matematik-5-ht20-vt21:detaljplan

1.1 1.2 1.3 Kombinatorikrepetition

Introduktion

Kursen kan i princip delas upp i två nästan helt komplementära delar, nämligen diskret matematik och differentialkalkyl/differentialekvationer. Det sistnämnda är en påbyggnad på derivata- och integralköret i Ma4, och behandlas dels kort inför NP i Ma4 (kap 3), dels under våren (differentialekvationerna).

Första delen blir alltså diskret matematik. Det är inte fråga om något som är hemligt eller särskilt stillsamt utan snarare ett samlingsnamn för all matematik som inte inblandar kontinuitet (som t.ex. derivator och integraler gör). En översikt över delarna inom den diskreta matematiken kan man hitta här.

För att få en känsla för de delar som vi ska behandla i denna kurs kan ni kika på och lösa följande problem

Kombinatorik

- Sju personer ska ställa sig i en kö. Hur många olika köer kan dom bilda?
- Bland sju personer ska man välja ut en kommitte på tre personer. På hur många sätt kan detta göras?

Mängdlära

(Delvis snott från boken) Vid en gymnasieskola kan eleverna på naturvetenskapsprogrammet välja att läsa en eller flera av kurserna matematik 5, kemi 2 och fysik 2. 90 elever valde matematik, 82 kemi och 80 fysik. 30 elever valde matematik och kemi, 36 matematik och fysik, 34 kemi och fysik och 14 valde alla tre kurserna.
a) Hur många valde bara matematik?
b) Hur många valde bara kemi?
c) Hur många valde bara fysik?
d) Hur många av de 200 eleverna valde inte någon kurs?
e) Illustrera i ett Venndiagram.

Grafteori

- Kan du arrangera en promenad över Königsbergs sju broar så att varje bro passeras exakt en gång?
- Om du får lägga till en bro (var du vill), går det då?

Talteori

- Hur ser man snabbt på ett tal om det är jämnt delbart med 2, 4, 5, 6, 9? Varför finns det inga bra regler för 7?
- Om du "räknar på" en vanlig klocka kan man säga att 12=0. Vad blir i så fall $10+7, 10 \cdot 7, 10/7, 7/10$ i klockaritmetiken?

1.1 Kombinatorik

Lådprincipen (8-10)

På engelska heter denna princip Pigeonhole_principle, och i Wikipediaartikeln kan man läsa mer om denna än vad boken presenterar.

Principen är enkel: Antag att du ska placera 5 (eller fler) föremål i 4 lådor. Då säger lådprincipen att minst en låda måste innehålla minst två föremål (tänk igenom denna formulering).

Mer allmänt, om du placerar n+1 (eller fler) föremål i n lådor så måste minst en låda innehålla minst två föremål.

Ännu mer allmänt, om du placerar $n \cdot k +1$ (eller fler) föremål i n lådor så måste minst en låda innehålla minst $k+1$ föremål. Om inte så hade vi ju haft högst $n \cdot k$ föremål, vilket vi ju INTE hade.

Principen är enkel, men det som kan vara knepigt är att bestämma vad som ska fungera som lådor och vad som ska fungera som föremål. Här krävs rutin/träning och inte sällan en dos fantasi. Bokens uppgifter sätter inte detta på sin spets, så om ni vill kan ni fundera på följande problem.

1) Du har $n+1$ olika heltal från 1 till $2n$. Visa att man kan plocka ut två som inte har någon gemensam faktor (>1).

2) Du har $n+1$ olika heltal från 1 till $2n$. Visa att man kan plocka ut två tal där det ena delar det andra.

3) Visa att det i en grupp alltid finns två personer som har lika många vänner. Vi utgår från att vänskap är ömsesidigt, dvs. om person A uppfattar person B som sin vän, så uppfattar person B också person A som sin vän.

4) Albin spelar minst en tennismatch varje dag under en fyraveckorsperiod men han spelar högst 40 matcher totalt under denna tid. Visa att det måste finnas en följd av dagar under vilka Albin spelar exakt 15 matcher.

Lös b- och c-uppgifterna.

Multiplikations- och additionsprincipen (sid 11-14)

Antag att en restaurang erbjuder $p$ st förrätter och $q$ stycken varmrätter.

Om du vill välja en förrätt och en varmrätt kan detta göras på $p \cdot q$ olika sätt (multiplikationsprincipen).

Om du vill välja en förrätt eller en varmrätt kan detta göras på $p+q$ olika sätt (additionsprincipen).

Tänk efter så ni är med på detta. Lite slarvigt kan man säga att och ger multiplikation och eller ger addition.

Lös a-uppgifter efter behov, sedan 1125-1129 och 1132.

Permutationer (sid 15-18)

En permutation är en "uppräkning" av en mängd objekt i en viss ordning. Att beräkna antalet permutationer av $k$ element ur en mängd med $n$ element/objekt bygger på multiplikationsprincipen. Första elementet kan väljas på $n$ sätt, andra på $n-1$ sätt osv. till näst sista som kan väljas på $n-k+2$ sätt och det sista på $n-k+1$ sätt (tänk efter varför det inte blir $n-k$). Därmed får vi antalet permutationen av $k$ bland $n$ som

(1)

\begin{align} \; P(n,k)=n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+2) \cdot (n-k+1) = \dfrac{n!}{(n-k)!} \end{align}

där

(2)

\begin{align} n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n \end{align}

som utläses "n fakultet" (n factorial) är en praktisk beteckning.

Lös 1137, 1139, 1141, 1145, 1146, 1147, 1148.

Kombinationer (sid 19-22)

I förra avsnittet räknade vi antalet sätt att ordna k element bland n. En sådan ordning kallades en permutation. Nu ska vi räkna antalet sätt att från $n$ element plocka ut $k$ stycken utan ordning. Ett sådant urval kallas en kombination. Tekniken är att man först räknar antalet permutationer

(3)

\begin{align} P(n,k)=\dfrac{n!}{(n-k)!}. \end{align}

Sedan noterar man att det finns $k!$ olika permutationer som ger upphov till samma oordnade utval (t.ex. ger ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA) upphov till samma oordnade urval $\{A,B,C\}$. Alltså grupperar vi ihop dessa permutationer till samma kombination och får då antalet kombinationer av $k$ element bland $n$ som

(4)

\begin{align} C(n,k)={n \choose k} = \dfrac{P(n,k)}{k!} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} \end{align}

där ${n \choose k}$ utläses "n över k". Inför framtiden kan man också notera att uttrycket ${n \choose k}$ dyker upp i samband med binomialsatsen och därför ibland kallas binomialkoefficient.

Utöver uppgifterna i boken kan ni fundera på

- Hur många femkorts pokerhänder finns det som innehåller

a) ett par (men inget bättre)?
b) ett tvåpar (men inget bättre)?
c) triss, färg, stege, kåk, fyrtal, färgstege (men inget bättre)?

- (Samma princip som 1162). Hur många delmängder med 5 tal bland talen $1,2,3, \ldots, 14$ har egenskapen att minst två av de fem talen är på varandra följande? T.ex. har delmängden $\{2,5,6,10,13\}$ denna egenskap men $\{1,5,7,9,12\}$ har det inte.

Lös 1153, 1156, 1158, 1159, 1160, 1161, 1162. 1162 kan lösas "snabbt" om man tänker "rätt".

Kommer du ihåg sannolikhetslära? (sid 23-25)

Kombinatorik är såklart nära förknippat med sannolikhetslära. Vill man har reda på sannolikheten beräknar man ju

(5)

\begin{align} P=\dfrac{\textrm{antalet gynnsamma utfall}}{\textrm{totala antalet utfall}} \end{align}

och talen i täljare och nämnare är ju kombinatoriska.

Lös så många uppgifter som behövs, kanske b-uppgifterna. 1172 kan man skippa om man vill.

Kombinatorik och sannolikhetslära (sid 26-27)

Finns inget att säga om detta mer än att det bygger på förra avsnittet.

Lös b- och c-uppgifterna.

Binomialsatsen (sid 30-34)

Hur man utvecklar (multiplicerar ihop) $(x+y)^2$ är säkert bekant; nämligen enligt kvadreringsregeln

(6)

\begin{equation} (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 \end{equation}

Binomialsatsen är i princip en formel för att utveckla $(x+y)^n$ för ett godtyckligt positivt heltal $n$. T.ex. kan man få en kuberingsregel

(7)

\begin{align} (x+y)^3= (x+y)(x+y)(x+y)={3 \choose 0}x^3+{3 \choose 1}x^2y+{3 \choose 2} xy^2 + {3 \choose 3} y^3. \end{align}

Man inser att koefficienten framför t.ex. $xy^2$ blir ${3 \choose 2}$ genom att tänka efter på hur många sätt man kan plocka ut två y (och därmed ett x) ur de tre parenteserna. Koefficienten ${n \choose k}$ kallas binomialkoefficient.

Ett smidigt sätt att plocka fram binomialkoefficienterna är rekursivt via Pascals triangel. För att förstå att detta fungerar måste tänka igenom likheten

(8)

\begin{align} {n \choose k} = {n-1 \choose k} + {n-1 \choose k-1} \end{align}

vilket boken hjälper till med på sida 31-32. Det kombinatoriska argumentet på sida 31 är att föredra framför det algebraiska på sida 32.

Pascals triangel, som har med binomialsatsen att göra, dök upp då Pascal och Fermat diskutarade "Problem of points". Pascals triangel var dock känd långt innan Pascal föddes.

Lös 1186, 1187, 1188, 1192, 1193, 1194, 1196 och 1197 (tänk gärna ut ett kombinatoriskt argument om möjligt).

1.2 Mängdlära

Mängder - Grundbegrepp (sid 35-38)

Här handlar det mest om att lära sig en del syntax (hur man skriver). Ganska tråkigt (men nödvändigt) att lära sig. Som kuriosa kan nämnas att vad som egentligen är en mängd och hur en sådan får definieras är mycket mer intrikat än boken medger, se t.ex. Barber_paradox eller Russells paradox

Lös uppgifter efter behov, kanske 1204, 1207 och b- och c-uppgifterna.

Mängdoperationer (sid 39-40)

Här inför man en sorts "räknesätt" på mängder, nämligen union, snitt, differens och komplement. Man noterar att för att komplementet ska ha mening måste grundmängden vara klar, för de övriga är det inte nödvändigt.

Lös några a-uppgifter, t.ex. 1217 och 1219. Sedan b- och c-uppgifterna.

Venndiagram (41-44)

Eftersom mängder kan ses som påsar med element i kan man tänka sig att representera dem grafiskt som "plana påsar". Man ritar helt enkelt en mängd som en cirkel (eller annan sluten kurva) och tänker sig att elementen ligger inuti cirkeln. Ett finare namn för dessa cirklar är Venndiagram (efter John Venn).

Ritar man lämpligt kan man illustrera snitt, unioner, komplement etc.

Lös några a-uppgifter, t.ex. 1228 och 1229. Sedan b- och c-uppgifterna. I 1232 anser boken att parallellogramer inte är parallelltrapetser. Det håller jag inte med om …

1.3 Grafteori

Inledning (46-49)

Ordet graf har två olika betydelser inom matematik. Det som ni är vana vid är en "grafisk bild" kopplad till en funktion, t.ex. grafen till $f(x)=x^2$. Här är det fråga om något helt annat, en graf är något som byggs upp av noder sammankopplade med kanter. Man kan se en graf som ett sorts nätverk.

Det klassiska problemet som anses ha givit upphov till grafteorin är Königsbergs broar som beskrivs på sida 46. På sida 47 är det fråga om att lära sig en del terminologi (som inte är standard), gör det.

Lös (eller ha koll på) samtliga uppgifter.

Några klassiska problem (50-53)

Här handlar det om Hamiltoncykler, där det är fråga om att "åka" runt i en graf så att alla noder passeras en gång innan man är tillbaka där man startade. I 1312 ska man försöka finna Hamiltoncykel. Att visa att sådan finns är enkelt, rita den, men att visa att sådan inte finns kräver ett bättre argument än "jag kom inte på någon".

I handelsresandes problem vill man, i en graf med viktade kanter, finna vägen med minsta kantsumma. För detta finns ingen riktigt bra algoritm (i alla fall har man inte kommit på någon) utan man nöjer sig med en s.k. girig algoritm där man varje gång väljer den bästa kanten. Konstruera gärna en graf där denna algoritm inte leder till optimal cykel.

Lös samtliga uppgifter.

Träd (sid 54-55)

Detta är ett ganska marginellt avsnitt. Ni behöver känna till vad ett träd är och Kruskals algoritm, som man kan använda för att koppla ihop noder "på billigaste sätt". Varför algoritmen fungerar ingår inte i kursen.

Lös 1315, 1317 och 1319. Notera att man inte behöver veta något om kemi i 1319, det handlar egentligen om att konstruera samtliga träd på n noder under villkoret att gradtalet i varje nod inte överstiger 4. Fast man får vara noggrann när man räknar dem.

2.1 Talteori

Delbarhet och primtal (sid 68-70)

Delbarhet är intimt förknippat med primtal, som är dom "minsta" multiplikativa byggstenarna. Väsentligt (men inte alls självklart) är att varje heltal på ett entydigt sätt kan faktoriseras i primtal. Detta är så väsentligt att det kallas aritmetikens fundamentalsats och är så pass svårt att bevisa att det faller utanför kursens ramar.

Delbarhetsreglerna på sida 69 snabbar upp en del räkningar. De för delbarhet med 3 och 9 är möjligen svårast att förstå. Efter avsnittet om moduloräkning kommer det nog att klarna.

Lös 2104, 2105, 2107, 2110, 2111, 2115 och eventuellt 2116.

Gemensamma och icke gemensamma faktorer (sid 71-73)

Notera att ni har bestämt MGM (minsta gemensam multipel) många gånger förut. Att bestämma minsta gemensam nämnare till ett antal bråk är samma som att bestämma MGM till just talen i nämnarna. Boken presenterar en metod som bygger på primtalsfaktorisering. Det finns snabbare metoder!

SGF står för största gemensamma faktor och även denna kan man bestämma med primtalsfaktorisering. Ett användbart samband kan vara:

(9)

\begin{align} SGF(a,b) \cdot MGM(a,b)= a\cdot b. \end{align}

Uppgift 2125 går ut på att tänka ut varför det funkar.

Svårt extraproblem: Låt m och n vara relativt prima positiva heltal. Bestäm $SGF(5^m+7^m,5^n+7^n)$ för alla värden på m och n.

Lös 2119, 2122, 2124, 2125, 2127, 2128, 2129, 2130 och 2132.

Kongruens och moduloräkning (sid 75-78)

Som boken skriver kan man lite slarvigt kalla detta "klockaritmetik", då man likställer tal som skiljer på en multipel av 12. Det motsvarar ju bara att man snurrat ett antal varv på klockan så visaren pekar ändå på samma tal. Aritmetiken består alltså bara av talen $0, 1,\ldots 10, 11$, fast talen har inte entydig framställning (och ibland är det praktiskt att välja en annan representant). T.ex. så är

(10)

\begin{equation} 2 = 14 = 26 =-10 \end{equation}

i klockaritmetiken. Ett annat sätt att skriva detta (introducerat av Gauss) är

(11)

\begin{align} 2 \equiv 14 \equiv 26 \equiv -10 \pmod{12} \end{align}

som utläses "två är kongruent med fjorton modulo tolv" (i alla fall den första kongruensen). Jämför detta med bråk där också samma tal kan ha olika representanter.

Det praktiska med moduloräkningen är att räknesätten $+,-,\cdot$ beter sig "bra". Man kan byta representanter när som helst i sina räkningar. Antag t.ex. att vi vill beräkna $31 \cdot 45 \pmod{12}$. Ett alternativ är att räkna ut produkten och sedan byta representant

(12)

\begin{align} 29 \cdot 45 = 1305 = 108 \cdot 12 + 9 \equiv 9 \pmod{12} \end{align}

Ett annat (och smidigare) alternativ är att först byta till bättre representanter (nära 0). Vi får

(13)

\begin{align} 29 \cdot 45 \equiv 5 \cdot (-3) = -15 \equiv -3 \equiv 9 \pmod{12} \end{align}

som huvudräknas större ansträngning.

Observera att vi undvikit att tal om räknesättet division. Det visar sig lite mer komplicerat och utelämnas i kursen.

Observera slutligen att man inte behöver räkna modulo just 12 utan kan räkna modulo vilket positivt heltal som helst!

Svårare extraproblem: Visa att ekvationen $2x^6+y^7=11$ saknar heltalslösningar.

Lös 2136, 2137, 2139, 2140, 2141, 2143, 2145, 2146, 2148, 2152, 2153. 2154 och 2157 om man får tid över.

Talsystem i olika baser (sid 80-81)

Vårt sätt att beteckna tal är ett positionssystem i basen 10. Det finns inget matematiskt skäl till detta beteckningssätt, utan är nog en konsekvens av att vi har tio fingrar. Det finns inget som hindrar att man räknar i andra talbaser, t.ex. så är det vanligt med binära (basen 2) och hexagesimala (basen 16) system i "datorsammanhang". Babylonierna räkande i basen 60, vilket lever kvar i våra enheter för tid (60 sekunder på en minut, 60 minuter på en timme).

Lös 2163, 2368, 2169 och eventuellt 2172 och 2173.

2.2 Talföljder

Inledning (sid 84-86)

Med en talföljd menas en följd av tal (såklart), såväl ändlig som oändlig. Exempel:

(14)

\begin{equation} 1, 65, 43, -3 , 42, -4, 7 , -2 ,3,-9,0 \end{equation}

(15)

\begin{align} 1,3,5,7,9,11, \ldots \end{align}

Med … menas att följden fortsätter på samma sätt, och det blir läsarens uppgift att förstå mönstret.

Istället för att skriva upp själva följden kan man tala om hur elementen genereras. En möjlighet är på sluten form där elementen $a_n$ uttrycks som funktion av platsnumret n. Vår följd ovan kan skrivas

(16)

\begin{equation} a_n=2n-1 \end{equation}

Lös b- och c-uppgifterna (ta någon a-uppgift om det hänger upp sig).

Rekursionsformler (sid 88-89)

En annan möjlighet att beskriva hur elementen genereras är på rekursiv form där elementen uttrycks med hjälp av sin (sina) föregångare. Vår följd ovan kan skrivas

(17)

\begin{equation} a_n=a_{n-1} +2, a_1 =1 \end{equation}

Observera att vi måste ange startvärdet annars kan vi inte starta vår rekursion. Ett intressant problem, som dock ligger utanför kursens ramar, är hur/om man kan översätta mellan rekursionsformler och slutna formler. Uppgift 2220 illustrerar några enkla fall.

Lös 2216, 2217, 2220, 2222, 2223, 2225 och eventuellt 2227.

Aritmetiska talföljder (sid 90-91)

En aritmetisk talföljd genereras genom att man till ett godtyckligt startvärde successivt adderar en konstant. Ett exempel på en sådan talföljd är

(18)

\begin{equation} 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39 \end{equation}

som startar med 3 och där man successivt adderar 4.

Vi vill beräkna talföljdens summa

(19)

\begin{equation} S=3+7+11+15+19+23+27+31+35+39 \end{equation}

Som man lätt reder ut (se bok) får man

(20)

\begin{align} S=\frac{\textrm{''första termen"} + \textrm{''sista termen''}}{2} \cdot \textbf{''antalet termer''} = \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n \end{align}

vilket i vårt fall ger

(21)

\begin{align} S=\frac{3+39}{2} \cdot 10 = 210. \end{align}

Det som kan kräva lite eftertanke är hur många termer, n, en viss talföljd består av. Vad blir n i talföljden

(22)

\begin{align} 2, 7, 12, 17 , 22, \ldots ,272, 277? \end{align}

Tydligen innehåller följden

(23)

\begin{align} \frac{277-2}{5} = 55 \end{align}

''femsteg''. Alltså har följden 55+1=56 termer (och INTE 55).

Lös 2230, 2231, 2233, 2235, 2236.

Geometriska talföljder (sid 92-94)

En geometrisk talföljd genereras genom att man till ett godtyckligt startvärde successivt multiplicerar en konstant. Ett exempel på en sådan talföljd är

(24)

\begin{equation} 4, 12, 36, 108, 324, 972 \end{equation}

som startar med 4 ($=a_1$) och där man successivt multiplicerar med 3 (=k).
Låt oss bestämma talföljdens summa

(25)

\begin{equation} S=4+12+36+108+324+972 \end{equation}

på ett sätt som låter sig generaliseras.

Om vi bildar 3S fås

(26)

\begin{equation} 3S=12+36+108+324+972+2916 \end{equation}

dvs. samma följd så när som på första och sista termen (4 och 2916). Vi bildar nu

(27)

\begin{equation} 3S-S=2916-4 \end{equation}

eller

(28)

\begin{align} S=\frac{2916-4}{3-1}=1456 \end{align}

Om man tänker igenom det generella fallet med första tal $a_1$, faktor k och n element får man

(29)

\begin{align} S=\frac{a_1 \cdot(k^n-1)}{k-1} = \frac{a_1 \cdot(1-k^n)}{1-k} \end{align}

Lös a-uppgifterna efter behov och 2246, 2248, 2250, 2252 och 2253.

Ekonomiska, natur- och samhällsvetenskapliga tillämpningar (sid 96-100)

Här finns lite blandade problem på talföljder. Det är ingen ny matematik och räcker att göra ett några stycken.

Lös 2258, 2259, 2262, 2269, 2272 och 2273.

3.1 Derivator

Repetition (120-125)

Detta är kända saker från Ma3c och Ma4, men lite repetition skadar säkert inte. Så ögna igenom och lös några uppgifter.

Lös 3110, 3114, 3118, 3127, 3128.

Några bevis (126-127)

Det är "lätt" att man tar deriveringsregler för givna och glömmer att derivatan är ett gränsvärden och att samtliga deriveringsregler utgår från detta. Någon gång är det hälsosamt att göra saker ordentligt, t.ex. nu.

Lös 3135, 3138, 3140 (tänk gärna igenom derivatan av x^n där n är godtyckligt positivt heltal också), 3141.

Förändringshastigheter och derivator (130-135)

Rent "matematiskt" handlar detta om (tillämpning på) kedjeregeln. Ofta ingår en okänd funktion som deriveras (inre derivata) vilket känns lite abstraktare än med en konkret dylik. Fast egentligen är det ju enklare!

Man läser en text eller kollar i en figur, sätter upp ett samband mellan (ofta tidsberoende) storheter. Detta samband deriveras till ett samband mellan storheternas förändringshastigheter och sedan skyfflar man in värden. Notera att man kan tänka sig att tänka ut sambandet mellan förändringshastigetena direkt, men det är lite knepigare.

Lös 3157, 3161, 3165, 3170 och eventuellt 3171.

3.3 Integraler

Partiell integration (151-153)

Eftersom integraler (oftast) hanteras med primitiva funktioner och primitiva funktioner är "baklängesderivator" finns det till varje deriveringsregel en motsvarande integreringsregel. Den så kallade partiella integrationen är spegelbilden av produktregeln vid derivering. Såhär ser det ut

(30)

\begin{align} \int f(x)g(x) \; dx= F(x)g(x)- \int F(x)g'(x) \; dx \end{align}

där $F'(x)=f(x)$. Notera alltså att man över beräkningen av en primitiv $\int f(x)g(x) \; dx$ till beräkningen av en annan $\int F(x)g'(x) \; dx$. Ska man tjäna på detta behöver den andra vara enklare. Det kräver viss träning att göra "rätt".

Beviset av partiella integrationen är helt enkelt att derivera båda sidorna, bland annat med produktregeln, och se att det blir samma. Man kan notera att det ingår godtyckliga konstanter i såväl vänster- som högerled så om derivatorna lika så "sidorna" lika.

Lös a- och b-uppgifterna. c enbart om man får tid över.

Volymberäkning med cylindriska skal (158-159)

Rotationsvolymer kan huvudsakligen angripas med två metoder, skivmetoden (som känns igen från Ma4) och skalmetoden (eller rörmetoden i andra böcker). Ibland kvittar det vilken metod man använder men i vissa fall kan man underlätta beräkningarna rejält med rätt metod. Men intressantare än att genomföra en massa uppgifter är att tänka igenom hur man ställer upp sina integraler och varför det funkar.

Lös a-uppgifterna.

Kombinatorikrepetition

Träna lite mer på kombinatoriken med hjälp av följande dokument; Kombinatorikuppgifter. Många uppgifter är för svåra eller innehåller begrepp som inte behandlas i Ma5. Alltså kan man arbeta med en delmängd.

Lös uppgift 1-13 i dokumentet. En del av dessa kikar vi på gemensamt. Den som vill ha ytterligare utmaning kan arbeta med 15, 16, 22, 23, 26, 27, 28, 29. Dessa uppgifter innehåller inget "obegripligt" men är kanske svåra. Vi kommer inte att kika på dessa gemensamt men man kan få enskild återkoppling.