matematik-5-vt19:detaljplan

1.1 1.2 1.3 Extra kombinatorikproblem 2.1 2.2 2.3 Differentialekvationer: extramaterial

Introduktion

Kursen kan i princip delas upp i två nästan helt komplementära delar, nämligen diskret matematik och differentialkalkyl. Det sistnämnda är en påbyggnad på derivata- och integralköret i Ma4, och behandlas sist.

Första delen blir alltså diskret matematik. Det är inte fråga om något som är hemligt eller särskilt stillsamt utan snarare ett samlingsnamn för all matematik som inte inblandar kontinuitet (som t.ex. derivator och integraler gör). En översikt över delarna inom den diskreta matematiken kan man hitta här.

För att få en känsla för de delar som vi ska behandla i denna kurs kan man ögna igenom följande problem

Kombinatorik

- Hur många olika femkorts pokerhänder finns det?
- Fem personer ska ställa sig i en kö. Hur många olika köer kan dom bilda?

Mängdlära

(Snott från boken) Vid en gymnasieskola kan eleverna på naturvetenskapsprogrammet välja att läsa en eller flera av kurserna matematik 5, kemi 2 och fysik 2. 90 elever valde matematik, 82 kemi och 80 fysik. 30 elever valde matematik och kemi, 36 matematik och fysik, 34 kemi och fysik och 14 valde alla tre kurserna.
a) Hur många valde bara matematik?
b) Hur många valde bara kemi?
c) Hur många valde bara fysik?
d) Hur många av de 200 eleverna valde inte någon kurs?

Grafteori

- Kan du arrangera en promenad över Königsbergs sju broar så att varje bro passeras exakt en gång?
- Om du får lägga till en bro (var du vill), går det då?

Talteori

- Hur ser man snabbt på ett tal om det är jämnt delbart med 2, 4, 5, 6, 9?

1.1 Kombinatorik

Lådprincipen (8-10)

På engelska heter denna princip Pigeonhole_principle, och i Wikipediaartikeln kan man läsa mer om denna än vad boken presenterar.

Principen är enkel: Antag att du ska placera 5 (eller fler) föremål i 4 lådor. Då säger lådprincipen att minst en låda måste innehålla minst två föremål (tänk igenom denna formulering).

Mer allmänt, om du placerar n+1 (eller fler) föremål i n lådor så måste minst en låda innehålla minst två föremål.

Ännu mer allmänt, om du placerar $n \cdot k +1$ (eller fler) föremål i n lådor så måste minst en låda innehålla minst $k+1$ föremål. Om inte så hade vi ju haft högst $n \cdot k$ föremål, vilket vi ju INTE hade.

Principen är enkel, men det som kan vara knepigt är att bestämma vad som ska fungera som lådor och vad som ska fungera som föremål. Här krävs rutin/träning och inte sällan en dos fantasi. Bokens uppgifter sätter inte detta på sin spets, så om ni vill kan ni fundera på följande problem.

1) Du har $n+1$ olika heltal från 1 till $2n$. Visa att man kan plocka ut två som inte har någon gemensam faktor (>1).

2) Du har $n+1$ olika heltal från 1 till $2n$. Visa att man kan plocka ut två tal där det ena delar det andra.

3) Visa att det i en grupp alltid finns två personer som har lika många vänner. Vi utgår från att vänskap är ömsesidigt, dvs. om person A uppfattar person B som sin vän, så uppfattar person B också person A som sin vän.

4) Albin spelar minst en tennismatch varje dag under en fyraveckorsperiod men han spelar högst 40 matcher totalt under denna tid. Visa att det måste finnas en följd av dagar under vilka Albin spelar exakt 15 matcher.

Lös a-uppgifter efter behov, sedan (eller) b- och c-uppgifterna.

Multiplikations- och additionsprincipen (sid 11-14)

Antag att en restaurang erbjuder $p$ st förrätter och $q$ stycken varmrätter.

Om du vill välja en förrätt och en varmrätt kan detta göras på $p \cdot q$ olika sätt (multiplikationsprincipen).

Om du vill välja en förrätt eller en varmrätt kan detta göras på $p+q$ olika sätt (additionsprincipen).

Tänk efter så ni är med på detta. Lite slarvigt kan man säga att och ger multiplikation och eller ger addition.

Lös a-uppgifter efter behov, sedan 1125-1129 och 1132.

Permutationer (sid 15-18)

En permutation är en "uppräkning" av en mängd objekt i en viss ordning. Att beräkna antalet permutationer av $k$ element ur en mängd med $n$ element/objekt bygger på multiplikationsprincipen. Första elementet kan väljas på $n$ sätt, andra på $n-1$ sätt osv. till näst sista som kan väljas på $n-k+2$ sätt och det sista på $n-k+1$ sätt (tänk efter varför det inte blir $n-k$). Därmed får vi antalet permutationen av $k$ bland $n$ som

(1)
\begin{align} \; P(n,k)=n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+2) \cdot (n-k+1) = \dfrac{n!}{(n-k)!} \end{align}

där

(2)
\begin{align} n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n \end{align}

som utläses "n fakultet" (n factorial) är en praktisk beteckning.

Ett "klassiskt" (nja…) problem är att räkna antalet olika sexbokstavsord som man kan bilda av bokstäverna i ordet ANKFOT. Tydligen handlar det om $P(6,6)=6!=720$ stycken. Förresten, kan du ange ett riktigt ord som kan bildas förutom ANKFOT självt?

Lös 1137, 1139, 1140, 1141, 1145, 1146, 1147, 1148.

Kombinationer (sid 19-22)

I förra avsnittet räknade vi antalet sätt att ordna k element bland n. En sådan ordning kallades en permutation. Nu ska vi räkna antalet sätt att från $n$ element plocka ut $k$ stycken utan ordning. Ett sådant urval kallas en kombination. Tekniken är att man först räknar antalet permutationer

(3)
\begin{align} P(n,k)=\dfrac{n!}{(n-k)!}. \end{align}

Sedan noterar man att det finns $k!$ olika permutationer som ger upphov till samma oordnade utval (t.ex. ger ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA) upphov till samma oordnade urval $\{A,B,C\}$. Alltså grupperar vi ihop dessa permutationer till samma kombination och får då antalet kombinationer av $k$ element bland $n$ som

(4)
\begin{align} C(n,k)={n \choose k} = \dfrac{P(n,k)}{k!} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} \end{align}

där ${n \choose k}$ utläses "n över k". Inför framtiden kan man också notera att uttrycket ${n \choose k}$ dyker upp i samband med binomialsatsen och därför ibland kallas binomialkoefficient.

Utöver uppgifterna i boken kan ni fundera på

- Hur många femkorts pokerhänder finns det som innehåller

a) ett par (men inget bättre)?
b) ett tvåpar (men inget bättre)?
c) triss, färg, stege, kåk, fyrtal, färgstege (men inget bättre)?

- (Samma princip som 1162). Hur många delmängder med 5 tal bland talen $1,2,3, \ldots, 14$ har egenskapen att minst två av de fem talen är på varandra följande? T.ex. har delmängden $\{2,5,6,10,13\}$ denna egenskap men $\{1,5,7,9,12\}$ har det inte.

Lös 1153, 1156, 1158, 1159, 1160, 1161, 1162. 1162 kan lösas "snabbt" om man tänker "rätt".

Kommer du ihåg sannolikhetslära? (sid 23-25)

Kombinatorik är såklart nära förknippat med sannolikhetslära. Vill man har reda på sannolikheten beräknar man ju

(5)
\begin{align} P=\dfrac{\textrm{antalet gynnsamma utfall}}{\textrm{totala antalet utfall}} \end{align}

och talen i täljare och nämnare är ju kombinatoriska.

Lös så många uppgifter som behövs, kanske b-uppgifterna. 1172 kan man skippa om man vill.

Kombinatorik och sannolikhetslära (sid 26-27)

Finns inget att säga om detta mer än att det bygger på förra avsnittet.

Lös b- och c-uppgifterna.

Binomialsatsen (sid 30-34)

Hur man utvecklar (multiplicerar ihop) $(x+y)^2$ är säkert bekant; nämligen enligt kvadreringsregeln

(6)
\begin{equation} (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 \end{equation}

Binomialsatsen är i princip en formel för att utveckla $(x+y)^n$ för ett godtyckligt positivt heltal $n$. T.ex. kan man få en kuberingsregel

(7)
\begin{align} (x+y)^3= (x+y)(x+y)(x+y)={3 \choose 0}x^3+{3 \choose 1}x^2y+{3 \choose 2} xy^2 + {3 \choose 3} y^3. \end{align}

Man inser att koefficienten framför t.ex. $xy^2$ blir ${3 \choose 2}$ genom att tänka efter på hur många sätt man kan plocka ut två y (och därmed ett x) ur de tre parenteserna. Koefficienten ${n \choose k}$ kallas binomialkoefficient.

Ett smidigt sätt att plocka fram binomialkoefficienterna är rekursivt via Pascals triangel. För att förstå att detta fungerar måste tänka igenom likheten

(8)
\begin{align} {n \choose k} = {n-1 \choose k} + {n-1 \choose k-1} \end{align}

vilket boken hjälper till med på sida 31-32. Det kombinatoriska argumentet på sida 31 är att föredra framför det algebraiska på sida 32.

Lös 1186, 1187, 1188, 1192, 1193, 1194, 1196 och 1197 (tänk gärna ut ett kombinatoriskt argument om möjligt).

1.2 Mängdlära

Mängder - Grundbegrepp (sid 35-38)

Här handlar det mest om att lära sig en del syntax (hur man skriver). Ganska tråkigt (men nödvändigt) att lära sig. Som kuriosa kan nämnas att vad som egentligen är en mängd och hur en sådan får definieras är mycket mer intrikat än boken medger, se t.ex. Barber_paradox.

Lös uppgifter efter behov, kanske 1204, 1207 och b- och c-uppgifterna.

Mängdoperationer (sid 39-40)

Här inför man en sorts "räknesätt" på mängder, nämligen union, snitt, differens och komplement. Man noterar att för att komplementet ska ha mening måste grundmängden vara klar, för de övriga är det inte nödvändigt.

Lös några a-uppgifter, t.ex. 1217 och 1219. Sedan b- och c-uppgifterna.

Venndiagram (41-44)

Eftersom mängder kan ses som påsar med element i kan man tänka sig att representera dem grafiskt som "plana påsar". Man ritar helt enkelt en mängd som en cirkel (eller annan sluten kurva) och tänker sig att elementen ligger inuti cirkeln. Ett finare namn för dessa cirklar är Venndiagram (efter John Venn).

Ritar man lämpligt kan man illustrera snitt, unioner, komplement etc.

Lös några a-uppgifter, t.ex. 1228 och 1229. Sedan b- och c-uppgifterna. I 1232 anser boken att parallellogramer inte är parallelltrapetser. Det håller jag inte med om …

1.3 Grafteori

Inledning (46-49)

Ordet graf har två olika betydelser inom matematik. Det som ni är vana vid är en "grafisk bild" kopplad till en funktion, t.ex. grafen till $f(x)=x^2$. Här är det fråga om något helt annat, en graf är något som byggs upp av noder sammankopplade med kanter. Man kan se en graf som ett sorts nätverk.

Det klassiska problemet som anses ha givit upphov till grafteorin är Königsbergs broar som beskrivs på sida 46. På sida 47 är det fråga om att lära sig en del terminologi (som inte är standard), gör det.

Lös (eller ha koll på) samtliga uppgifter.

Några klassiska problem (50-53)

Här handlar det om Hamiltoncykler, där det är fråga om att "åka" runt i en graf så att alla noder passeras en gång innan man är tillbaka där man startade. I 1312 ska man försöka finna Hamiltoncykler. Att visa att sådan finns är enkelt, rita den, men att visa att sådan inte finns kräver ett bättre argument än "jag kom inte på någon".

I handelsresandes problem vill man, i en graf med viktade kanter, finna vägen med minsta kantsumma. För detta finns ingen riktigt bra algoritm (i alla fall har man inte kommit på någon) utan man nöjer sig med en s.k. girig algoritm där man varje gång väljer den bästa kanten. Konstruera gärna en graf där denna algoritm inte leder till optimal cykel.

Lös samtliga uppgifter.

Träd (sid 54-55)

Detta är ett ganska marginellt avsnitt. Ni behöver känna till vad ett träd är och Kruskals algoritm, som man kan använda för att koppla ihop noder "på billigaste sätt". Varför algoritmen fungerar ingår inte i kursen.

Lös 1315, 1317 och 1319. Notera att man inte behöver veta något om kemi i 1319, det handlar egentligen om att konstruera samtliga träd på n noder under villkoret att gradtalet i varje nod inte överstiger 4. Fast man får vara noggrann när man räknar dem.

Extraproblem kombinatorik

Här följer några mer eller mindre svåra (ofta svårare än bokens) kombinatoriska problem, som ni kan jobba lite smått med under kursens gång. Jag har lagt till eventuellt rätta svar (är inte helt säker själv), men kolla inte där för fort. När ni löst en uppgift ser jag fram emot en diskussion, när vi får tid över på någon lektion.


På hur många sätt kan man måla 10 identiska hästar i en karusell så att tre av dem är bruna, tre är blå och fyra är svarta? Eftersom karusellen roterar räknas uppställningar som kan överföras till varandra genom rotation som lika.


På hur många sätt kan en lärare dela ut 12 olika läroböcker bland 16 elever om

a) ingen student får mer än en bok
b) den äldste studenten får två böcker och ingen annan student får mer än en bok

En slant singlas 60 gånger med resultatet 45 krona och 15 klave. På hur många sätt kan detta ha inträffat om det inte förekommit två på varandra följande klavar.


På hur många sätt kan ett dussin identiska äpplen fördelas på fem barn så att inget att inget barn får mer än 7 äpplen?

En partikel ska flyttas från punkten $(1,2)$ till punkten $(5,9)$ i ett koordinatsystem. På hur många sätt kan denna förflyttning göras om de tillåtna förflyttningarna i varje steg är: $(x,y) \mapsto (x+1,y)$, $(x,y) \mapsto (x,y+1)$ eller $(x,y) \mapsto (x+1,y+1)$.


Bestäm antalet mängder $\{a,b,c\}$ med olika tal $a,b,c$ vars produkt är lika med produkten av talen 11, 21, 31, 41, 51, 61.

The Annual Interplanetary Mathematics Examination (AIME) is written by a committee of five Martians, five Venusians, and five Earthlings. At meetings, committee members sit at a round table with chairs numbered from 1 to 15 in clockwise order. Committee rules state that a Martian must occupy chair 1 and an Earthling must occupy chair 15. Furthermore, no Earthling can sit immediately to the left of a Martian, no Martian can sit immediately to the left of a Venusian, and no Venusian can sit immediately to the left of an Earthling. The number of possible seating arrangements for the committee is $N(5!)^3$. Find $N$.


Let $N$ be the number of ordered pairs of nonempty sets $\mathcal{A}$ and $\mathcal{B}$ that have the following properties:
  • $\mathcal{A} \cup \mathcal{B} = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$,
  • $\mathcal{A} \cap \mathcal{B} = \emptyset$,
  • The number of elements of $\mathcal{A}$ is not an element of $\mathcal{A}$,
  • The number of elements of $\mathcal{B}$ is not an element of $\mathcal{B}$.

Find $N$.


2.1 Talteori

Delbarhet och primtal (sid 68-70)

Delbarhet är intimt förknippat med primtal, som är dom "minsta" multiplikativa byggstenarna. Väsentligt (men inte alls självklart) är att varje heltal på ett entydigt sätt kan faktoriseras i primtal. Detta är så väsentligt att det kallas aritmetikens fundamentalsats och är så pass svårt att bevisa att det faller utanför kursens ramar.

Delbarhetsreglerna på sida 69 snabbar upp en del räkningar. De för delbarhet med 3 och 9 är möjligen svårast att förstå. Efter avsnittet om moduloräkning kommer det nog att klarna.

Lös 2104, 2105, 2107, 2110, 2111, 2115 och eventuellt 2116.

Gemensamma och icke gemensamma faktorer (sid 71-73)

Notera att ni har bestämt MGM (minsta gemensam multipel) många gånger förut. Att bestämma minsta gemensam nämnare till ett antal bråk är samma som att bestämma MGM till just talen i nämnarna. Boken presenterar en metod som bygger på primtalsfaktorisering. Det finns snabbare metoder!

SGF står för största gemensamma faktor och även denna kan man bestämma med primtalsfaktorisering. Ett användbart samband kan vara:

(9)
\begin{align} SGF(a,b) \cdot MGM(a,b)= a\cdot b. \end{align}

Uppgift 2125 går ut på att tänka ut varför det funkar.

Lös 2119, 2123, 2124, 2125, 2127, 2128, 2129, 2130 och 2132.

Kongruens och moduloräkning (sid 75-78)

Som boken skriver kan man lite slarvigt kalla detta "klockaritmetik", då man likställer tal som skiljer på en multipel av 12. Det motsvarar ju bara att man snurrat ett antal varv på klockan så visaren pekar ändå på samma tal. Aritmetiken består alltså bara av talen $0, 1,\ldots 10, 11$, fast talen har inte entydig framställning (och ibland är det praktiskt att välja en annan representant. T.ex. så är

(10)
\begin{equation} 2 = 14 = 26 =-10 \end{equation}

i klockaritmetiken. Ett annat sätt att skriva detta (introducerat av Gauss) är

(11)
\begin{align} 2 \equiv 14 \equiv 26 \equiv -10 \pmod{12} \end{align}

som utläses "två är kongruent med fjorton modulo tolv" (i alla fall den första kongruensen). Jämför detta med bråk där också samma tal kan ha olika representanter.

Det praktiska med moduloräkningen är att räknesätten $+,-,\cdot$ beter sig "bra". Man kan byta representanter när som helst i sina räkningar. Antag t.ex. att vi vill beräkna $31 \cdot 45 \pmod{12}$. Ett alternativ är att räkna ut produkten och sedan byta representant

(12)
\begin{align} 29 \cdot 45 = 1305 = 108 \cdot 12 + 9 \equiv 9 \pmod{12} \end{align}

Ett annat (och smidigare) alternativ är att först byta till bättre representanter (nära 0). Vi får

(13)
\begin{align} 29 \cdot 45 \equiv 5 \cdot (-3) = -15 \equiv -3 \equiv 9 \pmod{12} \end{align}

som huvudräknas större ansträngning.

Observera att vi undvikit att tal om räknesättet division. Det visar sig lite mer komplicerat och utelämnas i kursen.

Observera slutligen att man inte behöver räkna modulo just 12 utan kan räkna modulo vilket positivt heltal som helst!

Lös 2136, 2137, 2139, 2140, 2141, 2143, 2145, 2146, 2148, 2152, 2153. 2154 och 2157 om man får tid över.

Talsystem i olika baser (sid 80-81)

Vårt sätt att beteckna tal är ett positionssystem i basen 10. Det finns inget matematiskt skäl till detta beteckningssätt, utan är nog en konsekvens av att vi har tio fingrar. Det finns inget som hindrar att man räknar i andra talbaser, t.ex. så är det vanligt med binära (basen 2) och hexagesimala (basen 16) system i "datorsammanhang". Babylonierna räkande i basen 60, vilket lever kvar i våra enheter för tid (60 sekunder på en minut, 60 minuter på en timme).

Lös b- och c-uppgifterna.

2.2 Talföljder

Inledning (sid 84-86)

Med en talföljd menas en följd av tal (såklart), såväl ändlig som oändlig. Exempel:

(14)
\begin{equation} 1, 65, 43, -3 , 42, -4, 7 , -2 ,3,-9,0 \end{equation}
(15)
\begin{align} 1,3,5,7,9,11, \ldots \end{align}

Med … menas att följden fortsätter på samma sätt, och det blir läsarens uppgift att förstå mönstret.

Istället för att skriva upp själva följden kan man tala om hur elementen genereras. En möjlighet är på sluten form där elementen $a_n$ uttrycks som funktion av platsnumret n. Vår följd ovan kan skrivas

(16)
\begin{equation} a_n=2n-1 \end{equation}

Lös b- och c-uppgifterna (ta någon a-uppgift om det hänger upp sig).

Rekursionsformler (sid 88-89)

En annan möjlighet att beskriva hur elementen genereras är på rekursiv form där elementen uttrycks med hjälp av sin (sina) föregångare. Vår följd ovan kan skrivas

(17)
\begin{equation} a_n=a_{n-1} +2, a_1 =1 \end{equation}

Observera att vi måste ange startvärdet annars kan vi inte starta vår rekursion. Ett intressant problem, som dock ligger utanför kursens ramar, är hur/om man kan översätta mellan rekursionsformler och slutna formler. Uppgift 2220 illustrerar några enkla fall.

Lös 2216, 2217, 2220, 2222, 2223, 2225 och eventuellt 2227.

Aritmetiska talföljder (sid 90-91)

En aritmetisk talföljd genereras genom att man till ett godtyckligt startvärde successivt adderar en konstant. Ett exempel på en sådan talföljd är

(18)
\begin{equation} 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39 \end{equation}

som startar med 3 och där man successivt adderar 4.

Vi vill beräkna talföljdens summa

(19)
\begin{equation} S=3+7+11+15+19+23+27+31+35+39 \end{equation}

Som man lätt reder ut (se bok) får man

(20)
\begin{align} S=\frac{\textrm{''första termen"} + \textrm{''sista termen''}}{2} \cdot \textbf{''antalet termer''} = \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n \end{align}

vilket i vårt fall ger

(21)
\begin{align} S=\frac{3+39}{2} \cdot 10 = 210. \end{align}

Det som kan kräva lite eftertanke är hur många termer, n, en viss talföljd består av. Vad blir n i talföljden

(22)
\begin{align} 2, 7, 12, 17 , 22, \ldots ,272, 277? \end{align}

Tydligen innehåller följden

(23)
\begin{align} \frac{277-2}{5} = 55 \end{align}

''femsteg''. Alltså har följden 55+1=56 termer (och INTE 55).

Lös 2230, 2231, 2233, 2235, 2236.

Geometriska talföljder (sid 92-94)

En geometrisk talföljd genereras genom att man till ett godtyckligt startvärde successivt multiplicerar en konstant. Ett exempel på en sådan talföljd är

(24)
\begin{equation} 4, 12, 36, 108, 324, 972 \end{equation}

som startar med 4 ($=a_1$) och där man successivt multiplicerar med 3 (=k).
Låt oss bestämma talföljdens summa

(25)
\begin{equation} S=4+12+36+108+324+972 \end{equation}

på ett sätt som låter sig generaliseras.

Om vi bildar 3S fås

(26)
\begin{equation} 3S=12+36+108+324+972+2916 \end{equation}

dvs. samma följd så när som på första och sista termen (4 och 2916). Vi bildar nu

(27)
\begin{equation} 3S-S=2916-4 \end{equation}

eller

(28)
\begin{align} S=\frac{2916-4}{3-1}=1456 \end{align}

Om man tänker igenom det generella fallet med första tal $a_1$, faktor k och n element får man

(29)
\begin{align} S=\frac{a_1 \cdot(k^n-1)}{k-1} = \frac{a_1 \cdot(1-k^n)}{1-k} \end{align}

Lös a-uppgifterna efter behov och 2246, 2248, 2250, 2252 och 2253.

Ekonomiska, natur- och samhällsvetenskapliga tillämpningar (sid 96-100)

Här finns lite blandade problem på talföljder. Det är ingen ny matematik och räcker att göra ett några stycken.

Lös 2258, 2259, 2262, 2269, 2272 och 2273.

2.3 Induktionsbevis

Detta är en viktig "bevisteknik" som man kan/måste använda om man vill visa att ett påstående är sant för alla positiva heltal. Ofta handlar det om en likhet men i princip kan det vara fråga om vilken sekvens av påståenden som helst (ett för varje naturligt tal). Att verifiera påståendena för ett heltal i taget är ju omöjligt eftersom det finns oändligt många heltal.

Såhär fungerar det, i steg.

1. Visa att påståendet är sant för ett första tal, vanligen 0 eller 1. Säg n=1.
2. Antag att påståendet ät sant för ett fixerat men godtyckligt heltal n=p.
3. Visa nu att under förutsättningen från 2 så är påståendet korrekt för n=p+1, dvsn för nästa heltal.

Induktionprincipen ger nu att påståendet måste vara sant för alla heltal. Vi vet nämligen att det är sant för n=1. Eftersom det är sant för n=1 så måste det enligt 2. och 3. vara sant för n=2. Eftersom det nu är sant för n=2 måste det vara sant för n=3 etc.

Att detta "stegande" innebär att påståendet är sant för alla positiva heltal är lätt att tro på intuitivt. Vill man vara mer formell så garanteras det av ett av axiomen för de hela talen (man har alltså bestämt att heltalen har den egenskapen att induktionsprincipen ska fungera).

Boken ger flera konkreta exempel på hur man genomför induktionsbevis. I vissa fall kan man kanske undvika dem, men gör inte det här eftersom tanken är träning på just denna teknik.

Det räcker att göra b- och c-uppgifterna. Strunta dock i 2315. 2313 kan ni nog fixa med moduloräkning men försök göra ett induktionsbevis.

Differentialekvationer: extramaterial

I "Centralt innehåll'' för kursen står det att följande ska behandlas:

  • Strategier för att ställa upp och tolka differentialekvationer som modeller för verkliga situationer.
  • Användning och lösning av differentialekvationer med digitala verktyg inom olika områden som är relevanta för karaktärsämnena.

Detta uppfylls inte så bra av läroboken och därför använder vi istället utdelat extramaterial.

1.1 Repetition av matematik 4

Lös 2, 5, 7, 8.

1.2 Riktningsfält och analys av differentialekvation

Lös 11, 12, 13, 14. Riktningfält ritas med fördel med GeoGebra, men ett kan man handrita i sitt liv.

1.3 Euler stegmetod

Här kan man "köra" Euler online med alla stegen redovisade.

Lös 16, 17, 19. Samma slutsats som ovan, man gör väldigt få stegmetoder för hand i sitt liv. Men några …

1.4 Differentialekvationer med GeoGebra

Extrauppgift: Betrakta differentialekvationen $y'=x \sqrt{y}$.

a) Rita riktningsfältet och notera att $y'(x)=0$ för alla $x$, dvs att lutningen är noll längs hela x-axeln.
b) Lös, med CAS, ekvationen under villkoret att $y(0)=0$.
c) Visa med "handräkning" att funktionerna $y(x)=0$ och $y(x)=x^4/16$ löser ekvationen under bivillkoret $y(0)=0$.

Slutsatsen av detta är att man kan få flera lösningskurvor genom samma punkt. Intressant problem är att utreda för vilka differentialekvationer detta kan inträffa respektive inte inträffa.


Lös alla, dvs 20 till 25 och extrauppgiften ovan.

2.1 En enkel tilväxtmodell

Lös alla, dvs 26-29. Alla medel är tillåtna.

2.2 Blandningsproblem

Lös alla. Uppgift 30-32 är standardproblem, 33 lite knepigare och 34 ganska svår men intressant.

2.3 Newtons avsvalningslag

Lös alla, dvs 35-38.

2.4 Fritt fall med luftmotstånd

I uppgift 42 kan ni dessutom fundera på följande extraproblem

Antag att man ger föremålet en positiv/uppåtriktad begynnelsehastighet på 10 m/s.

c) Ange differentialekvationen som beskriver föremålets hastighet inledningsvis.

d) Hur länge är lösningen till ovanstående differentialekvation giltig? Varför?

e) Ungefär hur högt över urspungsläget når föremålet innan det börjar fall neråt?

e) Konstruera (numeriskt) lösningkurvan för föremålets hastighet under hela förloppet.

Lös 39, 41 och 42. För mig funkade numerisk lösning i CAS dåligt på 39 och 42, medan det gick bättre i Algebramiljön.

2.5 Logistisk tillväxt

Lös 43, 45, 46.

3 Algebraisk lösning av y'+ky=f(x)

Detta avsnitt kan ses som kursivt och inget som är nödvändig för att lösa problemen på Provbanksprovet (eftersom GeoGebra hanterar detta). Men om man vill handräkna och dubbelkolla så är detta bra att känna till. Dessutom dyker detta med algebraisk lösning säkert upp i kommande kurser för de som t.ex. tänker sig en ingenjörsutbildning.

Arbeta med problemen från häftet i första hand men sid 184-190 i boken omfattar samma stoff och man kan eventuellt plocka några problem härifrån också.

Lös 59-66.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License