matematik-4-ht18-vt19:inlämningsuppgiftkap1och2

Direktiv

Välj ut en uppgift (eller flera efterhand) och kolla valet med läraren. Lös uppgiften, eller "kom så långt som möjligt". Presentera er lösning i en inspelning, med ljud och bild. Lämna in denna i V-klass senast tors 25/10 (midnatt).

Om inte datorn har inspelningsprogram kan man t.ex. försöka med

https://screencast-o-matic.com

Vid inlämning kan man lämna in själva filen eller lämna t.ex. en länk till YouTube.

Grupprummen G366-368 är bokad på fre 19/10 och tis 23/10 för inspelning.

Bedömning

Uppgiften behandlar främst följande förmåga från ämnesplanen:

6. kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling.

Matrisen nedan, som används vid de muntliga delproven på NP, kommer att användas för bedömningen. Bedömningen ska främst ses som ett inlärningstillfälle och inte som ett examinerande tillfälle. Hänsyn tas till uppgiften vid betygssättning men enbart som en liten del ("om man ligger på gränsen"). Kraven kommer att vara högre satta här än vi muntligt NP eftersom möjligheten till förberedelse är större.

Kommunikativ förmåga E C A
Fullständighet, relevans och struktur; Hur fullständig, relevant och strukturerad elevens redovisning är. Redovisningen kan sakna något steg eller innehålla något ovidkommande. Det finns en övergripande struktur men redovisningen kan bitvis vara fragmentarisk eller rörig. Redovisningen är fullständig och endast relevanta delar ingår. Redovisningen är välstrukturerad.
Beskrivningar och förklaringar; Förekomst av och utförlighet i beskrivningar och förklaringar. Någon förklaring förekommer men tyngdpunkten i redovisningen ligger på beskrivningar. Utförligheten i de beskrivningar och de förklaringar som framförs kan vara begränsad. Redovisningen innehåller tillräckligt med utförliga beskrivningar och förklaringar.
Matematisk terminologi; Hur väl eleven använder matematiska termer, symboler och konventioner. Eleven använder matematisk terminologi med rätt betydelse vid enstaka tillfällen i redovisningen. Eleven använder matematisk terminologi med rätt betydelse och vid lämpliga tillfällen genom delar av redovisningen. Eleven använder matematisk terminologi med rätt betydelse och vid lämpliga tillfällen genom hela redovisningen.

Beroende på val av problem är blir det också fråga om procedurer, begrepp och problemlösning.

Problem

Från amerikanska matematiktävlingar

Samtliga problem ska lösas utan hjälpmedel. Om man kör fast kan man ta hjälp av "dator" (lite fusk), och se svaret. Men gör ändå en lösning som inte använder "datorn" som argument.


Vilka $y$-värden i intervallet $0 \leq y \leq \pi$ uppfyller att

(1)
\begin{align} \sin(x+y) \leq \sin(x)+\sin(y) \end{align}

för alla värden på $x$ i samma intervall?


Funktionerna $\sin x$ och $\cos x$ är periodiska med perioden $2 \pi$. Avgör om funktionen $\cos(\sin x)$ är periodisk. Om nej motivera varför, om ja bestäm perioden.


Låt $f(x) = \sin{x} + 2\cos{x} + 3\tan{x}$ där $x$ anges i radianer. Mellan vilka heltal $n$ och $n+1$ ligger den minsta positiva lösningen till ekvationen $f(x)=0$?


(Mycket svår) Vad är summan av alla positiva lösningar till ekvationen

(2)
\begin{align} 2\cos2x \left(\cos2x - \cos{\left( \frac{2014\pi^2}{x} \right) } \right) = \cos4x - 1? \end{align}

(Mycket svår) För $135^\circ < x < 180^\circ$ är punkterna $P=(\cos x, \cos^2 x), Q=(\cot x, \cot^2 x), R=(\sin x, \sin^2 x)$ and $S =(\tan x, \tan^2 x)$ hörn i ett parallelltrapets. Vad är i så fall $\sin(2x)$?

Förslag

$\textbf{(A)}\ 2-2\sqrt{2}\qquad\textbf{(B)}3\sqrt{3}-6\qquad\textbf{(C)}\ 3\sqrt{2}-5\qquad\textbf{(D)}\ -\frac{3}{4}\qquad\textbf{(E)}\ 1-\sqrt{3}$


Från finska studentskrivningar

Samtliga problem ska lösas utan hjälpmedel.


Funktionerna cosinus hyperbolicus, $\cosh x$, och sinus hyperbolicus, $\sinh x$, definieras med hjälp av formlerna

(3)
\begin{align} \; \cosh x = \frac{1}{2}(e^x+e^{-x}) \textrm{ och } \sinh x = \frac{1}{2}(e^x-e^{-x}). \end{align}

a) Visa att $(\cosh x)^2-(\sinh x)^2=1$ för alla $x$.

b) Visa att $\frac{d}{dx}(\sinh x)= \cosh x$.

c) Visa att $\sinh x$ har en invers funktion och bestäm ett uttryck med hjälp av logaritmfunktionen.

d) Vilken är definitionsmängden för den inversa funktionen i c-uppgiften?


Bestäm det största och det minsta värdet för funktionen

(4)
\begin{align} f(x)=\cos x +\frac{1}{2} \cos 2x. \end{align}

I vilka punkter uppnås det största värdet?


Från danska studentskrivningar (modifierade)

I samtliga problem är GeoGebra/räknare tillåtet. Men handräkna gärna det som är möjlligt.


En modell för längden på dagen i Anchorage i Alaska som funktion av tiden ge ges av

$f(x)=6, \! 61 \sin(0,0167t-1,303)+12,2, \; 0 \leq t \leq 365$

där $f(t)$ är längden på dagen (i enheten timmar) vid tidpunkten $t$ (i dygn efter 1:e januari).

a) Hur lång är dagen den 30 mars?

b) Vid vilken tidpunkt är dagen som längst?

c) Bestäm $f'(100)$ och förklara vad detta tal anger.


Det stora pariserhjulet ''London Eye'' har en diameter på 135 meter och att åka ett varv i en av gondolerna tar en halv timme.

a) Skriv upp en funktion $f(t)$ som beskriver gondolens höjd över marken (i meter) som funktion av tiden (i minuter efter påstigning). Gör antagandet att gondolen håller konstant hastighet och att man stiger på gondolen i marknivå.

b) Skissa grafen till funktionen och bestäm hur högt upp gondolen är efter 7 minuter.

c) Bestäm den tidpunkt då gondolen för första gången befinner sig 40 meter över marken.


Från svenska studentskrivningar på 40-talet (i original)

På 40-talet var det knappt med hjälpmedel, det som användes var tabeller för de trigonometriska funktions värde, vilket ungefär motsvarar att använda räknedosan utan grafritarfunktionen. Så försök först utan dator/GeoGebra/grafritning, ta till dessa om det hänger upp sig, men försök ändå ge en lösning som inte baseras på avancerade hjälpmedel.


[Januari 1942, problem 7] Bevisa formeln

(5)
\begin{align} \sin \alpha + \sin 2 \alpha + \ldots + \sin n \alpha = \frac{\sin \frac{(n+1)\alpha}{2} \cdot \sin \frac{n \alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}}. \end{align}

[Augusti 1942, problem 4] Lös ekvationen

(6)
\begin{align} \sin^4 x + \cos^4 x = \sin 4x +\cos 4x. \end{align}

[Höstterminen 1942, problem 2] Lös ekvationen $\sin x + \cos x = 2 \cos 2x$.


[Januari 1943, problem 2] Lös ekvationen

(7)
\begin{align} \; (\cos x + \cos 2x + \cos 3x)^2 + (\sin x + \sin 2x + \sin 3x)^2 =1. \end{align}

[Vårterminen 1943, problem 5] Lös ekvationen $\sqrt{2+2 \cos x} = \tan x$.


[Augusti 1943, problem 7] Bevisa riktigheten av formeln

(8)
\begin{align} \frac{1}{\cos v} + \frac{\sin^2 v}{\cos 2v \cos v} + \frac{\sin^2 v}{\cos 3v \cos 2v} + \ldots + \frac{\sin^2v}{\cos(n+1)v \cos nv} = \frac{\cos nv}{\cos (n+1)v}. \end{align}

[Höstterminen 1943, problem 7] Visa, att man kan bestämma sådana värden på konstanterna $a$, $b$ och $c$, så att likheten

(9)
\begin{align} \; (1+ \cos x)(1+ \sin x)=(a+b \cos x + c \sin x)^2 \end{align}

gäller för alla värden på $x$.


[Januari 1945, problem 5] Lös utan att använda tabell ekvationssystemet

(10)
\begin{cases} x \cos 56^{\circ}+ y \cos 26 ^{\circ} = \cos 116^{\circ}\\ x \sin 56^{\circ}+ y \sin 26 ^{\circ} = \sin 116^{\circ} \end{cases}

och angiv de exakta värdena för $x$ och $y$ i enklaste form.

Anm: Tabell är ju numera ersatt med räknare och datorer. Så instruktionen kan moderniseras till att lösa utan dylika hjälpmedel.


[Vårterminen 1944, problem 7] Härled för $\cos 3v$ en formel, vari endast $\cos v$ ingår. Använd därefter denna formel för att lösa ekvationen $x^3-3x+1=0$, sedan $x$ i denna utbytts mot $2y$. Ekvationens rötter skola angivas var för sig i så väl exakt som approximativ form.


[Höstterminen 1944, problem 7] Ekvationen $\cot^2 x + 4\cot x -3=0$ satisfieras av två grupper av vinklar; $x_1$ tillhör den ena gruppen, $x_2$ den andra. Bevisa, att för dessa vinklar exakt gäller likheten

(11)
\begin{align} x_1+x_2=45^{\circ}+ n \cdot 180^{\circ} \end{align}

där $n$ är ett helt tal, positivt eller negativt.


[Januari 1945, problem 7] Till ekvationen $8 \cos 2x + \sin 2x =7$ äro $x_1$ och $x_2$ två olika rötter, vilkas skillnad icke är en heltalmultipel av $180^{\circ}$. Bestäm i exakt form det eller de värden, som $\cos(x_1+ x_2)$ kan antaga.


Större problem

Alla hjälpmedel är tillåtna. Man kan lösa uppgifterna helt eller delvis.

Varianter på "kurvan" $y=a \sin x + b \cos x$

(trigonometriska funktioner, deras grafer, additionsformler)

I kursboken berättas att kurvan ovan kan skrivas på formen $y=A \sin(x+v)$, och en metod för att bestämma $A$ och $v$ från $a$ och $b$ redovisas också. Låt oss nu betrakta varianter av kurvan i rubriken.

a) Kan $y=a \sin x + b \cos (x+c)$, där a, b och c är konstanter, skrivas på formen $y=A \sin(x+v)$? Bestäm för vilka värden det är möjligt och sambanden mellan konstanterna i dessa fall.

b) Kan $y=a \sin x + b \cos (cx)$, där a, b, och c är konstanter, skrivas på formen $y=A \sin(x+v)$? Bestäm för vilka värden det är möjligt och sambanden mellan konstanterna i dessa fall.

Trigonometriska ekvationer

(trigonometri, ekvationslösning)

a) Konstruera en trigonometrisk ekvation på formen $y=A\sin(k(x-v))=0$ som har exakt sex lösningar i intervallet $0 \leq x \leq 2\pi$.

b) Undersök, t.ex. med GeoGebra, om ekvationenerna $\cos (\sin x)=\sin (\cos x)$, $\cos x)=\sin (\cos x)$ och $\cos x = \cos (\sin x)$ (där vi arbetar i radianer) har någon lösning. Om ja, ange lösningarna. Ge sedan, baserat på dina undersökningar, ett "algebraiskt" svar (dvs. ett svar som inte bygger på grafik) på frågan om lösningar till ekvationen $\cos (\sin x)=\sin (\cos x)$.

Sinuskurvor utseende

(trigonometri, trigonometriska funktionernas utseende)

En allmän sinuskurva kan skrivas på formen

(12)
\begin{align} y=A \sin b(x+c)+d. \end{align}

där vi (i denna uppgift) arbetar i radianer.

a) Ge exempel på en sinuskurva som har största värde 8 och minsta värde 2.

b) Ge exempel på en sinuskurva som har största värde 8, minsta värde 2 och som går genom punkten $(\frac{\pi}{6}, 5)$.

c) Ge exempel på en sinuskurva som, utöver villkoren i b), också uppfyller att ekvationen $f'(x)=0$ har exakt tre lösningar i intervallet $0 \leq x \leq 2\pi$

d) Ange det minsta positiva värde på b som ger en kurva som uppfyller villkoren i c).

e) Finns det ett största värde på b som ger en kurva som uppfyller villkoren i c)?

Cykloiden

(…, mekanik)

Googla på cykloid och beskriv i ord hur denna kurva konstrueras. Härled sedan en parameterframställning för kurvan genom att "lägga in" kurvan lämpligt i ett koordinatsystem. Undersök sedan om det är möjligt att hitta ett uttryck på formen $y=f(x)$ för cykloidkurvan. Om det inte är möjlig i sin helhet så kanske det i alla fall går delvis?

Ta reda på i vilka andra mekaniska sammanhang som cykloidkurvan är intressant.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License