matematik-3c:störreproblem

Tangenter till tredjegradspolynom

Rita grafen till ett tredjegradspolynom med tre reella rötter (grafen ska alltså skära x-axeln tre gånger). Markera mittpunkten mellan två av nollställena (vilka som helst) på x-axeln och dra tangenten till grafen i punkterna med dessa mittpunkters x-koordinater.

a) Gör konstruktionen ovan för ett självvalt tredjegradspolynom. Vad noterar du? Hypotes?

b) Gör konstruktionen för fler polynom och undersök om din hypotes tycks stämma. Det smidigast sättet att göra flera konstruktioner är nog att använda glidare i GeoGebra.

c) Bevisa sin hypotes. Du kan börja med specialfall, t.ex. det du gjort i a). Men försök genomföra ett generellt bevis, dvs. bevisa din hypotes för ett godtyckligt tredjegradspolynom med tre reella nollställen.

När ovanstående är avklarat kan du fundera på:

d) Antag att vi har ett tredjegradspolynom med två reella nollställen. Är din hypotes fortfarande sann?

e) Du har alltså visat att en linje genom ett nollställe och den punkt på grafen som ligger mittemellan (i x-led) de båda andra nollställena är en tangent till grafen. Uppenbarligen finns det åtminstone en tangent till till grafen som också passerar nollstället, nämligen vilken? Finns det ytterligare fler tangenter som passerar nollstället?

f) Om grafen endast har ett reellt nollställe kan vi inte genomföra konstruktionen i a). Däremot kanske vi kan finna tangenter till grafen genom nollstället utöver den triviala. Kan vi? I så fall hittar man en tangeringspunkt på grafen. Har denna något med ovanstående att göra? Förmodligen behöver man känna till något om komplexa tal här.

Vertex på andragradskurva

Betrakta en allmän andragradsfunktion

(1)
\begin{equation} f(x)=ax^2+bx+c \end{equation}

Låt a och c vara fixerade (men godtyckliga) och variera b. Vertex rör sig då längs en kurva. Bestäm denna kurva. Börja gärna med några "konkreta" andragradsfunktioner, men försök till sist finna ett uttryck för "vertexkurvan" med a och c som parametrar.

Brantaste punkten på en tredjegradskurva

Låt $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ vara en tredjegradsfunktion med två lokala extrempunkter i ordningen (från vänster) först ett max sedan ett min.

a) Vad kan man säga om konstanterna a, b, c, och d om villkoret med först ett max och sedan ett min ska vara uppfyllt. Utred så mycket som möjligt.

b) Visa att punkten mitt emellan dessa extrempunkter ligger på grafen och är den punkt där derivatan är som minst.

Felaktiga logaritmlagar

Logaritmlagarna brukar misshandlas i den meningen att man använder egna som inte stämmer. Följande omskrivningar är t.ex. inte korrekta i allmänhet:

(2)
\begin{align} \ln(x+y) = \ln x+ \ln y \end{align}
(3)
\begin{align} \frac{\ln a}{\ln b} = \frac{a}{b} \end{align}

a) Visa att omskrivningarna ovan inte är korrekta i allmänhet.

b) Finn några specifika tal x, y, a, b så att omskrivningarna faktiskt är korrekta.

c) Vad kan man säga om talen x och y om omskrivningen ska gälla? Ge ett generellt samband.

d) Om $a=b$ är tal större än 0 är det klart att omskrivningen är korrekt. Bestäm/beskriv samtliga andra värden på $a$ och $b$ så att omskrivningen är korrekt.

Area- och omkretssamband hos rektanglar

a) Rita en rektangel (vilken du vill), denna rektangel kallas nedan R.

b) Konstruera sedan en rektangel som har dubbelt så stor area som R:s area och en (annan) rektangel med dubbelt så stor omkrets som R:s omkrets.

c) Konstruera en rektangel som både har dubbelt så stor area och omkrets jämfört med R:s area och omkrets?

d) Visa att för varje rektangel är det möjligt att konstruera en ny rektangel med dubblad omkrets och dubblad area.

e) Givet en rektangel med sidlängder a och b. För vilka värden är på a och b är det möjligt att konstruera en rektangel med halverad area och halverad omkrets?

Parabler och paraboler

Parabel är ett annat namn på en andragradskurva, och en parabol kan lite slarvig sägas vara en tredimensionell parabel. Vi ska i denna uppgift studera en egenskap hos parabeln som som gör att dess tredimensionella motsvarighet är lämplig just som antenn.

Betrakta grafen till funktionen $f(x)=x^2$. Antag att det finns en strålningskälla "oändligt" långt uppåt och att denna källa sänder strålar parallella med y-axeln ner mot parabeln. Dessa strålar reflekteras i parabeln så att infallsvinkel mot parabeln är lika med reflektionsvinkeln. Man anger dessa vinklar punktvis mot parabelns tangenter.

Visa att alla infallande strålar reflekteras i en och samma punkt, samt bestäm koordinaterna för denna punkt.

Förklara varför parabeln dyker upp när man konstruerar strålkastare.

Bästa sättet att plocka äpple eller när ska man byta träd

Antag att antalet kg äpplen som man kan plocka från ett träd på $x$ minuter är

(4)
\begin{align} m(x)=\frac{120}{1+e^{-0.2x}} -60 \end{align}

Antag också att det tar 1 minut att transportera sig till ett nytt träd som är "oplockat".

a) Enligt modellen, hur många kilo äpplen finns det totalt på ett äppelträd?

b) Rita och studera grafen till $m(x)$ och kommentera dess utseende och hur realistisk den är (i förhållande till äppelplockarsituationen).

c) Om man plockar för länge på samma träd kommer "effektiviteten" efter hand att minska. Därför vill man byta träd. Å andra sidan tar det tid att byta träd, och under denna tid plockar man inget. Givet modellen ovan, utred vilken som är den optimala tiden att arbeta på varje träd.

d) Förklara hur man kan finna den optimala tiden som man ska plocka på ett och samma träd (innan man går vidare till ett nytt oplockat) om man har en annan funktion än den ovan.

Anm. Om ni skulle behöva derivatan av $m(x)$, som hamnar utanför Ma3c, kan antingen använda Wolfram Alpha eller resonera utifrån funktionens graf. Deriveringsregeln ligger utanför kursens ramar.

Samband mellan riktningskoefficienter

Som ni kanske minns från Matematik 2c så finns det ett enkelt samband mellan k-värdena, $k_1, \, k_2$, för två vinkelräta linjer, nämligen

(5)
\begin{align} k_1 \cdot k_2 = -1. \end{align}

Försök plocka fram ett samband ("en formel") mellan k-värden hos två linjer med mellanliggande vinkel $45^{\circ}$. Kan ni bevisa den?

Funktionalekvationer med polynom

En funktionalekvation är en ekvation där det obekanta är en funktion och inte ett tal. I denna uppgift förutsätter vi att den sökta funktionen är ett polynom $p(x)$. Lös följande funktionalekvationer (eller utred så mycket som möjligt om lösningarna):

a) $p(x)^2 = 2p(x)$

b) $p(p(x))=p(x+1)$

c) $p(x^3)=x^2p(x^2)$

d) $p(x)^2 = p(x^2)$

Polynom med minsta avvikelse från noll

I denna uppgift studerar vi värdena på vissa polynom av given grad i intervallet $I :-2 \leq x \leq 2$ och försöker finna det med minsta avvikelse från noll i följande mening. Låt $M$ var polynomets största värde och $m$ polynomets minsta värde i intervallet $I$ och låt C vara det största värdet av $|M|$ och $|m|$. Polynomet har minsta avvikelse från noll om talet $C$ är minsta möjliga, för den givna klassen av polynom.

a) Betrakta mängden av alla förstagradspolynom med högstagradskoefficient 1, $p(x)=x+a$. Finn det eller de polynom bland dessa som har minsta avvikelse från noll (i intervallet $I$).

b) Betrakta mängden av alla andragradspolynom med högstagradskoefficient 1, $p(x)=x^2+ax+b$. Finn det eller de polynom bland dessa som har minsta avvikelse från noll (i intervallet $I$).

c) Betrakta mängden av alla tredjegradspolynom med högstagradskoefficient 1, $p(x)=x^3+ax^2+bx+c$. Finn det eller de polynom bland dessa som har minsta avvikelse från noll (i intervallet $I$).'

d) Nu blir det (nog) rejält svårt. Bestäm det n:te-grads polynom med högstagradskoefficient 1 som har minsta avvikelse från noll, och motivera valet.

Derivator och infinitesimaler

Både Newton och Leibniz (och andra "tidiga" matematiker) var lite oprecisa med sina gränsvärdesräkningar. När de utförde en räkning med $\lim_{h \to 0}$ var h ibland noll och ibland inte, beroende på vad som passade. Dock hade de i princip läget under kontroll.

Inom så kallad icke-standard analys introducerar man nya tal, så kallade infinitesimaler. Med dessa kan man sedan räkna "korrekt" som dåtidens matematiker gjorde och strunta i limesbeteckningen. I denna uppgift ska du leka lite med dessa nya tal och upptäcka deras koppling till derivata.

Vi definierar först ett nytt tal $\delta$ med egenskaperna

  • $\delta < r$ för varje positivt reellt tal (tal på tallinjen).
  • $\delta > 0$
  • $\delta^2 =0$

Problem

a) Förklara varför det inte redan finns ett reellt tal (tal på tallinjen) som fungerar som $\delta$. (I så fall hade vi ju inte behövt en ny symbol t.ex.)
b) Vi vill använda de fyra räknesätten också på $\delta$ och accepterar därför tal på formen $a+b\delta$, där a och b är vanligt reella tal. T.ex. accepterar vi talen $3\delta$ och $2-5\delta$. Vad blir $(2+3\delta)(5-\delta)$?

Medellutning på andragradskurva

I en uppgift i boken bevisade du att på en andragradkurva blir de centrala differenskvoterna lika med derivatans värde (oberoende av h:s värde). Här är ett snarlikt påstående som du ska bevisa.

a) Givet är två punkter $P_1 = (x_1,y_1)$ och $P_2 = (x_2,y_2)$ på en andragradskurva. Visa att lutningen på senaten genom de båda punkterna är densamma som kurvans lutning i punkten med x-koordinat $\frac{1}{2}(x_1+x_2)$. Ett annat sätt att formulera påståendet är att medellutningen hos en andragradskurva alltid inträffar "på mitten".

Är omvändningen av ovanstående sant för polynom?

b) Låt $p(x)$ vara ett polynom. Antag att för varje par av punkter på grafen till $p(x)$ gäller att lutningen på sekanten genom punkterna är samma som lutningen på grafen mitt emellan punkterna (i x-led). Måste i så fall $p(x)$ vara ett andragradspolynom? Om inte vad gäller?

Tangenter till cirkel

De punkter $(x,y)$ som uppfyller ekvationen $x^2+ y^2-4x+2y-20=0$ bildar en cirkel i koordinatplanet.

a) Övertyga dig om detta, och ange cirkelns centrum och medelpunkt. Använd gärna GeoGebra för att rita men försök också förstå cirkeln algeriskt.

Genom punkten $(9,2)$ dras de båda tangenterna till cirkeln.

b) Bestäm ekvationerna för dessa tangenter.

c) Gör en konstruktion i GeoGebra (med passare och linjal) av de båda tangenterna.

Rotekvationer

Rotekvationer av typ

(6)
\begin{align} \sqrt{ax+b}=cx+d \end{align}

löser man lämpligen genom att inleda med en kvadrering, något som kan introducera så kallade falska rötter. Därför kontrollerar man alltid sina rötter i ursprungsekvationen och förkastar de som inte fungerar. Det är inte så svårt att inse att lösningarna (de korrekta) till ekvationen är inga, en eller två. Men hur beror antalet lösningar på konstanterna?

a) Ange villkor för konstanterna a, b, c och d så att rotekvationen får ingen, en respektive två lösningar.

b) Konstruera en "rotekvation" som efter kvadrering har de tre lösningarna $x=-1, -2, 5$ men där enbart $x=5$ är en lösning till den ursprungliga rotekvationen. Notera att det inge fungera med en ekvation på formen i a) eftersom den har högst två lösningar. Du får "ändra lite".

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License