matematik-5-ht13-vt14:detaljplan

1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3

Introduktion

Kursen kan i princip delas upp i två nästan helt komplementära delar, nämligen diskret matematik och differentialkalkyl. Det sistnämnda är en påbyggnad på derivata- och integralköret i Ma4, och behandlas sist.

Första delen blir alltså diskret matematik. Det är inte fråga om något som är hemligt eller särskilt stillsamt utan snarare ett samlingsnamn för all matematik som inte inblandar kontinuitet (som t.ex. derivator och integraler gör). En översikt över delarna inom den diskreta matematiken kan man hitta här.

För att få en känsla för de delar som vi ska behandla i denna kurs kan ni kika på och lösa följande problem

Kombinatorik

- Hur många olika femkorts pokerhänder finns det?
- Fem personer ska ställa sig i en kö. Hur många olika köer kan dom bilda?

Mängdlära

(Snott från boken) Vid en gymnasieskola kan eleverna på naturvetenskapsprogrammet välja att läsa en eller flera av kurserna matematik 5, kemi 2 och fysik 2. 90 elever valde matematik, 82 kemi och 80 fysik. 30 elever valde matematik och kemi, 36 matematik och fysik, 34 kemi och fysik och 14 valde alla tre kurserna.
a) Hur många valde bara matematik?
b) Hur många valde bara kemi?
c) Hur många valde bara fysik?
d) Hur många av de 200 eleverna valde inte någon kurs?

Grafteori

- Kan du arrangera en promenad över Königsbergs sju broar så att varje bro passeras exakt en gång?
- Om du får lägga till en bro (var du vill), går det då?

Talteori

- Hur ser man snabbt på ett tal om det är jämnt delbart med 2, 4, 5, 6, 9?

1.1 Kombinatorik

Lådprincipen (8-10)

På engelska heter denna princip Pigeonhole_principle, och i Wikipediaartikeln kan man läsa mer om denna än vad boken presenterar.

Principen är enkel: Antag att du ska placera 5 (eller fler) föremål i 4 lådor. Då säger lådprincipen att minst en låda måste innehålla minst två föremål (tänk igenom denna formulering).

Mer allmänt, om du placerar n+1 (eller fler) föremål i n lådor så måste minst en låda innehålla minst två föremål.

Ännu mer allmänt, om du placerar $n \cdot k +1$ (eller fler) föremål i n lådor så måste minst en låda innehålla minst $k+1$ föremål. Om inte så hade vi ju haft högst $n \cdot k$ föremål, vilket vi ju INTE hade.

Principen är enkel, men det som kan vara knepigt är att bestämma vad som ska fungera som lådor och vad som ska fungera som föremål. Här krävs rutin/träning och inte sällan en dos fantasi. Bokens uppgifter sätter inte detta på sin spets, så om ni vill kan ni fundera på följande problem.

1) Du har $n+1$ olika heltal från 1 till $2n$. Visa att man kan plocka ut två som inte har någon gemensam faktor.

2) Du har $n+1$ olika heltal från 1 till $2n$. Visa att man kan plocka ut två tal där det ena delar det andra.

3) Albin spelar minst en tennismatch varje dag under en fyraveckorsperiod men han spelar högst 40 matcher totalt under denna tid. Visa att det måste finnas en följd av dagar under vilka Albin spelar exakt 15 matcher.

Lös samtliga uppgifter.

Multiplikations- och additionsprincipen (sid 11-14)

Antag att en restaurang erbjuder $p$ st förrätter och $q$ stycken varmrätter.

Om du vill välja en förrätt och en varmrätt kan detta göras på $p \cdot q$ olika sätt (multiplikationsprincipen).

Om du vill välja en förrätt eller en varmrätt kan detta göras på $p+q$ olika sätt (additionsprincipen).

Tänk efter så ni är med på detta. Lite slarvigt kan man säga att och ger multiplikation och eller ger addition.

Lös samtliga uppgifter utom 1130 (deluppgift c har fel i facit och d är barnslig) och 1132, antingen är frågan felställd, eller är facit fel, eller både och. I 1125 är rätt svar 260000 (facit har tappat en nolla).

Permutationer (sid 15-18)

En permutation är en "uppräkning" av en mängd objekt i en viss ordning. Att beräkna antalet permutationer av $k$ element ur en mängd med $n$ element/objekt bygger på multiplikationsprincipen. Första elementet kan väljas på $n$ sätt, andra på $n-1$ sätt osv. till näst sista som kan väljas på $n-k+2$ sätt och det sista på $n-k+1$ sätt (tänk efter varför det inte blir $n-k$). Därmed får vi antalet permutationen av $k$ bland $n$ som

(1)
\begin{align} P(n,k)=n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+2) \cdot (n-k+1) = \dfrac{n!}{(n-k)!} \end{align}

där

(2)
\begin{align} n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n \end{align}

som utläses "n fakultet" (n factorial) är en praktisk beteckning.

Ett "klassiskt" problem är att räkna antalet olika sexbokstavsord som man kan bilda av bokstäverna i ordet ANKFOT. Tydligen handlar det om $P(6,6)=6!=720$ stycken. Förresten, kan du ange ett riktigt ord som kan bildas förutom ANKFOT självt?

Lös 1136, 1137b, 1139a, 1141, 1144 och så många b- och c-uppgifter ni orkat.

Kombinationer (sid 19-22)

I förra avsnittet räknade vi antalet sätt att ordna k element bland n. En sådan ordning kallades en permutation. Nu ska vi räkna antalet sätt att från $n$ element plocka ut $k$ stycken utan ordning. Ett sådant utval kallas en kombination. Tekniken är att man först räknar antalet permutationer

(3)
\begin{align} P(n,k)=\dfrac{n!}{(n-k)!}. \end{align}

Sedan noterar man att det finns $k!$ olika permutationer som ger upphov till samma oordnade utval (t.ex. ger ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA) upphov till samma oordnade urval $\{A,B,C\}$. Alltså grupperar vi ihop dessa permutationer till samma kombination och får då antalet kombinationer av $k$ element bland $n$ som

(4)
\begin{align} C(n,k)={n \choose k} = \dfrac{P(n,k)}{k!} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} \end{align}

där ${n \choose k}$ utläses "n över k". Inför framtiden kan man också notera att uttrycket ${n \choose k}$ dyker upp i samband med binomialsatsen och därför ibland kallas binomialkoefficient.

Utöver uppgifterna i boken kan ni fundera på

Hur många femkorts pokerhänder finns det som innehåller

a) ett par (men inget bättre)?
b) ett tvåpar (men inget bättre)?

Lös 1153, 1154, 1155, 1156, 1157. Iofs är dessa ganska triviala så kanske kanske kan börja direkt med 1159, 1160, 1161 och 1162 som var för och en kräver lite eftertanke (hur ska man räkna).

Kommer du ihåg sannolikhetslära? (sid 23-25)

Kombinatorik är såklart nära förknippat med sannolikhetslära. Vill man har reda på sannolikheten beräknar man ju

(5)
\begin{align} P=\dfrac{\textrm{antalet gynnsamma utfall}}{\textrm{totala antalet utfall}} \end{align}

och talen i täljare och nämnare är ju kombinatoriska.

Lös samtliga uppgifter, eller i alla fall så pass många att du har koll.

Kombinatorik och sannolikhetslära (sid 26-27)

Finns inget att säga om detta mer än att det bygger på förra avsnittet.

Lös samtliga, eller så långt ambition och ork räcker. Det är bra att göra ett antal så man "vänjer sig".

Binomialsatsen (sid 30-34)

Hur man utvecklar (multiplcerar ihop) $(x+y)^2$ är säkert bekant; nämligen enligt kvadreringsregeln

(6)
\begin{equation} (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 \end{equation}

Binomialsatsen är i princip en formel för att utveckla $(x+y)^n$ för ett godtyckligt positivt heltal $n$. T.ex. kan man få en kuberingsregel

(7)
\begin{align} (x+y)^3= (x+y)(x+y)(x+y)={3 \choose 0}x^3+{3 \choose 1}x^2y+{3 \choose 2} xy^2 + {3 \choose 3} y^3. \end{align}

Man inser att koefficienten framför t.ex. $xy^2$ blir ${3 \choose 2}$ genom att tänka efter på hur många sätt man kan plocka ut två y (och därmed ett x) ur de tre parenteserna. Koefficienten ${n \choose k}$ kallas binomialkoefficient.

Ett smidigt sätt att plocka fram binomialkoefficienterna är rekursivt via Pascals triangel. För att förstå att detta fungerar måste tänka igenom likheten

(8)
\begin{align} {n \choose k} = {n-1 \choose k} + {n-1 \choose k-1} \end{align}

vilket boken hjälper till med på sida 31-32. Det kombinatoriska argumentet på sida 31 är att föredra framför det algebraiska på sida 32.

Lös 1186, 1187, 1188, 1192, 1193, 1194 och eventuellt 1197 (tänk gärna ut ett kombinatoriskt argument).

1.2 Mängdlära

Mängder - Grundbegrepp (sid 35-38)

Här handlar det mest om att lära sig en del syntax (hur man skriver). Ganska tråkigt (men nödvändigt) att lära sig. Som kuriosa kan nämnas att vad som egentligen är en mängd och hur en sådan får defineras är mycket mer intrikat än boken medger, se t.ex. Barber_paradox.

Lös samtliga uppgifter utom 1203c. c-uppgifterna kan hoppas om man inte har höga betygsambitioner. I 1213 är n=11 det korrekta svaret!

Mängdoperationer (sid 39-40)

Här inför man en sorts "räknesätt" på mängder, nämligen union, snitt, differens och komplement. Man noterar att för att komplementet ska ha mening måste grundmängden vara klar, för de övriga är det inte nödvändigt.

Lös samtliga uppgifter, c-uppgiften är inte så svår. I 1227d ska den sista parentesen sitta efter B:et inte efter C:et.

Venndiagram (41-44)

Eftersom mängder kan ses som påsar med element i kan man tänka sig att representera dem grafiskt som "plana påsar". Man ritar helt enkelt en mängd som en cirkel (eller annan sluten kurva) och tänker sig att elementen ligger inuti cirkel. Ett finare namn för dessa cirklar är Venndiagram (efter John Venn).

Ritar man lämpligt kan man illustrera snitt, unioner, komplement etc.

Lös samtliga uppgifter utom 1233, möjligen kan man göra a-uppgifterna i huvudet. I 1232 anser boken att t.ex. parallellogramer inte är parallelltrapetser. Det är dom nog ganska ensamma om…

1.3 Grafteori

Inledning (46-49)

Ordet graf har två olika betydelser inom matematik. Det som ni är vana vid är en "grafisk bild" kopplad till en funktion, t.ex. grafen till $f(x)=x^2$. Här är det fråga om något helt annat, en graf är något som byggs upp av noder sammankopplade med kanter. Man kan se en graf som ett sorts nätverk.

Det klasssika problemet som anses ha givit upphov till grafteorin är Königsbergs broar som beskrivs på sida 46. På sida 47 är det fråga om att lära sig en del terminologi (som inte är standard), gör det.

Lös samtliga uppgifter. Facit i 1306a stämmer ej utan svaret är "Nej, går ej".

Några klassiska problem (50-53)

Här handlar det om Hamiltoncykler, där det är fråga om att "åka" runt i en graf så att alla noder passeras en gång innan man är tillbaka där man startade. I 1312 ska man försöka finna Hamiltoncykler. Att visa att sådan finns är enkelt, rita den, men att visa att sådan inte finns kräver ett bättre argument än "jag kom inte på någon".

I handelsresandes problem vill man, i en graf med viktade kanter, finna vägen med minsta kantsumma. För detta finns ingen riktigt bra algoritm (i alla fall har man inte kommit på någon) utan man nöjer sig med en s.k. girig algoritm där man varje gång väljer den bästa kanten. Konstruera gärna en graf där denna algoritm inte leder till optimal cykel.

Lös samtliga uppgifter.

Träd (sid 54-55)

Detta är ett ganska marginellt avsnitt. Ni behöver känna till vad ett träd är och Kruskals algoritm, som man kan använda för att koppla ihop noder "på billigaste sätt". Varför algoritmen fungerar ingår inte i kursen.

Lös 1315, 1317 och eventuellt 1319. Notera att man inte behöver veta något om kemi i 1319, det handlar egentligen om att konstruera samtliga möjliga träd på n noder.

2.1 Talteori

Delbarhet och primtal (sid 68-70)

Delbarhet är intimt förknippat med primtal, som är dom "minsta" multiplikativa byggstenarna. Väsentligt (men inte alls självklart) är att varje heltal på ett entydigt sätt kan faktoriseras i primtal. Detta är så väsentligt att det kallas aritmetikens fundamentalsats och är så pass svårt att bevisa att det faller utanför kursens ramar.

Delbarhetsreglerna på sida 69 snabbar upp en del räkningar. De för delbarhet med 3 och 9 är möjligen svårast att förstå. Efter avsnittet om moduloräkning kommer nog det att klarna.

Lös samtliga a-uppgifter, 2111, 2112 och eventuellt 2115.

Gemensamma och icke gemensamma faktorer (sid 71-73)

Notera att ni har bestämt MGM (minsta gemensam multipel) många gånger förut. Att bestämma minsta gemensam nämnare till ett antal bråk är samma som att bestämma MGM till just talen i nämnarna. Boken presenterar en metod som bygger på primtalsfaktorisering. Det finns snabbare metoder!

SGF står för största gemensamma faktor och även denna kan man bestämma med primtalsfaktorisering. Ett användbart samband kan vara:

(9)
\begin{align} SGF(a,b) \cdot MGM(a,b)= a\cdot b. \end{align}

Uppgift 2125 går ut på att tänka ut varför det funkar.

Lös 2119, 2123, 2124, 2125, 2127, 2128, 2129. Strunta i c-uppgifterna, som verkar inte så roliga.

Kongruens och moduloräkning (sid 75-78)

Som boken skriver kan man lite slarvigt kalla detta "klockaritmetik", då man likställer tal som skiljer på en multipel av 12. Det motsvarar ju bara att man snurrat ett antal varv på klockan så visaren pekar ändå på samma tal. Aritmetiken består alltså bara av talen $0, 1,\ldots 10, 11$, fast talen har inte entydig framställning (och ibland är det praktiskt att välja en annan representant. T.ex. så är

(10)
\begin{equation} 2 = 14 = 26 =-10 \end{equation}

i klockaritmetiken. Ett annat sätt att skriva detta (introducerat av Gauss) är

(11)
\begin{align} 2 \equiv 14 \equiv 26 \equiv -10 \pmod{12} \end{align}

som utläses "två är kongruent med fjorton modulo tolv" (i alla fall den första kongruensen). Jämför detta med bråk där också samma tal kan ha olika representanter.

Det praktiska med moduloräkningen är att räknesätten $+,-,\cdot$ beter sig "bra". Man kan byta representanter när som helst i sina räkningar. Antag t.ex. att vi vill beräkna $31 \cdot 45 \pmod{12}$. Ett alternativ är att räkna ut produkten och sedan byta representant

(12)
\begin{align} 29 \cdot 45 = 1305 = 108 \cdot 12 + 9 \equiv 9 \pmod{12} \end{align}

Ett annat (och smidigare) alternativ är att först byta till bättre representanter (nära 0). Vi får

(13)
\begin{align} 29 \cdot 45 \equiv 5 \cdot (-3) = -15 \equiv -3 \equiv 9 \pmod{12} \end{align}

som huvudräknas större ansträngning.

Observera att vi undvikt att tal om räknesättet division. Det visar sig lite mer komplicerat och utelämnas i kursen.

Observera slutligen att man inte behöver räkna modulo just 12 utan modulo vilket positivt heltal som helst!

Lös 2136, 2137, 2139, 2140, 2141, 2143, 2145, 2146, 2148 och eventuellt 2152, 2153 och 2157 om man får tid över.

Talsystem i olika baser (sid 80-81)

Vårt sätt att beteckna tal är ett positionssystem i basen 10. Det finns inget matematiskt skäl till detta beteckningssätt, utan är nog en konsekvens av att vi har tio fingrar. Det finns inget som hindrar att man räknar i andra talbaser, t.ex. så är det vanligt med binära (basen 2) och hexagesimala (basen 16) system i "datorsammanhang". Babylonierna räkande i basen 60, vilket lever kvar i våra enheter för tid (60 sekunder på en minut, 60 minuter på en timme).

Lös samtliga a-uppgifter, 2167, 2168, 2169 och eventuellt 2173.

2.2 Talföljder

Inledning (sid 84-86)

Med en talföljd menas en följd av tal (såklart), såväl ändlig som oändlig. Exempel:

(14)
\begin{equation} 1, 65, 43, -3 , 42, -4, 7 , -2 ,3,-9,0 \end{equation}
(15)
\begin{align} 1,3,5,7,9,11, \ldots \end{align}

Med … menas att följden fortsätter på samma sätt, och det blir läsarens uppgift att förstå mönstret.

Istället för att skriva upp själva följden kan man tala om hur elementen genereras. En möjlighet är på sluten form där elementen $a_n$ uttrycks som funktion av platsnumret n. Vår följd ovan kan skrivas

(16)
\begin{equation} a_n=2n-1 \end{equation}

Lös 2203, 2204, 2206, 2207, 2209, 2211 och eventuellt 2214 (försök lös denna direkt kombinatoriskt också).

Rekursionsformler (sid 88-89)

En annan möjlighet att beskriva hur elementen genereras är på rekursiv form där elementen uttrycks med hjälp av sin (sina) föregångare. Vår följd ovan kan skrivas

(17)
\begin{equation} a_n=a_{n-1} +2, a_1 =1 \end{equation}

Observera att vi måste ange startvärdet annars kan vi inte starta vår rekursion. Ett intressant problem, som dock ligger utanför kursens ramar, är hur/om man kan översätta mellan rekursionsformler och slutna formler. Uppgift 2220 illustrerar några enkla fall.

Lös 2216, 2217, 2219, 2220, 2223, 2225 och eventuellt 2227.

Aritmetiska talföljder (sid 90-91)

En aritmetisk talföljd genereras genom att man till ett godtyckligt startvärde successivt adderar en konstant. Ett exempel på en sådan talföljd är

(18)
\begin{equation} 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39 \end{equation}

som startar med 3 och där man successivt adderar 4.

Vi vill beräkna talföljdens summa

(19)
\begin{equation} S=3+7+11+15+19+23+27+31+35+39 \end{equation}

Som man lätt reder ut (se bok) får man

(20)
\begin{align} S=\frac{\textrm{''första termen"} + \textrm{''sista termen''}}{2} \cdot \textbf{''antalet termer''} = \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n \end{align}

vilket i vårt fall ger

(21)
\begin{align} S=\frac{3+39}{2} \cdot 10 = 210. \end{align}

Det som kan kräva lite eftertanke är hur många termer, n, en viss talföljd består av. Vad blir n i talföljden

(22)
\begin{align} 2, 7, 12, 17 , 22, \ldots ,272, 277? \end{align}

Tydligen innehåller följden

(23)
\begin{align} \frac{277-2}{5} = 55 \end{align}

''femsteg''. Alltså har följden 55+1=56 termer (och INTE 55).

Lös samtliga uppgifter, eller snarare efter behov.

Geometriska talföljder (sid 92-94)

En geometrisk talföljd genereras genom att man till ett godtyckligt startvärde successivt multiplicerar en konstant. Ett exempel på en sådan talföljd är

(24)
\begin{equation} 4, 12, 36, 108, 324, 972 \end{equation}

som startar med 4 ($=a_1$) och där man successivt multiplicerar med 3 (=k).
Låt oss bestämma talföljdens summa

(25)
\begin{equation} S=4+12+36+108+324+972 \end{equation}

på ett sätt som låter sig generaliseras.

Om vi bildar 3S fås

(26)
\begin{equation} 3S=12+36+108+324+972+2916 \end{equation}

dvs. samma följd så när som på första och sista termen (4 och 2916). Vi bildar nu

(27)
\begin{equation} 3S-S=2916-4 \end{equation}

eller

(28)
\begin{align} S=\frac{2916-4}{3-1}=1456 \end{align}

Om man tänker igenom det generella fallet med första tal $a_1$, faktor k och n element får man

(29)
\begin{align} S=\frac{a_1 \cdot(k^n-1)}{k-1} = \frac{a_1 \cdot(1-k^n)}{1-k} \end{align}

Lös a-uppgifterna och 2246, 2247, 2248 och eventuellt 2253.

Ekonomiska, natur- och samhällsvetenskapliga tillämpningar (sid 96-100)

Här finns lite blandade problem på talföljder. Det är ingen ny matematik och räcker att göra ett några stycken.

Lös 2258, 2259, 2262, 2269, 2272 och eventuellt 2273.

2.3 Induktionsbevis

Det är en viktig "bevisteknik" som man kan/måste använda om man vill visa att ett påstående är sant för alla positiva heltal. Ofta handlar det om en likhet men i princip kan det vara fråga om vilket påstående som helst. Att verifiera påståendet för ett heltal i taget är ju omöjligt eftersom det finns oändligt många heltal.

Såhär fungerar det, i steg.

1. Visa att påståendet är sant för ett första tal, vanligen 0 eller 1. Säg n=1.
2. Antag att påståendet ät sant för ett fixerat men godtyckligt heltal n=p.
3. Visa nu att under förutsättningen från 2 så är påståendet korrekt för n=p+1, dvs för nästa heltal.

Induktionprincipen ger nu att påståendet måste vara sant för alla heltal. Vi vet nämligen att det är sant för n=1. Eftersom det är sant för n=1 så måste det enligt 2 och 3 vara sant för n=2. Eftersom det nu är sant för n=2 måste det vara sant för n=3 etc.

Att detta "stegande" innebär att påståendet är sant för alla positiva heltal är lätt att tro på intuitivt. Vill man vara mer formell så garanteras det av ett av axiomen för de hela talen (man har alltså bestämt att heltalen har den egenskapen att induktionsprincipen ska fungera).

Boken ger flera konkreta exempel på hur man genomför induktionsbevis. I vissa fall kan man kanske undvika dem, men gör inte det här eftersom tanken är träning på just denna teknik.

Lös samtliga a-uppgifter, därefter b- och c-uppgifter efter behov, så pass så att ni klarar en inlämningsuppgift.

3.1 Derivator

Repetition (sid 120-125)

Om man ska var ärlig så står det inte mycket i ämnesplanen om derivator i Matematik 5. Man ska iofs syssla med omfångsrika situationer med derivator och syssla med differentialekvationer (och då behövs derivator). Känner man för att fortsätta på en civilingenjörsutbildning är det mycket lämpligt att man fördjupat sina kunskaper, också på sådant som inte står explicit i ämnesplanen.

Ok, nog med snicksnack. I princip är hela avsnitt 3.1 en repetition från Ma3c och Ma4, även om problem blir svårare. Det första delavsnittet kallas repetition och här väljer man själv vad och hur mycket man vill göra.

Lös efter behov.

Några bevis (126-127)

Ska man bevisa något om derivata så måste man oftast gå tillbaka till defintionen. Så kolla upp denna. Sedan handlar det mest om algebraiska manipulationer.

Lös 3133, 3134, 3135, 3138, 3139 och eventuellt 3140 och 3141.

Tangenter och linjär approximation (128-129)

Om man vill approximera grafen till en funktion $y=f(x)$ i en punkt $(a,f(a))$ är rimligen tangenten genom punkten på grafen den bästa approxiamtionen. Som bekant fås lutningen denna tangent mha derivata. Approximation med tangent kan t.ex. vara ett bra hjälpmedel om man vill studera en komplicerad funktion "lokalt" (dvs nära en given punkt).

Lös 3143, 3145, 3146, 3149 och eventuellt 3150, 3151.

Förändringshastigheter och derivata (sid 130-135)

Detta handlar i princip användning av användning kedjeregeln, fast man måste hantera "okända" funktioner i sin derivering.

Ett exempel (lite krystat och där notationen inte är exakt som boken): Arean av en kvadrat ökar med 5 $cm^2/s$. Hur fort ökar sidlängden i det ögonblick ($t = t_0$) då sidan är 10 cm? Vi vet (såklart) att

(30)
\begin{equation} A(t)=s(t)^2 \end{equation}

Eftersom det efterfrågas hastighet deriverar vi ovanstående med avseende på t och får

(31)
\begin{align} A'(t)=2\cdot s(t) \cdot s'(t) \end{align}

Observera användningen av kedjeregeln då högerledet deriveras. Insättning av kända värden ger nu

(32)
\begin{align} 5=2 \cdot 10 \cdot s'(t_0) \end{align}

ur vilket $s'(t_0)$ enkelt kan bestämmas.

Principen är alltså att man tecknar ett samband för storheter (som var och en t.ex. beror på tiden). Detta samband deriveras sedan och man erhåller ett samband mellan motsvarande derivator/förändringshastigheter.

Observera att boken använder ett alternativt skrivsätt för derivator, nämligen

(33)
\begin{align} A'(t)=\frac{dA}{dt}, \, s'(t)=\frac{ds}{dt}, A'(s)=\frac{dA}{ds} \end{align}

I exemplet ovan kan kedjeregeln alltså formuleras

(34)
\begin{align} \frac{dA}{dt} = \frac{dA}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} \end{align}

Lös 3156, 3157, 3161, 3163, 3166, 3168.

3.2 Extremvärden

Den vanligaste tillämpningen av derivator är nog extremvärdesproblem. Taktiken är som bekant att leta upp derivatans nollställen och sedan klassificera punkter med teckentabell eller andraderivatans tecken. Det som kan vara lite knepigt är att konstruera en egen funktion från figur eller text. När man gör detta bör man dessutom notera definitionsmängden, och komma ihåg att också eventuella ändpunkter till intervall måste beaktas med avseende på max/min.

Uppgifterna nedan är en kraftig utglesning, men dom räcker till. 3205 till 3228 bör alla lösa eller i alla fall ha koll på. Övriga är lite svårare och för de som strävar mot högre betyg.

Lös 3205, 3208, 3212, 3215, 3218, 3220, 3222, 3228 samt eventuellt 3233, 3234, 3236, 3237 (inte så lätta uppgifter).

3.3 Integraler

Primitiva funktioner, integraler och areaberäkning (sid 145-149)

Detta är i princip repetition från Ma4, dock kan dom enskilda problemen var lite svårare eller mera "tekniska". Av a-uppgifterna bör man klara dom flesta. b- och c-uppgifterna arbetar man med om man vill ha svårare problem. 3321 är inte "standard" så här får man tänka efter.

Lös uppgifter efter behov vilket kan innbär några a-uppgifter och sedan b- och eventuellt c-uppgifter. 3321 är som sagt svår.

Geometriska sannolikheter (sid 150)

Egentligen inget nytt. Man modellerar med areor när man räknar utfallsrum. Dessa areor kan sedan bestämmas t.ex. med integral.

Lös 3322, 3323. 3324 är intressant men ganska svår och måste i nuläget lösas utan integraler. För att bestämma den gröna arean krävs lite eftertanke.

Partiell integration (sid 151-153)

Som bekant så är primitiv funktion ett bra hjälpmedel för att räkna ut integraler. Ju fler primitiver man klarar ju fler integraler klarar man därmed. Partiell integration är en "metod" för att bestämma vissa primitiva funktioner, och den är i princip en spegelbild av deriveringsregeln för en produkt (inte så oväntat att varje deriveringsregel har en motsvarigthet).

Som boken visar får man

$$\int f(x)g(x) dx = F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)$$

där man alltså överför bestämmandet av primitiven till $f(x)g(x)$ till bestämmandet av primitiven till $F(x)g'(x)$. Nu finns det ju inget som säger att den senare blir enklare än den förra i allmänhet. Man måste därför "veta vad man sysslar med" när man partialintegrerar. Detta lär man sig genom att kika på exempel och träna själv.

Lös samtliga a- och b-uppgifter och eventuellt 3333 och 3334.

Volymberäkning med skivmetoden (sid 154-156)

I slutet av Ma4 kikade vi på hur man kan beräkna volymen på rotationskropar. Vi tänkte oss då att man skivade upp kroppen i smala skivor ("nästancylindrar") och tecknade den sammanlagda skivvolymen som integralen

(35)
\begin{align} \int_{a}^{b}A(x)dx = \lim_{n \to \infty, \Delta x \to 0} \sum_{i=1}^{n} A(x_i) \Delta x \end{align}

där $A(x) \Delta x$ kan ses som volymen på en "smal" cylinder och där alltså $A(x)=\pi x^2$ är tvärsnittsarean. Notera dock att skivorna inte måste vara cylindrar, för att teckna $A(x) \Delta x$ räcker det ju att ha koll på hur stor tvärsnittsarean är för ett godtyckligt $x$.

Integralen kan sedan beräknas med primitiv funktion (förutsatt att vi kan finna en primitiv, och det kan vi nästan alltid i denna kurs)!

Rotationer runt y-axeln hanteras på motsvarande sätt. I princip handlar det bara om att "byta variabel".

Lös 3337, 3339, 3341, 3343 och eventuellt 3345.

Volymberäkning med cylindriska skal (158-159)

I förra avsnittet delade vi upp en kropp i skivor, tecknade volymen för sådana skivor och summerade med en integral för att få hela volymen. Det finns emellertid inget som säger att man måste dela upp i skivor, man kan dela upp som man vill, bara det går att göra uppdelningen oändligt fin, och att man kan teckna lämpliga uttryck.

Ett alternativ, när det gäller rotationskroppar, är att dela upp i cylindriska skal eller rör. Se boken för illustration. Varför ska man hitta på de ny metod? Jo, ibland blir det enklare räkningar med skivor och ibland enklare med rör.

Lös samtliga a-uppg, 3353 och eventuellt 3355. 3353 och 3353 finns lösta på Wikin.

Generaliserade integraler (sid 160-161)

Det finns två typer av generaliserade integraler, de där funktionen är odefinierad i någon ändpunkt, t.ex.

(36)
\begin{align} \int_0^1 \frac{1}{x} dx \end{align}

och de där man integrerar över obegränsat intervall, t.ex.

(37)
\begin{align} \int_1^\infty \frac{1}{x} dx \end{align}

Enbart det sista alternativet behandlas i boken. Iden är att se integralen som ett gränsvärde. Om detta gränsvärde går att bestämma ändligt säges integralen vara konvergent, annars divergent. Räkningen sker som vanligt men avslutas med en gränsvärdesräkning, se bok för exempel.

Ett resultat som verkar paradoxalt är att den "strut" man får om kurvan $y=1/x, \, 1 \leq x < \infty$ roterar runt x-axeln får oändlig yta men ändligt volym. Varför är detta en "paradox"? Räkningarna till detta exempel är dessvärre lite för svåra för Ma5, även om man ska göra det i uppgift 3360. Jag fattar inte!

Lös alla utom 3360.

4.1 Differentialekvationer/inledning

Grundläggande begrepp, differentialekvationer och primitiva funktioner (sid 176-181)

En differentialekvationer kan sägas vara ett "samband" mellan en funktion och dess derivator. Att lösa differentialekvationen innebär att finna samtliga funktioner som uppfyller "sambandet". Ofta kan detta vara svårt att göra exakt, men i vissa enkla fall (som behandlas i denna kurs) är det möjligt.

Den enklaste differentilaekvatione är av typen

(38)
\begin{equation} y'(x) = f(x) \end{equation}

där vi alltså söker alla funktioner vars derivata är $f(x)$. Som bekant är lösningen samtliga primitiva funktioner till $f(x)$. Om $[[F(x)]]$ är en speciell primitiv funktion får man samliga som

(39)
\begin{equation} y(x)=F(x)+C \end{equation}

I detta avsnitt handlar det just om sådana enklare ekvationer, och det är därmed i princip en repetition.

Lös 4105, 4106, 4107, 4110, 4111.

Verifiering av en lösning (sid 182-183)

Inte heller detta bör vålla några större problem, förutsatt att man kan sina deriveringsregler. Man får förslag på lösningar till olika differentialekvationer och ska visa om de duger eller i vissa fall bestämma konstanter så de stämmer. Detta gör man genom att helt enklet derivera förslaget och sätta in i ekvationen.

Lös a-uppgifter efter behov, 4122, 4124, 4126 och eventuellt 4128 och 4130.

4.2 Differentialekvationer av första ordningen

Differentialekvationen y'+ay=0 (sid 184-187)

Dessa differentialekvationer har (efter eventuell omskrivning) utseendet

(40)
\begin{equation} y'+ay=0. \end{equation}

Ekavtionen är homogen eftersom det står noll i högerledet när alla termer med y och dess derivator flyttats till vänsterledet. Den är av första ordningen eftersom det förekommer förstaderivator men inga högre derivator. (Den är dessutom linjär och med konstanta koefficienter vilket boken underlåter att berätta.)

Genom derivering och insättning inser man att alla funktioner på formen

(41)
\begin{equation} y=Ce^{-ax} \end{equation}

löser differentialekvationen. Detta är också samtliga lösningar vilket boken reder ut på sida 185.

En sak som möjligen kan vålla problem bland uppgifterna är beteckningarna. I t.ex. uppgift 4207 minns man att

(42)
\begin{align} \dfrac{dP}{dt} = P'(t)=P' \end{align}

Sedan får man förstå att det inte är någon skillnad (matematiskt) om funktion heter P(t) eller y(x).

Om man förutom själva differentialekvationen har ett "villkor", dvs man känner till ett värde på y eller kanske y', så kan detta användas för att bestämma en entydig lösningsfunktion till differentialekvationen. Notera lösningsgången, först bestämmer man samtliga lösningar och sedan använder man villkoret för att "välja ut" en av dessa.

Kolla gärna in Anders Karlsson nedan om du behöver se något exempel utöver (istället för) bokens.

Lös 4203ab, 4205bc, 4207, 4208, 4209, 4213 och eventuellt 4214.

Den inhomogena ekvationen y'+ay=f(x) (sid 188-190)

Att differentialekvationen är inhomogen betyder att man kan ha vilken funktion av x som helst, f(x), i högerledet. Utseendet är alltså, efter eventuell omskrivning

(43)
\begin{equation} y'+ay=f(x). \end{equation}

En sådan differentialekvation löses i tre steg:

1) Bestäm samtliga lösningar $y_h$ till motsvarande homogena ekvation

(44)
\begin{equation} y'+ay=0. \end{equation}

Har man redan glömt hur det gick till får man läsa under föregående rubrik.
2) Bestäm (på någon "vänster") en lösningen $y_p$ till den inhomogena ekvationen

(45)
\begin{equation} y'+ay=f(x). \end{equation}

Denna lösning kallas ofta partikulärlösning (till differentialekvationen), därför subindexet p.
3) Samtliga lösningar till den inhomogena ekvationen

(46)
\begin{equation} y'+ay=f(x) \end{equation}

fås nu genom $y=y_h+y_p$. Beviset för att detta verkligen är en lösning och att varje lösning har denna form finns på sida 188.

Det som kan vara lite knepigt är att hitta en partikulärlösning. I princip ansätter man något som ser ut som $f(x)$ och ''fixar till''. Se boken och lektionen för detaljer.

Anders Karlsson igen:

Lös 4218, 4219, 4221, 4222, 4224, 4226 och eventuellt 4227.

Riktningsfält (sid 192-195)

Många (de flesta) differentialekvationer kan inte lösas exakt, dvs man kan inte finna ett explicit uttryck för funktionen y. I sådana fall får man nöja sig med approximativa/numeriska lösningar. Ett sätt att skaffa sig en kvalitativ bild av differentialekvationen och dess lösningskurvor är att rita riktningsfält. Dessa underlättar dessutom förståelsen av numeriska metoder, t.ex. Euler stegmetod (nästa rubrik).

Riktningsfält kan konstrueras till differentialekvationer som kan skrivas

(47)
\begin{equation} y'=F(x,y) \end{equation}

dvs. där derivatan kan "lösas ut". Det innebär att man i varje punkt i koordinatplanet kan bestämma hur en lösningskurva ska luta. Ritar man in sådana lutningar i ett antal punkter så har man alltså ett riktningsfält. Att göra detta för hand är tråkigt och tidsödande. Använd dator!

Lös 4230c, 4231d, 4233 (visst är det tråkigt att rita riktningsfält för hand, men en gång kanske man orkar…), 4234, 4237-4241 (men rita inte i boken), 4243 och eventuellt 4244.

Euler stegmetod (sid 196-197)

Denna är tråkig att beskriva så ni får läsa själva i boken. I princip handlar det om att stegvis följa riktningsfältet. Boken har inga uppgifter för lösning på detta avsnitt, så man kan se det som kursivt.

4.3 Matematiska modeller med differentialekvationer

Diverse tillämpningar (utan digitalt hjälpmedel) (198-205)

Här dyker det upp mer eller mindre realistiska situationer som modelleras med differentialekvationer, ibland är ekvationen given men oftast ska den ställas upp utifrån en text. Det finns ingen ny matematik och det är bättre att göra färre uppgifter ordentligt, så därför glesar vi ut en del.

Lös 4303, 4306, 4309, 4312, 4314, 4316, 4319, 4321, 4324, 4326, 4328.

Lösning med digitala verktyg (206-209)

På kurssidan finns två "applettar" där man kan rita riktningfält och lösningskurvor. Det visar sig att GeoGebra klarar samma saker (fast är mycket smidigare). Så använd hellre det. Man får forska lite själv men kommandot "Riktningsfält" ritar just detta och "LösODE" löser differetialekvationer både exakt och numeriskt verkar det som.

Lös 4331, 4333 (utan hjälpmedel), 4334, 4336 (även exakt), 4338 (med digitalt hjälpmedel) och eventuellt 4339 (a och b löses utanhjälpmedel, c med digitalt hjälpmedel).

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License