matematik-4-vt15-ht15:bevisuppgifter

Instruktion

Följande moment från kursens centrala innehåll hanteras i denna uppgift

  • Olika bevismetoder inom matematiken med exempel från områdena aritmetik, algebra eller geometri.

I grupper om två "gör" ni ett bevis bland 1-5 och ett bland 6-10. Läraren fördelar detta! Ni byter sedan bevis med annan grupp, och läser igenom deras bevis. Därefter träffas ni mellan grupperna och diskuterar era bevis.

Poängen med denna uppgiften är inte att ni ska tänka ut något "fiffigt" utan att ni ska genomföra bevis. Skulle ni göra fast är går det bra att inhämta tips. Istället är följande särskilt viktigt att tänka på

- disposition (hur prydligt är det)
- korrekthet (finns det några notationsfel eller logiska fel, är det i princip korrekt)
- innehållet (går det att följa, saknas något, är det för pratigt)
- "estetik" (var det behagligt att läsa, ordval etc…)

Tidplan

Tis: Gemensam introduktion
Tors, fre: Eget arbete
Fre: inlämning
Mån: Gruppredovisning

Bevisa med valfri metod

1. Låt $a = m^2-n^2, b=2mn, c=m^2+n^2$, där $m$ och $n$ är godtyckliga positiva heltal. Bevisa att $a, b$ och $c$ är sidlängder i en rätvinklig triangel.

2. Bevisa att varje udda heltal större än 1 kan skrivas på formen $m^2-n^2$ för några positiva heltal $m$ och $n$.

3. Bevisa att ett heltal på formen $n=m^3+1$ aldrig är ett primtal om $m$ är ett heltal större än 1.

4. Multiplicera fyra på varandra följande positiva heltal. Bevisa att produkten alltid blir delbar med 24.

5. Bevisa att om $p \neq 2, 3$ är ett primtal så är $p^2-1$ delbart med 24.

Bevisa med så kallat indirekt bevis

Nedanstående uppgifter ska bevisas med ett så kallat indirekt bevis. Det innebär att man bevisar den logiska utsagan $P \Rightarrow Q$ ($P$ medför $Q$) genom att "istället" bevisa den logiska ekvivalenta utsagan $\lnot Q \Rightarrow \lnot P$ (icke-$P$ medför icke-$Q$). Lite löst så tar man alltså motsatserna till de ingående påståendena och visar omvänd implikation.

6. Bevisa att om $n$ är ett heltal och $n^3$ är ett udda tal så är $n$ ett udda tal.

7. Bevisa att om en produkt av heltal $n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k$ är udda så måste alla heltalen $n_1, n_2, \ldots, n_k$ vara udda.

8. Bevisa att om för en produkt av (reella) tal gäller $a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_k < 0$ så måste åtminstone ett av talen $a_1, a_2, \ldots, a_k$ vara negativt.

9. Bevisa att om $x+y >20$ så gäller att antingen $x>10$ eller $y>10$.

10. Bevisa att om $a$ och $b$ är positiva (reella) tal och $b^{10} > a^{10}$ så gäller att $b>a$.

Exempel

Påstående 1. Låt heltalen $a, b$ vara katetlängder i en rätvinklig triangel och låt heltalet $c$ var längden på hypotenusan. Då är minst ett av talen $a$ eller $b$ jämnt.

Bevis. Vi ska bevisa detta med indirekt bevis och identifierar och formaliserar först de ingående påståendena,

$P$: För heltalen $a, b$ och $c$ gäller att $a^2+b^2=c^2$.

$Q$: Minst ett av heltalen $a$ eller $b$ är jämnt.

Målet är nu att bevisa att $P \Rightarrow Q$, genom att bevisa det ekvivalenta $\lnot Q \Rightarrow \lnot P$. Vi behöver då formulera motsatserna till $P$ och $Q$,

$\lnot Q$: Båda heltalen $a$ och $b$ är udda.

$\lnot P$: Det finns inget heltal $c$ sådant att $a^2+b^2=c^2$.

Nu bevisar vi alltså att $\lnot Q \Rightarrow \lnot P$:

Att $a$ och $b$ är udda innebär att det finns heltal $m$ och $n$ så att $a=2m+1$ och $b=2n+1$. Då får vi

(1)
\begin{align} a^2+b^2 & =(2m+1)^2+(2n+1)^2=4m^2+4m+1+4n^2+4n+1=\\ & =2(2(m^2+n^2+m+n)+1)=2\cdot udda \end{align}

Alltså är $a^2+b^2$ ett jämnt tal, men inte delbart med 4. Om $c^2=a^2+b^2$ så måste i så fall $c$ var jämnt. Men då blir $c^2$ delbart med 4 vilket inte är tillåtet. Alltså finns inget sådant heltal $c$. $\Box$

Påstående 2. En rätvinklig triangel med heltalssidor har en heltalsarea.

Bevis: Låt $a$ och $b$ beteckna längderna på kateterna och $c$ längden på hypotenusan. Då har vi

(2)
\begin{equation} a^2+b^2=c^2 \end{equation}

Arean $A$ av triangeln ges av

(3)
\begin{align} A= \frac{a \cdot b}{2} \end{align}

vilket är ett heltal om åtminstone ett av talen $a$ och $b$ är jämnt. Men detta är precis vad vi bevisat i Påstående 1. Alltså måste arean $A$ vara ett heltal. $\Box$

Anmärkning

Som kuriosa kan nämnas att påståendet att $P \Rightarrow Q$ och $\lnot Q \Rightarrow \lnot P$ är logiskt ekvivalenta bara är delvis sant. Om man accepterar så kallad Klassisk logik är påståendena logiskt ekvivalenta. Om man däremot "bara" accepterar Intuitionistisk logik följer det andra logisk av det första men inte tvärtom.

I Intuitionistisk logik accepterar man inte "lagen om uteslutande tredje". Googla gärna om du är intresserad av detta, men för nu håller vi oss till den Klassiska logiken och därmed är $P \Rightarrow Q$ och $\lnot Q \Rightarrow \lnot P$ logiskt ekvivalenta. Men en god princip är annars att inte använda indirekta bevis om det inte är nödvändigt.

Här finner man en diskussion om ämnet av Fieldsmedaljören Gowers, och bland kommentarerna finner man en annan Fieldsmedaljör, Tao.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License