matematik-3c:extrauppgifter

Skriftlig/muntlig uppgift, vt20

Följande förmågor ska utvecklas enligt ämnesplanen, och de berörs i mer eller mindre av denna uppgift.

- formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier, metoder och resultat.
- tolka en realistisk situation och utforma en matematisk modell samt använda och utvärdera en modells egenskaper och begränsningar.
- följa, föra och bedöma matematiska resonemang.
- kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling.

Att göra:

- lös uppgiften skriftligt. Lösningen ska vara komplett men det behövs inte så mycket förklarande text. I lösningsmetoden ska derivata användas (även då det finns "enklare" alternativ).
- byt uppgift med en kompis och läsa igenom kompisens lösning. Lämna ett exemplar av lösningen till läraren. Själva inlämningen görs på onsdag 18/3.
- presentera din lösning muntligt för kompisen och läraren. Tänk igenom din presentation i förväg och se till så du presenterar alla steg och förklarar vad du gör. Det är ok att ta upp lösningen "på" projektor så man slipper skriva en massa algebra t.ex. Men se till så att detta inte innebär att din lösning blir för snabb. Kom ihåg att alla steg ska kommenteras. Tänk också igenom ditt ordval. Det är väsentligt att du använder matematisk terminologi och använder den rätt.
- lyssna på kompisens presentation och ställ frågor.

Obs: man kan använda GeoGebra för att rita figur, kontrollera och vid den muntliga presentationen. Men lösningen ska "hålla" utan GeoGebra.

1. En cylindrisk bägare, utan lock, ska innehålla exakt en liter när den är helt fylld. Vilka dimensioner ska behållaren ha för att materialåtgången ska bli så liten som möjligt?

2. En cylindrisk behållare, med lock, ska ha en total yta på 1 $m^2$. Vilka dimensioner ska behållaren ha för att rymma så stor volym som möjligt?

3. En bägare, formad som ett rätblock med kvadratisk botten, ska innehålla exakt en liter när den är helt fylld. Bägaren ska inte ha lock. Vilka dimensioner ska behållaren ha för att materialåtgången ska bli så liten som möjligt?

4. Bestäm ekvationen för den linje, som går genom punkten $(3,5)$, så att linjen "klipper ut" en triangel med minimal area i första kvadranten.

5. Ett kyrkfönster har formen av en halvcirkel stående på en rektangel. Fönstrets omkrets är 10 meter. Vilka dimensioner ger störst fönsterarea?

6. En rektangel har sin bas på x-axeln och två ytterligare hörn ovanför x-axeln och på grafen till $y=x-x^2$. Vilka mått på rektangeln ger störst area?

7. En plansch ska ha ytan $0{,}5m^2$. I överkanten vill man ha en marginal på 2 cm och i underkanten och på sidorna en marginal på 1 cm. Innanför marginalerna trycker man en bild. Vilka mått på planschen ger störst tryckt area?

8. En tråd på 1 m klipps i två delar. Av den ena delen görs en kvadrat, av den andra en cirkel. Vilka mått (radie respektive sidlängs) ger störst total area? Vilka mått ger minst area?

9. Vilken punkt på grafen till $y=\sqrt{x}$ ligger närmst punkten $(1,0)$? Tips: teckna avståndet i kvadrat och sök dettas minimum.

10. Bestäm måtten på den största rektangel (till area) som kan klippas ut ur en rätvinklig triangel med kateter 3 dm och 4 dm, om rektangelns sidor ska vara parallella med kateterna. Tid över: kan man klippa ut en större triangel om man lägger en av dess sidor längs hypotenusan?

11. En bonde vill hägna in en rad med n stycken likadana rektangulära fält. Han har 400 m staket, och staket mellan två fält används för att avgränsa båda. Vilka mått på fälten ger största area?

Lite (mycket) svårare problem som man kan roa sig med eller träna sig på inom ramen för Ma3c


Kapitelindelningen är den i Matematik5000. Svårigheten varierar nog och ordningen på problemen är "slumpad", så senare problem kan vara enklare än tidigare. Däremot är inga av dem enkla utan vart och ett kräver en hel del arbete. Men då är det ju desto roligare om/när man lyckas!

Reservation för felaktigheter! Jag har inte löst dem själv, så hör av er om något verkar konstigt eller fel.

Kapitel 1

1. Förenkla uttrycket

(1)
\begin{align} \sqrt{2 + \sqrt{3}} \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} \end{align}

så långt som möjligt och visa att det är lika med 1.

2. Bestäm $x$ så att $2^{2^{3^{2^2}}}=4^{4^x}$.

3. Låt $a$, $b$ och $c$ vara reella tal sådana att $a+\frac{1}{b}=5$, $b+\frac{1}{c}=12$ och $c+\frac{1}{a}=13$. Beräkna $abc+\frac{1}{abc}$.

4. För vilka tal $a \geq 0$ har ekvationen $\sqrt{x} + a = x + \sqrt{a}$ två skilda reella rötter?

5. Till varje par av reella tal $a$ och $b$, med $a \neq 0$ och $b \neq 0$, är tillordnat ett reellt tal $a \ast b$. För denna räkneoperation gäller följande regler:

  • $a \ast ( b \ast c) = (a \ast b) \ast c$.
  • $a \ast a = 1$.

Lös ekvationen $x \ast 36 = 216$.

6. Lös ekvationssystemet

(2)
\begin{align} \left\{ \begin{array}{r r r} x^y & = & 2\\ (2x)^{y^2} & = & 64 \end{array} \right. \end{align}

$x > 0$.

7. Bestäm alla polynom $P$ med reella koefficienter sådana att

(3)
\begin{align} 1+ P(x) = \frac{1}{2}(P(x-1) + P(x+1)) \end{align}

för alla reella $x$.

8. För de reella talen $\alpha$ och $\beta$ gäller

(4)
\begin{align} \alpha^3-3\alpha^2+5\alpha-17=0 \textrm{ och } \beta^3 -3 \beta^2+5 \beta+11 =0. \end{align}

Bestäm $\alpha + \beta$.

9. Låt $x + x^{-1} = -1$. Beräkna

  • $x^2 + x^{-2}$.
  • $x^3 + x^{-3}$.
  • $x^{33} + x^{-33}$.
  • Generalisera!

10. Lös ekvationssystemet

(5)
\begin{align} \left\{ \begin{array}{l l l l l} x & = & 1 & + & \ln y\\ y & = & 1 & + & \ln z\\ z & = & 1 & + & \ln x. \end{array} \right. \end{align}

Övrigt

Kapitel 2

Senare kapitel

9. Bestäm alla polynom $P$ sådana att

(6)
\begin{equation} (P'(x))^2 = c P(x)P''(x) \end{equation}

för någon konstant $c$

9. Bestäm alla polynom $p(x)$, sådana att $p(2x) = p'(x) \cdot p''(x)$.

10. I $xy$-planet drar vi cirkeln med medelpunkt i punkten $(0,1)$ och radie 1. Vi drar också parabeln $y = ax^2$ för någon positiv konstant $a$. Observera att både cirkeln och parabeln går genom origo. För vilka värden på $a$ gäller det att cirkeln och parabeln skär varandra i ytterligare en eller flera punkter?

12. En tetraeder är inskriven i ett klot med radien 2 (dvs tetraederns hörn ligger på klotytan). Fem av tetraederns kanter har längden 3. Bestäm längden av den sjätte kanten.

13. Låt $P$ vara ett polynom, sådant att $P(x^2+1) = 6x^2-x^2+5$. Bestäm $P(x^2-1)$.

14. En triangel har sidorna $a$, $b$ och $c$. Vinkeln $C$ står mot sidan $c$. Visa att

(7)
\begin{align} c \geq (a+b) \sin \left(\frac{C}{2} \right). \end{align}

15. Vilket är det kortaste avståndet mellan graferna till de reellvärda funktionerna $f$ och $g$ vilkas funktionsvärden ges av $f(x) = x^2$ och $g(x) = -x^2-8x-15$?

16. För heltal $n \geq 1$ definierar vi funktionerna $p_n$ för $x \geq 1$ genom

(8)
\begin{align} p_n(x) = \frac{1}{2} \left( \left( x + \sqrt{x^2-1} \right) ^n + \left( x - \sqrt{x^2-1} \right) ^n \right). \end{align}

Visa att $p_n(x) \geq 1$ och att $p_{mn}(x) = p_m(p_n(x))$.

17. Botvid gick hemifrån mellan klockan 4 och 5 för ett kort besök hos Amanda. Han kom hem mellan klockan 5 och 6 och upptäckte då att visarna på klockan hade bytt plats jämfört med den tidpunkt då han gick hemifrån. När skedde detta?

18. Låt $F$ vara en växande funktion definierad för alla reella $x$, $0 \leq x \leq 1$, sådan att

(9)
\begin{align} F \left( \frac{x}{3} \right) = \frac{F(x)}{2} \textrm{ och } F(1-x) = 1- F(x). \end{align}

Bestäm

(10)
\begin{align} F \left( \frac{173}{1993} \right) \textrm{ och } F \left( \frac{1}{13} \right). \end{align}

19. Vad är villkoret för att rötterna till ekvationen $x^3+ax^2+bx+c=0$, där $a$, $b$ och $c$ är konstanter, skall bilda en aritmetisk talföljd?

20. Bestäm de värden på $a$ som ger funktionen $f(x) = x^3-3x^2-9x+a$ exakt två reella nollställen.

21. I en rät cirkulär kon är toppvinkeln rät. Ett plan genom konens spets vildar vinkeln $v$ med basytan. Planet skär vidare mantelytan utefter två generatriser, som med varandra bildar vinkeln $u$. Visa att

(11)
\begin{align} \cos u = \frac{1}{\tan ^2 v} \end{align}

Uppgift 5, studentskrivning, matematisk gren 1963

22. Undersök hur många reella rötter ekvationen

(12)
\begin{align} 1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{1 \cdot 2} + \frac{x^3}{1 \cdot 2 \cdot 3}+ \ldots + \frac{x^n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n}=0 \end{align}

har för $n=1,2,3$ respektive 4.
Det erfordras inte men betraktas som en förtjänst, att man utsträcker undersökningen till det fall då $n$ är ett godtyckligt positivt heltal.
Uppgift 8, studentskrivning, matematisk gren 1963

11,17,34,39,41,42,53,55,68,87,92,113,117,127,146,153,159,248,354

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License