matematik-3c-vt18:detaljplan

1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3.1 3.2 3.3 3.4 4.1 4.2

Kapitel 1 i Ma3c-boken är i princip en repetition/upprepning av den algebra som behandlats i Ma2c. Möjligen är enstaka uppgifter lite svårare. Eftersom ni är ganska bra och för att vi inte ska drabbas av uttråkning, så har jag valt ut få uppgifter att göra; oftast dom svåraste. Om man känner sig osäker på ett visst avsnitt får man på eget initiativ göra lite fler uppgifter.

1.1 Algebra och polynom

Polynom och räkneregler (sid 8-11)

Kolla upp vad som menas med ett polynom och vad som inte är ett polynom. Repetera beteckningen $p(x)$ och varianter på detta som t.ex. $p(a+1)$. Ett sätt och tänka är med tomma rutor och cirklar som man sedan sätter in lämpliga "saker" i. Friska också upp minnet på att räkna med polynom, sätta in värden, göra matematik av text.

Använd gärna Wolfram Alpha för några "räkningar". Man skriver helt enkelt in det man känner för och så spottar WA ut en massa intressant. Notera gärna "svaren" och fråga om sådant som verkar intressant/oklart.

Lös 1115 och samtliga c-uppgifter.

Potenser (sid 12-13)

Egentligen inget nytt under solen, men kanske några problem är lite mer tekniska än i t.ex. Ma2c. Underskatta inte vikten av träning, om ni är osäkra. Man bör inte bara kunna tänka ut hur man gör, utan kunna göra det snabbt och korrekt.

Varför $a^0, a\neq 0$ sätts till 1 och varför man hanterar negativa exponenter som man gör bör ni tänka igenom!

Lös samtliga c-uppgifter.

Kvadratrötter och absolutbelopp (sid 14-16)

Även här känner ni igen en del, men nog inte allt. Kom ihåg att roten ur "något" blir icke-negativt (eftersom man bestämt så). T.ex. $\sqrt{4} = 2$, $\sqrt{9} = 3$ och inget annat!

Definitionen av absolutbelopp ser värre ut än den är. Utgå gärna från den geometriska tolkningen som avstånd (som alltså inte kan vara negativa). Är man lite slarvig kan man säga att $| \; |$ är en "minusborttagare".

Lös 1141, 1144, 1145, 1148b, 1150, 1152, 1153 och samtliga c-uppgifter.

Ekvationer (sid 17-21)

Inte mycket nytt egentligen. Några saker kan vara bra att trycka på:

  • Om man har ett faktoriserat uttryck som är lika med 0, multiplicera inte ihop utan studera faktorerna var för sig.
  • Målet är ofta att få x på ett ställe och sedan städa.
  • Om man har halvläskiga uttryck (fast samma) på flera ställen kan man använda "bullshitprincipen" och kalla det läskiga för t.
  • När man löser ekvationen med rötter kan s.k. falska lösningar dyka upp. Kontrollera genom insättning i ursprungsekvationen.

Lös 1170, 1173 och samtliga c-uppgifter.

Polynom i faktorform (sid 22-23)

Att multiplicera ihop parenteser, eller "gånga in i parenteser" är i princip lätt. Den omvända processen, att återställa parenteser, bryta ut eller mer korrekt faktorisera är mindre lätt. Så om det tar emot lite här så är det normalt.

För att få svart bälte i faktorisering behöver man kunna köra konjugat- och kvadreringsregler "baklänges", också med ganska komplicerade uttryck. Man behöver också känna till att ett polynom $p(x)$ har ett nollställe $a$ precis då polynomet har en faktor $(x-a)$. Har man alltså hittat det ena så har man hittat det andra.

Till exempel: Polynomet $p(x)=x^2+2x-3$ har ett nollställe $a=1$, dvs $p(1)=0$. Alltså kan vi dra slutsatsen att $p(x)$ kan skrivas

(1)
\begin{align} p(x)=(x-1) \cdot q(x) \end{align}

där $q(x)$ råkar vara $(x+3)$ (eftersom $x=-3$ också är ett nollställe).

Så en taktik för att faktorisera polynom är att först bestämma dessa nollställen och sedan snickra faktorer.

Lös 1196 och samtliga c-uppgifter. 1199 gör vi gemensamt.

1.2 Rationella uttryck

Vad menas med ett rationellt uttryck? (sid 26-27)

Med rationella tal (bråk) menar man tal på formen "heltal genom heltal". På motsvarande sätt är ett rationellt uttryck något som har formen "polynom genom polynom". Minns det elfte budet: du skall icke dela med noll. Det innebär att variabelvärden (x-värden) som gör nämnaren till noll måste exkluderas. Man säger att det rationella uttrycket inte är definierat för dessa x.

Lös 1206d, 1207 och 1208 (eventuellt diskuterar vi 1209 gemensamt).

Förkortning och förlängning (sid 28-32)

Det är i princip ingen skillnad på att förlänga och förkorta rationella uttryck och förlänga och förkorta bråk. Alltså är mycket vunnet om man är säker i bråkräkning. Det som kan vara knepigt är att "se" hur man ska förlänga och vad som kan förkortas.

Förlänga behöver man göra t.ex. om man ska addera eller subtrahera rationella uttryck. Man studerar då nämnarna och försöker hitta en så liten gemensam nämnare som möjligt. Det betyder att man behöver ha med faktorerna från samtliga nämnare men inget mer.

Ska man förkorta ett rationellt uttryck behöver man i princip faktorisera täljare och nämnare. Sedan delar man bort gemensamma faktorer.

Lös 1223, 1224, 1229 och c-uppgifterna.

Addition och subtraktion (sid 33-37)

Man använder samma teknik när man adderar/subtraherar rationella uttryck som när man adderar/subtraherar bråk. Man förlänger alltså till minsta gemensam nämnare och adderar/subtraherar sedan täljarna. Notera att det kan vara en ide att t.ex. faktorisera nämnarna först så man verkligen använder minsta gemensam nämnare. Man kan såklart vara brutal och använda produkten av samtliga nämnare som gemensam, men det leder till jobbigare räkningar och behov av förkortning.

När man löser ekvationer är det ofta lämpligt att skriva leden var för sig på bråkform, "korsmultiplicera" bort nämnare osv.

Lös 1251, 1254, 1263 och c-uppgifterna.

Multiplikation och division (sid 38-39)

Samma gamla visa; är man säker på vanlig hederlig bråkräkning så ligger man bra till. Kom ihåg att undersöka om det är möjligt att förkorta bort faktorer innan ni sätter igång och multiplicera ihop.

Lös 1278 och c-uppgifterna.

1.3 Funktioner

Inledning (sid 40-42)

Inte så mycket nytt under solen jämfört med Ma2c. Ni kan passa på att friska upp minnet på begreppen Definitionsmängd och Värdemängd. Notera att som definitionsmängd avses alla x som ger ett uttryck mening (i t.ex. 1305c). Det gäller också att begripa sig på funktionssymbolen $f(x)$.

Det som är nytt är begreppen kontinuerlig respektive diskret funktion. Just begreppet kontinuitet är en central egenskap, som (över de reella talen) är subtilare än vad man först kan tro. Subtiliterna ligger dock utanför kursens ramar.

Lös 1305, 1306, 1308.

Räta linjens ekvation (sid 43-45)

Det börjar bli tjatigt, men inget direkt nytt här heller. Möjligen är c-uppgifterna lite att bita i. Man erinrar sig att två linjer är vinkelräta precis om produkten av deras k-värden är -1.

Lös 1318b, 1321b och c-uppgifterna.

Andragradsfunktioner (sid 46-49)

Ja, vad ska man skriva… mest gammal skåpmat. Men det krävs säkert lite uppfräschning av slumrande kunskaper. Kolla upp begreppen på sida 46, tänk igenom hur grafer hänger ihop med algebraiska uttryck etc.

Lös 1334, 1337 och c-uppgifterna.

Exponentialfunktioner och potensfunktioner (sid 50-53)

Hur de olika funktionerna ser ut framgår på sida 51. Observera att det är en "stor" skillnad om variabeln x står i basen eller exponenten. Som ni minns från Ma2c kan man lösa ekvationer med den obekanta i exponenten med hjälp av logaritmer. Friska upp grunderna inom logaritmräkning.

Lös 1354, 1362 och c-uppgifterna.

2.1 Ändringskvoter och begreppet derivata

Ändringskvoter (sid 66-70)

Om man tillryggalägger en viss sträcka $\Delta s$ på en viss tid $\Delta t$ så blir (såklart) medelhastigheten eller den genomsnittliga förändringshastigheten

(2)
\begin{align} v=\frac{\Delta s}{\Delta t}. \end{align}

På samma sätt kan man tala om den genomsnittliga förändringshastigheten

(3)
\begin{align} \frac{\Delta y}{\Delta x} \end{align}

om y är en variabel som beror på x. Om funktionens graf är en rät linje känner ni igen ovanstående som linjens lutning (k-värde). Observera att denna blir samma överallt på en linje (men inte på kurvor/grafer i allmänhet). Om man slutligen tänker sig att $y=f(x)$ så ges den genomsnittliga förändringshastigheten då x går från a till b av

(4)
\begin{align} \frac{f(b)-f(a)}{b-a}. \end{align}

Tänk efter så ni inser att de tre formuleringarna "fångar" samma sak!

I uppgifterna nedan handlar det om att just räkna ut diverse förändringshastigheter. Värden kan man behöva räkna ut eller läsa av i graf eller tabell.

Lös 2104, 2105, 2109, 2112, 2114 och samtliga c-uppgifter.

Begreppet derivata (sid 71-76)

Här handlar det om derivatans geometriska tolkning som lutning av tangent till kurva och fysikaliska som hastighet. Själva prim-beteckningen i $f'$ och namnet derivata lär ha myntats av Lagrange på 1700-talet.

Lös 2124, 2125, 2127, 2130, 2132, 2133, 2135, 2139 och 2141.

2.2 Gränsvärde och derivatans definition

Gränsvärde (sid 77-79)

Här handlar det om "närmanden", och man studerar vad som händer med funktionsvärden när variabeln närmar sig ett givet värde. T.ex. kan man fråga sig vad "som händer" med

(5)
\begin{equation} f(x) = x^2 \end{equation}

då x närmar sig 2. Sätter man in värde på x som är allt närmre 2 ser man att $x^2$ närmar sig 4. Denna observation skriver man

(6)
\begin{align} \lim_{x \to 2} (x^2) = 4 \end{align}

och man säger att gränsvärdet av $x^2$ då x går mot 2 är 4. Observera att $x$ aldrig blir 2 och att $x^2$ aldrig blir 4. Vad man påstår är istället att $x^2$ kan komma hur nära 4 som helst om bara värdet på x är tillräckligt nära 4.

För att räkna ut gränsvärdet kan man dock i de flesta fall helt enkelt sätta in det tal som x närmar sig. Dock fungerar det inte om man, vid sådan insättning, skulle få noll i en nämnare. Då får man "se upp" och angripa problemet på något annat sätt, ofta genom en förenkling av det ursprungliga uttrycket.

Matteskolan: gränsvärde

Lös samtliga uppgifter. I 2204 ska man göra numeriska undersökningar. I 2205b ska det vara gränsvärdet då x går mot oändligheten, dvs $x \to \inf$.

Derivatans definition (sid 80-82)

För att bestämma lutningen i en punkt har vi tidigare studerat sekanter till en kurva. Genom att hålla en punkt fixerad och låta den andra närma sig den fixerade punkten "obegränsat" erhåller man tangentens lutning som gränsvärdet av sekanternas lutningar. Att formalisera detta (är h lika med 0 eller är det inte?) tog ganska lång tid och inblandade de allra största matematikerna. Om det tar några veckor för er att fatta så är det alltså lugnt :-). Ideen är i vilket fall att definiera derivatan som gränsvärdet av differenskvoten då h går mot noll, dvs

(7)
\begin{align} f'(x):=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{align}

Att det står $:=$ istället för enbart $=$ betyder att det är fråga om en definition och alltså inget man kan räkna ut. När man sedan räknar i praktiken innebär det att man räknar på med h, förenklar (om det går) och när h väl är borta från nämnaren så sätter man det (h:et alltså) lika med noll. Man kan därmed lösa många problem även om själva gränsvärdetsbegreppet får hänga i luften genom hela gymnasiet.

Här är Anders Karlssons i sitt esse förresten:

Matteskolan: Derivatans definition till skön(?) musik

Lös 2212, 2213, 2214abc (till man tröttnar) och c-uppgifterna.

2.3 Deriveringsregler I

Derivatan av polynom (sid 83-89)

Kolla upp så ni vet vad ett polynom är, annars är risken att ni använder fel regler vid fel tillfällen. Överhuvudtaget så behandlas bevisen för räkneregler för derivator mycket sparsamt i gymnasiekursen, det handlar i princip om att motivera allmänna "regler" med enkla exempel. Framöver är det fritt fram att använda regler när ni deriverar, ni bör dock kunna härleda derivatan för andragradsfunktioner och eventuellt tredjegradsfunktioner (om det skulle efterfrågas).

Lös 2305, 2306, 2309, 2310, 2312, 2314, 2319 och samtliga b- och c.uppgifter.

Derivatan av potensfunktioner (93-95)

En potensfunktion har formen $f(x)=x^a$ där a är vilket tal som helst. Om a råkar vara ett positivt heltal får vi ett polynom och vi vet att derivatan då blir $f'(x)=ax^{a-1}$. Det visar sig (men är ingalunda självklart) att samma deriveringsregel gäller även om a inte är ett heltal, dvs

(8)
\begin{align} f(x)=x^a \Rightarrow f'(x)=ax^{a-1} \end{align}

för alla värden på a. Observera att om a=1/2 får vi $f(x)=x^{1/2}=\sqrt{x}$ och om a=-1 får vi $f(x)=1/x$, funktioner som vi nu alltså kan derivera.

Den som siktar på högsta betyget bör sätta sig in i bevisen på sida 93, för övriga räcker det att kunna använda deriveringsregeln. På lektionen pratar vi lite om hur man genomför ett bevis för derivatan av $f(x)=x^{1/n}$.

Lös samtliga uppgifter.

2.4 Deriveringsregler II

Talet e via extraproblem

Talet e och derivatan av exponentialfunktioner har med nedanstående (idealiserade) problem att göra.

Problem

En bank i Ankeborg utbetalar 100% årlig ränta (såklart orealistiskt men det blir enklare att räkna, och principen är densamma). Om vi sätter in 100 kronor vid året början och tar ut dessa ett år senare har vi såklart 200 kronor. Men nu ska vi tjäna pengar genom att "arbeta" lite:

  • Anta att banken betalar 50% ränta på pengarna per halvår, vilket ju är rimligt. Vi sätter in vår 100-lapp, tar ut pengarna efter ett halvår och har då 150 kronor. Dessa sätter vi genast in igen och får 50% ränta på 150 kronor under andra halvåret. Vid årets slut har vi 225 kronor!
  • Vi har kommit på ett knep, det gäller att ta ut och sätta in pengar flera gånger under året. Hur stor blir behållningen vid årets slut om vi tar ut pengarna månadsvis, veckovis eller sekundvis? Vi förutsätter att banken utbetalar t.ex. $100/12 \; \%$ i ränta om pengarna står en månad etc..
  • Vår pengartörst har inga gränser så vi programmerar en dator som kan göra i princip omedelbara uttag och insättningar. Det betyder att vi kan låta pengarna stå på kontot i $\Delta t$ år och låta $\Delta t$ gå mot noll. Hur mycket pengar har vi i så fall efter ett år?

Derivatan av exponentialfunktionen (sid 98-101)

Exponentialfunktioner har formen

(9)
\begin{align} f(x)=C \cdot a^x \end{align}

där C och a är konstanter. Blanda inte ihop dessa med potensfunktionerna, de har bland annat olika "regler" vid derivering. Man kan tänka sig många olika värden på basen a och kan tycka att a =10 är mest naturligt då man får $f(x)=C \cdot 10^x$, vilken hänger ihop med 10-logaritmen lg som vi stött på tidigare. Det visar sig dock att talet

(10)
\begin{align} e \approx 2.718282828459045 \ldots \end{align}

faktiskt är enklare att arbeta med. Det viktigaste skälet (just nu) är att

(11)
\begin{align} f(x)=e^x \Rightarrow f'(x)=e^x \end{align}

dvs med basen e blir exponentialfunktionen sin egen derivata! Boken noterar också (utan bevis) att:

(12)
\begin{align} f(x)=e^{kx} \Rightarrow f'(x)=ke^{kx} \end{align}

vilket alltså betyder att om man har konstant gånger x i exponenten så kommer konstanten ner som faktor medan EXPONENTEN BLIR INTAKT. Om man råkar minska med ett (som i potensfunktioner) som kommer provpoängen att minska med minst en!

Talet e dyker upp i många en del andra sammanhang som dock ligger utanför kursens ramar.

Lös a-uppgifter tills deriveringsregeln sitter. Därefter kan man roa sig med 2413, 2415 och 2416.

Naturliga logaritmer (sid 102-104)

Eftersom derivatan av $e^x$ blir särskilt enkel (nämligen sig själv) så kan det vara lämpligt att arbeta med basen i som någon sorts "standardbas". När man väl bestämt sig för detta är det lika naturligt att arbeta med logaritmer i basen e (som i basen 10). En sådan logaritm skrivs $\ln a$, där $\ln a$ alltså är det tal som e ska upphöjas med för att man ska få a. Om basen e är naturlig så är det lika bra att kalla $\ln$ för den naturliga logaritmen.

Logaritmlagarna (och bevisen av dem) är oberoende av bas, och alltså gäller

(13)
\begin{align} \ln (a \cdot b)=\ln a + \ln b \\ \ln(a/b) = \ln a - \ln b \\ \ln a^p = p \ln a \end{align}

Däremot låter man bli att hitta på egna räkneregler!!

Lös a-uppgifter till ni är lika logaritmsäkra som ni var i 2c (skippa dock 2428 och 2429). Därefter 2434, 2436 och 2437.

Derivatan av exponentialfunktionen $y=a^x$

Denna derivata kommer man åt med en omskrivning (som kanske känns långsökt men som faktiskt är användbar i många sammanhang) och derivatan med e i basen. Vi gör följande omskrivning

(14)
\begin{align} a^x=e^{\ln a^x} = e^{x \ln a} \end{align}

Här är $\ln a$ en konstant och kan tänkas på som $k=\ln a$. Man använder sedan deriveringsregeln från sida 99 och får sammantaget

(15)
\begin{align} D(a^x)=D(e^{x \ln a}) = \ln a \cdot e^{x \ln a} = \ln a \cdot a^x \end{align}

där man i sista steget skriver om på basen a igen. Deriverar man alltså en exponentialfunktion med annan bas än e kommer man förutom funktionen själv få med en faktor $\ln a$ (som alltså är en konstant).

Lös a-uppgifter efter behov och 2447c, 2448b, 2449 och 2452.

Tillämpningar och problemlösning (sid 107-110)

Ingen ny matematik här. Istället ska man läsa texter, översätta till matematik och tillämpa gamla kunskaper.

Lös 2464, 2467, 2468, 2469 och samtliga c-uppgifter.

Extraproblem

I uppgift 2412 ska man numeriskt undersöka gränsvärdet

(16)
\begin{align} \lim_{h \to 0} \frac{5^h-1}{h} \end{align}

Man får att gränsvärdet är ungefär 1,61, vilket är "misstänkt likt" $\ln 5$. Så problemet är att visa att

(17)
\begin{align} \lim_{h \to 0} \frac{5^h-1}{h} = \ln 5 \end{align}

och mer allmänt att

(18)
\begin{align} \lim_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h} = \ln a \end{align}

Man kan t.ex. använda ett knep som liknar det med att förlänga med faktorn k när man visar derivatan av $e^{kx}$.

2.5 Grafisk och numerisk derivering

Olika differenskvoter (sid 111-113)

I derivatans definition fixerar man den punkt man söker derivatan i och bestämmer sekantlutningar till punkter i "närheten" på kurvan. Oftast illustrerar man detta genom att välja en punkt h enheter till höger på kurvan. Det finns emellertid inget som hindrar att man väljer punkten h enhet till vänster. Man får då

(19)
\begin{align} f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x)- f(x-h)}{h} \end{align}

Observera ordningen i täljaren.

Ett annat sätt att angripa problem med lutningen i en punkt på en kurva är att betrakta ett intervall symmetriskt kring den aktuella punkten och successivt minska detta intervall. Man får

(20)
\begin{align} f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)- f(x-h)}{2h} \end{align}

Observera att skillnaden mellan x+h och x-h är 2h, därav nämnaren. Om det är fråga om att göra numeriska approximationer av derivatan är ofta den sistnämnda symmetriska varianten bäst.

Lös 2508, 2509, 2510, 2512 och 2513.

Grafritande räknare och derivators värde (114-116)

Se till så ni kan "derivera" på räknedosan (både med funktionen nDeriv och direkt i en graf) och/eller med GeoGebra. Givetvis är GeoGebra ett mycket bättre verktyg. Om man graderar en potatis, räknaren och GeoGebra som hjälpmedel för derivering/illustration så hamnar räknaren närmre potatisen!

Lös 2515, 2517, 2519cd och 2522. Gärna med GeoGebra istället för räknare!

3.1 Vad säger förstaderivatan om grafen?

Extrempunkter och extremvärden (sid 131-132)

I avsnitt 3.1 handlar det om att koppla egenskaper hos derivatan till egenskaper hos en funktions graf. Inledningsvis blir det mest en fråga om definitioner, det gäller att lära sig namn på olika företeelser. En lokal maximipunkt kan jämföras med toppen på Kebnekaise, befinner man sig där kan man i sin egen närhet inte observera något som är högre. Dock, om man hade sett väldigt långt hade man insett att toppen på Mount Everest är betydligt högre upp. Alltså motsvarar toppen på Kebnekaise en lokal maximipunkt. Toppen på Mount Everest är däremot dessutom en global maximipunkt, det finns nämligen ingen punkt som ligger högre upp.

Man noterar också att ändpunkter i funktions definitionsmängd i allmänhet blir lokala extrempunkter. Tänk efter varför!

Slutligen, håll isär punkter och värden.

Lös 3103 och 3104.

Växande eller avtagande (sid 133-135)

En viktig observation är att definitionerna av egenskaperna växande och avtagande inte innehåller något om derivata, och att egenskaperna gäller intervall och inte enstaka punkter. Man säger t.ex. att en funktion $f$ växer i ett intervall $a \leq x \leq b$ om

(21)
\begin{align} x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2) \end{align}

Anm. i många analysböcker är det standard med $f(x_1) \leq f(x_2)$ men vi kör med lärobokens definition.

Sedan visar det sig (och är inte så svårt att ana) att derivatan har med växande och avtagande att göra. I princip gäller att om $f'(x) > 0$ i ett intervall så är funktionen växande i intervallet (men observera alltså att detta inte är definitionen utan något som kan bevisas, dock i annan kurs).

Analoga resonemang kan föras för avtagande.

Lös 3107, 3109, 3111, 3113 och 3114. Vid behov, kolla först in exempel 3105 och 3106 på sida 134.

Förstaderivatan och grafen (sid 136-139)

Förstaderivatan, eller bara derivatan, är ett utmärkt instrument om man vill skaffa sig en kvalitativ bild av grafen till ursprungsfunktionen. Man får iofs bara exakt koll på enstaka punkter på grafen, men å andra sidan är det just de intressantaste punkterna som dyker upp. Dessutom visar derivatan om grafen går "uppåt" eller "nedåt" och också hur mycket.

Typiska steg för att studera en grafen till en funktion $y=f(x)$ är:

  • bestäm/håll koll på definitionsmängden så bara aktuella intervall undersöks
  • bestäm $f'(x)$
  • lös ekvationen $f'(x)=0$, derivatans nollställen har ju med extrempunkter att göra
  • teckenstudera derivatan med hjälp av nollställena ovan, man får då reda på vilken typ av extrempunkt, eller möjligen terrasspunkt, man har samt om grafen går "uppåt" eller "nedåt"
  • bestäm funktionsvärdena (y-värden) i extrempunkter och eventuellt andra intressanta eller "enkla" punkter (såsom skärning med y-axel)
  • markera punkterna i ett koordinatsystem och skissa grafen utifrån teckenstudie

Punktlistan ovan hamnar efter lite träning i ryggmärgen. Det är iofs bra, men man måste hela tiden tänka efter så man också förstår vad det är man pysslar med!

Lös 3116, 3120, 3122, 3124, 3125, 3127 och 3128.

Skissa grafer (sid 141-142)

Som beskrivits ovan är derivatan, och studie av densamma, ett smidigt verktyg för att skaffa sig en bild av en grafs utseende. Speciellt får man koll på extrempunkter (exakt) och var funktionen växer respektive avtar. Ett annat, mindre exakt, men ofta snabbare sätt är att studera vilka delar av funktionssuttrycket som dominierar för små respektive stora värden på $|x|$ (med andra ord nära origo och långt från origo).

Betrakta t.ex. $f(x)=x^3+2x^2-3x+1$. För stora $|x|$ gäller att $f(x) \approx x^3$ och för små $|x|$ att $f(x) \approx 3x+1$. Således kan man konstruera en ganska bra skiss av grafen om man rita graferna till $x^3$ och $3x+1$ och binder ihop dem på hyfsat sätt. T.ex så inser man att funktionen har två lokala extrempunkter, i ordningen första max sedan min. Vill man sedan bestämma dessa exakt får man ta fram derivataverktyget.

I uppgifterna på sida 142 ska det emellanåt skissas grafer. Använd då tekniken ovan för just skissen och kontrollera sedan med rälknedosa eller hellre GeoGebra.

Lös 3129, 3131, 3134, 3136, 3138, 3139 och 3141.

Största och minsta värde (sid 144-146)

I många sammanhang är man intresserad av en funktions (globalt) största och minsta värde i ett intervall (som såklart kan vara hela x-axeln). Hur finner man då dessa värden, om de ens finns? Jo man letar på tre ställen

  1. Derivatans nollställen
  2. Intervallens ändpunkter
  3. Punkter där derivatan inte existerar (ni kan tänka er att det handlar om hörn)

Man gör en sammanställning av funktionsvärdena i sådana punkter, och plockar sedan ut det största och det minsta funktionsvärdet. Utöver detta måste man tänka ut att största/minsta värde verkligen existerar. T.ex. övertygar man sig om att funktionsvärdena i så fall inte kan bli hur stora (positivt eller negativt) som helst. Tänk igenom hur det fungerar i förhållande till en graf.

Lös 3151, 3152, 3155, 3156 och 3157.

3.2 Derivator och tillämpningar

Polynomfunktioner (sid 147-153)

Nu är det dags att tillämpa sin kunskaper om derivator och "grafstudier". Det som är nytt är att man ofta behöver översätta en svensk text till matematiska. Man skriver upp ett funktionsuttryck och tänker ut en definitionsmängd, sen är målet i allmänhet att bestämma största eller minsta värde, och till sist svara med en svenska mening (dvs göra en tolkning av sina resultat). Observera att man ibland själv behöver rita figur och införa beteckningar.

Vill man ha lite uppvärmning kan man kika på 3202, 3207, 3211, 3214, 3222. Man kan också börja med c-uppgifterna 3223, 3225, 3228, 3229, 3230, 3231, 3232. Går dessa bra räcker det gott.

Potensfunktioner (sid 154-156)

Metoden för att lösa dessa problem är samma som i föregående avsnitt. Det handlar om att leta upp största och minsta värde till potensfunktioner, och detta gör man med derivata, derivatans nollställe etc.

En väsentlig skillnad är att potensfunktioner inte behöver vara definierade för alla x. T.ex. måste ju $x \geq 0$ i uttrycket $\sqrt{x} = x^{0.5}$ och $x \neq 0$ i uttrycket $\frac{1}{x}$. Man måste också ta hänsyn till detta i sin teckenstudie av derivatan (man får fler "delningspunkter"). Teckenstudera derivatan till $f(x)=\frac{1}{x}$ och skissa grafen så ser du nog varför.

Den valfria uppvärmingen här är 3237, 3239, 3241. Man kan också börja med 3242, 3245, 3246 och 3247. Går dessa bra räcker det gott.

Andraderivatan/andraderivatan och grafen (sid 157-160)

Att räkna ut andraderivatan är rättframt, man deriverar ursprungsfunktionen två gånger. Observera beteckningen

(22)
\begin{align} y''(x)= \frac{d^2y}{dx^2}. \end{align}

Tvåan i täljaren ska alltså stå mellan d:et och y:et medan tvåan i nämnaren står efter x:et. Detta är i själva verket en logisk notation!

Vad som är mindre självklart är vad man ska ha andraderivatan till. Ett "användningsområde" är mekanik, där andraderivatan motsvarar acceleration, som t.ex. dyker upp i Newtons formel $F=ma$. Vi ska också använda andraderivatan för allmänna grafstudier. Lite slarvigt kan man säga att andraderivatan (eller i alla fall dess tecken) anger hur det "buktar". Om $y''>0$ buktar grafen nedåt ("hänger nedåt") medan den buktar uppåt om $y''<0$. Tänk efter varför det blir så! Ha i minnet att andraderivatan anger derivatans växande och avtagande.

Man kan använda andraderivata för att avgöra om ett nollställe till derivatan är lokalt max eller min (och alltså spara in på en teckenstudie) enligt följande: Om $y''>0$ är det fråga om lokalt min (lekskolepedagogik: positiv andraderivata ger glad graf) och om $y''<0$ är det fråga om max (lekskolepedagogik: negativ andraderivata ger ledsen graf).

Observera att om $y''=0$ kan inget sägas, punkten i fråga kan vara max, min eller terrass. Man får använda t.ex. teckenstudie istället.

Lös b- och c-uppgifter på sida 157 och samtliga uppgifter på sida 160.

Grafritande räknare (sid 162-163)

Ingen ny matte. Om man har jobbat med GoeGebra i andra uppgifter kan dessa skippas.

Om man känner att man vill träna GeoGebra kan man arbeta med 3268 (nollställe, max, min), 3271 (derivatan i punkt), 3272 (värdetabell) med räknedosan eller hellre med GeoGebra. Inga beräkningar görs för hand här. Dock är det viktigt att ni tänker efter vad som är rimligt.

Tillämpningar och problemlösning (sid 164-167)

Blandade problem med derivatainnehåll. Inget nytt matematiskt.

Lös 3283, 3287, 3289, 3292 och 3293.

Kan alla funktioner deriveras? (sid 170-171)

Att en funktion är deriverbar i en punkt innebär i princip att det finns en entydig tangentlinje till grafen i punkter. Det innebär att grafen måste "hänga ihop" och dessutom inte ha några hörn.

Som kuriosa kan noteras att Weierstrass lyckades konstruera en graf som "hänger ihop" men där derivatan saknas i varje punkt (man kan alltså säga att varje punkt är ett hörn). Försök rita den grafen, eller kolla här.

Lös 3295, 3297 och eventuellt 3299.

3.3 Från derivata till funktion

Primitiva funktioner (sid 173-175)

Situationen i detta avsnitt är att vi känner till en funktions derivata och söker själva funktionen. Varför detta är intressant kommer att framgå, men man kan redan nu tänka sig den fysikaliska situationen att man känner till hur fort något rör sig (en derivata) och vill veta hur lång sträcka detta något har färdats (ursprungsfunktionen). Man löser problemet genom att (helt enkelt) ''baklängesderivera'' $f(x)$, eller med korrektare språkbruk ta primitiv funktion till $f(x)$. Primitiva funktioner skrivs ofta med motsvarande stor bokstav, så $F(x)$ är alltså en primitiv funktion till $f(x)$ om $F'(x)=f(x)$.

Om man är slängd på derivering så kommer bestämmande av primitiv funktion vara relativt smärtfritt, låt oss ta ett exempel: Bestäm samtliga (observera, det finns många) primitiva funktioner till

(23)
\begin{equation} f(x)=2x. \end{equation}

Man inser efter lite eftertanke att en primitiv funktion (skrivs alltså med stor bokstav) är

(24)
\begin{equation} F(x)=x^2. \end{equation}

Finns det fler? Ja, alla funktioner på formen

(25)
\begin{equation} F(x)=x^2+C \end{equation}

där C är en godtycklig konstant duger. Man kan visa (överkurs) att det inte finns fler, så lösningstekniken blir att hitta en specifik primitiv funktion och sedan lägga till konstanten C till denna.

Nu återstår bara att träna!

Lös 3304d, 3305d, 3306d (eller direkt 3312 och strunta i dessa 3), 3307, 3310, 3312, 3313, 3314.

Primitiva funktioner med villkor (sid 176-177)

Ovan konstaterades att samtliga primitiva till $f(x)=2x$ ges av $F(x)=x^2+C$ där C är en godtycklig konstant. Det är ju inte så konstigt, om man känner till en derivata (lutning) så är ju "formen" på ursprungsfunktionen given men inte dess position i y-led.

Om man däremot känner till ett specifikt funktionsvärde till den primitiva funktionen blir det ett entydigt svar. T.ex. kan vi bestämma den primitiva funktion till $f(x)=2x$ som uppfyller att $F(1)=2$. Vi vet att $F(x)=x^2+C$ och villkoret ger att $1^2+C=2$$C=1$ och den specifika primitiva blir $F(x)=x^2+1$.

Taktiken är alltså att först bestämma samtliga primitiva och sedan använda givet villkor för att hitta den specifika.

Lös minst 3317, 3321, 3322 och eventuellt 3326.

3.4 Integraler

Inledning (sid 178-180)

Som boken visar så kan man bestämma hur långt man har färdats, $s(t)$ om man råkar känna till grafen till hastighetsfunktionern $v(t)$ genom att bestämma arean "under" grafen till $v(t)$. Att detta är korrekt inser man genom att studera hur långt man färdas i små tidsintervall och i dessa approximerar med en konstant hastighet (se sid 178)

Sedan skrotar man den fysikaliska tolkning och låter

(26)
\begin{align} \int_{a}^{b} f(x) dx \end{align}

beteckna arean mellan funktionsgrafen $y=f(x)$ och x-axeln (det är inte sant om grafen ligger under x-axeln men vi avvaktar med detta). Själva uttrycket kallas en integral, och mer precist "integralen av $f$ från a till b".

Varför ser beteckningen ut som den gör? Man kan tänka sig $\int$ som ett utdraget S vilket härrör från tanken att arean kan bestämmas som en summa av många smala rektangelareor. Uttrycket $f(x)dx$ kan sedan ses som en sådan rektangelarea med höjden $f(x)$ och basen $dx$ (en kort bit av x-axeln).

Lös samtliga uppgifter eller tills ni tröttnar.

Integralberäkning med primitiv funktion (sid 182-185)

Bokens framställning om sambandet mellan integraler och primitiv funktion är tunn. Det boken kallar numerisk metod är snarare i närheten av en definition av en integral. Det som sedan kallas allmän metod är snarast "Analysens huvudsats" vilken säger att integraler (i vissa fall) kan beräknas med primitiv funktion. Såhär går det till:

Låt $F(x)$ vara en primitiv funktion till $f(x)$. Då gäller

(27)
\begin{align} \int_{a}^{b} f(x)dx=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a) \end{align}

under rimliga förutsättningar på funktionen $f$ (som alltid är uppfyllda i kursen).

Antag t.ex. att vi vill bestämma

(28)
\begin{align} \int_{0}^{1} x^2 dx \end{align}

som alltså geometriskt svarar mot arean mellan x-axeln och grafen till $f(x)=x^2$ i intervallet $0 \leq x \leq 1$ och som per definition ges av ett gränsvärde av en rektangelsumma. Analysens huvudsats ger ett mycket effektivare sätt att bestämma integralen, i princip behöver vi bara en primitiv till $x^2$ t.ex. $x^3/3$. Vi får sedan

(29)
\begin{align} \int_0^1 x^2 dx =\left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \end{align}

Man kan alltså bestämma värdet på en integral genom att sätta in gränserna i den primitiva funktionen och subtrahera. Informellt kan man tänka sig $F(x)$ som en arearäknarfunktion. $F(b)-F(a)$ anger arean under grafen fram till b minus arean fram till a, dvs arean mellan a och b.

Lös samtliga uppgifter.

Tillämpningar och problemlösning (186-190)

Så är det dags att använda det vi lärt oss i mer tillämpade sammanhang. Som ni ser på sida 186 så kan man ha integralen till annat än att räkna area (även om man i princip alltid kan göra en areatolkning). Varje formel som är en produkt av två storheter där den ena varierar med den andra, kan sägas ge upphov till en integral.

I tillämpade sammanhang är det ofta bra att tänka i enheter. Kom då ihåg att integralen är en summa av "en massa" termer. Enheten på integralen blir alltså samma som termernas enhet, dvs enheten på det som står i integralen. Om t.ex. $v(t)$ anges i meter/sekund och tiden $t$ OCH DÄRMED OCKSÅ $dt$ i sekunder så har alltså integralen

(30)
\begin{align} \int_a^b v(t) dt \end{align}

enheten meter!

Lös 3421, 3422, 3423, 3425a, 3426, 3428, 3430, 3432, 3435 och eventuellt 3438, 3439, 3440. Eventuellt kan man hoppas över a-uppgifterna (om man tänker göra resten).

4.1 Från rätvinkliga till godtyckliga trianglar

Trigonometri i rätvinkliga trianglar (sid 206-208)

För att definiera $\sin$, $\cos$ och $\tan$ för vinklar mellan 0 och 90 grader utgår man från rätvinkliga trianglar. Indata är vinkeln i ett orät (ok, det kan nog inte heta så men jag kom inte på något bättre) hörn och utdata är kvoter av sidlängder. Gissningsvis känner ni igen detta från Ma1c och kanske fysikundervisningen (vid komposantuppdelning t.ex.).

Lös uppgifter efter behov. I 4112 är det svåra att rita en bra hjälplinje.

Två speciella trianglar (sid 209)

I vissa rätvinkliga trianglar kan man bestämma $\sin$, $\cos$ och $\tan$ exakt. Det handlar om likbent respektive halv liksidig triangel. Man behöver inte lära sig värdena utantill, utan de kan t.ex. hämtas från sista sidan på standardformelbladet (dock krävs det att man kan detta utantill på t.ex. LTH!). Däremot kan man träna sin förståelse och lite räkningar genom att ta fram värdena.

Lös 4114, 4115, 4117, 4118.

Cirkelns ekvation (210)

Poängen med detta avsnitt just här är i princip att ni ska förstå att $x^2+y^2=1$ är ekvationen för enhetscirkeln (med centrum i origo). Ekvationen fås direkt ur Pythagoras sats. Lite intressant kan också vara att förstå hur man "flyttar" kurvor i sidled. Att t.ex. $(x-1)^2+ (y+2)^2=1$ är enhetscirkeln centrerad i (flyttad till) punkten (1,-2) bygger på samma princip som att kurvan $y=(x-1)^2$ fås genom förflyttning av $y=x^2$ ett steg åt höger.

Lös a-uppgifterna, 4125 och eventuellt 4127.

Godtyckliga trianglar (211-215)

Vill man räkna ut t.ex. $\sin 135^{\circ}$ får man problem med vår definition, några rätvinkliga trianglar med trubbiga vinklar låter sig inte ritas. Istället gör man en "ny" definition av $\sin$, $\cos$ och $\tan$ med hjälp av enhetscirkeln (cirkel med radie 1). Man kan då bestämma t.ex. $\sin v$ för vilken "vinkel" som helst (t.o.m. negativ eller "jättetrubbiga", dvs mer är $180^{\circ}$).

Man observerar sedan att vår nya definition överensstämmer med den gamla om man håller sig i första kvadranten.

Kolla in enhetscirkeln i GeoGebra här.

Lös alla uppgifter.

4.2 Triangelsatserna

Areasatsen (sid 216-218)

Detta är en ganska "sketen" (enkel) sats, som fungerar i alla trianglar. Man utgår från areaformeln för en triangel

(31)
\begin{align} T=\frac{b \cdot h}{2} \end{align}

(ja jag får kalla arean för T om jag vill, och det vill jag) och skriver om triangelns höjd (man kan välja vilken av de tre möjliga höjderna som helst) med sinus och får

(32)
\begin{align} T=\frac{b \cdot c \cdot \sin A}{2} \end{align}

med bokens beteckningar. Det är bättre att lära sig hur man tar fram areaformeln än att lära sig den utantill. Observera att areaformeln fungerar också om vinkeln $A$ är trubbig. Det beror på att $\sin(180-A)=\sin A$, vilket inses genom att kika i enhetscirkeln.

Lös 4204, 4206, 4209, 4211, 4213, 4214.

Sinussatsen (sid 219-220)

Om man känner tre vinkel- eller längdmått i en triangel är den "oftast" entydigt bestämd och man kan med trigonometri bestämma övriga mått. Undantagen från denna regel är

1. Om man känner tre vinklar så är triangeln bestämd till form men inte storlek.

2. Om man känner två sidor och icke-mellanliggande vinkel kan det finnas två olika trianglar med dessa mått (men måste inte). Detta hanteras i boken på sid 221-225.

Sinussatsen, i en triangel med bokens beteckningar, lyder

(33)
\begin{align} \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} \end{align}

Den fungerar i alla trianglar och är användbar om man känner till en vinkel och dess motstående sida plus ytterligare ett mått. Beviset av satsen är en direkt följd av areasatsen. Man skriver upp arean på tre sätt och förlänger med 2/abc.

Lös 4215, 4217, 4219. Observera att den "gröna" vinkeln i uppgift 4219 fallit bort, den ska vara 33,4 grader (utan denna är uppgiften olöslig).

När ger sinussatsen två fall? (sid 221-225)

Som ni minns så har ekvationen

(34)
\begin{align} \sin v = a \end{align}

"oftast" två lösningar i intervallet $0 < v < 180$ (vilka undantag finns?). Geometriskt och lite slarvigt formulerat svarar detta mot att vissa trianglar inte blir entydigt bestämda, en vinkel i triangeln kan vara $v$ eller $180-v$ t.ex.

I tabellen på sida 223 finns de olika möjligheterna uppradade med tillhörande villkor på sidor och vinklar. Detta är inget att lära sig utantill, det är bättre att vara vaksam när man löser uppgifterna och rekonstruera situationerna vid behov. Det kan vara bra att inledningsvis, t.ex. genom en skiss eller i GeoGebra, försöka skaffa sig en uppfattning om vilka och hur många trianglar som kan vara möjliga.

Lös a-uppgifter efter behov samt UDDANUMRERADE b-uppgifter och UDDANUMRERADE c-uppgifter.

Cosinussatsen (226-230)

Detta är den sista av de trigonometriska satserna (areasatsen, sinussatsen, cosinussatsen). Den är användbar t.ex. om man i en triangel känner två sidor och mellanliggande vinkel och vill ta reda på återstående sida och vinklar. Kom ihåg att en triangel är entydigt bestämd av just två sidor och mellanliggande vinkel så det uppstår inte samma problem som med trianglarna i förra avsnittet. Varför kan man förresten inte "fläska på" med sinussatsen om man känner två sidor och mellanliggande vinkel?

Såhär ser cosinussatsen ut (med bokens beteckningar):

(35)
\begin{align} c^2 = a^2+b^2-2ab \cdot \cos C \end{align}

Observera att om vinkel C är rät så blir $\cos C=0$ och cosinussatsen kokar ner till gamla hederliga Pythagoras sats ($c^2=a^2+b^2$). Ett slarvigt sätt att formulera detta är att cosinussatsen är en "tillfixad" variant av Pythagoras sats som fungerar i alla trianglar (trubbvinkliga såväl som spetsvinkliga).

Uppgifterna 4256 och 4257 kan kanske vara lite besvärliga, inte trigonometriskt utan för att de utspelar sig i tre dimensioner. Pythagoras sats i tre dimensioner kommer väl till pass. Tänk först, men om du kör fast kan du kolla in mina lösningar på nämnda uppgifter.

Lös a-uppgifter efter behov och 4250, 4251, 4252, 4256, 4257.

Tillämpningar och problemlösning (231-233)

Ingen ny matte, men problem av varierande svårighetsgrad och "rolighet".

Lös 4262 (ganska enkel), 4269 och gör också en formel för arean och omkretsen av en regelbunden n-hörning, 4272, 4268 fast inte räkna ut konkret area utan bevisa Heron formel (svårt).

Några problem att roa sig med parallellt med de muntliga proven

Problem 1: En triangel med sidlängderna 16, 18 och 21 har en cirkel med radie 6 centrerad i varje hörn. Bestäm $n$ så att den totala arean inuti de tre cirklarna men utanför triangeln blir $n\pi$.

P2.png

Problem 2: En eftermiddag i parken var där dubbelt så många hundar som människor, och där var dubbelt så många människor som ormar. Summan av antalet ögon och antalet ben på alla dessa människor, hundar och ormar tillsammans var 510. Hur många hundar var där i parken?

Problem 3: I triangel ABC är AB=AC. Punkten D på sida BC placeras så att AD=CD och $\angle BAD=36^{\circ}$. Bestäm $\angle BAC$.

Problem 4: Om 10 år är produkten av Melanies och Phils åldrar 400 större än vad den är nu. Bestäm summan av Melanies ålder och Phils ålder om sex år.

Problem 5: Låt a och b vara positiva heltal sådana att 2a-9b+18ab=2018. Bestäm b-a.

och så ett par svårare

Problem 6: Antag att a och b är positiva reella tal sådana att

(36)
\begin{align} 3\log_{101}\left(\frac{1030301-a-b}{3ab} \right) = 3-2 \log_{101}(ab) \end{align}

Bestäm $101-a^{1/3}-b^{1/3}$

Problem 7: Antag att $p < q <r <s$ är primtal sådana att $pqrs+1=4^{p+q}$. Bestäm $r+s$.

eller några filmer

A Mathematical Mystery Tour, har några år på nacken men matematiken är intakt.

Wildberger om Arkimedes och parabler, Arkimedes kunde beräkna arean under andragradskurvor utan integralen. Kolla hur! Inte så lätt men det säger ju en del om Arkimedes kapacitet.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License