matematik-4:extra

Bevis av additionsformeln för sinus

Vi ska bevisa att

(1)
\begin{align} \sin(\alpha +\beta)=\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \end{align}

och i fallet då både $\alpha$ och $\beta$ är spetsiga.

Betrakta triangeln nedan

Triangeladdformel.png

där alltså $c=a \cos \beta + b \cos \alpha$.

Sinussatsen ger att

(2)
\begin{align} \frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \gamma}{c} \end{align}

Eftersom $\gamma = 180-\alpha-\beta$ har vi att $\sin \gamma = \sin (\alpha + \beta)$ och

(3)
\begin{align} \sin(\alpha + \beta) = \sin \gamma = \frac{c\sin \alpha}{a}=\frac{(a \cos \beta + b \cos \alpha) \sin \alpha}{a} = \sin \alpha \cos \beta + \frac{b}{a} \cos \alpha \sin \alpha = \\ =\sin \alpha \cos \beta + \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} \cos \alpha \sin \alpha = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta. \end{align}

Anmärkning: Additionsformeln gäller som bekant om $\alpha$ och $\beta$ är godtyckliga tal. Läsaren får själv tänka igenom att detta fungerar.

"Bevis" av att D[sin(x)]=cos(x) mha likformighet

I enhetscirkeln nedan har först en vinkel X slagits mot positiva x-axeln och sedan ytterligare en vinkel h. Därefter har de rätvinkliga trianglarna OAD och ABC konstruerats.

Derivatan%20av%20sin1.png

Notera att $OA = 1, OD=\cos X, BC = \sin(X+h)-\sin X$ samt att vinkeln mellan kateten AC och tangenten t genom punkten A är $\pi - X$, och därmed vinkeln i hörnet B "nästan" X. Trianglarna OAD och ABC är alltså inte likformiga, det som "felar" är att vinkeln BAC inte är exakt lika med $\pi-X$. Men om vi låter vinkeln h minska och därmed punkten B närma sig punkten A som figuren nedan visar kommer "vinkelfelet" att bli mindre, tangenten och sidan AB kommer närmre och närmre varandra, och trianglarna blir "likformigare" och sträckan AB nästan lika lång som bågen AB (som är h lång). Detta sammantaget innebär att

(4)
\begin{align} \frac{BC}{AB} \approx \frac{DO}{AO} \Leftrightarrow \frac{\sin(X+h)-\sin X}{h} \approx \frac{\cos X}{1} \end{align}
Derivatan%20av%20sin2.png

Låter vi nu $h \to 0$ kan man föreställa sig att trianglarna blir likformiga i "gränsläget" och att sträckan AB och bågen AB blir lika långa. Därmed fås

(5)
\begin{align} \lim_{h \to 0} \frac{\sin(X+h)-\sin X}{h} = \frac{\cos X}{1} = \cos X \end{align}

eller med andra ord (och med liten bokstav x istället) att

(6)
\begin{align} D(\sin x) = \cos x \end{align}

Bevis av produktregeln för derivata givet kedjeregeln

Vi önskar bevisa att

(7)
\begin{align} D(f \cdot g)= D(f) \cdot g + f \cdot D(g) \end{align}

där $D$ betecknar deriveringsoperatorn, eller med andra ord $D(f)=f'$.

Vi förutsätter att kedjeregeln

(8)
\begin{align} \frac{d}{dx} (f(g(x))=f'(g(x)) \cdot g'(x) \end{align}

är känd och bevisad, och att man i beviset av kedjeregeln inte hänvisat till produktregeln. Detta är möjligt.

Vi gör följande "fiffiga" omskrivning,

(9)
\begin{align} 4 \cdot f \cdot g = (f+g)^2-(f-g)^2 \end{align}

Multiplicera själv ut kvadraterna i högerledet, förkorta och övertyga dig om att det stämmer. Denna omskrivning är en variant på "polarisering", se mer om detta här Polarization_identity vid intresse.

Vi deriverar nu högerledet med hjälp av kedjeregeln, multiplicerar ihop och förkortar

(10)
\begin{align} D(4 \cdot f \cdot g)D((f+g)^2-(f-g)^2)=2(f+g)(f'+g')-2(f-g)(f'-g')= \end{align}
(11)
\begin{equation} =2ff'+2fg'+2gf'+2gg'-2ff'+2fg'+2gf'-2gg'=4f'g+4fg' = 4(D(f)g+fD(g)) \end{equation}

Division med 4 ger slutligen

(12)
\begin{align} D(f \cdot g)=D(f) \cdot g+f \cdot D(g). \end{align}

Geometrisk konstruktion av multiplikation och division av komplexa tal.

De gamla grekerna var inte utrustade med vårt koordinatsystem. Däremot var dom bra på att göra geometriska konstruktioner med passare och ograderad linjal. Det betyder att dom kunde förbinda kända punkter med räta linjer och "slå" cirklar från en given punkt och med en given radie. Hur hade då grekerna gjort om dom råkat ut för multiplikation och division med komplexa tal? Det ska vi undersöka!

Låt $z$ och $w$ vara två komplexa tal sådana att $|z| = |w| = 1$. Då kan man konstruera $z \cdot w$ som figuren nedan visar

komplex%20enhetsmultiplikation.png

Rita en linje $l_1$ genom punkterna som motsvarar $z$ och $w$. Dra sedan en linje $l_2$ som är parallell med $l_1$ och som går genom punkten $(1,0)$. Produkten $z \cdot w$ kommer då att motsvara skärningspunkten mellan $l_2$ och enhetscirkeln.

Bevisa detta!

Hur kan man geometriskt konstruera $\frac{z}{w}$ med $z$ och $w$ som ovan?

Låt $z$ och $w$ vara godtyckliga komplexa tal. Hur kan geometriskt konstruera $z \cdot w$ och $\frac{z}{w}$ ?

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License