matematik-4-vt13-ht13:bevisuppgifter

Ganska till mycket svåra bevisuppgifter för hängmattan

1. Bevisa att summan av de udda heltalen 1, 3, 5, $\ldots$, $2n-1$ blir $n^2$, dvs att

(1)
\begin{align} 1+3+ 5+ \ldots + (2n-1) = n^2. \end{align}

2. Bevisa att $n(n^2-1)$ är jämnt delbart med 3 för alla positiva heltal $n$.

3. Låt $a > 0$ och $b > 0$. Visa att ekvationen $\sqrt{x} = ax+b$ har exakt en (reell) lösning precis då $a=\frac{1}{4b}$.

4. Bevisa att ekvationen $x^2+ax+b=0$ inte kan ha några heltalslösningar om både $a$ och $b$ är udda heltal.

5. Bevisa att en rätvinklig triangel med heltaliga sidlängder måste han en heltalig area.

6. Låt $a$ och $b$ vara två positiva tal. Bevisa att

(2)
\begin{align} \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2. \end{align}

7. Låt $p$ vara ett polynom av grad $n$. Visa att $p(x+1)-p(x)$ är ett polynom av grad högst $n-1$.

8. Låt $p$ och $q$ vara två polynom sådana att $p(n) = q(n)$ för alla heltal $n$. Visa att $p(x) = q(x)$, dvs att $p$ och $q$ måste vara samma polynom.

9. Låt $f$ och $g$ vara två funktioner definierade för alla reella tal och sådana att $f(n) = g(n)$ för alla heltal $n$. Förklara varför detta inte medför att $f$ och $g$ är identiska funktioner.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License