matematik-3c-ht17-vt18:detaljplan

1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3.1 3.2 3.3 3.4 4.1 4.2

1.1 Algebra och polynom

Polynom och räkneregler (sid 8-11)

Kolla upp vad som menas med ett polynom och vad som inte är ett polynom. Repetera beteckningen $p(x)$ och varianter på detta som t.ex. $p(a+1)$. Ett sätt och tänka är med tomma rutor och cirklar som man sedan sätter in lämpliga "saker" i. Friska också upp minnet på att räkna med polynom, sätta in värden, göra matematik av text.

Använd gärna Wolfram Alpha för några "räkningar". Man skriver helt enkelt in det man känner för och så spottar WA ut en massa intressant. Notera gärna "svaren" och fråga om sådant som verkar intressant/oklart.

Lös 1106d, 1111d, 1112, 1115b och eventuellt 1119, 1120 och därefter uppgifter efter behov. Det betyder (framöver) att man tänker efter vad man inte kan, vilket mål man har och hur mycket tid man orkar lägga. I princip ska alla klara samtliga a-uppgifter, men det betyder inte att man måste räkna alla. Det kan räcka att ögna igenom och räkna en av varje typ. Beroende på betygsmål ger man sig sedan i kast med b- och c-uppgifter.

Potenser (sid 12-13)

Egentligen inget nytt under solen, men kanske några problem är lite mer tekniska än i t.ex. Ma2c. Underskatta inte vikten av träning. Man bör inte bara kunna tänka ut hur man gör, utan kunna göra det snabbt och korrekt.

Varför $a^0, a\neq 0$ sätts till 1 och varför man hanterar negativa exponenter som man gör bör ni tänka igenom!

Lös 1128b, 1131, 1132d, 1133 och därefter efter behov.

Kvadratrötter och absolutbelopp (sid 14-16)

Även här känner ni igen en del, men nog inte allt. Kom ihåg att roten ur "något" blir icke-negativt (eftersom man bestämt så). T.ex. $\sqrt{4} = 2$, $\sqrt{9} = 3$ och inget annat!

Definitionen av absolutbelopp ser värre ut än den är. Utgå gärna från den geometriska tolkningen som avstånd (som alltså inte kan vara negativa). Är man lite slarvig kan man säga att $| \; |$ är en "minusborttagare".

Lös 1141, 1145, 1146b, 1148a och eventuellt 1155b, 1156b på kvadratrötter och 1144, 1150, 1152, 1153 på absolutbelopp.

Ekvationer (sid 17-21)

Inte mycket nytt egentligen. Några saker kan vara bra att trycka på:

  • Om man har ett faktoriserat uttryck som är lika med 0, multiplicera inte ihop utan studera faktorerna var för sig.
  • Målet är ofta att få x på ett ställe och sedan städa.
  • Om man har halvläskiga uttryck (fast samma) på flera ställen kan man använda "bullshitprincipen" och kalla det läskiga för t.
  • När man löser ekvationen med rötter kan s.k. falska lösningar dyka upp. Kontrollera genom insättning i ursprungsekvationen.

Lös 1161d, 1162a, 1164c, 1165c, 1168b, 1173 och eventuellt 1174 på sida 19 och 1179a, 1180 och eventuellt 1184 på sida 21.

Polynom i faktorform (sid 22-23)

Att multiplicera ihop parenteser, eller "gånga in i parenteser" är i princip lätt. Den omvända processen, att återställa parenteser, bryta ut eller mer korrekt faktorisera är mindre lätt. Så om det tar emot lite här så är det normalt.

För att få svart bälte i faktorisering behöver man kunna köra konjugat- och kvadreringsregler "baklänges", också med ganska komplicerade uttryck. Man behöver också känna till att ett polynom $p(x)$ har ett nollställe $a$ precis då polynomet har en faktor $(x-a)$. Har man alltså hittat det ena så har man hittat det andra.

Till exempel: Polynomet $p(x)=x^2+2x-3$ har ett nollställe $a=1$, dvs $p(1)=0$. Alltså kan vi dra slutsatsen att $p(x)$ kan skrivas

(1)
\begin{align} p(x)=(x-1) \cdot q(x) \end{align}

där $q(x)$ råkar vara $(x+3)$ (eftersom $x=-3$ också är ett nollställe).

Så en taktik för att faktorisera polynom är att först bestämma dessa nollställen och sedan snickra faktorer.

Lös 1188d, 1189d, 1191, 1193b eller 1196 och 1198 (fixar man 1196 kan man det tidigare). Man kan också köra en omgång av detta spel (funkar om man tillåter Flash) istället för a-uppgifter om man vill.

1.2 Rationella uttryck

Vad menas med ett rationellt uttryck? (sid 26-27)

Med rationella tal (bråk) menar man tal på formen "heltal genom heltal". På motsvarande sätt är ett rationellt uttryck något som har formen "polynom genom polynom". Minns det elfte budet: du skall icke dela med noll. Det innebär att variabelvärden (x-värden) som gör nämnaren till noll måste exkluderas. Man säger att det rationella uttrycket inte är definierat för dessa x.

Lös 1206d, 1207 och eventuellt 1208.

Förkortning och förlängning (sid 28-32)

Det är i princip ingen skillnad på att förlänga och förkorta rationella uttryck och förlänga och förkorta bråk. Alltså är mycket vunnet om man är säker i bråkräkning. Det som kan vara knepigt är att "se" hur man ska förlänga och vad som kan förkortas.

Förlänga behöver man göra t.ex. om man ska addera eller subtrahera rationella uttryck. Man studerar då nämnarna och försöker hitta en så liten gemensam nämnare som möjligt. Det betyder att man behöver ha med faktorerna från samtliga nämnare men inget mer.

Ska man förkorta ett rationellt uttryck behöver man i princip faktorisera täljare och nämnare. Sedan delar man bort gemensamma faktorer.

Lös t.ex. deluppgift a på varje a- och b-uppgift (från och med 1218) och sedan a på c-uppgifterna (utom 1234) om man har ork kvar.

Addition och subtraktion (sid 33-37)

Man använder samma teknik när man adderar/subtraherar rationella uttryck som när man adderar/subtraherar bråk. Man förlänger alltså till minsta gemensam nämnare och adderar/subtraherar sedan täljarna. Notera att det kan vara en ide att t.ex. faktorisera nämnarna först så man verkligen använder minsta gemensam nämnare. Man kan såklart vara brutal och använda produkten av samtliga nämnare som gemensam, men det leder till jobbigare räkningar och behov av förkortning.

När man löser ekvationer är det ofta lämpligt att skriva leden var för sig på bråkform, "korsmultiplicera" bort nämnare osv.

Lös 1248cd, 1249b, 1250b, 1251, 1254, 1258, 1259d, 1261a, 1264 samt 1265cd och 1266 om man orkar/har högre ambitioner.

Multiplikation och division (sid 38-39)

Samma gamla visa; är man säker på vanlig hederlig bråkräkning så ligger man bra till. Kom ihåg att undersöka om det är möjligt att förkorta bort faktorer innan ni sätter igång och multiplicera ihop.

Lös 1270cd, 1271cd, 1273b, 1274, 1275bc, 1276bc, 1278c, 1280 samt 1282 och 1283 om man orkar/har högre ambitioner.

1.3 Funktioner

Inledning (sid 40-42)

Inte så mycket nytt under solen jämfört med Ma2c. Ni kan passa på att friska upp minnet på begreppen Definitionsmängd och Värdemängd. Notera att som definitionsmängd avses alla x som ger ett uttryck mening (i t.ex. 1305c). Det gäller också att begripa sig på funktionssymbolen $f(x)$.

Det som är nytt är begreppen kontinuerlig respektive diskret funktion. Just begreppet kontinuitet är en central egenskap, som (över de reella talen) är subtilare än vad man först kan tro. Subtiliterna ligger dock utanför kursens ramar.

Lös uppgifter efter behov, t.ex. 1303, 1305, 1307b och eventuellt 1308 (läs i så fall först om kontinuitet på sida 40).

Räta linjens ekvation (sid 43-45)

Det börjar bli tjatigt, men inget direkt nytt här heller. Möjligen är c-uppgifterna lite att bita i. Man erinrar sig att två linjer är vinkelräta precis om produkten av deras k-värden är -1.

Lös uppgifter efter behov, t.ex. 1315, 1319ab, 1321 och eventuellt 1323.

Andragradsfunktioner (sid 46-49)

Ja, vad ska man skriva… mest gammal skåpmat. Men det krävs säkert lite uppfräschning av slumrande kunskaper. Kolla upp begreppen på sida 46, tänk igenom hur grafer hänger ihop med algebraiska uttryck etc.

Lös uppgifter efter behov, t.ex. 1327, 1330d, 1334, 1337, 1340, 1342b och eventuellt 1343.

Exponentialfunktioner och potensfunktioner (sid 50-53)

Hur de olika funktionerna ser ut framgår på sida 51. Observera att det är en "stor" skillnad om variabeln x står i basen eller exponenten. Som ni minns från Ma2c kan man lösa ekvationer med den obekanta i exponenten med hjälp av logaritmer. Friska upp grunderna inom logaritmräkning.

Lös uppgifter efter behov, t.ex. 1348, 1352, 1354, 1355, 1358, 1360, 1364 och eventuellt 1365 och 1366 om man vill/orkar. 1366b är svår och kräver en "fiffig" start.

2.1 Ändringskvoter och begreppet derivata

Ändringskvoter (sid 66-70)

Om man tillryggalägger en viss sträcka $\Delta s$ på en viss tid $\Delta t$ så blir (såklart) medelhastigheten eller den genomsnittliga förändringshastigheten

(2)
\begin{align} v=\frac{\Delta s}{\Delta t}. \end{align}

På samma sätt kan man tala om den genomsnittliga förändringshastigheten

(3)
\begin{align} \frac{\Delta y}{\Delta x} \end{align}

om y är en variabel som beror på x. Om funktionens graf är en rät linje känner ni igen ovanstående som linjens lutning (k-värde). Observera att denna blir samma överallt på en linje (men inte på kurvor/grafer i allmänhet). Om man slutligen tänker sig att $y=f(x)$ så ges den genomsnittliga förändringshastigheten då x går från a till b av

(4)
\begin{align} \frac{f(b)-f(a)}{b-a}. \end{align}

Tänk efter så ni inser att de tre formuleringarna "fångar" samma sak!

I uppgifterna nedan handlar det om att just räkna ut diverse förändringshastigheter. Värden kan man behöva räkna ut eller läsa av i graf eller tabell.

Lös 2104, 2105, 2109, 2112, 2114 och eventuellt c-uppgifterna.

Begreppet derivata (sid 71-76)

Här handlar det om derivatans geometriska tolkning som lutning av tangent till kurva och fysikaliska som hastighet. Själva prim-beteckningen i $f'$ och namnet derivata lär ha myntats av Lagrange på 1700-talet.

Lös 2124, 2125, 2127, 2130, 2132, 2133, 2135 och eventuellt 2139 och 2141.

2.2 Gränsvärde och derivatans definition

Gränsvärde (sid 77-79)

Här handlar det om "närmanden", och man studerar vad som händer med funktionsvärden när variabeln närmar sig ett givet värde. T.ex. kan man fråga sig vad "som händer" med

(5)
\begin{equation} f(x) = x^2 \end{equation}

då x närmar sig 2. Sätter man in värde på x som är allt närmre 2 ser man att $x^2$ närmar sig 4. Denna observation skriver man

(6)
\begin{align} \lim_{x \to 2} (x^2) = 4 \end{align}

och man säger att gränsvärdet av $x^2$ då x går mot 2 är 4. Observera att $x$ aldrig blir 2 och att $x^2$ aldrig blir 4. Vad man påstår är istället att $x^2$ kan komma hur nära 4 som helst om bara värdet på x är tillräckligt nära 4.

För att räkna ut gränsvärdet kan man dock i de flesta fall helt enkelt sätta in det tal som x närmar sig. Dock fungerar det inte om man, vid sådan insättning, skulle få noll i en nämnare. Då får man "se upp" och angripa problemet på något annat sätt, ofta genom en förenkling av det ursprungliga uttrycket.

Matteskolan: gränsvärde

Lös samtliga a-uppgifter (2204 och 2205 med räknedosa) och eventuellt 2207 och 2209.

Derivatans definition (sid 80-82)

För att bestämma lutningen i en punkt har vi tidigare studerat sekanter till en kurva. Genom att hålla en punkt fixerad och låta den andra närma sig den fixerade punkten "obegränsat" erhåller man tangentens lutning som gränsvärdet av sekanternas lutningar. Att formalisera detta (är h lika med 0 eller är det inte?) tog ganska lång tid och inblandade de allra största matematikerna. Om det tar några veckor för er att fatta så är det alltså lugnt :-). Ideen är i vilket fall att definiera derivatan som gränsvärdet av differenskvoten då h går mot noll, dvs

(7)
\begin{align} f'(x):=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{align}

Att det står $:=$ istället för enbart $=$ betyder att det är fråga om en definition och alltså inget man kan räkna ut. När man sedan räknar i praktiken innebär det att man räknar på med h, förenklar (om det går) och när h väl är borta från nämnaren så sätter man det (h:et alltså) lika med noll. Man kan därmed lösa många problem även om själva gränsvärdetsbegreppet får hänga i luften genom hela gymnasiet.

Här är Anders Karlssons i sitt esse förresten:

Matteskolan: Derivatans definition till skön(?) musik

Lös 2212, 2213, 2214abc (till man tröttnar), 2217, 2220.

2.3 Deriveringsregler I

Derivatan av polynom (sid 83-89)

Kolla upp så ni vet vad ett polynom är, annars är risken att ni använder fel regler vid fel tillfällen. Överhuvudtaget så behandlas bevisen för räkneregler för derivator mycket sparsamt i gymnasiekursen, det handlar i princip om att motivera allmänna "regler" med enkla exempel. Framöver är det fritt fram att använda regler när ni deriverar, ni bör dock kunna härleda derivatan för andragradsfunktioner och eventuellt tredjegradsfunktioner (om det skulle efterfrågas).

Detta måste sitta så lös samtliga a-uppgifter (eller till ni känner er säkra). Därefter ger ni i kast med b- och c-uppgifter. Här gör man så mycket man orkar/vill.

Derivatan av potensfunktioner (93-95)

En potensfunktion har formen $f(x)=x^a$ där a är vilket tal som helst. Om a råkar vara ett positivt heltal får vi ett polynom och vi vet att derivatan då blir $f'(x)=ax^{a-1}$. Det visar sig (men är ingalunda självklart) att samma deriveringsregel gäller även om a inte är ett heltal, dvs

(8)
\begin{align} f(x)=x^a \Rightarrow f'(x)=ax^{a-1} \end{align}

för alla värden på a. Observera att om a=1/2 får vi $f(x)=x^{1/2}=\sqrt{x}$ och om a=-1 får vi $f(x)=1/x$, funktioner som vi nu alltså kan derivera.

Den som siktar på högsta betyget kan sätta sig in i bevisen på sida 93, för övriga räcker det att kunna använda deriveringsregeln.

Lös samtliga uppgifter, utom eventuellt c-uppgifterna.

2.4 Deriveringsregler II


Talet e via extraproblem

Talet e och derivatan av exponentialfunktioner har med nedanstående (idealiserade) problem att göra.

Problem 1

En bank i Ankeborg utbetalar 100% årlig ränta (såklart orealistiskt men det blir enklare att räkna, och principen är densamma). Om vi sätter in 100 kronor vid året början och tar ut dessa ett år senare har vi såklart 200 kronor. Men nu ska vi tjäna pengar genom att "arbeta" lite:

  • Anta att banken betalar 50% ränta på pengarna per halvår, vilket ju är rimligt. Vi sätter in vår 100-lapp, tar ut pengarna efter ett halvår och har då 150 kronor. Dessa sätter vi genast in igen och får 50% ränta på 150 kronor under andra halvåret. Vid årets slut har vi 225 kronor!
  • Vi har kommit på ett knep, det gäller att ta ut och sätta in pengar flera gånger under året. Hur stor blir behållningen vid årets slut om vi tar ut pengarna månadsvis, veckovis eller sekundvis? Vi förutsätter att banken utbetalar t.ex. $100/12 \; \%$ i ränta om pengarna står en månad etc..
  • Vår pengartörst har inga gränser så vi programmerar en dator som kan göra i princip omedelbara uttag och insättningar. Det betyder att vi kan låta pengarna stå på kontot i $\Delta t$ år och låta $\Delta t$ gå mot noll. Hur mycket pengar har vi i så fall efter ett år?

Problem 2

Vi betraktar bakterier i en odling, där vi har $M = M(t)$ bakterier vid en viss tidpunkt. Om varje bakterie delar sig en gång per timme har vi en ökning på $\Delta M=1\cdot M = M$ bakterier under en timme. Men bakterierna delar sig kanske inte samtidigt så om vi istället antar att hälften av bakterier delar sig under en halvtimme har vi en ökning på $\Delta M=\frac{1}{2} M$ bakterier under en halvtimme.

  • Hur stor blir ökningen $\Delta M$ under ett tidsintervall $\Delta t$ (timmar) om vi följer resonemanget ovan?
  • Fundera på likheterna mellan populationsproblemet och ränteproblemet. (Låt $\Delta K$ vara ökningen av kapital under tiden $\Delta t$…)
  • Om vi låter $\Delta t$ gå mot noll får vi ett samband innehållande bland annat en derivata. Vilket samband?

Problem 3

Anta att du under ditt liv kommer att träffa 100 stycken möjliga partners. Inga av dessa är lika bra, utan det finns en som är nummer 1 (bäst), en annan som är nummer 2 (nästbäst) osv. till den stackare som är nummer 100. Du kommer att träffa dina möjliga partners i en linjär slumpvis ordning och måste vid varje träff bestämma om du vill gifta dig med din träff eller satsa på att det kommer någon som är bättre senare. Väljer du att rata någon är vederbörande sedan körd. Om du ratat alla fram till sista så måste du gifte dig med denna.

Observera att du bara kan relatera din nuvarande träff till de föregående. Du vet inget om hur de kommande träffarna "ser ut".

Kort exempel med 10 möjliga partners: Säg att du träffar dem i ordningen 4 9 3 5 2 7 8 1 10 6. Din första träff säger dig inget, din andra träff bara att denne är sämre än sin första, din tredje bara att den är bäst hitintills etc.

  • Tänk ut en strategi för att chansen att du blir gift med den bäste (nummer 1) blir så stor som möjligt.
  • Vad har detta med problem 1 och 2 att göra?

Derivatan av exponentialfunktionen (sid 98-101)

Exponentialfunktioner har formen

(9)
\begin{align} f(x)=C \cdot a^x \end{align}

där C och a är konstanter. Blanda inte ihop dessa med potensfunktionerna, de har bland annat olika "regler" vid derivering. Man kan tänka sig många olika värden på basen a och kan tycka att a =10 är mest naturligt då man får $f(x)=C \cdot 10^x$, vilken hänger ihop med 10-logaritmen lg som vi stött på tidigare. Det visar sig dock att talet

(10)
\begin{align} e \approx 2.718282828459045 \ldots \end{align}

faktiskt är enklare att arbeta med. Det viktigaste skälet (just nu) är att

(11)
\begin{align} f(x)=e^x \Rightarrow f'(x)=e^x \end{align}

dvs med basen e blir exponentialfunktionen sin egen derivata! Boken noterar också (utan bevis) att:

(12)
\begin{align} f(x)=e^{kx} \Rightarrow f'(x)=ke^{kx} \end{align}

vilket alltså betyder att om man har konstant gånger x i exponenten så kommer konstanten ner som faktor medan EXPONENTEN BLIR INTAKT. Om man råkar minska med ett (som i potensfunktioner) som kommer provpoängen att minska med minst en!

Talet e dyker upp i många en del andra sammanhang som dock ligger utanför kursens ramar.

Lös a-uppgifter tills deriveringsregeln sitter. Därefter kan man roa sig med 2413, 2415 och 2416.

Naturliga logaritmer (sid 102-104)

Eftersom derivatan av $e^x$ blir särskilt enkel (nämligen sig själv) så kan det vara lämpligt att arbeta med basen i som någon sorts "standardbas". När man väl bestämt sig för detta är det lika naturligt att arbeta med logaritmer i basen e (som i basen 10). En sådan logaritm skrivs $\ln a$, där $\ln a$ alltså är det tal som e ska upphöjas med för att man ska få a. Om basen e är naturlig så är det lika bra att kalla $\ln$ för den naturliga logaritmen.

Logaritmlagarna (och bevisen av dem) är oberoende av bas, och alltså gäller

(13)
\begin{align} \ln (a \cdot b)=\ln a + \ln b \\ \ln(a/b) = \ln a - \ln b \\ \ln a^p = p \ln a \end{align}

Däremot låter man bli att hitta på egna räkneregler!!

Lös a-uppgifter till ni är lika logaritmsäkra som ni var i 2c (skippa dock 2428 och 2429). Därefter 2434 och 2436.

Derivatan av exponentialfunktionen $y=a^x$

Denna derivata kommer man åt med en omskrivning (som kanske känns långsökt men som faktiskt är användbar i många sammanhang) och derivatan med e i basen. Vi gör följande omskrivning

(14)
\begin{align} a^x=e^{\ln a^x} = e^{x \ln a} \end{align}

Här är $\ln a$ en konstant och kan tänkas på som $k=\ln a$. Man använder sedan deriveringsregeln från sida 99 och får sammantaget

(15)
\begin{align} D(a^x)=D(e^{x \ln a}) = \ln a \cdot e^{x \ln a} = \ln a \cdot a^x \end{align}

där man i sista steget skriver om på basen a igen. Deriverar man alltså en exponentialfunktion med annan bas än e kommer man förutom funktionen själv få med en faktor $\ln a$ (som alltså är en konstant).

Lös a-uppgifterna och eventuellt 2447c, 2448b, 2449 och 2452.

Tillämpningar och problemlösning (sid 107-110)

Ingen ny matematik här. Istället ska man läsa texter, översätta till matematik och tillämpa gamla kunskaper.

Lös 2461, 2463, 2465, 2468 och eventuellt 2472 och 2474 (tänker man göra c-uppgifterna kan man strunta i a-uppgifterna).

2.5 Grafisk och numerisk derivering

Olika differenskvoter (sid 111-113)

I derivatans definition fixerar man den punkt man söker derivatan i och bestämmer sekantlutningar till punkter i "närheten" på kurvan. Oftast illustrerar man detta genom att välja en punkt h enheter till höger på kurvan. Det finns emellertid inget som hindrar att man väljer punkten h enhet till vänster. Man får då

(16)
\begin{align} f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x)- f(x-h)}{h} \end{align}

Observera ordningen i täljaren.

Ett annat sätt att angripa problem med lutningen i en punkt på en kurva är att betrakta ett intervall symmetriskt kring den aktuella punkten och successivt minska detta intervall. Man får

(17)
\begin{align} f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)- f(x-h)}{2h} \end{align}

Observera att skillnaden mellan x+h och x-h är 2h, därav nämnaren. Om det är fråga om att göra numeriska approximationer av derivatan är ofta den sistnämnda symmetriska varianten bäst.

Lös 2503, 2504, 2506 samt eventuellt 2510, 2513.

Grafritande räknare och derivators värde (114-116)

Se till så ni kan "derivera" på räknedosan (både med funktionen nDeriv och direkt i en graf) och/eller med GeoGebra. Givetvis är GeoGebra ett mycket bättre verktyg. Om man graderar en potatis, räknaren och GeoGebra som hjälpmedel för derivering/illustration så hamnar räknaren närmre potatisen!

Lös 2515, 2517, 2519cd och eventuellt 2522. Gärna GeoGebra istället för räknare.

3.1 Vad säger förstaderivatan om grafen?

Extrempunkter och extremvärden (sid 131-132)

I avsnitt 3.1 handlar det om att koppla egenskaper hos derivatan till egenskaper hos en funktions graf. Inledningsvis blir det mest en fråga om definitioner, det gäller att lära sig namn på olika företeelser. En lokal maximipunkt kan jämföras med toppen på Kebnekaise, befinner man sig där kan man i sin egen närhet inte observera något som är högre. Dock, om man hade sett väldigt långt hade man insett att toppen på Mount Everest är betydligt högre upp. Alltså motsvarar toppen på Kebnekaise en lokal maximipunkt. Toppen på Mount Everest är däremot dessutom en global maximipunkt, det finns nämligen ingen punkt som ligger högre upp.

Man noterar också att ändpunkter i funktions definitionsmängd i allmänhet blir lokala extrempunkter. Tänk efter varför!

Slutligen, håll isär punkter och värden.

Lös samtliga uppgifter.

Växande eller avtagande (sid 133-135)

En viktig observation är att definitionerna av egenskaperna växande och avtagande inte innehåller något om derivata, och att egenskaperna gäller intervall och inte enstaka punkter. Man säger t.ex. att en funktion $f$ växer i ett intervall $a \leq x \leq b$ om

(18)
\begin{align} x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2) \end{align}

Anm. i många analysböcker är det standard med $f(x_1) \leq f(x_2)$ men vi kör med lärobokens definition.

Sedan visar det sig (och är inte så svårt att ana) att derivatan har med växande och avtagande att göra. I princip gäller att om $f'(x) > 0$ i ett intervall så är funktionen växande i intervallet (men observera alltså att detta inte är definitionen utan något som kan bevisas, dock i annan kurs).

Analoga resonemang kan föras för avtagande.

Lös minst 3107, 3109, 3111, 3113.

Förstaderivatan och grafen (sid 136-139)

Förstaderivatan, eller bara derivatan, är ett utmärkt instrument om man vill skaffa sig en kvalitativ bild av grafen till ursprungsfunktionen. Man får iofs bara exakt koll på enstaka punkter på grafen, men å andra sidan är det just de intressantaste punkterna som dyker upp. Dessutom visar derivatan om grafen går "uppåt" eller "nedåt" och också hur mycket.

Typiska steg för att studera en grafen till en funktion $y=f(x)$ är:

  • bestäm/håll koll på definitionsmängden så bara aktuella intervall undersöks
  • bestäm $f'(x)$
  • lös ekvationen $f'(x)=0$, derivatans nollställen har ju med extrempunkter att göra
  • teckenstudera derivatan med hjälp av nollställena ovan, man får då reda på vilken typ av extrempunkt, eller möjligen terrasspunkt, man har samt om grafen går "uppåt" eller "nedåt"
  • bestäm funktionsvärdena (y-värden) i extrempunkter och eventuellt andra intressanta eller "enkla" punkter (såsom skärning med y-axel)
  • markera punkterna i ett koordinatsystem och skissa grafen utifrån teckenstudie

Punktlistan ovan hamnar efter lite träning i ryggmärgen. Det är iofs bra, men man måste hela tiden tänka efter så man också förstår vad det är man pysslar med!

Lös minst 3116, 3120, 3122, 3124 och eventuellt 3125 och 3127.

Skissa grafer (sid 141-142)

Som beskrivits ovan är derivatan, och studie av densamma, ett smidigt verktyg för att skaffa sig en bild av en grafs utseende. Speciellt får man koll på extrempunkter (exakt) och var funktionen växer respektive avtar. Ett annat, mindre exakt, men ofta snabbare sätt är att studera vilka delar av funktionssuttrycket som dominierar för små respektive stora värden på $|x|$ (med andra ord nära origo och långt från origo).

Betrakta t.ex. $f(x)=x^3+2x^2-3x+1$. För stora $|x|$ gäller att $f(x) \approx x^3$ och för små $|x|$ att $f(x) \approx 3x+1$. Således kan man konstruera en ganska bra skiss av grafen om man rita graferna till $x^3$ och $3x+1$ och binder ihop dem på hyfsat sätt. T.ex så inser man att funktionen har två lokala extrempunkter, i ordningen första max sedan min. Vill man sedan bestämma dessa exakt får man ta fram derivataverktyget.

I uppgifterna på sida 142 ska det emellanåt skissas grafer. Använd då tekniken ovan för just skissen och kontrollera sedan med rälknedosa eller hellre GeoGebra.

Lös 3129, 3131, 3134, 3136, 3138 och 3139.

Största och minsta värde (sid 144-146)

I många sammanhang är man intresserad av en funktions (globalt) största och minsta värde i ett intervall (som såklart kan vara hela x-axeln). Hur finner man då dessa värden, om de ens finns? Jo man letar på tre ställen

  1. Derivatans nollställen
  2. Intervallens ändpunkter
  3. Punkter där derivatan inte existerar (ni kan tänka er att det handlar om hörn)

Man gör en sammanställning av funktionsvärdena i sådana punkter, och plockar sedan ut det största och det minsta funktionsvärdet. Utöver detta måste man tänka ut att största/minsta värde verkligen existerar. T.ex. övertygar man sig om att funktionsvärdena i så fall inte kan bli hur stora (positivt eller negativt) som helst. Tänk igenom hur det fungerar i förhållande till en graf.

Lös 3145, 3147, 3151, 3152, 3155 och eventuellt 3156, 3157.

3.2 Derivator och tillämpningar

Polynomfunktioner (sid 147-153)

Nu är det dags att tillämpa sin kunskaper om derivator och "grafstudier". Det som är nytt är att man ofta behöver översätta en svensk text till matematiska. Man skriver upp ett funktionsuttryck och tänker ut en definitionsmängd, sen är målet i allmänhet att bestämma största eller minsta värde, och till sist svara med en svenska mening (dvs göra en tolkning av sina resultat). Observera att man ibland själv behöver rita figur och införa beteckningar.

Lös minst 3202, 3207, 3211, 3214, 3222 MED KVALITET! Därefter löser man eventuellt (beroende ambition, ork, tid) 3225, 3228, 3229 och 3230.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License