matematik-5-vt17-ht17-snabb:detaljplan

1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.3 Repetition 1,2 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3

Introduktion

Kursen kan i princip delas upp i två nästan helt komplementära delar, nämligen diskret matematik och differentialkalkyl. Det sistnämnda är en påbyggnad på derivata- och integralköret i Ma4, och behandlas sist.

Första delen blir alltså diskret matematik. Det är inte fråga om något som är hemligt eller särskilt stillsamt utan snarare ett samlingsnamn för all matematik som inte inblandar kontinuitet (som t.ex. derivator och integraler gör). En översikt över delarna inom den diskreta matematiken kan man hitta här.

För att få en känsla för de delar som vi ska behandla i denna kurs kan ni kika på och lösa följande problem

Kombinatorik

- Sju personer ska ställa sig i en kö. Hur många olika köer kan dom bilda?
- Bland sju personer ska man välja ut en kommitee på tre personer. På hur många sätt kan detta göras?

Mängdlära

(Snott från boken) Vid en gymnasieskola kan eleverna på naturvetenskapsprogrammet välja att läsa en eller flera av kurserna matematik 5, kemi 2 och fysik 2. 90 elever valde matematik, 82 kemi och 80 fysik. 30 elever valde matematik och kemi, 36 matematik och fysik, 34 kemi och fysik och 14 valde alla tre kurserna.
a) Hur många valde bara matematik?
b) Hur många valde bara kemi?
c) Hur många valde bara fysik?
d) Hur många av de 200 eleverna valde inte någon kurs?

Grafteori

- Kan du arrangera en promenad över Königsbergs sju broar så att varje bro passeras exakt en gång?
- Om du får lägga till en bro (var du vill), går det då?

Talteori

- Hur ser man snabbt på ett tal om det är jämnt delbart med 2, 4, 5, 6, 9?`
- Om du "räknar på" en vanlig klocka kan man säga att 12=0. Vad blir i så fall $10+7, 10 \cdot 7, 10/7, 7/10$ i klockaritmetiken?

Induktion

Här gäller det att visa att något är sant för varje heltal, dvs. man ska i princip bevisa oändligt många påståenden. Hur går detta till?

Betrakta

(1)
\begin{array} \; 1^3=1^2 \\ 1^3+2^3=(1+2)^2 \\ 1^3+2^3+3^3 = (1+2+3)^2 \\ 1^3+2^3+3^3+4^3=(1+2+3+4)^2 \end{array}

Det är ju enkelt att kontrollera att ovanstående likheter är korrekta. Men kan man visa (är det ens sant) att

(2)
\begin{align} \; 1^3+2^3+3^3+\ldots +n^3 = (1+2+3+\ldots +n)^2 \end{align}

för varje positivt heltal $n$?

Induktionsbevis gör susen! (Fast ovanstående problem är inte det enklaste exemplet man kan tänka sig.)

1.1 Kombinatorik

Lådprincipen (8-10)

På engelska heter denna princip Pigeonhole_principle, och i Wikipediaartikeln kan man läsa mer om denna än vad boken presenterar.

Principen är enkel: Antag att du ska placera 5 (eller fler) föremål i 4 lådor. Då säger lådprincipen att minst en låda måste innehålla minst två föremål (tänk igenom denna formulering).

Mer allmänt, om du placerar n+1 (eller fler) föremål i n lådor så måste minst en låda innehålla minst två föremål.

Ännu mer allmänt, om du placerar $n \cdot k +1$ (eller fler) föremål i n lådor så måste minst en låda innehålla minst $k+1$ föremål. Om inte så hade vi ju haft högst $n \cdot k$ föremål, vilket vi ju INTE hade.

Principen är enkel, men det som kan vara knepigt är att bestämma vad som ska fungera som lådor och vad som ska fungera som föremål. Här krävs rutin/träning och inte sällan en dos fantasi. Bokens uppgifter sätter inte detta på sin spets, så om ni vill kan ni fundera på följande problem.

1) Du har $n+1$ olika heltal från 1 till $2n$. Visa att man kan plocka ut två som inte har någon gemensam faktor.

2) Du har $n+1$ olika heltal från 1 till $2n$. Visa att man kan plocka ut två tal där det ena delar det andra.

3) Albin spelar minst en tennismatch varje dag under en fyraveckorsperiod men han spelar högst 40 matcher totalt under denna tid. Visa att det måste finnas en följd av dagar under vilka Albin spelar exakt 15 matcher.

Lös samtliga uppgifter.

Multiplikations- och additionsprincipen (sid 11-14)

Antag att en restaurang erbjuder $p$ st förrätter och $q$ stycken varmrätter.

Om du vill välja en förrätt och en varmrätt kan detta göras på $p \cdot q$ olika sätt (multiplikationsprincipen).

Om du vill välja en förrätt eller en varmrätt kan detta göras på $p+q$ olika sätt (additionsprincipen).

Tänk efter så ni är med på detta. Lite slarvigt kan man säga att och ger multiplikation och eller ger addition.

Lös, eller ha koll på, samtliga uppgifter utom 1130 (deluppgift c har fel i facit och d är barnslig) och 1132, antingen är frågan felställd, eller är facit fel, eller både och. I 1125 är rätt svar 260000 (facit har tappat en nolla).

Permutationer (sid 15-18)

En permutation är en "uppräkning" av en mängd objekt i en viss ordning. Att beräkna antalet permutationer av $k$ element ur en mängd med $n$ element/objekt bygger på multiplikationsprincipen. Första elementet kan väljas på $n$ sätt, andra på $n-1$ sätt osv. till näst sista som kan väljas på $n-k+2$ sätt och det sista på $n-k+1$ sätt (tänk efter varför det inte blir $n-k$). Därmed får vi antalet permutationen av $k$ bland $n$ som

(3)
\begin{align} P(n,k)=n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+2) \cdot (n-k+1) = \dfrac{n!}{(n-k)!} \end{align}

där

(4)
\begin{align} n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n \end{align}

som utläses "n fakultet" (n factorial) är en praktisk beteckning.

Ett "klassiskt" (nja…) problem är att räkna antalet olika sexbokstavsord som man kan bilda av bokstäverna i ordet ANKFOT. Tydligen handlar det om $P(6,6)=6!=720$ stycken. Förresten, kan du ange ett riktigt ord som kan bildas förutom ANKFOT självt?

Lös eventuellt 1136, 1137b, 1139a, 1141, 1144 och så många b- och c-uppgifter ni orkar.

Kombinationer (sid 19-22)

I förra avsnittet räknade vi antalet sätt att ordna k element bland n. En sådan ordning kallades en permutation. Nu ska vi räkna antalet sätt att från $n$ element plocka ut $k$ stycken utan ordning. Ett sådant urval kallas en kombination. Tekniken är att man först räknar antalet permutationer

(5)
\begin{align} P(n,k)=\dfrac{n!}{(n-k)!}. \end{align}

Sedan noterar man att det finns $k!$ olika permutationer som ger upphov till samma oordnade utval (t.ex. ger ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA) upphov till samma oordnade urval $\{A,B,C\}$. Alltså grupperar vi ihop dessa permutationer till samma kombination och får då antalet kombinationer av $k$ element bland $n$ som

(6)
\begin{align} C(n,k)={n \choose k} = \dfrac{P(n,k)}{k!} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} \end{align}

där ${n \choose k}$ utläses "n över k". Inför framtiden kan man också notera att uttrycket ${n \choose k}$ dyker upp i samband med binomialsatsen och därför ibland kallas binomialkoefficient.

Utöver uppgifterna i boken kan ni fundera på

Hur många femkorts pokerhänder finns det som innehåller

a) ett par (men inget bättre)?
b) ett tvåpar (men inget bättre)?
c) triss, färg, stege, kåk, fyrtal, färgstege (men inget bättre)?

Lös 1153, 1154, 1155, 1156, 1157. Iofs är dessa ganska triviala så kanske kan börja direkt med 1159 (där Erik byter namn till Sally i facit), 1160, 1161 och 1162 som var för och en kräver lite eftertanke (hur ska man räkna). 1162 kan lösas "snabbt" om man tänker "rätt".

Kommer du ihåg sannolikhetslära? (sid 23-25)

Kombinatorik är såklart nära förknippat med sannolikhetslära. Vill man har reda på sannolikheten beräknar man ju

(7)
\begin{align} P=\dfrac{\textrm{antalet gynnsamma utfall}}{\textrm{totala antalet utfall}} \end{align}

och talen i täljare och nämnare är ju kombinatoriska.

Lös så många uppgifter som behövs, kanske b- och c-uppgifter.

Kombinatorik och sannolikhetslära (sid 26-27)

Finns inget att säga om detta mer än att det bygger på förra avsnittet.

Lös b- och c-uppgifterna. Fast c-uppgiften har vi gjort på lektion.

Binomialsatsen (sid 30-34)

Hur man utvecklar (multiplicerar ihop) $(x+y)^2$ är säkert bekant; nämligen enligt kvadreringsregeln

(8)
\begin{equation} (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 \end{equation}

Binomialsatsen är i princip en formel för att utveckla $(x+y)^n$ för ett godtyckligt positivt heltal $n$. T.ex. kan man få en kuberingsregel

(9)
\begin{align} (x+y)^3= (x+y)(x+y)(x+y)={3 \choose 0}x^3+{3 \choose 1}x^2y+{3 \choose 2} xy^2 + {3 \choose 3} y^3. \end{align}

Man inser att koefficienten framför t.ex. $xy^2$ blir ${3 \choose 2}$ genom att tänka efter på hur många sätt man kan plocka ut två y (och därmed ett x) ur de tre parenteserna. Koefficienten ${n \choose k}$ kallas binomialkoefficient.

Ett smidigt sätt att plocka fram binomialkoefficienterna är rekursivt via Pascals triangel. För att förstå att detta fungerar måste tänka igenom likheten

(10)
\begin{align} {n \choose k} = {n-1 \choose k} + {n-1 \choose k-1} \end{align}

vilket boken hjälper till med på sida 31-32. Det kombinatoriska argumentet på sida 31 är att föredra framför det algebraiska på sida 32.

Lös 1186, 1187, 1188, 1192, 1193, 1194 och 1197 (tänk gärna ut ett kombinatoriskt argument).

1.2 Mängdlära

Mängder - Grundbegrepp (sid 35-38)

Här handlar det mest om att lära sig en del syntax (hur man skriver). Ganska tråkigt (men nödvändigt) att lära sig. Som kuriosa kan nämnas att vad som egentligen är en mängd och hur en sådan får definieras är mycket mer intrikat än boken medger, se t.ex. Barber_paradox.

Lös uppgifter efter behov, förslagsvis b- och c-uppgifterna. I 1213 är n=11 det korrekta svaret!

Mängdoperationer (sid 39-40)

Här inför man en sorts "räknesätt" på mängder, nämligen union, snitt, differens och komplement. Man noterar att för att komplementet ska ha mening måste grundmängden vara klar, för de övriga är det inte nödvändigt.

Lös uppgifter efter behov, åtminstone b- och c-uppgifterna, men kanske några a-uppgifter som uppvärmning.

Venndiagram (41-44)

Eftersom mängder kan ses som påsar med element i kan man tänka sig att representera dem grafiskt som "plana påsar". Man ritar helt enkelt en mängd som en cirkel (eller annan sluten kurva) och tänker sig att elementen ligger inuti cirkeln. Ett finare namn för dessa cirklar är Venndiagram (efter John Venn).

Ritar man lämpligt kan man illustrera snitt, unioner, komplement etc.

Lös uppgifter efter behov, åtminstone b- och c-uppgifterna. I 1232 anser boken att parallellogramer inte är parallelltrapetser. Det håller jag inte med om … I 1227d ska den sista parentesen sitta efter B:et inte efter C:et

1.3 Grafteori

Inledning (46-49)

Ordet graf har två olika betydelser inom matematik. Det som ni är vana vid är en "grafisk bild" kopplad till en funktion, t.ex. grafen till $f(x)=x^2$. Här är det fråga om något helt annat, en graf är något som byggs upp av noder sammankopplade med kanter. Man kan se en graf som ett sorts nätverk.

Det klassiska problemet som anses ha givit upphov till grafteorin är Königsbergs broar som beskrivs på sida 46. På sida 47 är det fråga om att lära sig en del terminologi (som inte är standard), gör det.

Lös samtliga uppgifter. Facit i 1306a stämmer ej utan svaret är "Nej, går ej".

Några klassiska problem (50-53)

Här handlar det om Hamiltoncykler, där det är fråga om att "åka" runt i en graf så att alla noder passeras en gång innan man är tillbaka där man startade. I 1312 ska man försöka finna Hamiltoncykler. Att visa att sådan finns är enkelt, rita den, men att visa att sådan inte finns kräver ett bättre argument än "jag kom inte på någon".

I handelsresandes problem vill man, i en graf med viktade kanter, finna vägen med minsta kantsumma. För detta finns ingen riktigt bra algoritm (i alla fall har man inte kommit på någon) utan man nöjer sig med en s.k. girig algoritm där man varje gång väljer den bästa kanten. Konstruera gärna en graf där denna algoritm inte leder till optimal cykel.

Lös samtliga uppgifter.

Träd (sid 54-55)

Detta är ett ganska marginellt avsnitt. Ni behöver känna till vad ett träd är och Kruskals algoritm, som man kan använda för att koppla ihop noder "på billigaste sätt". Varför algoritmen fungerar ingår inte i kursen.

Lös 1315, 1317 och 1319. Notera att man inte behöver veta något om kemi i 1319, det handlar egentligen om att konstruera samtliga möjliga träd på n noder.

2.1 Talteori

Delbarhet och primtal (sid 68-70)

Delbarhet är intimt förknippat med primtal, som är dom "minsta" multiplikativa byggstenarna. Väsentligt (men inte alls självklart) är att varje heltal på ett entydigt sätt kan faktoriseras i primtal. Detta är så väsentligt att det kallas aritmetikens fundamentalsats och är så pass svårt att bevisa att det faller utanför kursens ramar.

Delbarhetsreglerna på sida 69 snabbar upp en del räkningar. De för delbarhet med 3 och 9 är möjligen svårast att förstå. Efter avsnittet om moduloräkning kommer det nog att klarna.

Lös eller skumma igenom a-uppgifterna, och lös sedan samtliga b- och c-uppgifter.

Gemensamma och icke gemensamma faktorer (sid 71-73)

Notera att ni har bestämt MGM (minsta gemensam multipel) många gånger förut. Att bestämma minsta gemensam nämnare till ett antal bråk är samma som att bestämma MGM till just talen i nämnarna. Boken presenterar en metod som bygger på primtalsfaktorisering. Det finns snabbare metoder!

SGF står för största gemensamma faktor och även denna kan man bestämma med primtalsfaktorisering. Ett användbart samband kan vara:

(11)
\begin{align} SGF(a,b) \cdot MGM(a,b)= a\cdot b. \end{align}

Uppgift 2125 går ut på att tänka ut varför det funkar.

Lös 2119, 2123, 2124, 2125, 2127, 2128, 2129, 2130 och 2132.

Kongruens och moduloräkning (sid 75-78)

Som boken skriver kan man lite slarvigt kalla detta "klockaritmetik", då man likställer tal som skiljer på en multipel av 12. Det motsvarar ju bara att man snurrat ett antal varv på klockan så visaren pekar ändå på samma tal. Aritmetiken består alltså bara av talen $0, 1,\ldots 10, 11$, fast talen har inte entydig framställning (och ibland är det praktiskt att välja en annan representant. T.ex. så är

(12)
\begin{equation} 2 = 14 = 26 =-10 \end{equation}

i klockaritmetiken. Ett annat sätt att skriva detta (introducerat av Gauss) är

(13)
\begin{align} 2 \equiv 14 \equiv 26 \equiv -10 \pmod{12} \end{align}

som utläses "två är kongruent med fjorton modulo tolv" (i alla fall den första kongruensen). Jämför detta med bråk där också samma tal kan ha olika representanter.

Det praktiska med moduloräkningen är att räknesätten $+,-,\cdot$ beter sig "bra". Man kan byta representanter när som helst i sina räkningar. Antag t.ex. att vi vill beräkna $31 \cdot 45 \pmod{12}$. Ett alternativ är att räkna ut produkten och sedan byta representant

(14)
\begin{align} 29 \cdot 45 = 1305 = 108 \cdot 12 + 9 \equiv 9 \pmod{12} \end{align}

Ett annat (och smidigare) alternativ är att först byta till bättre representanter (nära 0). Vi får

(15)
\begin{align} 29 \cdot 45 \equiv 5 \cdot (-3) = -15 \equiv -3 \equiv 9 \pmod{12} \end{align}

som huvudräknas större ansträngning.

Observera att vi undvikt att tal om räknesättet division. Det visar sig lite mer komplicerat och utelämnas i kursen.

Observera slutligen att man inte behöver räkna modulo just 12 utan kan räkna modulo vilket positivt heltal som helst!

Lös 2136, 2137, 2139, 2140, 2141, 2143, 2145, 2146, 2148, 2152, 2153. 2154 och 2157 om man får tid över.

Talsystem i olika baser (sid 80-81)

Vårt sätt att beteckna tal är ett positionssystem i basen 10. Det finns inget matematiskt skäl till detta beteckningssätt, utan är nog en konsekvens av att vi har tio fingrar. Det finns inget som hindrar att man räknar i andra talbaser, t.ex. så är det vanligt med binära (basen 2) och hexagesimala (basen 16) system i "datorsammanhang". Babylonierna räkande i basen 60, vilket lever kvar i våra enheter för tid (60 sekunder på en minut, 60 minuter på en timme).

Lös b- och c-uppgifterna.

2.2 Talföljder

Inledning (sid 84-86)

Med en talföljd menas en följd av tal (såklart), såväl ändlig som oändlig. Exempel:

(16)
\begin{equation} 1, 65, 43, -3 , 42, -4, 7 , -2 ,3,-9,0 \end{equation}
(17)
\begin{align} 1,3,5,7,9,11, \ldots \end{align}

Med … menas att följden fortsätter på samma sätt, och det blir läsarens uppgift att förstå mönstret.

Istället för att skriva upp själva följden kan man tala om hur elementen genereras. En möjlighet är på sluten form där elementen $a_n$ uttrycks som funktion av platsnumret n. Vår följd ovan kan skrivas

(18)
\begin{equation} a_n=2n-1 \end{equation}

Lös b- och c-uppgifterna (ta någon a-uppgift om det hänger upp sig).

Rekursionsformler (sid 88-89)

En annan möjlighet att beskriva hur elementen genereras är på rekursiv form där elementen uttrycks med hjälp av sin (sina) föregångare. Vår följd ovan kan skrivas

(19)
\begin{equation} a_n=a_{n-1} +2, a_1 =1 \end{equation}

Observera att vi måste ange startvärdet annars kan vi inte starta vår rekursion. Ett intressant problem, som dock ligger utanför kursens ramar, är hur/om man kan översätta mellan rekursionsformler och slutna formler. Uppgift 2220 illustrerar några enkla fall.

Lös 2216, 2217, 2219, 2220, 2223, 2225 och eventuellt 2227.

Aritmetiska talföljder (sid 90-91)

En aritmetisk talföljd genereras genom att man till ett godtyckligt startvärde successivt adderar en konstant. Ett exempel på en sådan talföljd är

(20)
\begin{equation} 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39 \end{equation}

som startar med 3 och där man successivt adderar 4.

Vi vill beräkna talföljdens summa

(21)
\begin{equation} S=3+7+11+15+19+23+27+31+35+39 \end{equation}

Som man lätt reder ut (se bok) får man

(22)
\begin{align} S=\frac{\textrm{''första termen"} + \textrm{''sista termen''}}{2} \cdot \textbf{''antalet termer''} = \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n \end{align}

vilket i vårt fall ger

(23)
\begin{align} S=\frac{3+39}{2} \cdot 10 = 210. \end{align}

Det som kan kräva lite eftertanke är hur många termer, n, en viss talföljd består av. Vad blir n i talföljden

(24)
\begin{align} 2, 7, 12, 17 , 22, \ldots ,272, 277? \end{align}

Tydligen innehåller följden

(25)
\begin{align} \frac{277-2}{5} = 55 \end{align}

''femsteg''. Alltså har följden 55+1=56 termer (och INTE 55).

Lös samtliga uppgifter, eller snarare efter behov.

Geometriska talföljder (sid 92-94)

En geometrisk talföljd genereras genom att man till ett godtyckligt startvärde successivt multiplicerar en konstant. Ett exempel på en sådan talföljd är

(26)
\begin{equation} 4, 12, 36, 108, 324, 972 \end{equation}

som startar med 4 ($=a_1$) och där man successivt multiplicerar med 3 (=k).
Låt oss bestämma talföljdens summa

(27)
\begin{equation} S=4+12+36+108+324+972 \end{equation}

på ett sätt som låter sig generaliseras.

Om vi bildar 3S fås

(28)
\begin{equation} 3S=12+36+108+324+972+2916 \end{equation}

dvs. samma följd så när som på första och sista termen (4 och 2916). Vi bildar nu

(29)
\begin{equation} 3S-S=2916-4 \end{equation}

eller

(30)
\begin{align} S=\frac{2916-4}{3-1}=1456 \end{align}

Om man tänker igenom det generella fallet med första tal $a_1$, faktor k och n element får man

(31)
\begin{align} S=\frac{a_1 \cdot(k^n-1)}{k-1} = \frac{a_1 \cdot(1-k^n)}{1-k} \end{align}

Lös a-uppgifterna efter behov och 2246, 2248, 2250, 2252 och 2253.

Ekonomiska, natur- och samhällsvetenskapliga tillämpningar (sid 96-100)

Här finns lite blandade problem på talföljder. Det är ingen ny matematik och räcker att göra ett några stycken.

Lös 2258, 2259, 2262, 2269, 2272 och 2273.

2.3 Induktionsbevis

Det är en viktig "bevisteknik" som man kan/måste använda om man vill visa att ett påstående är sant för alla positiva heltal. Ofta handlar det om en likhet men i princip kan det vara fråga om vilket påstående som helst. Att verifiera påståendet för ett heltal i taget är ju omöjligt eftersom det finns oändligt många heltal.

Såhär fungerar det, i steg.

1. Visa att påståendet är sant för ett första tal, vanligen 0 eller 1. Säg n=1.
2. Antag att påståendet ät sant för ett fixerat men godtyckligt heltal n=p.
3. Visa nu att under förutsättningen från 2 så är påståendet korrekt för n=p+1, dvsn för nästa heltal.

Induktionprincipen ger nu att påståendet måste vara sant för alla heltal. Vi vet nämligen att det är sant för n=1. Eftersom det är sant för n=1 så måste det enligt 2. och 3. vara sant för n=2. Eftersom det nu är sant för n=2 måste det vara sant för n=3 etc.

Att detta "stegande" innebär att påståendet är sant för alla positiva heltal är lätt att tro på intuitivt. Vill man vara mer formell så garanteras det av ett av axiomen för de hela talen (man har alltså bestämt att heltalen har den egenskapen att induktionsprincipen ska fungera).

Boken ger flera konkreta exempel på hur man genomför induktionsbevis. I vissa fall kan man kanske undvika dem, men gör inte det här eftersom tanken är träning på just denna teknik.

Det räcker att göra b- och c-uppgifter. Fast gör dessa ordentligt!

Repetition kapitel 1 och 2

Repetition kapitel 1

Vi repeterar kapitel 1 med hjälp av utdelade extrauppgifter (observera att uppgifterna till vår boks kapitel 1 kommer i slutet i utdelade häftet). De blandade uppgifterna är nivågrupperade, vilket rimligen är kopplat till svårighetsgrad. Det avslutande testet gör man på egen hand när man känner för det.

Lös uppgifter efter behov. På fredagslektionen kikar vi på "gemensamma problem", t.ex. 22, 24, 28, 30, 35, 38, 39, eller enligt önskemål.

Repetition kapitel 2

Vi repeterar kapitel 2 med hjälp av utdelade extrauppgifter (observera att uppgifterna till vår boks kapitel 2 kommer i början i det utdelade häftet). De blandade uppgifterna är nivågrupperade, vilket rimligen är kopplat till svårighetsgrad. Det avslutande testet gör man på egen hand när man känner för det.

Lös uppgifter efter behov. På fredagslektionen kikar vi gemensamt på "gemensamma problem", t.ex. 22 (kan du dessutom tänka ut en formel för flingans area, och vad som händer med omkrets och area när n går mot oändligheten?), 26, 30, 31.

Svårare repetitionsproblem på kapitel 1 och 2

Här följer ett antal svårare repetitionsproblem. Välj och vraka och lös så mycket som möjligt. Även delresultat är intressanta. Det är inte säkert att läraren redar ut problemen, så vi får hjälpas åt. På fredagslektionen ser vi hur långt vi kommit. Problemen är på engelska eftersom det inte ska riskeras några fel i översättningen.


1. For $-1<r<1$, let $S(r)$ denote the sum of the geometric series

(32)
\begin{align} 12+12r+12r^2+12r^3+\cdots . \end{align}

Let $a$ between $-1$ and $1$ satisfy $S(a)S(-a)=2016$. Find $S(a)+S(-a)$.


2. Two dice appear to be normal dice with their faces numbered from $1$ to $6$, but each die is weighted so that the probability of rolling the number $k$ is directly proportional to $k$. The probability of rolling a $7$ with this pair of dice is $\frac{m}{n}$, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n$.

3. Let $N$ be the least positive integer that is both $22$ percent less than one integer and $16$ percent greater than another integer. Find the remainder when $N$ is divided by $1000$.


4. In a new school, $40$ percent of the students are freshmen, $30$ percent are sophomores, $20$ percent are juniors, and $10$ percent are seniors. All freshmen are required to take Latin, and $80$ percent of sophomores, $50$ percent of the juniors, and $20$ percent of the seniors elect to take Latin. The probability that a randomly chosen Latin student is a sophomore is $\frac{m}{n}$, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n$.

5. When each of 702, 787, and 855 is divided by the positive integer $m$, the remainder is always the positive integer $r$. When each of 412, 722, and 815 is divided by the positive integer $n$, the remainder is always the positive integer $s \neq r$. Find $m+n+r+s$.


6. Consider arrangements of the $9$ numbers $1, 2, 3, \dots, 9$ in a $3 \times 3$ array. For each such arrangement, let $a_1$, $a_2$, and $a_3$ be the medians of the numbers in rows $1$, $2$, and $3$ respectively, and let $m$ be the median of $\{a_1, a_2, a_3\}$. Let $Q$ be the number of arrangements for which $m = 5$. Find the remainder when $Q$ is divided by $1000$.

7. Find the value of $a_2+a_4+a_6+a_8+\ldots+a_{98}$ if $a_1, a_2, a_3 \ldots$ is an arithmetic progression with common difference 1, and $a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{98}=137.$


8. Let $a_n$ equal $6^{n}+8^{n}$. Determine the remainder upon dividing $a_ {83}$ by $49$.

9. Twenty five of King Arthur's knights are seated at their customary round table. Three of them are chosen - all choices being equally likely - and are sent off to slay a troublesome dragon. Let $P$ be the probability that at least two of the three had been sitting next to each other. If $P$ is written as a fraction in lowest terms, what is the sum of the numerator and the denominator?


3.1 Derivator

Repetition (sid 120-125)

Om man ska var ärlig så står det inte mycket i ämnesplanen om derivator i Matematik 5. Man ska iofs syssla med omfångsrika situationer med derivator och syssla med differentialekvationer (och då behövs derivator). Känner man för att fortsätta på en civilingenjörsutbildning är det mycket lämpligt att man fördjupat sina kunskaper, också på sådant som inte står explicit i ämnesplanen.

Ok, nog med snicksnack. I princip är hela avsnitt 3.1 en repetition från Ma3c och Ma4, även om problem blir svårare. Det första delavsnittet kallas repetition och här väljer man själv vad och hur mycket man vill göra.

Lös efter behov, t.ex. några b-uppgifter och c-uppgifterna.

Några bevis (126-127)

Ska man bevisa något om derivata så måste man oftast gå tillbaka till defintionen. Så kolla upp denna. Sedan handlar det mest om algebraiska manipulationer.

Lös 3135, 3138, 3139, 3140 och 3141.

Tangenter och linjär approximation (128-129)

Om man vill approximera grafen till en funktion $y=f(x)$ i en punkt $(a,f(a))$ är rimligen tangenten genom punkten på grafen den bästa approxiamtionen. Som bekant fås lutningen denna tangent mha derivata. Approximation med tangent kan t.ex. vara ett bra hjälpmedel om man vill studera en komplicerad funktion "lokalt" (dvs nära en given punkt).

Lös 3145, 3147, 3149, 3150 och 3151 (den sista tittar vi på gemensamt och tangerar samtidigt potensserieutvecklingar).

Förändringshastigheter och derivata (sid 130-135)

Detta handlar i princip användning av användning kedjeregeln, fast man måste hantera "okända" funktioner i sin derivering.

Ett exempel (lite krystat och där notationen inte är exakt som boken): Arean av en kvadrat ökar med 5 $cm^2/s$. Hur fort ökar sidlängden i det ögonblick ($t = t_0$) då sidan är 10 cm? Vi vet (såklart) att

(33)
\begin{equation} A(t)=s(t)^2 \end{equation}

Eftersom det efterfrågas hastighet deriverar vi ovanstående med avseende på t och får

(34)
\begin{align} A'(t)=2\cdot s(t) \cdot s'(t) \end{align}

Observera användningen av kedjeregeln då högerledet deriveras. Insättning av kända värden ger nu

(35)
\begin{align} 5=2 \cdot 10 \cdot s'(t_0) \end{align}

ur vilket $s'(t_0)$ enkelt kan bestämmas.

Principen är alltså att man tecknar ett samband för storheter (som var och en t.ex. beror på tiden). Detta samband deriveras sedan och man erhåller ett samband mellan motsvarande derivator/förändringshastigheter.

Observera att boken använder ett alternativt skrivsätt för derivator, nämligen

(36)
\begin{align} A'(t)=\frac{dA}{dt}, \, s'(t)=\frac{ds}{dt}, A'(s)=\frac{dA}{ds} \end{align}

I exemplet ovan kan kedjeregeln alltså formuleras

(37)
\begin{align} \frac{dA}{dt} = \frac{dA}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} \end{align}

Lös b- och c-uppgifterna.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License