matematik-3c:extrauppgifter

Lite (mycket) svårare problem som man kan roa sig med eller träna sig på inom ramen för Ma3c

Kapitelindelningen är den i Matematik5000. Svårigheten varierar nog och ordningen på problemen är "slumpad", så senare problem kan vara enklare än tidigare. Däremot är inga av dem enkla utan vart och ett kräver en hel del arbete. Men då är det ju desto roligare om/när man lyckas!

Reservation för felaktigheter! Jag har inte löst dem själv, så hör av er om något verkar konstigt eller fel.

Kapitel 1

Förenkla uttrycket

(1)
\begin{align} \sqrt{2 + \sqrt{3}} \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} \end{align}

så långt som möjligt och visa att det är lika med 1.

Bestäm $x$ så att $2^{2^{3^{2^2}}}=4^{4^x}$.

Låt $a$, $b$ och $c$ vara reella tal sådana att $a+\frac{1}{b}=5$, $b+\frac{1}{c}=12$ och $c+\frac{1}{a}=13$. Beräkna $abc+\frac{1}{abc}$.

För vilka tal $a \geq 0$ har ekvationen $\sqrt{x} + a = x + \sqrt{a}$ två skilda reella rötter?

Till varje par av reella tal $a$ och $b$, med $a \neq 0$ och $b \neq 0$, är tillordnat ett reellt tal $a \ast b$. För denna räkneoperation gäller följande regler:

  • $a \ast ( b \ast c) = (a \ast b) \ast c$.
  • $a \ast a = 1$.

Lös ekvationen $x \ast 36 = 216$.

Övrigt

1. Lös ekvationssystemet

(2)
\begin{align} \left\{ \begin{array}{r r r} x^y & = & 2\\ (2x)^{y^2} & = & 64 \end{array} \right. \end{align}

$x > 0$.

2. Bestäm alla polynom $P$ med reella koefficienter sådana att

(3)
\begin{align} 1+ P(x) = \frac{1}{2}(P(x-1) + P(x+1)) \end{align}

för alla reella $x$.

3. För de reella talen $\alpha$ och $\beta$ gäller

(4)
\begin{align} \alpha^3-3\alpha^2+5\alpha-17=0 \textrm{ och } \beta^3 -3 \beta^2+5 \beta+11 =0. \end{align}

Bestäm $\alpha + \beta$.

6. Låt $x + x^{-1} = -1$. Beräkna

  • $x^2 + x^{-2}$.
  • $x^3 + x^{-3}$.
  • $x^{33} + x^{-33}$.
  • Generalisera!

Kapitel 2

8. Lös ekvationssystemet

(5)
\begin{align} \left\{ \begin{array}{l l l l l} x & = & 1 & + & \ln y\\ y & = & 1 & + & \ln z\\ z & = & 1 & + & \ln x. \end{array} \right. \end{align}

Senare kapitel

9. Bestäm alla polynom $P$ sådana att

(6)
\begin{equation} (P'(x))^2 = c P(x)P''(x) \end{equation}

för någon konstant $c$
9. Bestäm alla polynom $p(x)$, sådana att $p(2x) = p'(x) \cdot p''(x)$.

10. I $xy$-planet drar vi cirkeln med medelpunkt i punkten $(0,1)$ och radie 1. Vi drar också parabeln $y = ax^2$ för någon positiv konstant $a$. Observera att både cirkeln och parabeln går genom origo. För vilka värden på $a$ gäller det att cirkeln och parabeln skär varandra i ytterligare en eller flera punkter?

12. En tetraeder är inskriven i ett klot med radien 2 (dvs tetraederns hörn ligger på klotytan). Fem av tetraederns kanter har längden 3. Bestäm längden av den sjätte kanten.

13. Låt $P$ vara ett polynom, sådant att $P(x^2+1) = 6x^2-x^2+5$. Bestäm $P(x^2-1)$.

14. En triangel har sidorna $a$, $b$ och $c$. Vinkeln $C$ står mot sidan $c$. Visa att

(7)
\begin{align} c \geq (a+b) \sin \left(\frac{C}{2} \right). \end{align}

15. Vilket är det kortaste avståndet mellan graferna till de reellvärda funktionerna $f$ och $g$ vilkas funktionsvärden ges av $f(x) = x^2$ och $g(x) = -x^2-8x-15$?

16. För heltal $n \geq 1$ definierar vi funktionerna $p_n$ för $x \geq 1$ genom

(8)
\begin{align} p_n(x) = \frac{1}{2} \left( \left( x + \sqrt{x^2-1} \right) ^n + \left( x - \sqrt{x^2-1} \right) ^n \right). \end{align}

Visa att $p_n(x) \geq 1$ och att $p_{mn}(x) = p_m(p_n(x))$.

17. Botvid gick hemifrån mellan klockan 4 och 5 för ett kort besök hos Amanda. Han kom hem mellan klockan 5 och 6 och upptäckte då att visarna på klockan hade bytt plats jämfört med den tidpunkt då han gick hemifrån. När skedde detta?

18. Låt $F$ vara en växande funktion definierad för alla reella $x$, $0 \leq x \leq 1$, sådan att

(9)
\begin{align} F \left( \frac{x}{3} \right) = \frac{F(x)}{2} \textrm{ och } F(1-x) = 1- F(x). \end{align}

Bestäm

(10)
\begin{align} F \left( \frac{173}{1993} \right) \textrm{ och } F \left( \frac{1}{13} \right). \end{align}

19. Vad är villkoret för att rötterna till ekvationen $x^3+ax^2+bx+c=0$, där $a$, $b$ och $c$ är konstanter, skall bilda en aritmetisk talföljd?

20. Bestäm de värden på $a$ som ger funktionen $f(x) = x^3-3x^2-9x+a$ exakt två reella nollställen.

21. I en rät cirkulär kon är toppvinkeln rät. Ett plan genom konens spets vildar vinkeln $v$ med basytan. Planet skär vidare mantelytan utefter två generatriser, som med varandra bildar vinkeln $u$. Visa att

(11)
\begin{align} \cos u = \frac{1}{\tan ^2 v} \end{align}

Uppgift 5, studentskrivning, matematisk gren 1963

22. Undersök hur många reella rötter ekvationen

(12)
\begin{align} 1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{1 \cdot 2} + \frac{x^3}{1 \cdot 2 \cdot 3}+ \ldots + \frac{x^n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n}=0 \end{align}

har för $n=1,2,3$ respektive 4.
Det erfordras inte men betraktas som en förtjänst, att man utsträcker undersökningen till det fall då $n$ är ett godtyckligt positivt heltal.
Uppgift 8, studentskrivning, matematisk gren 1963

11,17,34,39,41,42,53,55,68,87,92,113,117,127,146,153,159,248,354

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License