matematik-5:induktionsuppgifter

Uppgifter på matematisk induktion

Enklare uppgift

Visa att

(1)
\begin{align} \; a+(a+d)+(a+2d)+\ldots (a+(n-1)d) = \frac{n(dn+2a-d)}{2} \end{align}

för något givet par av tal a och d (som läraren delar ut). T.ex. om du får a=2 och d=3 ska du visa att

(2)
\begin{align} \; 2+5+8+ \ldots + (2+3(n-1)) = \frac{n(3n+1)}{2} \end{align}

Svårare uppgifter

1. Visa att

(3)
\begin{align} \; 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + \ldots + n(n+2)=n(n+1)(2n+7)/6 \end{align}

2. Visa att

(4)
\begin{align} 1^3 + 3^3 + 5^3 + \ldots + (2n-1)^3 = n^2(2n^2-1) \end{align}

3. Visa att

(5)
\begin{align} \sum_{k=1}^{n} k^3= \frac{n^2(n+1)^2}{4} \end{align}

4. Visa att

(6)
\begin{align} (\sum_{k=1}^{n} k)^2= \frac{n^2(n+1)^2}{4} \end{align}

5. Visa att

(7)
\begin{equation} n^3 < 2^n \end{equation}

för $n > 9$.

6. Visa att

(8)
\begin{align} \; 2 \cdot 5 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot 8 + \ldots + (n+1)(n+5) = \frac{n(2n+7)(n+1)}{6} \end{align}

7. Visa att

(9)
\begin{align} \; \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \ldots + \frac{n}{2^n} = 2- \frac{n+2}{2^n} \end{align}

8. Visa att

(10)
\begin{align} n-2 < \frac{n^2-n}{12} \end{align}

för $n > 11$.

9. Om man vill anstränga sig ordentligt, "tänk ut" en formel för summan

(11)
\begin{align} 1^4+2^4+3^4+ \ldots + n^4 \end{align}

och bevisa den sedan med induktion. Formeln finns säkert på nätet, men kolla helst inte där.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License