Här finns ett antal problem som man kan arbeta med under Ma4-kursen.
|
Table of Contents
|
Från amerikanska matematiktävlingar
Samtliga problem ska lösas utan hjälpmedel. Om man kör fast kan man ta hjälp av "dator" (lite fusk), och se svaret. Men gör ändå en lösning som inte använder "datorn" som argument.
Låt $P(x)$ vara ett polynom sådant att om det delas med $x-2$ blir resten 3 och om det delas med $x-3$ blir resten 2. Om $P(x)$ delas med $(x-2)(x-3)$ blir resten $ax+b$. Bestäm $a^2+b^2$.
Vilka $y$-värden i intervallet $0 \leq y \leq \pi$ uppfyller att
(1)för alla värden på $x$ i samma intervall?
Funktionerna $\sin x$ och $\cos x$ är periodiska med perioden $2 \pi$. Avgör om funktionen $\cos(\sin x)$ är periodisk. Om nej motivera varför, om ja bestäm perioden.
Låt $f(x) = \sin{x} + 2\cos{x} + 3\tan{x}$ där $x$ anges i radianer. Mellan vilka heltal $n$ och $n+1$ ligger den minsta positiva lösningen till ekvationen $f(x)=0$?
(Mycket svår) Vad är summan av alla positiva lösningar till ekvationen
(2)(Mycket svår) För $135^\circ < x < 180^\circ$ är punkterna $P=(\cos x, \cos^2 x), Q=(\cot x, \cot^2 x), R=(\sin x, \sin^2 x)$ and $S =(\tan x, \tan^2 x)$ hörn i ett parallelltrapets. Vad är i så fall $\sin(2x)$?
Från finska studentskrivningar
Samtliga problem ska lösas utan hjälpmedel.
Funktionerna cosinus hyperbolicus, $\cosh x$, och sinus hyperbolicus, $\sinh x$, definieras med hjälp av formlerna
(3)a) Visa att $(\cosh x)^2-(\sinh x)^2=1$ för alla $x$.
b) Visa att $\frac{d}{dx}(\sinh x)= \cosh x$.
c) Visa att $\sinh x$ har en invers funktion och bestäm ett uttryck med hjälp av logaritmfunktionen.
d) Vilken är definitionsmängden för den inversa funktionen i c-uppgiften?
Låt $\pi \leq \alpha \leq \frac{3\pi}{2}$ vara en vinkel sådan att $\cos \alpha = -\frac{1}{3}$. Bestäm de exakta värdena på $\sin \alpha$ och $\tan \alpha$.
Lös ekvationen $\cos 2x + \cos 3x = 0$.
Bestäm det största och det minsta värdet för funktionen
(4)I vilka punkter uppnås det största värdet?
Från danska studentskrivningar (modifierade)
I samtliga problem är GeoGebra/räknare tillåtet. Men handräkna gärna det som är möjlligt.
En modell för längden på dagen i Anchorage i Alaska som funktion av tiden ge ges av
$f(x)=6, \! 61 \sin(0,0167t-1,303)+12,2, \; 0 \leq t \leq 365$
där $f(t)$ är längden på dagen (i enheten timmar) vid tidpunkten $t$ (i dygn efter 1:e januari).
a) Hur lång är dagen den 30 mars?
b) Vid vilken tidpunkt är dagen som längst?
c) Bestäm $f'(100)$ och förklara vad detta tal anger.
Det stora pariserhjulet ''London Eye'' har en diameter på 135 meter och att åka ett varv i en av gondolerna tar en halv timme.
a) Skriv upp en funktion $f(t)$ som beskriver gondolens höjd över marken (i meter) som funktion av tiden (i minuter efter påstigning). Gör antagandet att gondolen håller konstant hastighet och att man stiger på gondolen i marknivå.
b) Skissa grafen till funktionen och bestäm hur högt upp gondolen är efter 7 minuter.
c) Bestäm den tidpunkt då gondolen för första gången befinner sig 40 meter över marken.
Från svenska studentskrivningar på 40-talet (i original)
På 40-talet var det knappt med hjälpmedel, det som användes var tabeller för de trigonometriska funktionernas värde, vilket ungefär motsvarar att använda räknedosan utan grafritarfunktionen. Så försök först utan dator/GeoGebra/grafritning, ta till dessa om det hänger upp sig, men försök ändå ge en lösning som inte baseras på avancerade hjälpmedel.
[Januari 1942, problem 7] Bevisa formeln
(5)[Augusti 1942, problem 4] Lös ekvationen
(6)[Höstterminen 1942, problem 2] Lös ekvationen $\sin x + \cos x = 2 \cos 2x$.
[Januari 1943, problem 2] Lös ekvationen
(7)[Vårterminen 1943, problem 5] Lös ekvationen $\sqrt{2+2 \cos x} = \tan x$.
[Augusti 1943, problem 7] Bevisa riktigheten av formeln
(8)[Höstterminen 1943, problem 7] Visa, att man kan bestämma sådana värden på konstanterna $a$, $b$ och $c$, så att likheten
(9)gäller för alla värden på $x$.
[Januari 1945, problem 5] Lös utan att använda tabell ekvationssystemet
(10)och angiv de exakta värdena för $x$ och $y$ i enklaste form.
Anm: Tabell är ju numera ersatt med räknare och datorer. Så instruktionen kan moderniseras till att lösa utan dylika hjälpmedel.
[Vårterminen 1944, problem 7] Härled för $\cos 3v$ en formel, vari endast $\cos v$ ingår. Använd därefter denna formel för att lösa ekvationen $x^3-3x+1=0$, sedan $x$ i denna utbytts mot $2y$. Ekvationens rötter skola angivas var för sig i så väl exakt som approximativ form.
[Höstterminen 1944, problem 7] Ekvationen $\cot^2 x + 4\cot x -3=0$ satisfieras av två grupper av vinklar; $x_1$ tillhör den ena gruppen, $x_2$ den andra. Bevisa, att för dessa vinklar exakt gäller likheten
(11)där $n$ är ett helt tal, positivt eller negativt.
[Januari 1945, problem 7] Till ekvationen $8 \cos 2x + \sin 2x =7$ äro $x_1$ och $x_2$ två olika rötter, vilkas skillnad icke är en heltalmultipel av $180^{\circ}$. Bestäm i exakt form det eller de värden, som $\cos(x_1+ x_2)$ kan antaga.
Större problem
Hundrameterslöparna
(ekvationslösning, primitiv funktion, integral)
De två sprintrarna Anders Andfådd och Benny Bråttom startar ett hundrameterslopp. Deras hastigheter under de tre första sekunderna ges av:
(12)respektive
(13)där $v$ är hastigheten i m/s och $t$ är tiden i sekunder.
a) Vid vilken tidpunkt har de samma hastighet?
b) Vem leder då och med hur mycket?
c) När ligger de jämsides?
Använd gärna GeoGebra för att rita grafer och lösa problemet.
Skålen
(integral, rotationsvolym)
a) En cylinder av trä med radie och höjd 1 dm ska fräsas ur så att en skål bildas. Denna skåls volym ska vara hälften av den ursprungliga cylinderns, och ha samma höjd och maxradie. Vilken matematisk funktion på formen $f(x)=x^a$, där $a$ är ett positivt tal, ska användas när skålen tillverkas?
b) Skålen som tillverkats i uppgift 1 har i praktiken hål i botten. För att undvika detta vill vi göra skålen bara 0.9 dm djup. Maxradien ska fortfarande vara densamma. Vilken matematisk funktion på formen $f(x)=(b+cx)^a$, där $a,b,c$ är positiva tal, ska användas när denna skål tillverkas? Skålens volym ska fortfarande vara hälften av den ursprungliga cylinderns.
Villkor för terrasspunkt
(derivata, andraderivata)
För en funktion gäller att $f'(a) = f''(a)=0$.
a) Måste det i så fall innebära att $x=a$ är en terrasspunkt?
b) Med $f^{(3)}(x)$ menas tredjederivatan av $f(x)$. Antag att dessutom $f^{(3)}(a) \neq 0$. Bevisa att $x=a$ är en terrasspunkt.
c) Vad kan man säga om karaktären av $x=a$ (max?, min?, terrass?) om istället $f^{(3)}(a) = 0$?
Felaktig produktregel men inte alltid
(derivata, produktregel)
Som bekant gäller INTE i allmänhet att $D(f(x)\cdot g(x)) = D(f(x)) \cdot D(g(x))$. Dock är detta sant för vissa speciella funktioner $f(x)$ och $g(x)$. Hitta så många fungerande funktionspar som möjligt, och nöj dig inte bara med de "triviala".
Kan du till sist bevisa att du funnit samtliga exempel?
Integral med Riemannsummor
(integralens definition)
Beräkna integralerna
a) $\int_{0}^{1} x dx$
b) $\int_{0}^{1} x^2 dx$
med hjälp av Riemannsummor, dvs "direkt från definitionen". Du får alltså inte använda primitiv funktion här. Däremot kan du börja med numeriska approximationer med "smala rektanglar", kanske med GeoGebra. Kan du sedan beräkna gränsvärdet då rektangelbredden går mot 0?
Samband derivata funktion med gränsvärden
(derivatans definition, gränsvärden)
Följande påstående är sanna
1) om $f'(x)=0$ för alla (reella) $x$ så gäller att $f(x)=C$ är en konstant funktion.
2) om $f(x)=C$ är en konstant funktion så gäller att $f'(x)=0$ för alla (reella) $x$.
Tänk igenom så du inser att de verkligen är sanna, och formulera varför i ord. Ett av påståendena kan bevisas med gymnasiekunskaper. Genomför detta bevis ordentligt.
Vad kan sägas om sanningshalten hos följande påstående:
1) om $f'(x) \to 0$ då $x \to \infty$ så gäller att $f(x) \to C$, en konstant, då $x \to \infty$?
2) om $f(x) \to C$, en konstant, då $x \to \infty$ så gäller att $f'(x) \to 0$ då $x \to \infty$?
Antingen ger du ett argument/bevis för att påståendena är sanna, eller så hittar du konkreta motexempel.
Kedjekurvan - Catenary
(funktionsanpassning/regression, integral, derivata, mekanik)
En kedja eller ett rep som hängs upp i sina ändpunkter kommer att "från sidan" få formen av en så kallad kedjekurva. Denna kan beskrivas algebraisk av
(14)a) Leta upp en hängande kedja eller ett rep i verkligheten. Fotografera det från sidan. Lägg in bilden i GeoGebra och undersök om "det" stämmer. Bestäm i så fall konstanten $a$.
b) Visa också följande algebraiskt (som är naturligt att förvänta sig "mekaniskt")
1) Kedjekurvan har $y$-axeln som symmetrilinje.
2) Derivatan är noll då $x=0$.
c) Bestäm längden på ditt kurvstycke från a). Olika metoder är intressanta men metoden med kurvlängdsintegral bör behandlas. Hur detta funkar kan man t.ex. googla lite på.
d) Den som vill fördjupa sig i mekanik kan fundera på varför kedjekurva har just uttrycket ovan. Detta är överkurs och man kan kanske ta hjälp av sin fysiklärare.
Funktioner som uppfyller olikheter
(derivata, andraderivata, olikheter)
Låt $?_1$, $?_2$ och $?_3$ vara en av symbolerna $<$ och $>$ och låt $f(x)$ vara en funktion som är definierad för alla reella tal. Genom att välja ?:na på olika sätt kan man få 8 kombinationer av villkor
(15)för alla $x$. Undersök för vilka av dessa kombinationer det går att konstruera en funktion som uppfyller villkoren. Om det går, skriv upp en sådan funktion, om det inte går motivera varför.
Polynomapproximationer
(polynom, derivatas, funktionsanpassning)
"Snälla" funktioner kan (lokalt) approximeras med polynom. Eftersom polynom är enklare att räkna med är sådana approximationer ofta intressanta.
a) Googla på "MacLaurinutveckling" och försök förstår hur en polynomapproximation kring $x=0$ går till.
b) Skriv upp några MacLaurinpolynom till $f(x)=\sin x$ och rita deras grafer tillsammans med den till $\sin x$ i GeoGebra.
c) För att visa att du behärskar metoden, bestäm några MacLaurinpolynom till $g(x)=e^{\sqrt{x}}$ och rita graferna i GeoGebra.
Räkneregel från derivataegenskap
(derivata, deriveringsregler)
För en funktion $f(x)$ gäller att $f'(x)=\frac{1}{x}$ och att $f(1)=0$. Visa att räkneregeln
(16)gäller för funktionen $f$ (och för alla talpar $a$ och $b$)
a) på valfritt sätt
b) utan att först bestämma funktionen $f(x)$ explicit, dvs direkt från derivatavillkoret.
Volym av päron med GeoGebra
(integral, funktionsanpassning/regression, rotationsvolym)
Ett lämpligt päron kan ses som en rotationskropp. Leta upp ett lämpligt päron, lägg in päronets kontur i GeoGebra (mät eller fotografera). Anpassa sedan en funktion till päronets kontur och beräkna slutligen päronets volym med en integral.
Ta också reda på päronets volym på ett mera exakt sätt (men möjligen mindre "matematiskt") och jämför med beräkningen. Stämmer det bra? Varför eller varför inte?
Cykloiden
(…, mekanik)
Googla på cykloid och beskriv i ord hur denna kurva konstrueras. Härled sedan en parameterframställning för kurvan genom att "lägga in" kurvan lämpligt i ett koordinatsystem. Undersök sedan om det är möjligt att hitta ett uttryck på formen $y=f(x)$ för cykloidkurvan. Om det inte är möjlig i sin helhet så kanske det i alla fall går delvis?
Ta reda på i vilka andra mekaniska sammanhang som cykloidkurvan är intressant.
Logistisk differentialekvation
Sinus och cosinus definerade på komplexa tal
(trigonometriska funktionerna, komplexa tal)
När man väl infört de komplexa talen vill man kunna "använda" sina gamla hederliga funktioner också på komplexa tal. T.ex. så definierar man, med $z=x+iy$ (i princip Eulers formel)
(17)där ju högerledet enbart kräver reella "beräkningar".
Antag nu att vi vill definiera $\cos z$ och $\sin z$ för komplext tal $z$.
a) Hur ser en sådan rimlig definition ut?
b) Som bekant är $\cos$ och $\sin$ begränsade med reella indata (funktionsvärdena ligger mellan -1 och 1). Visa att funktionerna blir obegränsade om man tillåter komplexa tal som indata.
c) Utred sambandet mellan $\cos$ och $\cosh$ respektive $\sin$ och $\sinh$.
Lösningar till andragradsekvationer i komplexa talplanet
(ekvationslösning, komplexa tal)
Över det komplexa talen har ekvationen
(18)alltid exakt två lösningar (räknade med multiplicitet). Om vi fixerar ett av talen a eller b och låter det andra talet variera (reellt för enkelhetens skull) kommer vi att för varje värde på det varierande talet få två punkter i komplexa talplanet som är lösningar till motsvarande ekvation. Undersök hur dessa punkter "rör sig" i komplexa planet när talet varierar.
a) Börja t.ex. med $z^2+b=0$ och låt b varierar.
b) Sedan kanske $z^2+ax+b=0$ där a är en nollskild konstant och b varierar.
c) Sedan kanske $z^2+ax=0$ där a varierar.
d) Sedan kanske $z^2+ax+1=0$ där a varierar.
e) Osv till man tröttnar.
Samband mellan rötter och koefficienter
(ekvationslösning)
a) Betrakta andragradsekvationen $z^2+az+b=0$ som har rötterna/lösningarna $z=r_1, z=r_2$. Vilket är sambandet mellan koefficienterna $a, b$ och lösningarna $r_1, r_2$?
b) Betrakta tredjegradsekvationen $z^3+az^2+bz+c=0$ som har rötterna/lösningarna $z=r_1, z=r_2, z=r_3$. Vilket är sambandet mellan koefficienterna $a, b, c$ och lösningarna $r_1, r_2, r_3$?
c) Gör exempel som illustrerar dina slutsatser a) och b).
Tyngdpunkt Coca-Cola burk
(trigonometri, mekanik)
Leta upp en Coca-Cola burk (eller motsvarande) och ta reda på burkens mått, där vi antar att den har formen av en cylinder med tunt hölje. Fyll sedan burken med vätska till en viss höjd h och undersök vid vilken vinkel v mot horisontalplanet som burken kommer att tippa om den släpps. I bästa fall finner du en formel för hur v beror på h. Om inte så kan du räkna på några specialfall och kanske göra en regression i GeoGebra. Testa också om det stämmer med praktiska försök.
Varianter på "kurvan" $y=a \sin x + b \cos x$
(trigonometriska funktioner, deras grafer, additionsformler)
I kursboken berättas att kurvan ovan kan skrivas på formen $y=A \sin(x+v)$, och en metod för att bestämma $A$ och $v$ från $a$ och $b$ redovisas också. Låt oss nu betrakta varianter av kurvan i rubriken.
a) Kan $y=a \sin x + b \cos (x+c)$, där a, b och c är konstanter, skrivas på formen $y=A \sin(x+v)$? Om ja, vad är i så fall sambandet mellan A, v och a, b, c?
b) Kan $y=a \sin x + b \cos (cx)$, där a, b, och c är konstanter, skrivas på formen $y=A \sin(x+v)$? Om ja, vad är i så fall sambandet mellan A, v och a, b, c?
Trigonometriska ekvationer
(trigonometri, ekvationslösning)
a) Konstruera en trigonometrisk ekvation på formen $y=A\sin(k(x-v))=0$ som har exakt sex lösningar i intervallet $0 \leq x \leq 2\pi$.
b) Undersök, t.ex. med GeoGebra, om ekvationen $\cos (\sin x)=\sin (\cos x)$ (där vi arbetar i radianer) har någon lösning. Om ja, finns lösningarna. Om nej, styrk detta med ett "algebraiskt" argument.
Sinuskurvor utseende
(trigonometri, trigonometriska funktionernas utseende)
En allmän sinuskurva kan skrivas på formen
(19)där vi (i denna uppgift) arbetar i radianer.
a) Ge exempel på en sinuskurva som har största värde 8 och minsta värde 2.
b) Ge exempel på en sinuskurva som har största värde 8, minsta värde 2 och som går genom punkten $(\frac{\pi}{6}, 5)$.
c) Ge exempel på en sinuskurva som, utöver villkoren i b), också uppfyller att ekvationen $f'(x)=0$ har exakt tre lösningar i intervallet $0 \leq x \leq 2\pi$
d) Ange det minsta positiva värde på b som ger en kurva som uppfyller villkoren i c).
e) Finns det ett största värde på b som ger en kurva som uppfyller villkoren i c)?
$x^2$-kaka
(integraler)
Rogerina har en jämntjock, homogen kaka som har samma form som området mellan x-axeln och grafen till $y=x^2$ i intervallet $0 \leq x \leq 1$. Denna kaka ska hon dela lika med mellan sig själv och sina kompisar.
a) Om Rogerina bara har en kompis, hur kan hon då dela? (Området/kakan ska alltså delas i två delar med lika stora areor.)
b) Om Rogerina har två kompisar, hur kan hon då dela?
c) Nu är det dags för det allmänna fallet. Antag att Rogerina har $n \geq 1$ kompisar. Hur kan han i så fall dela så att alla får lika stora bitar?
Trapetsapproximationer
Låt $f(x) = e^x$.
a) Bestäm med primitiv funktion ett exakt värde på
(20)b) Bestäm ett approximativt värde på integralen ovan genom att dela upp i två intervall och använda trapetser.
c) Bestäm ett approximativt värde på integralen ovan genom att dela upp i fyra intervall och använda trapetser.
d) Vilken approximation hamnar närmast det korrekta värdet?
e) För att få ännu bättre approximationer delar man upp i trapetser över fler intervall. Motivera varför man, i fallet då $f(x)=e^x$, får bättre närmevärde till integralen för varje dubblering av antalet intervall.
f) Konstruera en funktion $g(x)$, antingen algebraiskt eller genom att skissa en graf, så att man vid något tillfälle då man dubblerar antalet intervall i sin trapetsapproximation faktisk får ett sämre närmevärde till $\int_0^2 g(x) dx$.
Anm. I samliga fall ska intervallen i respektive uppdelning vara inbördes lika långa.