matematik-4-vt18-ht18:detaljplan

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 4.1 4.2 4.3 4.4

1.1 Trigonometri och trianglar

Enhetscirklen och trianglar (sid 8-10)

Detta är en repetition/upprepning av det ni gjort i Ma3c, möjligen behöver ni "säkra upp" hur $\tan$ fungerar. Några uppgifter är t.o.m. identiska med de i Ma3c-boken. Förslagsvis ögnar ni igenom texten och löser enstaka uppgifter enligt nedan.

Lös efter behov. Detta är repetition av Ma3c, så behovet kan mycket väl vara inget alls.

1.2 Trigonometriska formler

Enhetscirkel och formler (sid 12-14)

Detta har vi delvis gjort i Ma3c, fast där nöjde vi oss med vinklar i intervallet $0^{\circ} \leq v \leq 180^{\circ}$, medan man här "snurrar" utan begränsning, både positivt (moturs) och negativt (medurs). Förstår man definitionen av sin, cos och tan i enhetscrikeln så är det egentligen inte så svårt.

Här http://www.geogebra.org/m/3187 finns en GeoGebraillustration där man kan "leka med" enhetscirkeln. Där finns lite med information än nödvändigt, det räcker att ni fokuserar på hur sin, cos och tan fungera.

Lös jämna uppgifter.

Trigonometriska identiteter (sid 15-18)

Som ni har upptäckt, och kommer att upptäcka, finns det en mängd samband mellan olika trigonometriska uttryck. Man reder ut ett antal sådana samband utifrån enhetscirkeln (se till så att ni kan detta), och sedan kan alla andra härledas genom algebraiska manipulationer.

En central "formel" är den så kallade trigonometriska ettan som säger att

(1)
\begin{align} \sin^2 v + \cos ^2 v =1 \end{align}

för alla vinklar v. Beviset följer av definitionen av sin och cos i enhetscirkeln och Pythagoras sats. Observera att man av lathetsskäl har infört notationskonventionen

(2)
\begin{align} \sin^2v = (\sin v)^2, \cos ^2 v = (\cos v)^2. \end{align}

Detta sistnämnda är alltså inget man kan bevisa utan som man bestämt!

En typisk uppgift kan sedan vara att t.ex. visa att

(3)
\begin{align} \frac{1}{\cos^2v}-\tan^2 v = 1 \end{align}

Det är oftast enklast att börja med den "sunkigaste" sidan och försöka skriva om det till den mindre "sunkiga". I exemplet ovan startar man i så fall med vänsterledet och försöker skriva om det (utan att bryta mot några regler) till talet 1.

I vissa svårare problem kan det vara så att båda sidorna är "sunkiga". En möjlig strategi kan i så fall vara att flytta över allt på en sida, få ett "supersunkigt" uttryck som man sedan ska visa är noll.

En annan typ av uppgift på dessa sidor är att växla mellan sin och cos utan att bestämma vinklar på vägen. T.ex. kan man fråga sig vilka värden $\cos v$ kan anta om man vet att $\sin v = 0.5$. Man skissar en enhetscirkel och ser att två värden kan komma ifråga (om det i uppgiften står ett vilkor på vinkeln kan ibland enbart ett värde komma ifråga). Dessa kan sedan bestämmas med trigonometriska ettan.

Lös samtliga a-uppgifter, 1221d, 1223, 1224b, 1228, 1231 och eventuellt 1235 och 1236.

Addition- och subtraktionsformler för sinus och cosinus (sid 19-22).

Till sin samling av trigonometriska identiteter bör man lägga de så kallade additionsformlerna. Man kan t.ex. ha nytta av dessa när man överlagrar sinus- och cosinuskurvor i fysiken, och i samband med lösning av vissa ekvationer. Det är lätt att glömma formlernas exakta utseende så man kollar upp dem i t.ex. formelblad vid behov. Det viktiga är att veta när och hur de kan användas och eventuellt känna till hur man plockar fram dem/bevisar dem. Någon kan ju faktiskt ha snott ens formelblad!

Den "jobbiga" formeln att ta fram, om man gör som boken, är

(4)
\begin{align} \cos(u-v)= \cos u \cos v+\sin u \sin v. \end{align}

Denna bevisar man genom att uttrycka ett avstånd mellan två punkter på två sätt, dels "direkt" med Pythagoras sats, dels med cosinussatsen. Sen flyttar man om lite …. När man är klar med ovanstående följer övriga ganska lätt, man byter v mot -v och man använder t.ex. att $\cos v = \sin(90-v)$. Som vanligt går det bra att använda formlerna utan att känna till beviset. I själva verkat ska alla kunna använda dem medan beviset ligger på A/B-nivå, i alla fall beviset av den ursprungliga additionsformeln.

De som är intresserade av bevisen kan kolla in Anders Karlssons YouTubeklipp, bokens bevis finns här (sök på "matteskolan additionsformler" för övriga). Han bevisar alla fyra varianterna och gör ett bra jobb som vanligt. Eventuellt blir det ett alternativt bevis utgående från sinussatsen på lektionen.

Lös a-uppgifterna, 1247, 1248a, 1250 och eventuellt 1251 och 1252.

Formler för dubbla vinkeln (sid 24-25)

Detta är inget nytt utan en följd av de framplockade additionsformlerna. I likheten

(5)
\begin{align} \sin(u+v)=\sin u \cos v + \sin v \cos u, \end{align}

som gäller för alla u och v, är det ju möjligt att sätta $u=v$. Då fås

(6)
\begin{align} \sin 2u = \sin(u+u)= \sin u \cos u + \sin u \cos u= 2 \sin u \cos u. \end{align}

Detta är formeln för dubbla vinkeln för sinus. På motsvarande sätt plockar man fram en formel för cosinus av dubbla vinkeln.

Lös samtliga a-uppgifter, 1262, 1263 och eventuellt 1265 och 1266c.

1.3 Bevis och bevismetoder

Här har man klämt in några sidor om bevis. Enligt ämnesplanen ingår det i kursen och någonstans måste det ju få finnas. Men egentligen skulle det kunnat vara var som helst.

Boken presenterar två typer av bevisföring, direkt och indirekt. I ett direkt bevis startar men man med det man vet och tar sig fram till sin slutsats (såklart via logiska steg och argument). I ett indirekt bevis är iden att man istället för att visa att "om påstående P är sant så är också påstående Q sant" visar att "om påstående Q är falskt så är påstående P falskt". Dessa båda påstående är logiskt ekvivalenta. Tänk efter varför!

Ett inte så enkelt exempel på indirekt finns här (där finns också extrauppgifter som ni kan spara till senare)

http://matematik.wikidot.com/matematik-4-vt15-ht15:bevisuppgifter#toc3

Lös samtliga a-uppgifter och sedan bc-uppgifter efter ork och ambition.

1.4 Trigonometriska ekvationer

Grundekvationer (sid 33-37)

Det finns, av naturliga skäl, tre grundläggande varianter,

(7)
\begin{align} \sin x= \textrm{konstant}, \, \cos x= \textrm{konstant}, \, \tan x= \textrm{konstant}. \end{align}

Av för mig okända skäl behandlas tangens först senare. Därmed sätter vi tangensvarianten inom parentes ett tag, och kikar på de andra.

Som vanligt vid ekvationslösning gäller det att få x:et fritt. Det väsentliga är att komma ihåg att man kan få oändligt många lösningar, i princip två för varje varv och sedan kan man ju "snurra". Man kan inte anta att t.ex. x är en vinkel i en triangel, utan ALLA möjliga x-värden måste presenteras. Man observerar också att vissa ekvationer saknar lösning, ett "krav" på $\sin$ och $\cos$ är ju att man får värden mellan -1 och 1.

Som vanligt är det helt avgörande att man förstår hur det fungerar i enhetscirkeln. Då blir ekvationslösningen logisk och ganska enkel, och man förstår varför det blir lite olika hantering beroende på vilken trigonometrisk funktion som är inblandad.

Följande GeoGebrakonstruktion illustrerar eventuellt hur det funkar (tycks bero på JAVA-version)

http://www.georgiostheodoridis.se/archives/MDEnhetsCirkelSinCosTan200V2.html

Om ni vill se på bra YouTubegenomgångar kan ni leta i Anders Karlssons spellista Matteskolan.

1405, 1406a, 1407b, 1409, 1412, 1414cd, 1416, 1417 och eventuellt 1419, 1420 (tänker man göra 1419 och 1420 kan man hoppa över många a-uppgifterna).

Ekvationer som omformas med formler (sid 38-39)

Egentligen inget nytt här, men ändå inte helt lätt. Man måste dels ha koll på sina trigonometriska omskrivningar, dels på ekvationslösning. Det är omöjligt att formulera en taktik som fungerar alltid men här kommer några tips:

1425 Om en ekvation byggs upp av en produkt är lika med noll så måste en faktor vara noll. Multiplicera inte ihop!

1428a Så fort man ser en "dubbel" vinkel är man beredd med sina additionsformler/formler för dubbla vinkeln.

1428b Detta är en andragradsekvation i "enheten" $\sin x$. Alltså sätter vi $t=\sin x$, löser en andragradsekvation i t och bestämmer sedan x utifrån eventuella t-värden.

1429 Fixa till så att "enheten" blir $\sin x$. Observera att det är sämre att "byta in" $\cos x$ (varför?).

1430 Kan man få en faktor $\sin 2x$ i vänsterledet? Om man lyckas med detta, flytta över allt till en sida! Kom ihåg att det är obra att dividera med uttryck som innehåller x. De kan ju vara noll! Säkrare att bryta ut.

Lös 1424, 1425c, 1426a och om ni vill/orkar och har höga ambitioner 1428, 1429, 1430 och eventuellt 1434 och 1435.

1.5 Tillämpningar och problemlösning (40-41)

Ingen ny matematik, men lite mer eller mindre verkliga situationer som leder till trigonometriska överväganden. c-uppgifterna 1511 och 1512 är inte så lätta, men en trevlig utmaning om man undviker att kika i facit!

Lös 1502, 1506, 1507, 1509 och eventuellt 1511 och 1512.

2.1 Trigonometriska kurvor

Sinus- och cosinuskurvor, förskjuta kurvor vertikalt och horisontellt, ekvationen för en sinusformad kurva (sid 52-61)

De trigonometriska funktionerna är användbara i andra sammanhang än de rent geometriska. Om man låter en vikt hänga i en svängande fjäder och ritar grafen med viktens avvikelsen från jämvikt på y-axeln och tiden på x-axeln kommer man att få en sinuskurva (om man bortser från t.ex. luftmotstånd, i annat fall dämpas svängningen). Ett annat exempel är ljudvågor som också beter sig som en sinuskurva.

För att konstruera en "originalkurva" $y = \sin x$ eller $y = \cos x$ snurrar man runt i enhetscirkel, sätter av vinklar på x-axeln och motsvarande sinusvärden (eller cosinusvärden) i y-led. Prova själv i denna GeoGebrakonstruktion

http://www.geogebra.org/m/8028
http://www.geogebra.org/material/simple/id/8029

Genom att "lägga på" diverse konstanter

(8)
\begin{align} y=A \sin (b(x+v))+ c \end{align}

kan man sedan flytta, sträcka ut och trycka ihop "originalkurvan" på olika sätt. Försök också förstå varför det blir som det blir. Ladda ner GeoGebrafilen nedan och testa själv. Detta kan göras samtidigt som man löser nedanstående urval av bokens a-uppgifter.

Allmän sinuskurva

Lös på torsdag mha GeoGebra,
sida 55; 2102, 2104, 2106
sida 59; 2126, 2127, 2128
sida 61; 2143, 2144

Lös sedan (typ på fredag) med handräkning och GeoGebra,
sida 55; 2109, 2111 och eventuellt 2113 och 2115
sida 56; inga under förutsättning att man gör en del av övriga på räknaren eller hellre med GeoGebra
på sida 59; 2131a, 2132, 2135 och eventuellt 2139
på sida 61; 2146, 2147, 2149 och eventuellt 2151

Kurvan y=tan x (sid 62-64)

Hittills har vi främst studerat sinus och cosinus. Nu är det dags för den sista trigonometriska funktionen, tangens.

Man ska kunna lösa ekvationer av typen $\tan x = k$ (med varianter). Man noterar att $\tan x$ anger lutningen vid vridningsvinkel x, så man får till grundekvationen två lösningar per varv. Dessa lösningar ligger mitt emot varandra, med avseende på origo, i enhetscirkeln. Samtliga lösningar fås genom att man hittar en lösning (t.ex. med hjälp av räknedosa) och lägger på halvvarv, $n \cdot 180^{\circ}$.

Man ska också skaffa sig lite känsla för grafen till funktionen $y=\tan x$. Kika gärna här

http://www.geogebra.org/m/8030

Observera att grafen (kurvan) har en period på $180^{\circ}$ och att $\tan x$ inte är definierat för $x = 90^{\circ} + n \cdot 180^{\circ}$. Detta beror i sin tur på att $\cos x = 0$ för dessa x-värden.

Precis som med sin/cos kan man lägga på konstanter och ändra på tangensgrafen. Det fungerar i princip på samma sätt, men tänk gärna igenom.

Lös a-uppgifter efter behov (rimligen kan ni glesa ut ekvationerna), 2166a, 2168, 2171 samt eventuellt 2172, 2175.

Kurvan y=a sin x + b cos x (65-67)

Kanske lite överraskande visar det sig att om man överlagrar (addererar) en sinusfunktion och en consinusfunktion med samma period så får man en förskjuten sinuskurva (med nya amplitud) dvs givet a och b finns det tal A och v sådana att

(9)
\begin{align} a \sin x + b \cos x = A \sin(x+v) \end{align}

Frågan blir då vilket samband som finns mellan bokstäverna. Som boken visar (sid 65-66) gäller att

(10)
\begin{align} A = a^2+b^2 \textrm{ och } \tan v = \frac{b}{a} \textrm{ med kvadrantkontroll} \end{align}

Lös 2177c, 2178c, 2180, 2181 och eventuellt 2182, 2184.

2.2 Radianbegreppet

Ett nytt vinkelmått (sid 68-71)

Vad som menas med ett varv är knappast oklart eller något som kan missuppfattats. Men varför ska man, vid vinkelmätning, dela upp varvet i 360 grundenheter (så kallade grader)? Det finns inget matematiskt skäl till detta. I själva verket är det ganska ologiskt för oss. Att det ändå blivit så kan vi skylla på babylonierna och möjligen på det faktum att det går drygt 360 dygn på ett år.

Ett, av matematiska skäl, bättre vinkelmått är radianer (t.ex. blir vissa deriveringsregler enklare). Man utgår från en enhetscirkel och säger helt enkelt att en vinkel är lika många radianer som motvarande cirkelbåge är lång. Eftersom enhetscirkelns omkrets är $2 \pi$ så kommer alltså ett varv att utgöras av $2 \pi$ radianer.

Att växla mellan grader och radianer är en "bit kaka", eftersom

(11)
\begin{align} 1 \textrm{ grad} = \frac{2 \pi}{360} \textrm{ rad} = \frac{\pi}{180} \textrm{ rad} \end{align}

och

(12)
\begin{align} 1 \textrm{ rad} = \frac{180}{\pi} \textrm{ grader} \end{align}

Notera att man ofta utelämnar enheten radianer. Man talar om och skriver vinklar som t.ex. $\frac{\pi}{2}$ (vinkeln är alltså 90 grader).

Lös a-uppgifter efter behov samt 2214, 2215, 2217 och eventuellt 2221.

Cirkelsektorn och radianer (sid 72-73)

Formlerna här är så pass lätta att härleda att man kan göra detta varje gång och inte behöva lära sig något utantill.

Lös 2224, 2226, 2227, 2228, 2231 och eventuellt 2233.

2.3 De trigonometriska funktionernas derivator

Derivatan av $\sin x \;$ och $\cos x \;$ (sid 74-76)

I detta avsnitt, och alltid när trigonometriska funktioner ska deriveras, förutsätts att vinkelenheter är radianer!

Detta avsnitt kan man hantera på två sätt. Antingen ett mycket omatematiskt men ändå tillräckligt för att räknas som godkänd, eller ett mer matematiskt där man försöker förstå varför det blir som det blir.

I det förstnämnda fallet lär man sig att

(13)
\begin{align} D(\sin x) = \cos x \textrm{ och } D(\cos x) = -\sin x \end{align}

Möjligen kan man övertyga sig om detta genom att kika på respektive graf och hur den lutar i olika punkter. Sedan tränar man reglerna till de sitter som berget!

Strävar man mot högre betyg är det alltså säkrast att försöka förstå. Först noterar man att derivatan av $\cos$ får man ganska enkelt (om man känner till kedjeregeln på sid 78-79, vilket ni snart gör) genom omskrivningar så svårigheten är att derivera $\sin$.

För att ta fram derivatan av $\sin$ har man nu inget annat val än att utgår från derivatans definition och försöka bestämma detta gränsvärde. På vägen i räkningarna nyttjar man additionsformlerna (se bok för dessa steg). Slutligen återstår ett par problematiska gränsvärden som måste bestämmas, nämligen

(14)
\begin{align} \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \textrm{ och } \lim_{h \to 0} \frac{\cos h -1}{h} \end{align}

I boken troliggörs dessas värde numeriskt och på lektionen kommer det att troliggöras geometriskt i enhetscirkeln. Detta är också så nära ett riktigt bevis vi kan komma eftersom vi definerat sinus utifrån enhetscirkeln. Vill man ha vattentätare bevis får man definera sinus "algebraiskare".

Annan GeoGebraillustration: Här ser nu hur k-värdet till olika tangenter till sin(x) tycks "hamna på" cos(x). Så är också fallet men observera att denna illustration inte bevisar något.

Lös a-uppgifter efter behov, men strunta i 2305 och 2309, samt eventuellt 2312, 2314, 2316, 2319, 2320.

Derivatan av sammansatta funktioner (78-79)

En sammansatt funktion har formen

(15)
\begin{equation} f(g(x)), \end{equation}

vilket i princip utläses som att man först "gör" funktionen g (den inre funktionen) på x:et och sedan funktionen f (den yttre funktionen) på g(x). Det blir kanske enklare med ett exempel. Betrakta funktionen $(x^2+1)^{10}$ där $g(x)=x^2+1$ är den inre funktionen och $f(u)=u^{10}$ är den yttre funktionen. Sätter vi in g(x) som u fås alltså den sammansatta funktionen

(16)
\begin{equation} f(g(x))=(x^2+1)^{10} \end{equation}

Sådana sammansättningar deriveras som följer:

(17)
\begin{align} (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \end{align}

Lite löst kan man tolka det som yttre derivatan gånger den inre derivatan. I exemplet får vi

(18)
\begin{align} D((x^2+1)^{10})=10(x^2+1)^{9} \cdot 2x. \end{align}

Om man nu känner för att derivera $\cos x$ gör man omskrivningen $\cos x = \sin (\frac{\pi}{2}-x)$ och vips så överförs derivatan av $\cos$ till derivatan av $\sin$ och $\frac{\pi}{2}-x$ (minns att vinklar anges i radianer i deriveringssammanhang). Den som vill kan själv fylla i detaljerna.

Lös a-uppgifter efter behov och sedan 2329, 2330, 2332, 2333 och eventuellt 2336.

2.4 Tillämpningar och problemlösning

Ingen ny matematik, istället "textuppgifter" med stoff från främst 2.3. Ni kan kika på ett fåtal medan resten kan användas efter behov framöver som repetition.

Lös 2403, 2406, 2409, 2411, 2412 (med räknare el GeoGebra) och eventuellt 2415, 2420, 2421.

3.1 Derivator och deriveringsregler

Kort om derivator (sid 100-102)

Här gäller det att friska upp sina eventuella slumrande derivatakunskaper.

Lös samtliga a-uppgifter samt eventuellt 3110, 3111, 3113 och 3114. c-uppgifterna hoppas över.

Derivatan av en produkt (sid 104-106)

Minns att summor och differenser får deriveras termvis, dvs

(19)
\begin{align} D(f+g)=D(f)+D(g),\, D(f-g)=D(f)-D(g) \end{align}

Leibniz, som inte var vem som helst precis, trodde i något ögonblick att produkter kunde deriveras faktorvis. Testa att "derivera" $f(x)=x^2=x \cdot x$ på detta sätt, och se att det inte blir $2x$. Efter lite eftertanke och kanske resonemang som utgick från derivatans definition insåg Leibniz att följande fungerar;

(20)
\begin{align} D(f \cdot g) = D(f) \cdot g + f \cdot D(g). \end{align}

Ni kan vänta med att tänka igenom "bevisen" (metod 1 och 2 på sida 104-105) och först lösa ett antal uppgifter där ni använder regeln.

Lös 3119, 3120, 3123, 3126 och eventuellt 3127, 3128, 3130, 3131.

Derivatan av en kvot (sid 108-109)

Observera att jag använder den praktiska beteckningen $D$ för derivata, dvs $D(f)=f'$. Eftersom det finns en "regel" för att derivera produkter är det inte otänkbart att det finns en "regel" också för kvoter. Här kommer den:

(21)
\begin{align} D \left( \frac{f}{g} \right) = \frac{D(f)\cdot g - f \cdot D(g)}{g^2}. \end{align}

Bokens bevis bygger på produktregel och kedjeregel. Ni måste kunna använda regeln även om ni inte har koll på beviset. Så träna!

Lös 3136, 3137, 3138 och eventuellt 3142, 3144.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License