Inlaemningsuppgift

Under konstruktion för tillfället

Vertex på andragradskurva

[Förkunskaper: Kap1, men man har nytta av kap2 och 3 också]

Betrakta en allmän andragradsfunktion

(1)
\begin{equation} f(x)=ax^2+bx+c \end{equation}

Låt a och c vara fixerade (men godtyckliga) och variera b. Vertex rör sig då längs en kurva. Bestäm denna kurva. Börja gärna med några "konkreta" andragradsfunktioner, men försök till sist finna ett uttryck för "vertexkurvan" med a och c som parametrar.

Brantaste punkten på en tredjegradskurva

Låt $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ vara en tredjegradsfunktion med två lokala extrempunkter i ordningen (från vänster) först ett max sedan ett min.

a) Vad kan man säga om konstanterna a, b, c, och d om villkoret med först ett max och sedan ett min ska vara uppfyllt. Utred så mycket som möjligt.

b) Visa att punkten mitt emellan dessa extrempunkter ligger på grafen och är den punkt där derivatan är som minst.

Felaktiga logaritmlagar

Logaritmlagarna brukar misshandlas i den meningen att man använder egna som inte stämmer. Följande omskrivningar är t.ex. inte korrekta i allmänhet:

(2)
\begin{align} \ln(x+y) = \ln x+ \ln y \end{align}
(3)
\begin{align} \frac{\ln a}{\ln b} = \frac{a}{b} \end{align}

a) Visa att omskrivningarna ovan inte är korrekta i allmänhet.

b) Finn några specifika tal x, y, a, b så att omskrivningarna faktiskt är korrekta.

c) Vad kan man säga om talen x och y om omskrivningen ska gälla? Ge ett generellt samband.

d) Om $a=b$ är tal större än 0 är det klart att omskrivningen är korrekt. Bestäm/beskriv samtliga andra värden på $a$ och $b$ så att omskrivningen är korrekt.

Area- och omkretssamband hos rektanglar

a) Rita en rektangel (vilken du vill), denna rektangel kallas nedan R.

b) Konstruera sedan en rektangel som har dubbelt så stor area som R:s area och en (annan) rektangel med dubbelt så stor omkrets som R:s omkrets.

c) Konstruera en rektangel som både har dubbelt så stor area och omkrets jämfört med R:s area och omkrets?

d) Visa att för varje rektangel är det möjligt att konstruera en ny rektangel med dubblad omkrets och dubblad area.

e) Givet en rektangel med sidlängder a och b. För vilka värden är på a och b är det möjligt att konstruera en rektangel med halverad area och halverad omkrets?

Parabler och paraboler

Parabel är ett annat namn på en andragradskurva, och en parabol kan lite slarvig sägas vara en tredimensionell parabel. Vi ska i denna uppgift studera en egenskap hos parabeln som som gör att dess tredimensionella motsvarighet är lämplig just som antenn.

Betrakta grafen till funktionen $f(x)=x^2$. Antag att det finns en strålningskälla "oändligt" långt uppåt och att denna källa sänder strålar parallella med y-axeln ner mot parabeln. Dessa strålar reflekteras i parabeln så att infallsvinkel mot parabeln är lika med reflektionsvinkeln. Man anger dessa vinklar punktvis mot parabelns tangenter.

Visa att alla infallande strålar reflekteras i en och samma punkt, samt bestäm koordinaterna för denna punkt.

Förklara varför parabeln dyker upp när man konstruerar strålkastare.

Bästa sättet att plocka äpple eller när ska man byta träd

Antag att antalet kg äpplen som man kan plocka från ett träd på $x$ minuter är

(4)
\begin{align} m(x)=\frac{120}{1+e^{-0.2x}} -60 \end{align}

Antag också att det tar 1 minut att transportera sig till ett nytt träd som är "oplockat".

a) Enligt modellen, hur många kilo äpplen finns det totalt på ett äppelträd?

b) Rita och studera grafen till $m(x)$ och kommentera dess utseende och hur realistisk den är (i förhållande till äppelplockarsituationen).

c) Om man plockar för länge på samma träd kommer "effektiviteten" efter hand att minska. Därför vill man byta träd. Å andra sidan tar det tid att byta träd, och under denna tid plockar man inget. Givet modellen ovan, utred vilken som är den optimala tiden att arbeta på varje träd.

d) Förklara hur man kan finna den optimala tiden som man ska plocka på ett och samma träd (innan man går vidare till ett nytt oplockat) om man har en annan funktion än den ovan.

Anm. Om ni skulle behöva derivatan av $m(x)$, som hamnar utanför Ma3c, kan antingen använda Wolfram Alpha eller resonera utifrån funktionens graf. Deriveringsregeln ligger utanför kursens ramar.

Samband mellan riktningskoefficienter

Som ni kanske minns från Matematik 2c så finns det ett enkelt samband mellan k-värdena, $k_1, \, k_2$, för två vinkelräta linjer, nämligen

(5)
\begin{align} k_1 \cdot k_2 = -1. \end{align}

Försök plocka fram ett samband ("en formel") mellan k-värden hos två linjer med mellanliggande vinkel $45^{\circ}$. Kan ni bevisa den?

Funktionalekvationer med polynom

En funktionalekvation är en ekvation där det obekanta är en funktion och inte ett tal. I denna uppgift förutsätter vi att den sökta funktionen är ett polynom $p(x)$. Lös följande funktionalekvationer (eller utred så mycket som möjligt om lösningarna):

a) $p(x)^2 = 2p(x)$

b) $p(p(x))=p(x+1)$

c) $p(x^3)=x^2p(x^2)$

d) $p(x)^2 = p(x^2)$

Polynom med minsta avvikelse från noll

I denna uppgift studerar vi värdena på vissa polynom av given grad i intervallet $I :-2 \leq x \leq 2$ och försöker finna det med minsta avvikelse från noll i följande mening. Låt $M$ var polynomets största värde och $m$ polynomets minsta värde i intervallet $I$ och låt C vara det största värdet av $|M|$ och $|m|$. Polynomet har minsta avvikelse från noll om talet $C$ är minsta möjliga, för den givna klassen av polynom.

a) Betrakta mängden av alla förstagradspolynom med högstagradskoefficient 1, $p(x)=x+a$. Finn det eller de polynom bland dessa som har minsta avvikelse från noll (i intervallet $I$).

b) Betrakta mängden av alla andragradspolynom med högstagradskoefficient 1, $p(x)=x^2+ax+b$. Finn det eller de polynom bland dessa som har minsta avvikelse från noll (i intervallet $I$).

c) Betrakta mängden av alla tredjegradspolynom med högstagradskoefficient 1, $p(x)=x^3+ax^2+bx+c$. Finn det eller de polynom bland dessa som har minsta avvikelse från noll (i intervallet $I$).'

d) Nu blir det (nog) rejält svårt. Bestäm det n:te-grads polynom med högstagradskoefficient 1 som har minsta avvikelse från noll, och motivera valet.

Från styrdokumenten

Betygskriterier betyget A

Eleven kan definiera och utförligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av flera representationer samt utförligt beskriva sambanden mellan begreppen. Dessutom växlar eleven med säkerhet mellan olika representationer. Eleven kan med säkerhet använda begrepp och samband mellan begrepp för att lösa komplexa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena. I arbetet hanterar eleven flera procedurer, inklusive avancerade och algebraiska uttryck, och löser uppgifter av standardkaraktär med säkerhet och på ett effektivt sätt, både utan och med digitala verktyg.

Eleven kan formulera, analysera och lösa matematiska problem av komplex karaktär. Dessa problem inkluderar flera begrepp och kräver avancerade tolkningar. I problemlösning upptäcker eleven generella samband som presenteras med symbolisk algebra. I arbetet gör eleven om realistiska problemsituationer till matematiska formuleringar genom att välja, tillämpa och anpassa matematiska modeller. Eleven kan med nyanserade omdömen utvärdera resultatets rimlighet samt valda modeller, strategier, metoder och alternativ till dem.

Eleven kan föra välgrundade och nyanserade matematiska resonemang, värdera med nyanserade omdömen och vidareutveckla egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden. Vidare kan eleven genomföra matematiska bevis. Dessutom uttrycker sig eleven med säkerhet i tal och skrift samt använder matematiska symboler och andra representationer med god anpassning till syfte och situation.

Genom att ge exempel relaterar eleven något i några av kursens delområden till dess betydelse inom andra ämnen, yrkesliv, samhällsliv och matematikens kulturhistoria. Dessutom kan eleven föra välgrundade och nyanserade resonemang om exemplens relevans.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License