematiken vill man i princip ha konsekventa och enkla "räkneregler". Man väljer definitioner därefter.

Lös uppgifter efter behov.

Stora och små tal (sid 34-35)

För att spara plats och underlätta räkningar så skriver man ofta stora och små tal på grundpotensform. T.ex. är elektronens massa (i kg)

(6)
\begin{align} 9,1093826 \cdot 10^{-31} = 0,00000000000000000000000000000091093826 \end{align}

Gissa vilket som är smidigast!

Man hanterar också nollor som eventuella värdesiffror i slutet av tal. Om man säger att man ser 100 personer på Spykens innergård så är det oklart om ingen, en eller båda nollorna är gällande. Det kan ju vara så att man faktiskt räknat till exakt 100, och då är båda nollorna gällande. Det kan också vara så att man skattat till närmsta hundratal och då är ingen av nollorna gällande. Det hanterar man såhär: $1 \cdot 10^2$ har ingen gällande nolla, $1,0 \cdot 10^2$ har en gällande nolla och $1,00 \cdot 10^2$ har två gällande nollor.

Lös uppgifter efter behov.

Tillämpningar (sid 36-37)

Istället för att skriva ut tiopotenser använder man ibland prefix. Dessa finns på formelblad som ni alltid har tillgång till vid prov. Därför behöver man inte lära sig dem utantill. När man ska räkna med prefix ersätter man dem omedelbart med motsvarande tiopotens, räknar på, och byter eventuellt tillbaka till ett prefix i sitt slutsvar.

Anm1. Observera att det är skillnad på svenska och amerikanska biljoner ($10^{12}$ respektive $10^9$). Observera också att biljard är ett spel med bord, bollar och kö. Man undviker helst antalsordet biljard.

Anm2. Vårt enhetssystem har inte alltid varit så smidigt. Idag använder vi basenheter och prefix som kopplas till tiopotenser. Förr i tiden var floran av enheter stor och det var rörigt. Se här för exempel.

Om man orkar fundera på utmaningen - och löser den - så kan man ge sig på ett mer generellt problem (typiskt i matte, löser man ett problem kan man formulera tio nya). Vilket tal är störst av

(7)
\begin{align} n^{n-1} \textrm{ och } (n-1)^n \end{align}

där n är ett godtyckligt positivt heltal?

Lös 1357, 1360, 1366, 1368. Fundera på utmaningen om ni får tid över (inte så lätt tror jag).

1.4 Procent och procentuella förändringar

Procentbegreppet och tre basproblem (sid 40-41)

Om man har koll på räknesätt och räkneregler i allmänhet så vållar inte procentuppgifter några problem förutsatt att man kan tolka texten rätt. Man behöver såklart känna till att procent anger hundradelar, vilket betyder att man genast skriver om procent till decimaltal (eller bråk) och räknar på som vanligt.

Det som ibland kan missuppfattas är vad man räknar procent av. Antag att Rogerinas vikt ökat från 90 kg till 100 kg. Ökningen är då 10 kg och den procentuella ökningen ges av:

(8)
\begin{align} \frac{\textrm{förändring}}{\textrm{ursprungsvärde}}=\frac{10}{90} \approx 0,111 = 11,1\%. \end{align}

Man ska alltså dela med ursprungsvärdet (90) och inte "slutvärdet" (100).

Förresten, momsen i Sverige är 25%. Om du köper en vara som kostar 100 kr i en affär så är momsen 20 kronor (pengar som alltså går till staten). Hur hänger det ihop?

Lös uppgifter efter behov.

Procentenheter (sid 42)

Vad gäller procentenheter så är det i princip enkelt (men jag har hört Sveriges finansminister säga fel!). Om något ändrar sig från 5% till 3% så är förändringen en minskning på 40% (ett förhållande). Samtidigt är minskningen två procentsteg. Vi säger då att minskningen är två procentenheter.

Lös uppgifter efter behov.

Promille och ppm (sid 43)

Man noterar att promille betyder tusendel och ppm (parts per million) betyder miljondel, så t.ex

(9)
\begin{align} 12 \textrm{ promille} = 0,012; \, 13,2 \textrm{ ppm} = 0,0000132. \end{align}

När man väl översatt till decimaltal så fungerar det som motsvarande procentuppgift.

Lös 1421, 1422, 1423, 1427.

Förändringsfaktor (sid 45-46)

Antag att Rogerinas hyra är 6000 kr och ökar med 5%. Vad blir då hennes nya hyra?

Alt1. 5% av 6000 är $0,05 \cdot 6000 = 300$ så hyran höjs med 300 kr och blir alltså 6300 kr.

Alt2. Ursprungshyran är 100% av ursprungshyran (känn på den!). Sedan lägger man på 5% av ursprungshyran. Alltså måste den nya hyran vara 105% av ursprungshyran. Men 105%=1,05 så den nya hyran ges av $1,05 \cdot 6000 = 6300$ kr.

Om man är intresserad av det nya värdet snarare än ökningen/minskningen är det smidigast att använda alternativ 2. Talet 1,05 kallas förändringsfaktor och är alltså vad ursprungsvärdet ska multipliceras med för att man ska få det nya värdet. Ytterligare ett skäl att använda förändringsfaktor är att det går enkelt att hantera upprepade procentuella förändringar.

Om Rogerina råkar få en hyressänkning på 5% istället blir förändringsfaktorn 100%-5% =95%=0,95 och hennes nya hyra blir $0,95 \cdot 6000 = 5700$ kr.

Lös uppgifter efter behov. Man kan tänka sig varannan a-uppgift och samtliga b- och c-uppgifter.

Upprepade procentuella förändringar (sid 47-49)

Om man sätter in 500 kr på ett sparkonto med räntesatsen 2 % och låter pengarna stå orörda i tio år, hur stor blir då behållningen? För att beräkna detta arbetar man med fördel med förändringsfaktorn, som i detta fallet blir 1,02. Varje år får man den nya behållningen genom att multiplicera den gamla med 1,02. Efter ett år har man alltså $500 \cdot 1,02$ kr (vänta med att räkna ut detta). Efter två år har man $(500 \cdot 1,02) \cdot 1,02 = 500 \cdot 1,02^2$. Fortsätter man på samma sätt inser man att behållningen efter tio år blir

(10)
\begin{align} 500 \cdot 1,02^{10} \approx 609,50 \textrm{ kr}. \end{align}

Lös uppgifter efter behov.

Taluppfattning och procent (sid 50-51)

Här finns det inget nytt, utan tanken är att man ska huvudräkna och använda sunt förnuft.

Lös 1468, 1473, 1475, 1477, 1478, 1479

1.5 Problemlösning

Problemlösning är en central del av matematiken. Det är svårt att göra det rättvisa på några få sidor i boken, men förhoppningsvis kommer det att framgå under er gymnasietid (ni ska ju läsa en hel del matematik). Just nu kommer vi inte att gräva ner oss i detta, men den som vill brottas med problem redan nu kan kika på kexchokladproblemen!

Istället lägger vi lite krut på skriftlig redovisning. När någon t.ex. löser en uppgift på tavlan är det i allmänhet en blandning av muntlig och skriftlig redovisning. Om man bara ska göra en skriftlig redovisning är kraven på presentationen naturligtvis högre. Man måste beskriva tydligt vad man gör och hur man tänker, organisera text och räkningar logiskt och inte "pladdra på" i onödan.

På nationella proven är alltid en större uppgift av utredande karaktär. I en sådan utdelas i allmänhet VG-poäng och MVG-kvaliteter inte bara för korrekthet utan också för framställning och matematisk språk. Alltså är det lämpligt att träna.

Lös i par sant/falsk-upgifterna på sida 57. Lös därefter uppgifterna 26 och 27 på sida 63. Skriftliga lösningar på dessa inlämnas till läraren senast torsdag 15.30. Ni får sedan tillbaka era lösningar med kommentarer. Det är en "feedback" i inlärningssyfte och kommer inte att ingå i betygsunderlaget.

2.1 Algebraiska uttryck och förenklingar

Algebraiska uttryck (sid 68-70)

Algebra kallas ibland lite slarvig för "bokstavsräkning". En kanske bättre tolkning är att algebran är matematikens symbolspråk med tillhörande "grammatik".

I detta avsnitt handlar det om att översätta svenska till matematik. Man läser en text, inför lämpliga variabler och tecknar ett uttryck eller en formel.

För att få en känsla för uppgift 2119 är det (som ofta) lämpligt att sätta in konkreta värden på variablerna. Efter några exempel ser man nog hur det hänger ihop. Då tänker man ut ett generellt argument!

Lös uppgifter efter behov. Varannan a-uppgift samt b- och c-uppgifter kan vara lämpligt.

Algebraiska förenklingar (sid 72-75)

På sida 72-73 beskrivs de varianter av förenklingar som är aktuella. Kom ihåg att det inte finns några nya "räkneregler" bara för att man ersätter siffror med bokstäver. En förutsättning för att man ska bli kung på förenklingar är att man är kung på bråkräkning.

I uppgift 2141 pratas det om tre på varandra följande tal. En sådan trippel är 1,2,3; en annan är 5,6,7. Tänk efter hur man kan beskriva talen i en sådan trippel med en variabel.

Lös uppgifter efter behov. Kom ihåg att säkerhet i algebraisk manipulation är en god investering inte bara i MaA utan i alla mattekurser.

2.2 Ekvationer

Ekvationsbegreppet (sid 79-81)

En ekvation är en likhet mellan två uttryck, som innehåller minst en variabel. $2x+1=x-2$ är en ekvation som man alltså fått genom att sätta uttrycken $2x+1$ och $x-2$ lika.

Att lösa en ekvation betyder att man ska finna samtliga möjliga värden på variabeln så att likheten uppfylls. I enkla fall kan man se lösningar någorlunda direkt, t.ex. är $x=-3$ en lösning till ekvationen ovan. Det är i de flesta fall svårt att se lösningar direkt och man behöver göra en organiserad och successiv lösning. Då kan man också vara säker på att man inte missat någon lösning.

I detta avsnitt är det dock mening att man ska lösa ekvationer genom okulärbesiktning (man tittar på dem, inspektionsmetod). Det går alltså bra om det är särskilt enkla ekvationer.

Lös uppgifter efter behov. Det bör gå ganska snabbt.

Ekvationslösningens grunder (sid 82-84)

Här är det meningen att man ska organisera sin lösning skriftligt och stegvis. Målet är alltid att få variabeln ensam (då är ju ekvationen löst), och principen är att man bearbetar den ursprungliga likheten på ett bra sätt. Man får göra "vad man vill" på en sida av likheten, bara man gör "samma sak" på den andra. Det handlar alltså om att "vilja" (på en sida gör man som man vill) och "måsta" (på andra sidan måste man göra samma sak).

Vad man ska göra beror på hur ekvationen ser ut. Man lokaliserar variabeln och "rensar" successivt kring denna. Om något är adderat till variablen subtraherar man detta etc. Principerna är enkla men man måste träna på hantverket.

Lös en deluppgift på 2222-2228 och sedan samtliga B- och C-uppgifter. Lös några av uppgifterna både för hand och med WolframAlpha.

Problemlösning med ekvationer (sid 86-88)

Att lösa ekvationerna i Matematik A är ofta ganska enkelt. Svårare är kanske att läsa och tolka en problemtext på svenska och översätta den till matematiska, t.ex. till en ekvation. En bra start är att undersöka vad som söks, kalla detta för x och så vidare.

Som kuriosa och rejäl överkurs kan nämnas att vissa ekvationer är svårlösta (men lösbara). Ett sådant exempel är allmänna fjärdegradsekvationer var lösning man kan studera här. Ekvationer av högre gradtal än 4 är i allmänhet inte lösbara alls med algebraiska metoder. Här står lite om detta!

Lös b- och c-uppgifterna direkt. Går dessa bra struntar man i a-uppgifterna.

Kvadratrötter och kubikrötter (sid 89-90)

Kvadratroten ur ett tal x är det POSITIVA tal t vars kvadrat blir x. T.ex har vi $\sqrt{16} = 4$ ty $4^2=16$. Observera särskilt att $\sqrt{16} = \pm 4$ är fel, kvadratroten är det POSITIVA tal osv. Många gånger är det bättre att skriva på potensform istället för med rotsymbol (rotsymbolen är ett utdraget r), dvs $\sqrt{34}$ skrivs $34^{1/2}$.

Analogt talar man om kubikrötter som tal vars kub (exponent 3) ger ursprungstalet. Man skriver t.ex. $\sqrt[3]{125} = 125^{1/3}=5$ ty $5^3=125$.

Många gånger är det smidigare att arbeta med tal i bråkform än i decimalform i "rot"-sammanhang. Vad är t.ex. $\sqrt{2,25}$? Jo, $2,25 = 9/4$

(11)
\begin{align} \sqrt{2,25}=\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2} \end{align}

vilket är 1,5 om man ändå envisas med decimalform.

Lös uppgifter efter behov. Notera att vissa uppgifter ska klaras utan räknare!

Enkla $x^2$- och $x^3$-ekvationer (91-92)

Det som är "enkelt" med dessa är att variabeln endast förekommer på ett ställe i ekvationen, men då i med exponent 2 eller 3. Lösningsstrategin är som tidigare att man stuvar om i likheten så att x-potensen blir ensam. Sedan "städar man bort" denna som följande exempel visar:

(12)
\begin{align} x^2 = 36 \Leftrightarrow x=\pm 36^{1/2} = \pm \sqrt{36} = \pm 6 \end{align}
(13)
\begin{align} x^3= 8 \Leftrightarrow x = 8^{1/3} = 2 \end{align}

Observera att "kvadratroten ur" alltid ger ett positivt tal, därför behövs plus/minus framför för att lösningen ska vara fullständig. Om potensen är 3 finns det bara en lösning och plus/minus ska såklart INTE ingå. Tänk efter varför!

Lös 2266, 2267, 2270, 2272, 2273, 2274, 2276, 2277.

Potensekvationer (sid 93-94)

En potensekvation har formen

(14)
\begin{equation} x^n = a \end{equation}

där n är ett heltal. En sådan löses såhär, med $n=4$ och $a=5$:

(15)
\begin{align} x^4 = 5 \Leftrightarrow (x^4)^{\frac{1}{4}} = \pm 5^{\frac{1}{4}} \Leftrightarrow x= \pm 5^{\frac{1}{4}} \approx \pm 1,495. \end{align}

Observera att om n är jämnt måste man själv komma ihåg att lägga till $\pm$. Om däremot n är udda och $a \geq 0$ så blir det endast en positiv lösning. Tänk efter varför!

Lös uppgifter efter behov, vilket troligen är samtliga.

2.3 Formler och mönster

Formler (sid 95-96)

Lite slarvigt kan man säga att en formel är en likhet mellan en variabel och ett uttryck med en eller flera variabler. En välkänd formel från fysiken är $s = v \cdot t$.

Här går det ur på att "översätta" text, tabeller och figurer till formler och sedan kanske göra några beräkningar. Kom ihåg att du måste tala om vad de förekommande variablerna står för.

Lös 2304, 2308, 2309, 2311, 2313, 2314.

Mönster och formler (97-98)

Lös 2318, 2321, 2323.

Lösa ut ur formler (sid 100-102)

I fysik, kemi, matematik etc. är det fullt med formler. I "urspungsformeln" är ofta en av variablerna (bokstäverna) ensam (utlöst). T.ex. kan man säga att s är utlöst i formeln $s = v \cdot t$. Nu kan det ju vara så att man råkar känna till s och t och att v sökes. Självklart lär man sig då inte en ny formel utan använder den ursprungliga, men löser ut v i denna. Sagt och gjort

(16)
\begin{align} s = v \cdot t \Leftrightarrow v = \frac{s}{t}. \end{align}

För att man ska slippa lära sig/memorera en massa varianter av en formel är det viktigt att kunna lösa ut vilken variabel som helst (går iofs inte alltid). Det ska man träna på dessa sidor.

Lös en deluppgift av varje a- och b-uppgift (finns inte deluppgifter löser man hela) och sedan c-uppgifterna.

2.4 Undersöka och bevisa

Uppgifterna i detta avsnitt påminner om sådana som kan dyka upp som "större uppgift" på nationella prov. Ofta går det ut på att man ska undersöka något med ett eller flera exempel och sedan bevisa något generellt.

Lös 2405, 2407 och kika på utmaningen.

4.1 Grafer och proportionalitet

Koordinatsystem (sid 193-196)

Att länka samman algebra ("bokstavsräkning") och geometri ("figurer") är ett relativt nytt påfund. Det lär ha varit en febrig Descartes som först gjorde kopplingen på 1600-talet (notera alltså att t.ex. grekerna gjorde all sin geometri utan koordinatsystem). Själva sammanlänkningen går via koordinatsystem som (oftast och i kursen) byggs upp av två vinkelräta, skalade axlar som skär i ett origo. På detta sätt kan t.ex det "algebraiska" $y=2x$ ses som en linje och $y=x^2$ som en parabel.

Man bör känna till begrepp som axlar, punkter, koordinater, kvadranter, avstånd i samband med koordinatsystem. Lär er detta utantill.

Ett mycket trevligt "program" som använder geometri ihop med algebra är GeoGebra (det hörs alltså på namnet). Ha detta program i beredskap på alla uppgifter där grafer ska ritas. Även om man också måste räkna/tänka själv så "boostar" man ofta sin intuition med GeoGebra.

Vill man se avancerade konstruktioner i GeoGebra kan man kika på Daniel Mentrards sida (på franska), Georgios sida eller mina egna mycket mera blygsamma här.

Lös uppgifter efter behov.

Tolka grafer (sid 198-200)

Det är väsentligt att man har kollat av vad det är för storheter på axlarna och vilka enheterna och axelgraderingen är. Sedan brukar det vara ganska lätt att läsa av och dra slutsatser. Man använder bland annat sunt förnuft.

Lös 4119, 4121, 4123, 4125.

Direkt proportionalitet (sid 201-204)

Om kvoten mellan två storheter (t.ex. y och x) är konstant k säger man att y och x är proportionella. På matematiska översätts detta till

(17)
\begin{align} \frac{y}{x} = k \Leftrightarrow y=k \cdot x \end{align}

för någon konstant k. En illustration av en proportionalitet finns här.

Lös uppgifter efter behov.

4.2 Linjära funktioner

Funktionsbegreppet (sid 208-209)

Definitionen (i alla fall i denna kurs) av en funktion f är att det är en regel som till ett givet indatavärde (x-värde) på ett entydigt sätt ordnar ett utdatavärde (y-värde). Med entydigt innebär att det aldrig får finnas någon valmöjlighet angående vad utdatan ska bli. Man kan presentera funktioner (regler) på olika sätt

  • i ord; "y är det tal man får om man dubblar x".
  • med formel: $y=2x$
  • med värdetabell (se exempel i bok)
  • med graf (se exempel i bok)

Den utdata man får i funktionen då man "stoppar in" x skrivs ofta f(x) och utläses "f av x". I princip kan man säga att $y=2x$ och $f(x)=2x$ beskriver samma funktion. T.ex. betyder sedan $f(3)$ den utdata man får då $x=3$, dvs. $f(3)=2 \cdot 3=6$.

Lös samtliga uppgifter.

Linjära modeller (sid 210-211)

Här handlar det om att översätta textproblem till matematiska. I samtliga fall är det fråga om linjära funktioner, till vilka man behöver startvärdet och hastigheten med vilket något ändras. Man kommer långt med lite algebraisk rutin och sunt förnuft.

Lös 4219, 4421, 4222, 4224.

Den linjära funktionen $y=k \cdot x + m$

Detta är ett av de större momenten i Matematik B. Här blir det endast fråga om en kort introduktion. Vad som menas med en rät linje är rimligen klart för de flesta. Om en sådan ritas in i ett koordinatsystem kan den dessutom beskrivas algebraiskt på formen $y=k \cdot x + m$ där k och m är tal som hör till den givna linjen. Efter lite eftertanke inser man att m är y-värdet på den punkt där linjen skär y-axeln, medan k-värdet, som också kallas riktningskoefficient, anger just riktning eller lutning. Mer precis fås k-värdet som kvoten mellan ändring i y-led och ändring i x-led om man rör sig längs linjen, dvs

(18)
\begin{align} k = \frac{\textrm{ändring i y-led}}{\textrm{ändring i x-led}}. \end{align}

Med ytterligare andra ord anger k-värdet hur mycket y-värdet ändras per steg i x-led.

Det är lämpligt att göra lite undersökningar i GeoGebra. Orkar man inte göra en egen konstruktion kan man använda denna (svenska) eller denna (franska).

Lös samtliga uppgifter.

4.3 Exponentialfunktioner

Linjär och exponentiell tillväxt (sid 216- 219)

Procentuella ökningar och minskningar kan inte beskrivas av linjära funktioner ($y=kx+m$). Istället ges dessa av exponentialfunktioner som kan skrivas på formen

(19)
\begin{align} y=C \cdot a^x \end{align}

där C och a är givna tal. C kan ses som startvärdet och ges av grafens skärning med y-axeln, a motsvarar förändringsfaktorn. T.ex. beskriver

(20)
\begin{align} y=1000 \cdot 1,02^x \end{align}

något (ett kapital kanske) som tillväxer med 2% per x-enhet (per år kanske). Kom ihåg att en ökning med 2% motsvarar förändringsfaktorn 1,02. På motsvarande sätt beskriver

(21)
\begin{align} y=5 \cdot 0,9^x \end{align}

något som startar med 5 och minskar med 10% per x-enhet.

Lös 4304, 4306, 4309, 4312, 4315, 4317.

Olika matematiska modeller (sid 220-221)

Inget nytt här!

Lös 4320, 4322, 4324, 4328, 4329, 4330.

3.1 Area, omkrets och volym

Area och omkrets för några enkla områden (sid 119-122)

Med enkla områden avses här triangeln och diverse speciella fyhörningar, såsom kvadrat, rektangel, romb ("tillsparkad kvadrat"), parallellogram ("tillsparkad rektangel") och parallelltrapets. Formlerna för dessa figurers area och omkrets bör vara bekanta. Tänka gärna igenom areaformlerma och hur man kan återföra, genom att pussla lite, areorna till arean av en rektangel.

En sak som man kan notera (och kanske diskutera) är att en kvadrat är en speciell rektangel. Om man alltså pratar om rektanglar i allmänhet så ingår kvadraterna.

Lös uppgifter efter behov.

Cirkel och cirkelsektor (sid 123-125)

Att förhållandet mellan en cirkels omkrets O och dess diameter d är oberoende av cirkelns storlek känns tämligen självklart. Detta förhållande är så viktigt att det fått ett eget tecken nämligen $\pi$, dvs

(22)
\begin{align} \pi = \frac{O}{d} \Leftrightarrow O=\pi d = 2\pi r. \end{align}

Med diverse fiffiga geometriska och algebraiska metoder har man lyckats bestämma $\pi$ till 3,1415…. Notera dock att decimalutvecklingen aldrig tar slut eller ens blir periodisk, så ett helt exakt värde på $\pi$ kan aldrig anges.

Man kan inse att förhållandet mellan arean A av en cirkel med radie r och arean $r^2$ av en kvadrat med sida r också måste vara konstant. Mer överraskande är att denna konstant blir samma som ovan, nämligen $\pi$ (detta är inte alls självklart!). Vi får då

(23)
\begin{align} \pi = \frac{A}{r^2} \Leftrightarrow A=\pi r^2. \end{align}

Det finns några formler för area och omkrets av en cirkelsektor. Dessa är så enkla att tänka ut så det är onödigt att lära dem utantill.

Lös uppgifter efter behov.

Enheter och omvandlingar (sid 128-129)

I decimalsystemet blir det fråga om"steg"faktorn 10, 100 respektive 1000 när man omvandlar längder, areor respektive volymer genom att byta prefix. Det som möjligen kan vara lite lurigt är omvandling mellan "kubiksystemet" och litersystemet. Observera att $1 dm^{3}$= 1 liter och att t.ex. $1 cm^3$ = 1 ml.

Lös uppgifter efter behov. Det man känner sig söker på hoppar man över.

Volym och area av enkla kroppar (sid 130-131)

Namn på dessa kroppar lär man sig utantill. Formler för area och begränsningsyta är enkla att tänka ut, men finns också på standardformelblad.

Lös uppgiter efter behov. Om man känner sig hemma på a-uppgifterna vid påtittning ger man sig direkt i kast med b- och c-uppgifter.

Kon och klot (sid 133-135)

Arean för konens mantelyta $A=\pi r s$ kan man försöka härleda. Tipset är att klippa upp och platta ut ytan. Den blir då en cirkelsektor med radie s och båge $2\pi r$ osv. Formlerna för klotets yta och volym är inte så lätta att bevisa och tas för givna i denna kurs. En metod för att härleda formlerna dyker upp i Matematik E.

Lös uppgifter efter behov. Om man känner sig hemma på a-uppgifterna vid påtittning ger man sig direkt i kast med b- och c-uppgifter.

Ställa upp formler (sid 137)

Här slipper man räkna men ska istället teckna algebraiska uttryck för mer eller mindre komplicerade samband. Teckna först utifrån den geometriska situationen, förenkla sedan, inte båda på samma gång.

Lös samtliga uppgifter.

3.2 Vinklar

Några begrepp (sid 138)

Gå igenom dessa begrepp och lär utantill.

Vinklar och vinkelsumma (sid 139-140)

Varför mäter vi vinklar i grader och varför är det $360^{\circ}$ på ett varv (det kunde väl lika gärna varit t.ex. 100)? Triangelns vinkelsumma är $180^{\circ}$ och fyrhörningens $360^{\circ}$. Varför är det så? Hur stor vinkelsumma har en n-hörning? Beror det kanske på formen?

Lös uppgifter efter behov.

Några bevis (sid 142-143)

I dessa uppgifter är det särskilt viktigt att argumentera för sina påståenden. Skriv alltså ordentliga och logiska lösningar, gärna med inslag av "svenska".

Lös 3220, 3223, 3224 samt 3227 och 3228 om man vill ha lite svårare problem.

3.3 Likformighet

Skala (sid 144-146)

Detta bör vara bekant för de flesta. Värt att lägga på minnet är att 1:2 anger att "bilden" är hälften så stor som i verkligheten, medan 2:1 anger att "bilden" är dubbelt så stor. Om inget annat anges så avses längdskala när man anger på formen a:b.

Lös uppgifter efter behov. a-uppgifterna kan hoppas över (om övriga går bra).

Area- och volymskala (sid 148-150)

Lite löst kan man säga att sträcka är ett mått på något endimensionellt, area på något tvådimensionellt och volym på något tredimensionellt. För skalor får man då följande samband

(24)
\begin{align} \textrm{areaskalan}= \textrm{längdskalan}^2, \textrm{volymskalan}=\textrm{längdskalan}^3 \end{align}

Ska man växla mellan area-och volymskala går man lämpligen via längdskalan.

Det enklaste sättet att förstå/komma ihåg samband ovan är att tredubbla sidlängden på en kub. Då ökar kubens sidyta med faktorn $3^2=9$ och volymen med faktorn $3^3=27$.

Lös uppgifter efter behov.

Likformiga månghörningar (sid 152-155)

Två månghörningar är likformiga om man efter omskalning, spegling och rotation kan få den ena att sammanfalla med den andra. Kort och gott betyder det att de har samma form. Bokens så kallade definition är snarare en följd, nämligen att vinklar stämmer parvis och att sidförhållanden är lika. Observera att för trianglar räcker det att kolla om vinklar stämmer parvis för att konstatera likformighet. Detta fungerar dock inte för t.ex. fyrhörningar. Varför?

I vissa av uppgifterna (t.ex. 3346, 3349, 3350, 3351 ska man hitta likformiga trianglar i samma figur. Ibland kan det hjälpa om man ritar upp separata trianglar.

Lös b- och c-uppgifter.

Pythagoras sats (156-159)

Pythagoras sats är nog den mest kända matematiska satsen (i alla fall bland allmänheten). Den lär ha varit känd långt innan Pythagoras tid, men kanhända återupptäcktes den, eller kanske till och med bevisades, av Pythagoras.

Som bekant så säger satsen att i en rätvinklig triangel så är summan av kvadraterna på kateterna lika med kvadraten på hypotenusan. Observera dock att satsen också gäller omvänt, nämligen om man har en triangel där likheten gäller så måste den vara rätvinklig!

Lös uppgifter efter behov. Börja med b-uppgifter och skippa a-uppgifterna om det fungerar bra. Utmaningen och historiken utgår.

3.5 Problemlösning och geometri (sid 173-175)

Här finns inget "nytt". Istället är det meningen att man ska tillämpa det man lärt sig i lite svårare problem. Det svåraste är inte själva räkningarna utan att förstå problemet (rätt) och angripa det på ett smart/korrekt sätt.

Lös 3505, 3507, 3509, 3512, 3515, 3517.

5.1 Tolka tabeller och diagram (sid 235-243)

Följande diagramtyper ska man kunna hantera; stolp-, stapel-, linje- och cirkeldiagram. Dessutom ska man kunna sätta ihop och läsa av en tabell (med statistiska data) och allmänbilda sig lite om index. Jag rekommenderar i princip en uppgift av varje typ. Det bör vara tillräckligt för de flesta. Om inte löser man några extra.

Här finns några diagram som komplement till bokens.

Här finns aktuell tabell över konsumentprisindex KPI.

Lös 5108, 5109 eller 5110, 5115 eller 5119, 5120, 5123, 5125.

5.2 Lägesmått (sid 244-248)

I detta avsnitt ska ni lära er medelvärde, median och typvärde och få lite känsla för vad de mäter.

Lös 5207, 5209, 5215, 5216, 5219, 5222, 5223, 5226

5.3 Sammanställa data (sid 250-265)

Följande diagramtyper ska man kunna hantera; stolp-, stapel-, linje-, cirkeldiagram och histogram. Förslagsvis gör man en uppgift av varje sort. Det bör räcka.

På sidorna 264-265 handlar det om missbruk av statistik (hur man kan försöka "finta"). Kika på uppgifterna, men ni behöver nog inte rita några diagram. Det räcker att tänka efter.

Lös 5306, 5317, 5323, 5326, 5331, 5338.

3.4 Trigonometri (sid 161-171)

Detta avsnitt ingår inte i A-kursen men man behöver ha lite kännedom om det för att hänga med i Fysik A. Alltså gör vi ett kort nedslag i trigonometri nu, men sparar det intressanta och det mesta av "förståelsen" till Matematik D.

Se till så att ni kan använda sin, cos och tan med tillhörande inverser för att bestämma sidor och vinklar i enkla exempel.

Lös 3411, 3414, 3415, 3423, 3425, 3426, 3432, 3436, 3439, 3444 samt 3460 och 3466 om ni får tid över.

Tjuvstart MaB

Geometri

Randvinkelsatsen; undersök sambandet mellan medelpunktsvinklar och randvinklar i cirklar. Följ instruktionerna på sidan och upptäck sambanden. Kan ni bevisa dem?

Andragradskurvor

Klickar ni på GeoGebra-knappen nedan så öppnas ett fönster med en grafen till en andragradskurva på formen $y=ax^2+bx+c$ där ni själva kan välja värden på parametrarna a, b och c. I startläget är samtliga inställda på 1. Vad kan ni finna för samband mellan värden på parametrarna och grafens utseende. Experimentera och dra slutsatser!

Sannolikhetslära

Här finns tio flervalsfrågor om sannolikheter. Att bara fylla i svar på måfå är såklart meningslöst. Tänk efter före (och efter om det blir fel). Hur många rätt får ni (om ni inte får svara om)? Någon som klarar 10 rätt?

Frågorna är på engelska efter önskemål av Friström (eller kanske det är så att matteläraren inte orkade göra egna).

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License