matematik-4-ht16-vt17-snabb:detaljplan

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 4.1 4.2 4.3 4.4

1.1 Trigonometri och trianglar

Enhetscirklen och trianglar (sid 8-10)

Detta är en repetition/upprepning av det ni gjort i Ma3c, möjligen behöver ni "säkra upp" hur $\tan$ fungerar. Några uppgifter är t.o.m. identiska med de i Ma3c-boken. Förslagsvis ögnar ni igenom texten och löser enstaka uppgifter enligt nedan.

Lös efter behov. Detta är repetition av Ma3c, så behovet kan mycket väl vara inga alls.

1.2 Trigonometriska formler

Enhetscirkel och formler (sid 12-14)

Detta har vi delvis gjort i Ma3c, fast där nöjde vi oss med vinklar i intervallet $0^{\circ} \leq v \leq 180^{\circ}$, medan man här "snurrar" utan begränsning, både positivt (moturs) och negativt (medurs). Förstår man definitionen av sin, cos och tan i enhetscirkeln så är det egentligen inte så svårt.

Här kan man snurra i en enhetscirkel.

Lös uppgifter efter behov, rimligen inte alla.

Trigonometriska identiteter (sid 15-18)

Som ni har upptäckt, och kommer att upptäcka, finns det en mängd samband mellan olika trigonometriska uttryck. Man reder ut ett antal sådana samband utifrån enhetscirkeln (se till så att ni kan detta), och sedan kan alla andra härledas genom algebraiska manipulationer.

En central "formel" är den så kallade trigonometriska ettan som säger att

(1)
\begin{align} \sin^2 v + \cos ^2 v =1 \end{align}

för alla vinklar v. Beviset följer av definitionen av sin och cos i enhetscirkeln och Pythagoras sats. Observera att man av lathetsskäl har infört notationskonventionen

(2)
\begin{align} \sin^2v = (\sin v)^2, \cos ^2 v = (\cos v)^2. \end{align}

Detta sistnämnda är alltså inget man kan bevisa utan som man bestämt!

En typisk uppgift kan sedan vara att t.ex. visa att

(3)
\begin{align} \frac{1}{\cos^2v}-\tan^2 v = 1 \end{align}

Det är oftast enklast att börja med den "sunkigaste" sidan och försöka skriva om det till den mindre "sunkiga". I exemplet ovan startar man i så fall med vänsterledet och försöker skriva om det (utan att bryta mot några regler) till talet 1.

I vissa svårare problem kan det vara så att båda sidorna är "sunkiga". En möjlig strategi kan i så fall vara att flytta över allt på en sida, få ett "supersunkigt" uttryck som man sedan ska visa är noll som å andra sidan är det "osunkigaste" man kan tänka sig.

En annan typ av uppgift på dessa sidor är att växla mellan sin och cos utan att bestämma vinklar på vägen. T.ex. kan man fråga sig vilka värden $\cos v$ kan anta om man vet att $\sin v = 0.5$. Man skissar en enhetscirkel och ser att två värden kan komma ifråga (om det i uppgiften står ett villkor på vinkeln kan ibland enbart ett värde komma ifråga). Dessa kan sedan bestämmas med trigonometriska ettan.

Lös 1216, 1221c, 1223, 1224b, 1228, 1231, 1235 och 1236.

Addition- och subtraktionsformler för sinus och cosinus (sid 19-22).

Till sin samling av trigonometriska identiteter bör man lägga de så kallade additionsformlerna. Man kan t.ex. ha nytta av dessa när man överlagrar sinus- och cosinuskurvor i fysiken, och i samband med lösning av vissa ekvationer. Det är lätt att glömma formlernas exakta utseende så man kollar upp dem i t.ex. formelblad vid behov. Det viktiga är att veta när och hur de kan användas och eventuellt känna till hur man plockar fram dem/bevisar dem. Någon kan ju faktiskt ha snott ens formelblad!

Den "jobbiga" formeln att ta fram, om man gör som boken, är

(4)
\begin{align} \cos(u-v)= \cos u \cos v+\sin u \sin v. \end{align}

Denna bevisar man genom att uttrycka ett avstånd mellan två punkter på två sätt, dels "direkt" med Pythagoras sats, dels med cosinussatsen. Sen flyttar man om lite …. När man är klar med ovanstående följer övriga ganska lätt, man byter v mot -v och man använder t.ex. att $\cos v = \sin(90-v)$. Som vanligt går det bra att använda formlerna utan att känna till beviset. I själva verkat ska alla kunna använda dem medan beviset ligger på A/B-nivå, i alla fall beviset av den ursprungliga additionsformeln.

De som är intresserade av bevisen "i lugn och ro" kan kolla in Anders Karlssons YouTubeklipp, bokens bevis finns här (sök på "matteskolan additionsformler" för övriga). Han bevisar alla fyra varianterna och gör ett bra jobb som vanligt.

Lös 1241, 1243 och samtliga b- och c-uppgifter.

Formler för dubbla vinkeln (sid 24-25)

Detta är inget nytt utan en följd av de framplockade additionsformlerna. I likheten

(5)
\begin{align} \sin(u+v)=\sin u \cos v + \sin v \cos u, \end{align}

som gäller för alla u och v, är det ju möjligt att sätta $u=v$. Då fås

(6)
\begin{align} \sin 2u = \sin(u+u)= \sin u \cos u + \sin u \cos u= 2 \sin u \cos u. \end{align}

Detta är formeln för dubbla vinkeln för sinus. På motsvarande sätt plockar man fram en formel för cosinus av dubbla vinkeln.

Lös samtliga b- och c-uppgifter. Blir det för tufft byt in några a-uppgifter.

1.3 Bevis och bevismetoder

Någon har hittat på att detta ska ingå i denna och kurs. Det är lite malplacerat men i princip intressant. Avsnittet hade passat var som helst i boken, så man behöver inte oro sig för framtiden i boken om man tar lätt på detta. För de högre betygen ska man dock som vanligt ha full koll.

Boken presenterar två bevistyper, direkta och indirekta. Direkta är rättframma i det att man utgår från det man vet och bevisar det man önskar. I ett indirekt bevis antar man istället att motsatsen till det man vill bevisa är sant leder detta till en motsägelse.

Här är en inlämningsuppgift och lite text om bevis från svunna tider

http://matematik.wikidot.com/matematik-4-vt15-ht15:bevisuppgifter

Lös b- och c-uppgifter på sid 28 samt 1316, 1318, 1320 och b- och c-uppgifterna på sid 31.

1.4 Trigonometriska ekvationer

Grundekvationer (sid 33-37)

Det finns, av naturliga skäl, tre grundläggande varianter,

(7)
\begin{align} \sin x= \textrm{konstant}, \, \cos x= \textrm{konstant}, \, \tan x= \textrm{konstant}. \end{align}

Av för mig okända skäl behandlas tangens först senare. Därmed sätter vi tangensvarianten inom parentes ett tag, och kikar på de andra.

Som vanligt vid ekvationslösning gäller det att få x:et fritt. Det väsentliga är att komma ihåg att man kan få oändligt många lösningar, i princip två för varje varv och sedan kan man ju "snurra". Man kan inte anta att t.ex. x är en vinkel i en triangel, utan ALLA möjliga x-värden måste presenteras. Man observerar också att vissa ekvationer saknar lösning, ett "krav" på $\sin$ och $\cos$ är ju att man får värden mellan -1 och 1.

Som vanligt är det helt avgörande att man förstår hur det fungerar i enhetscirkeln. Då blir ekvationslösningen logisk och ganska enkel, och man förstår varför det blir lite olika hantering beroende på vilken trigonometrisk funktion som är inblandad.

Följande GeoGebrakonstruktion illustrerar eventuellt hur det funkar (tycks bero på JAVA-version huruvida den går att "starta")

http://www.georgiostheodoridis.se/archives/MDEnhetsCirkelSinCosTan200V2.html

Om ni vill se på bra YouTubegenomgångar kan ni leta i Anders Karlssons spellista Matteskolan.

1405, 1406b, 1407b, 1409, 1412, 1414cd, 1416, 1417 och 1419, 1420 (tänker man göra och klara 1419 och 1420 kan man hoppa över de många a-uppgifterna).

Ekvationer som omformas med formler (sid 38-39)

Egentligen inget nytt här, men ändå inte helt lätt. Man måste dels ha koll på sina trigonometriska omskrivningar, dels på ekvationslösning. Det är omöjligt att formulera en taktik som fungerar alltid men här kommer några tips:

1425 Om en ekvation byggs upp av en produkt är lika med noll så måste en faktor vara noll. Multiplicera inte ihop!

1428a Så fort man ser en "dubbel" vinkel är man beredd med sina additionsformler/formler för dubbla vinkeln.

1428b Detta är en andragradsekvation i "enheten" $\sin x$. Alltså sätter vi $t=\sin x$, löser en andragradsekvation i t och bestämmer sedan x utifrån eventuella t-värden.

1429 Fixa till så att "enheten" blir $\sin x$. Observera att det är sämre att "byta in" $\cos x$ (varför?).

1430 Kan man få en faktor $\sin 2x$ i vänsterledet? Om man lyckas med detta, flytta över allt till en sida! Kom ihåg att det är obra att dividera med uttryck som innehåller x. De kan ju vara noll! Säkrare att bryta ut.

Lös 1425c, 1426a, 1428, 1429, 1430, 1434 och 1435.

1.5 Tillämpningar och problemlösning (40-41)

Ingen ny matematik, men lite mer eller mindre verkliga situationer som leder till trigonometriska överväganden. c-uppgifterna 1511 och 1512 är inte så lätta, men en trevlig utmaning om man undviker att kika i facit!

Lös 1506, 1507, 1509, 1510, 1511 och 1512.

2.1 Trigonometriska kurvor

Sinus- och cosinuskurvor, förskjuta kurvor vertikalt och horisontellt, ekvationen för en sinusformad kurva (sid 52-61)

De trigonometriska funktionerna är användbara i andra sammanhang än de rent geometriska. Om man låter en vikt hänga i en svängande fjäder och ritar grafen med viktens avvikelsen från jämvikt på y-axeln och tiden på x-axeln kommer man att få en sinuskurva (om man bortser från t.ex. luftmotstånd, i annat fall dämpas svängningen). Ett annat exempel är ljudvågor som också beter sig som en sinuskurva.

För att konstruera en "originalkurva" $y = \sin x$ eller $y = \cos x$ snurrar man runt i enhetscirkel, sätter av vinklar på x-axeln och motsvarande sinusvärden (eller cosinusvärden) i y-led. Prova själv i denna GeoGebrakonstruktion

http://www.geogebra.org/m/8028
http://www.geogebra.org/material/simple/id/8029

Genom att "lägga på" diverse konstanter

(8)
\begin{align} y=a \sin (b(x-v))+ c \end{align}

kan man sedan flytta, sträcka ut och trycka ihop "originalkurvan" på olika sätt. Försök också förstå varför det blir som det blir. Gör en egen GeoGebrakonstruktion med kurvan ovan och med parametrarna a, b, c och d som glidare. Lek lite med detta och konstatera att

a anger kurvans maximala avvikelse från "jämnvikt" eller mer precist halva avståndet mellan funktionens största och minsta värde. Detta kallas kurvans amplitud.

b anger hastighetsfaktor i förhållande till originalkurvan. Om t.ex. b är 2 "går allt dubbelt så fort" eller bättre så halveras perioden (och blir 180 grader). Om b är 0.5 dubblas perioden (och blir 720 grader). Allmänt gäller att perioden är 360/b.

v anger kurvans förskjutning åt höger (fasförskjutning).

c anger hur mycket kurvan är flyttad i y-led.

Lös på sida 55; a-uppgifter vid behov, 2110, 2111, 2113, 2115
på sida 56; inga under förutsättning att man gör en del av övriga på räknaren eller hellre med GeoGebra
på sida 59; a-uppgifter vid behov, 2131a, 2132, 2135, 2137, 2138, 2139, 2140.
på sida 61; a-uppgifter vid behov, 2146, 2147, 2149, 2151.

Kurvan y=tan x (sid 62-64)

Hitintills har vi främst studerat sinus och cosinus. Nu är det dags för den sista trigonometriska funktionen, tangens.

Man ska kunna lösa ekvationer av typen $\tan x = k$ (med varianter). Man noterar att $\tan x$ anger lutningen vid vridningsvinkel x, så man får till grundekvationen två lösningar per varv. Dessa lösningar ligger mitt emot varandra i enhetscirkeln. Samtliga lösningar fås genom att man hittar en lösning (t.ex. med hjälp av räknedosa) och lägger på halvvarv, $n \cdot 180^{\circ}$.

Man ska också skaffa sig lite känsla för grafen till funktionen $y=\tan x$. Kika gärna här

http://www.geogebra.org/m/8030

Observera att grafen (kurvan) har en period på $180^{\circ}$ och att $\tan x$ inte är definierat för $x = 90^{\circ} + n \cdot 180^{\circ}$. Detta beror i sin tur på att $\cos x = 0$ för dessa x-värden.

Precis som med sin/cos kan man lägga på konstanter och ändra på tangensgrafen. Det fungerar i princip på samma sätt, men tänk gärna igenom.

Lös a-uppgifter vid behov, 2166a, 2168, 2171 och samtliga c-uppgifter.

Kurvan y=a sin x + b cos x (65-67)

Kanske lite överraskande visar det sig att om man överlagrar (addererar) en sinusfunktion och en consinusfunktion med samma period så får man en förskjuten sinuskurva (med nya amplitud) dvs givet a och b finns det tal A och v sådana att

(9)
\begin{align} a \sin x + b \cos x = A \sin(x+v) \end{align}

Frågan blir då vilket samband som finns mellan bokstäverna. Som boken visar (sid 65-66) gäller att

(10)
\begin{align} A = a^2+b^2 \textrm{ och } \tan v = \frac{b}{a} \textrm{ med kvadrantkontroll} \end{align}

Lös 2177c, 2178c, 2181 och eventuellt 2182, 2184, 2187, 2189.

2.2 Radianbegreppet

Ett nytt vinkelmått (sid 68-71)

Vad som menas med ett varv är knappast oklart eller något som kan missuppfattats. Men varför ska man, vid vinkelmätning, dela upp varvet i 360 grundenheter (så kallade grader)? Det finns inget matematiskt skäl till detta. I själva verket är det ganska ologiskt för oss. Att det ändå blivit så kan vi skylla på babylonierna och möjligen på det faktum att det går drygt 360 dygn på ett år.

Ett av matematiska skäl bättre vinkelmått är radianer (t.ex. blir vissa deriveringsregler enklare). Man utgår från en enhetscirkel och säger helt enkelt att en vinkel är lika många radianer som motvarande cirkelbåge är lång. Eftersom enhetscirkelns omkrets är $2 \pi$ så kommer alltså ett varv att utgöras av $2 \pi$ radianer.

Att växla mellan grader och radianer är en "bit kaka", eftersom

(11)
\begin{align} 1 \textrm{ grad} = \frac{2 \pi}{360} \textrm{ rad} = \frac{\pi}{180} \textrm{ rad} \end{align}

och

(12)
\begin{align} 1 \textrm{ rad} = \frac{180}{\pi} \textrm{ grader} \end{align}

Notera att man ofta utelämnar enheten radianer. Man talar om och skriver vinklar som t.ex. $\frac{\pi}{2}$ (vinkeln är alltså 90 grader).

Lös a-uppgifter vid behov samt 2214, 2215, 2217, 2220, 2221.

Cirkelsektorn och radianer (sid 72-73)

Formlerna här är så pass lätta att härleda att man kan göra detta varje gång och inte behöver lära sig något utantill.

Lös 2224, 2226, 2227, 2228, 2231, 2232, 2233.

2.3 De trigonometriska funktionernas derivator

Derivatan av $\sin x$ och $\cos x$ (sid 74-76)

I detta avsnitt, och alltid när trigonometriska funktioner ska deriveras, förutsätts att vinkelenheter är radianer!

I detta avsnitt ska man övertyga sig om att

(13)
\begin{align} D(\sin x) = \cos x \textrm{ och } D(\cos x) = -\sin x. \end{align}

och sedan "räkneträna" på dessa nya derivator ihop med gamla.

Här ser ni hur k-värdet till olika tangenter till sin(x) tycks "hamna på" cos(x). Så är också fallet men observera att denna illustration inte bevisar något, och inte heller lär man sig särskilt mycket.

För att ta fram derivatan av $\sin$ har man inget annat val än att utgår från derivatans definition och försöka bestämma detta gränsvärde. På vägen i räkningarna i boken nyttjar man additionsformlerna (se bok för dessa steg). Slutligen återstår ett par problematiska gränsvärden som måste bestämmas, nämligen

(14)
\begin{align} \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \textrm{ och } \lim_{h \to 0} \frac{\cos h -1}{h} \end{align}

I boken troliggörs dessa värden numeriskt och på någon lektion kommer det att troliggöras geometriskt i enhetscirkeln.

Man kan också argumentera för derivatan med likformiga trianglar, se här.

Dessa argument är så nära ett riktigt bevis vi kan komma eftersom vi definerat sinus utifrån enhetscirkeln. Vill man ha vattentätare bevis får man definera sinus "algebraiskare".

Noterar slutligen att derivatan av $\cos$ får man ganska enkelt (om man känner till kedjeregeln på sid 78-79, vilket ni snart gör) genom omskrivningar så svårigheten är att derivera $\sin$.

Lös a-uppgifter efter behov, men strunta i 2305 och 2309, samt lös 2312, 2314, 2316, 2319, 2320.

Derivatan av sammansatta funktioner (78-79)

En sammansatt funktion har formen

(15)
\begin{equation} f(g(x)), \end{equation}

vilket i princip utläses som att man först "gör" funktionen g (den inre funktionen) på x:et och sedan funktionen f (den yttre funktionen) på g(x). Det blir kanske enklare med ett exempel. Betrakta funktionen $(x^2+1)^{10}$ där $g(x)=x^2+1$ är den inre funktionen och $f(u)=u^{10}$ är den yttre funktionen. Sätter vi in g(x) som u fås alltså den sammansatta funktionen

(16)
\begin{equation} f(g(x))=(x^2+1)^{10} \end{equation}

Sådana sammansättningar deriveras som följer:

(17)
\begin{align} (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \end{align}

Lite löst kan man tolka det som yttre derivatan gånger den inre derivatan. I exemplet får vi

(18)
\begin{align} D((x^2+1)^{10})=10(x^2+1)^{9} \cdot 2x. \end{align}

Om man nu känner för att derivera $\cos x$ gör man omskrivningen $\cos x = \sin (\frac{\pi}{2}-x)$ och vips så överförs derivatan av $\cos$ till derivatan av $\sin$ och $\frac{\pi}{2}-x$ (minns att vinklar anges i radianer i deriveringssammanhang). Den som vill kan själv fylla i detaljerna.

Lös a-uppgifter efter behov och sedan 2329, 2330, 2332, 2333 och 2336.

2.4 Tillämpningar och problemlösning

Ingen ny matematik, istället "textuppgifter" med stoff från främst 2.3. Ni kan kika på ett fåtal medan resten kan användas efter behov framöver som repetition.

Lös c-uppgifterna. Går det dåligt eller känns oklart, byt in några enklare uppgifter.

3.1 Derivator och deriveringsregler

Kort om derivator (sid 100-102)

Här gäller det att friska upp sina eventuella slumrande derivatakunskaper.

Lös uppgifter efter behov. När ni är klara ska ni vara på samma nivå som när ni var som bäst i Ma3c.

Derivatan av en produkt (sid 104-106)

Minns att summor och differenser får deriveras termvis, dvs

(19)
\begin{align} D(f+g)=D(f)+D(g),\, D(f-g)=D(f)-D(g) \end{align}

Leibniz, som inte var vem som helst precis, trodde i något ögonblick att produkter kunde deriveras faktorvis. Testa att "derivera" $f(x)=x^2=x \cdot x$ på detta sätt, och se att det inte blir $2x$. Efter lite eftertanke och kanske resonemang som utgick från derivatans definition insåg Leibniz att följande fungerar;

(20)
\begin{align} D(f \cdot g) = D(f) \cdot g + f \cdot D(g). \end{align}

Ni kan vänta med att tänka igenom "bevisen" (metod 1 och 2 på sida 104-105) och först lösa ett antal uppgifter där ni använder regeln. Men beviset bör sedan åtminstone ögnas igenom.

Lös 3119, 3120, 3123, 3126, 3127, 3128, 3130, 3131, 3132, 3133.

Derivatan av en kvot (sid 108-109)

Observera att jag använder den praktiska beteckningen $D$ för derivata, dvs $D(f)=f'$. Eftersom det finns en "regel" för att derivera produkter är det inte otänkbart att det finns en "regel" också för kvoter. Här kommer den:

(21)
\begin{align} D \left( \frac{f}{g} \right) = \frac{D(f)\cdot g - f \cdot D(g)}{g^2}. \end{align}

Bokens bevis bygger på produktregel och kedjeregel. Ni måste kunna använda regeln även om ni inte har koll på beviset. Så träna!

Lös 3136, 3137, 3138, 3142, 3144, 3145.

Exponential- och logaritmfunktioner (110-112)

Här illustreras en trevlig ide. Nämligen att om man känner till derivatan av en funktion så kan man bestämma derivatan till den inversa funktionen ("motsatsfunktionen"). Exempel på inversa funktioner är $f(x) = x^2$ och $g(x)=\sqrt{x}$. Den ena funktionen ogör den andra, dvs $(\sqrt{x})^2 = x$ och $\sqrt{x^2} = x$, i alla fall om $x \geq 0$.

Nu råkar vi kunna derivera båda ovanstående funktioner så ett intressantare exempel är $f(x)=e^x$ och $g(x)=\ln x$ som är varandras inverser. Som boken visar i exempel 2 får man att

(22)
\begin{align} D(\ln x) = \dfrac{1}{x} \end{align}

med hjälp av kedjeregeln och derivatan av $e^x$. Denna derivata programmerar man sedan in i skallen och tränar användning på.

Lös 3149, 3151, 3152cd, 3153a, 3155, 3158bd, 3161, 3164, 3165, 3166.

Samband mellan förändringshastigheter (sid 113-115)

Detta är i princip användning av kedjeregeln, fast man måste hantera "okända" funktioner i sin derivering. Momentet återkommer i Matematik 5 och vi gör ett urval av uppgifter nu.

Ett exempel (lite krystat och där notationen inte är exakt som boken): Arean av en kvadrat ökar med 5 $cm^2/s$. Hur fort ökar sidlängden i det ögonblick ($t = t_0$) då sidan är 10 cm? Vi vet (såklart) att

(23)
\begin{equation} A(t)=s(t)^2 \end{equation}

Eftersom det efterfrågas hastighet deriverar vi ovanstående med avseende på t och får

(24)
\begin{align} A'(t)=2\cdot s(t) \cdot s'(t) \end{align}

Observera användningen av kedjeregeln då högerledet deriveras. Insättning av kända värden ger nu

(25)
\begin{align} 5=2 \cdot 10 \cdot s'(t_0) \end{align}

ur vilket $s'(t_0)$ enkelt kan bestämmas.

Principen är alltså att man tecknar ett samband för storheter (som var och en t.ex. beror på tiden). Detta samband deriveras sedan och man erhåller ett samband mellan motsvarande derivator/förändringshastigheter.

Observera att boken använder ett alternativt skrivsätt för derivator, nämligen

(26)
\begin{align} A'(t)=\frac{dA}{dt}, \, s'(t)=\frac{ds}{dt}, A'(s)=\frac{dA}{ds} \end{align}

I exemplet ovan kan kedjeregeln alltså formuleras

(27)
\begin{align} \frac{dA}{dt} = \frac{dA}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} \end{align}

Lös 3169, 3170, 3173, 3176, 3178.

3.2 Grafer

Grafer och derivator (sid 116-119)

Detta har ni i princip redan gjort i Ma3c. Det handlar om att använda derivatan för att studera funktionsgrafer och bestämma största/minsta värde. Det enda nya är att ni nu kan derivera fler funktioner. Kom ihåg att man behöver avgöra om ett visst värde är max eller min, t.ex. genom att studera andraderivatans tecken eller genom att göra en teckenstudie. Det räcker inte att påstå att derivatan är noll.

Lös 3204, 3205, 3207, 3208, 3209, 3213, 3214, 3215. Den sista är svår. I facit finns halvlösning. Kika där om det krisar.

Olika typer av grafer (sid 120-123)

Definitionsmängd och värdemängd bör vara bekant, kontinuerlig betyder (lite slarvigt) att funktionsgrafen hänger ihop (där den är definierad, något som boken slarvar med) och deriverbar (återigen lite slarvigt) att grafen inte har några hörn.

Bokens Exempel 1, och flera av uppgifterna, är tveksamma/fel. För de funktioner i Exempel 1 som inte är definierade för $x=0$ är det ingen mening att prata om kontinuitet och deriverbarhet där. I exempel 2 (absolutbeloppet) är det korrekt eftersom funktionen är definierad för $x=0$.

Lös 3220, 3225, 3226, 3227, 3230, 3231.

Kurvor och asymptoter (sid 125-127)

Asymptoter är användbara när man ska skissa utseendet hos en graf, eller mer allmänt vill studera beteendet hos en funktion. Man försöker då approximera funktionen med räta linjer "långt bort från origo". Ett enkelt exempel är grafen till $y=1/x$ som har två asymptoter, nämligen x-axeln som grafen närmar sig då $|x|$ stort och y-axeln som grafen närmar sig då $|x|$ litet.

Man "letar" efter asymptoter i punkter där funktionen inte är definierade och "långt bort" längs x-axeln.

Lös 3234, 3235 (med räknare eller GeoGebra), 3239, 3241, 3242, 3243, 3244, 3245.

3.3 Differentialekvationer

Begreppet differentialekvation (sid 128-129)

Med en ekvation menas ett algebraisk samband mellan tal, där det ingår ett okänt tal, som ofta ska bestämmas, t.ex.

(28)
\begin{equation} 2x+3=0 \end{equation}

En differentialekvation är ett algebraiskt samband mellan funktioner, där det ingår en okänd funktion och dess derivator, t.ex.

(29)
\begin{equation} 2y-y'=0 \end{equation}

Att lösa differentialekvationen betyder att bestämma funktionen y. I fallet ovan ser man kanske att t.ex. $y=e^{2x}$ fungerar (men det finns fler).

Skälet till att diffentialekvationer är intressanta också för en icke-matematiker är att många naturvetenskapliga modeller blir just differentialekvationer. Ett intressant exempel vars modellering och lösning ligger långt utanför gymnasiekursen är brachistochrone-kurvan. Som vanligt har Newton ett finger med i spelet!

I Matematik 5 blir det lite mer om differentialekvationer.

Lös b-uppgifterna och c-uppgifterna.

Differentialekvationer och matematiska modeller (130-131)

Här finns ett antal tillämpade problemställningar. Det är ingen ny matte så det räcker att göra några, fast ordentligt.

Lös c-uppgifterna. Går detta dåligt, byt emot några a/b-uppgifter.

3.4 Integraler

Integraler och primitiva funktioner (sid 134-137)

I en viss mening är nästan hela avsnitt 3.4 en repetition av det som gjorts om integraler och primitiva funktioner i Matematik 3c. Det som bör kännas igen är att primitiv funktion är "baklängesderivata", att man kan använda primitiva funktioner för att räkna ut integraler och att integraler kan tolkas som area. Det mesta som är nytt är att det finns en hel räcka med nya typer av funktioner att utgå ifrån.

Notera att integral definieras (nästan) som en oändlig summa av areor av oändligt många oändligt smala rektanglar. Ganska komplicerat med andra ord. Det fina i kråksången är att analysens huvudsats säger att man ganska enkelt kan beräkna integraler med insättning av värden i primitiv funktion. Men skilj alltså på vad som är definition och vad som är en sats.

Lös b- och c-uppgifterna.

Grafiska metoder (sid 138-141)

Ibland är det svårt/omöjligt attt bestämma primitiva funktioner. Då kan man utifrån definitionen beräkna närmevärden till integraler med t.ex. rektangelmetod, trapetsmetod eller över- och undersumma. Har man förstått definitionen så bör detta var ganska lätt att inse. Sedan är det en annan sak att räkningarna är tråkiga att utföra för hand.

Här https://www.geogebra.org/m/v75ByEJ6 finns en GeoGebrakonstruktion som illustrerar de olika varianterna och också sköter räkningarna.

Lös 3420, 3421, 3422, 3426, 3427, 3428.

Areor mellan kurvor (sid 142-145)

Om grafen till funktionen $y=f(x)$ ligger över x-axeln i intervallet $a \leq x \leq b$ kan integralen

(30)
\begin{align} \int_{a}^{b} f(x) dx \end{align}

tolkas som arean mellan grafen och x-axeln. Ett alternativt sätt att tolka integralen är genom omskrivningen

(31)
\begin{align} \int_{a}^{b} (f(x)-0) dx \end{align}

och tolkningen som area mellan den övre grafen $y=f(x)$ och den undre $y=0$.

Mer allmänt kan

(32)
\begin{align} \int_{a}^{b} (f(x)-g(x)) dx \end{align}

tolkas som arean mellan den "övre" funktionen $y=f(x)$ och den "undre" $y=g(x)$. Tekniken för att beräkna dessa integraler är som tidigare, fast man förenklar gärna integranden $f(x)-g(x)$ första innan man t.ex. bestämmer primitiv.

Lös samtliga b- och c-uppgifterna.

Integraler och areor (sid 146-149)

Om funktionsgrafen ligger över x-axeln i ett intervall $a \leq x \leq b$ kan integralen

(33)
\begin{align} \int_{a}^{b} f(x) dx \end{align}

tolkas som arean av området mellan grafen och x-axeln.

Om däremot grafen ligger under x-axeln anger integralen "arean med minustecken". Det beror på att samtliga värden $f(x)\Delta x$ i Riemannsumman blir negativa ($f(x)$ är ju negativt).

Önskar man beräkna arean av ett område som ligger både över och under x-axeln får man alltså dela upp integralen i lämpliga delar och hålla koll på tecken. En självklar kontroll man gör är att man inte får ett negativt värde som area, det är ju orimligt.

Lös högst b- och c-uppgifterna.

Integraler och storheter (sid 150-153)

Här handlar det om "integralproblem med enheter/storheter". Som bekant gäller t.ex. att $s=v \cdot t$. Om $v$ råkar vara konstant kan man illustrera sträckan som arean av en rektangel i ett hastighet/tid-diagram. Samma formel gäller såklart också om $v=v(t)$ råkar variera med tiden. Sträckan tolkas fortfarande som arean under hastighetsgrafen, men denna area ges inte av en rektangelarea utan måste beräknas med en integral.

Lös 3465, 3468, 3470, 3472, 3474, 3475 och 3477 (svår).

Sannolikhetsfördelning (sid 154-158)

Normalfördelningen beskriver, löst, hur ett statistiskt material (eller utfall i ett försök) fördelas runt medelvärdet. Normalfördelningsfunktionen ges av

(34)
\begin{align} f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma ^2}} \end{align}

Se boken för utförligare beskrivning av ingredienserna. Det är jobbigt att knappa in funktionen i räknaren varje gång. Gör istället detta en gång för alla och se till så den ligger på plats till NP. Eller ännu hellre använder man räknarens färdiga "normalfördelningsfunktion" som man finner via DISTR ("andrafunktion" på knappen VARS) - 2:normalcdf( som har syntaxen

normalcdf (undre gräns, övre gräns, medelvärde, standardavvikelse).

Fast allra helst använder man nog GeoGebra.

Malin Christersson har en trevlig sida här:

http://www.malinc.se/math/statistics/normal_distrsv.php

Och här finns en interaktiv normalfördelningskurva i GeoGebra:

https://www.geogebra.org/m/90878

Boken påstår, i en faktaruta, att normalfördelningsfunktionen $f(x)$ saknar primitiv funktion vilket inte är sant. Däremot saknas elementär primitiv funktion (någon som kan uttryckas "enkelt") så när man räknar ut integralerna gör man detta numeriskt med räknare, eller kanske kollar i tabell.

Det finns också andra fördelningsfunktioner än normalfördelningen. Kolla i boken.

Lös a-uppgifter tills ni tröttnar, därefter eventuellt 3490, 3492 och 3494.

3.5 Tillämpningar och problemlösning (160-163)

Här finns lite blandade problem, varav en del är lite svårare. Det är dom vi angriper!

Lös c-uppgifterna.

3.6 Rotationsvolymer

Skivmetoden (sid 1-6 i komplement till läroboken)

I detta avsnitt ska vi lära oss att bestämma volymen av vissa kroppar med integraler. Det kommer att handla om så kallade rotationskroppar som fås genom att ett plant kurvsegment roterar runt en fix axel ut i en tredje dimension. Ska man förstå hur detta kan ge upphov till en integral behöver man först repetera lite om integralens defintion.

Tidigare tecknade vi arean $A$ mellan en kurva (över x-axeln) och x-axeln som en integral. Man approximerar området med en massa smala rektanglar

(35)
\begin{align} A \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x. \end{align}

Låter man nu antalet rektanglar, $n$, gå mot oändligheten, eller $\Delta x$ gå mot noll får man rimligen ett värde på arean. I själva verket gör man definitionen

(36)
\begin{align} A := \int_{a}^{b}f(x)dx \end{align}

där högerledet, integralen, betecknar summan i gränsläget och arean definieras som denna integral.

Observera att beteckningen och uttrycket

(37)
\begin{align} \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{n \to \infty, \Delta x \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x. \end{align}

inte behöver ha något med area att göra. Varje uttryck som är ett gränsläge av summor som ovan ger upphov till en integral.

Som boken beskriver kan man teckna volymen av t.ex. en rotationskropp (rotation runt x-axeln) genom att dela upp i en massa smala cylindrar/skivor och gå i gräns. Man får

(38)
\begin{align} \int_{a}^{b}A(x)dx = \lim_{n \to \infty, \Delta x \to 0} \sum_{i=1}^{n} A(x_i) \Delta x \end{align}

där $A(x_i) \Delta x$ är volymen på en "smal" cylinder och där alltså $A(x)=\pi y(x)^2$ är tvärsnittsarean.

Här finns en GeoGebraillustration av hur en rotationskropp uppstår och hur den "skivas":

http://wikiskola.se/index.php?title=Volymsberäkning_med_integral

Integralen, oavsett var den kommer ifrån, kan sedan beräknas med primitiv funktion (förutsatt att vi kan finna en primitiv, och det kan vi nästan alltid i denna kurs)!

Rotationer runt y-axeln hanteras på motsvarande sätt. I princip handlar det bara om att "byta variabel".

Lös 3602, 3603, 3604, 3606, 3610, 3612, 3614 och eventuellt (om man satsar på höga betyg) 3616, 3618, 3620.

4.1 Räkning med komplexa tal

Repetition (sid 180-181)

En genomgång av de olika talområdena och varför man till sist introducerar i och komplexa tal görs på tisdagslektionen. Utöver detta är det en repetition av det som gjordes i Ma1c. Läs på sida 180 och lös uppgifter på sida 181.

Lös a-uppgifter efter behov.

Konjugat, absolutbelopp och de fyra räknesätten (sid 184-187)

Ett allmänt komplext tal betecknas ofta med bokstaven z och har formen

(39)
\begin{equation} z=a+bi. \end{equation}

Exempel på komplexa tal är 2-3i, -5i och 7. Observera det sistnämnda, varje reellt tal blir också komplext eftersom man kan välja b=0. Räknereglerna, för de komplexa talen, fungerar precis likadant som för vanliga reella, med tillägget att $i^2=-1$.

I uttrycket $z=a+bi$ kallas a realdelen av z (skrivs Re z=a) och b för imaginärdelen av z (skrivs Im z=b). Om z=2-3i får vi alltså Re z=2 och Im z=-3. Observera att imaginärdelen alltid är ett reellt tal! Det dyker också upp komplext konjugat $\overline{z}$ och absolutbelopp $|z|$. Kolla upp i boken.

Räkning med komplexa tal fungerar precis som "vanligt", och beträffande addition, subtraktion och multiplikation är det tämligen enkelt. Tre exempel:

$$(1+2i)+(3-4i)=1+2i+3-4i=1+3+2i-4i=4-2i$$

$$(3-2i)-(1+4i)=3-2i-1-4i=2-6i$$

$$(2-i)(3+2i)=2\cdot 3 + 2 \cdot 2i- i \cdot 3 - i \cdot 2i=6+4i-3i-2i^2=6+i + 2=8+i$$

Det enda som är nytt är alltså att $i^2$ ska ersättas med -1. Vad blir förresten $i^{2013}$? Vi "grupperar ihop" så många $i^2$ som möjligt och räknar på:

$$i^{2013} = i^{2012}\cdot i= (i^{2})^{1006} \cdot i = (-1)^{1006} \cdot i = 1 \cdot i = i$$

Division är lite knepigare än övriga räknesätt. Det finns ett "trix", nämligen att man ska förlänga med nämnarens konjugat för att mygla bort i från nämnaren (i i täljaren är ok däremot). Ett exempel:

$$\frac{1-4i}{2+3i}=\frac{(1-4i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)}=\frac{2-3i-8i+12i^2}{4-6i+6i-9i^2}=\frac{-10-11i}{13} = -\frac{10}{13}- \frac{11}{13}i$$

Anders Karlsson (gymnasielärare på Ållebergsgymnasiet i Falköping) har producerat instruktiva genomgångar i YouTube. Se nedan.

Matteskolan: Introduktion till komplexa tal
Matteskolan: Definition av komplext tal, Rez, Imz, konjugat, samt punkter i komplexa talplanet
Matteskolan: Komplexa tal; de fyra räknesätten

Lös en deluppgift på varje a-uppgift och därefter varannan b-uppgift (uddanumrerade) och sedan så många c-uppgifter man orkar/önskar.

4.2 Det komplexa talplanet

Komplexa tal som vektorer (sid 188-191)

Som nämnts ovan kan ett komplex tal representeras av en punkt i ett koordinatplan med realdel på x-axeln och imaginärdel på y-axeln. I vissa fall är det dock mera praktiskt att representera det komplexa talet med en vektor ("pil") som går från origo till motsvarande punkt.

Med vektortolkningen blir addition och subtraktion enkla att "minnas", det motsvarar helt enkelt vanlig vektoraddition/subtraktion där man "sätter pilarna efter varandra och bestämmer resultant" (tänk efter varför det blir så).

Absolutbeloppet dyker upp och kan användas t.ex. för att beskriva cirklar i det komplexa talplanet. Med

(40)
\begin{align} |z+2-3i| = 2 \Leftrightarrow |z-(-2+3i)|=2 \; (\textrm{observera "tillfixningen"}) \end{align}

får man mängden av alla komplexa tal vars avstånd till talet $-2+3i$ är 2. Denna mängd blir alltså en cirkel med radie 2 centrerad i $-2+3i$.

Lös 4202, 4205, 4206, 4209, 4210, 4213, 4214 och 4216 (svår).

Komplexa tal i polär form (sid 193-196)

Det "gamla hederliga" koordinatsystemet med en x- och en y-axel är välbekant. Man anger koordinaterna för en punkt genom att tala om hur många steg i respektive riktning man ska förflytta sig.

Det finns inget som hindrar att man anger punkter i andra koordinatsystem. Ett användbart alternativ är det polära koordinatsystemet. Här anges en punkts koordinater genom att man anger avstånd från origo, r, och riktning, v, (i ett vinkelmått) räknat moturs från x-axeln. Observera att en och samma punkt kan ha olika koordinater i de olika koordinatsystemen. Observera också att den polära framställningen inte är entydig (vilka "problem" finns?).

Om man tänker efter så inser man följande samband mellan de Cartesiska/rektangulära koordinaterna (x,y) och de polära (r,v).

(41)
\begin{cases} x= r\cos v \\ y = r \sin v \end{cases}

och

(42)
\begin{cases} r^2=x^2+y^2 \\ \tan v = \dfrac{y}{x}, (\textrm{med kvadrantkontroll}) \end{cases}

Med den sistnämnda kvadrantkontrollen menas att t.ex. de Cartesiska koordinaterna (3,4) och (-3,-4) ger samma tangensekvation och man måste hålla koll på om vinkeln är korrekt eller ska "ändras" med 180 grader.

Ovanstående kan genomföras oberoende av komplexa tal. Men eftersom vi har en tolkning av komplexa tal som punkter i ett koordinatsystem kan vi såklart använda den polära formen också till dessa. Vi har

(43)
\begin{align} z=x+iy = r \cos v + i r \sin v= r(\cos v + i \sin v) \end{align}

där det sistnämnda uttrycket säges vara z på polär form. Man efterstävar att välja vinkeln v i intervallet $0^{\circ} \leq v < 360^{\circ}, 0 \leq v \ <2\pi$. I den polära formen kallas r för beloppet av z (eftersom det är just detta) och v för argumentet av z.

Kolla gärna in Anders Karlsson!

Matteskolan: Komplexa tal polär form, introduktion
Matteskolan: Komplexa tal; övergång mellan rektangulär och polär form

Lös 4220, 4221, 4223, 4224ab, 4225d, 4226d, 4229cd, 4231, 4233, 4234, 4235.

Multiplikation/division i polär form (sid 198-201)

Multiplikation och division blir ganska enkelt på polär form och i vissa fall är det avsevärt enklare att arbeta på polär form än på Cartesisk (rektangulär). Poängen är, vilket också visas i boken på sida 198, att

(44)
\begin{align} |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| \textrm{ (beloppen multipliceras)} \end{align}
(45)
\begin{align} \arg(z_1 \cdot z_2) = \arg z_1 + \arg z_2 \textrm{ (argumenten adderas)} \end{align}

Motsvarande räkneregler gäller för division. Observera att räknereglerna för argument ser ut som de för logaritmer. Det kan vara ett sätt att minnas dem (även om det är två helt olika "saker" ur ett Ma4-perspektiv, men kanske inte ur ett "högre" perspektiv).

Observera också att addition och subtraktion inte är så lustig på polär form. Här håller man sig till den Cartesiska.

Lös 4240, 4241, 4242, 4246, 4249, 4250, 4251, 4252.

Avläs och rita i det komplexa talplanet (sid 202-203)

Egentligen är det inte så mycket nytt i detta avsnitt. Det handlar om att förstå hur de algebraiska manipulationerna kan tolkas geometriskt. Försök därför räkna så lite som möjligt och tänka och rita desto mer.

Lös b- och c-uppgifterna.

4.3 Komplexa tal i potensform

de Moivres formel (sid 204-206)

Detta är i princip inget nytt utan en konsekvens av "räknereglerna" för belopp och argument som vi redan sett. Om

(46)
\begin{align} z=r \cdot (\cos v +i \sin v) \end{align}

så följer ju att

(47)
\begin{align} |z^n| = |z|^n=r^n = 1 \textrm{ och } \arg z^n = n \cdot \arg z. \end{align}

Alltså

(48)
\begin{align} z^n = r^n(\cos v + i \sin v)^n = r^n(\cos nv + i \sin nv) \end{align}

vilket kallas de Moivres formel.

Lös b- och c-uppgifterna.

Ekvationer av typen $z^n = a$ (sid 207-208)

Även om Gauss visade att alla polynomekvationer har en komplex lösning betyder det inte att sådana lösningar är särskilt lättfunna i allmänhet. Vissa ekvationer kan man dock hantera, dels andragradsekvationer (mer om dessa senare), dels så kallade binomiska ekvationer. De senare ser ut såhär

(49)
\begin{equation} z^n=w \end{equation}

där n är ett positivt heltal och w ett komplext tal. De kallas binomiska eftersom de har två termer. För att lösa sådana ekvationer arbetar man med fördel på polär form. Man skriver om w på polär form och sätter också

(50)
\begin{align} z=r(\cos v + i \sin v) \end{align}

så att

(51)
\begin{align} z^n=r^n(\cos nv + i \sin nv) \end{align}

Därefter jämför man belopp och argument och inser att beloppen måste vara lika, och att argumenten måsta vara lika upp till "varvräkning". Se boken för utförliga exempel.

Lös 4319cd, 4320a, 4322, 4326, 4327, 4330.

Eulers formel (sid 209-210)

Det visar sig rimligt att göra definitionen

(52)
\begin{align} e^{iv}=\cos v + i \sin v. \end{align}

Bland annat får man räknelagar för potenser som ser ut som man hoppas. Som en konsekvens av ovanstående gäller

(53)
\begin{align} e^{-iv}= e^{i(-v)} = \cos (-v) + i \sin (-v) = \cos v - i \sin v. \end{align}

Om man nu löser ut $\cos v$ och $\sin v$ så får man Eulers formler:

(54)
\begin{align} \cos v = \frac{e^{iv}+ e^{-iv}}{2} \end{align}

och

(55)
\begin{align} \sin v = \frac{e^{iv}- e^{-iv}}{2i}. \end{align}

Därmed är uppgift 4343 löst!

Nu kan man roa sig med att bestämma $\cos i, \sin i, \ln i, i^i$ etc. Detta är fantasieggande, men utanför kursens ramar.

Euler är inte vem som helst precis. Han är tidernas mest produktive matematiker och en av de mest kreativa. Ett av hans ''fantastiska" resultat är lösningen av det så kallade Baselproblemet, nämligen att bestämma den oändliga summan

(56)
\begin{align} \frac{1}{1} + \frac{1}{4} +\frac{1}{9} +\frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \ldots \end{align}

Ni ser mönstret? Detta summerar till

(57)
\begin{align} \frac{\pi^2}{6}!!!! \end{align}

Det är så snyggt så man börjar nästan gråta. Eulers bevis för detta är mycket fiffigt (det räcker nästan med gymnasiekunskaper)!

Lös 4334, 4335, 4336, 4339, 4342 och eventuellt 4343 (lösning finns ovan).

4.4 Polynomekvationer

Andragradsekvationer (sid 212-215)

Inte mycket nytt under solen egentligen. Man repeterar lösning och hantering av andragradsekvationer. Den enda skillnaden mot tidigare är att man tillåter "roten ur negativa tal" m.h.a. i. Skulle detta inte fungera kan man sätta $z=x+iy$ och räkna på.

Lös 4404d, 4405, 4406d, 4407, 4409ab, 4411 och 4414.

Polynomdivision (sid 216-218)

Hur många 13 får plats 1000? Eftersom

(58)
\begin{align} 1000 = 76 \cdot 13 + 12 \end{align}

är det tydligen 76 stycken. Man kan formulera detta som att om man delar 1000 med 13 får man en kvot som är 76 och en rest på 12.

Samma sak fungerar för polynom. Hur många $x+2$ får t.ex. plats i $x^3-2x^2+3x-4$? Man utför då en polynomdivision (se bok för teknik) och kommer fram till att

(59)
\begin{equation} x^3-2x^2+3x-4 =(x+2)(x^2-4x+11) -26 \end{equation}

där $x^2-4x+11$ är kvoten och 26 är resten. Kontrollera gärna att det stämmer med "hopmultiplikation" av högerledet.

I Ma4 använder vi polynomdivision för att lösa ekvationer. Mer om detta i nästa avsnitt. Polynomdivision är också ett verktyg när man studerar rationella funktioner (t.ex. grafer och primitiva funktioner till dem). Mer om detta på högskolan.

Lös 4419, 4420, 4422, 4423ac och eventuellt 4424, 4425. Vad gäller a-uppgifter gör man bara så många man behöver.

Faktorsatsen (sid 219-221)

Betrakta ekvationen

(60)
\begin{equation} (x-1)(x-2)=x^2-3x+2 = 0. \end{equation}

Om man bara tittar på den sista likheten kanske man inte omedelbart ser lösningarna, utan man får "fläska på" med pq-formeln. Om man däremot tittar på ursprungsuttrycket (innan hopmultiplikation) ser man omedelbart att nollställena är x=1 och x=2. En faktor måste ju bli noll!

Alltså kan man dra slutsatsen att om $x-a$ är en faktor i ett polynom så måste $x=a$ vara ett nollställe. I själva verket gäller också omvändningen, nämligen att om ett polynom har ett nollställe $x=a$ så har det också en faktor $x-a$. Beviset bygger på att man begriper utfallet av en polynomdivision.

Allt detta sammanfattas i faktorsatsen:

Ett polynom har en faktor $x-a \Leftrightarrow$ polynomet har ett nollställe $x=a$.

Boken nämner också en så kallad restsats. Kolla upp i boken.

Lös 4435, 4436, 4437bd, 4439, 4440. Känner man sig osäker kollar man igenom a-uppgifterna. De är ganska snabba.

Polynomekvationer av högre grad (223-225)

Här kommer ett "hopkok" av uppgifter på lösning av polynomekvationer. Man använder sig av faktorsats, polynomdivision, att rötter kommer i konjugerade par i vissa ekvationer. Alla (andra) metoder som fungerar är såklart användbara.

Lös 4445, 4447, 4450, 4452, 4454, 4456, 4457.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License