matematik-3c-ht15-vt16:inlaemningsuppgift

Instruktioner

Nedan följer ett antal uppgifter inom ramen för kursen Ma3c. Uppgifterna löses i grupp om två eller tre elever (eller färre i undantagsfall).

Problemen är ordnade i ungefärlig svårighetsordning och läraren rekommenderar/delar ut problem till grupperna. De färdigheter som främst mäts är problemlösnings-, resonemangs- och kommunikationsförmåga. Procedurer ingår som ett nödvändigt moment men är inte huvudpoängen. Det är dock inget krav att man ska prestera fullständiga lösningar utan delresultat är också intressanta. Viktigt är dock att man presenterar och argumenterar "bra" för sin sak och såklart tar sig en bit. Eftersom ni inte arbetar under (omedelbar) tidspress och får ta godtycklig hjälp kommer kravet på framställning och argumentation att vara högre än vad man begär på ett salsprov.

Sista tidpunkt för inlämning är fredag 16/10, 14.00.

Efter inlämning av dessa uppgifter kommer muntlig gruppvis "redovisning" ske med läraren (i första hand i vecka 43). Då ska var och en i gruppen utan längre betänketid eller omtag redogöra för lösningsförslaget. Om gruppen är otillräckligt förberedd eller inte "kan sin sak" tillräckligt bra avslutas diskussionen och inga fler tillfällen till diskussion erbjuds.

Man får alltså ta hjälp av vad som helst för att lösa uppgifterna (nätet, böcker, kompisar, föräldrar etc.). Fusk är alltså omöjligt. Dock måste man förstå och kunna redovisa sin lösning själv. Skriv/påstå alltså inget som ni inte kan stå för. Den enda som inte svarar på "matematiska" frågor på uppgifterna är läraren. Däremot reder han gärna ut andra oklarheter.

Under fredagslektionerna v.41-v.42 och lektionerna v.42 har ni möjlighet att arbeta med problemen och få viss hjälp. Läraren kommer inte att hjälpa er med lösningen, men kan komma med tips och kommentera era ideer. Om man vill lösa problemen i sin helhet och göra riktigt bra lösningar kommer det nog att krävas att man lägger mer tid än lektionstiden.

En förhoppning är också att ni ser detta som ett inlärningstillfälle, med möjlighet till feedback! Men min största förhoppning är att ni ska få arbeta med ett större problem där ni inte ser en lösning direkt och där det krävs undersökningar och eftertanke, och att ni kan tycka detta är skoj och intressant. Det kommer att kräva mer uthållighet av er än vanligt, men å andra sidan kommer ni säkert att känna större glädje om ni lyckas komma en bit.

Problem

Kastparabel

Rogerina ska kasta en boll. Vi tänker oss att bollen lämnar Rogerinas hand i punkten (0,1) och att bollbanan är en andragradsfunktion $y=ax^2+bx+c$ och att marken är horisontell och motsvarar x-axeln.

a) I första kastet landar bollen efter 20 meter. Ge exempel på en andragradsfunktion som bollen kan ha följt. Hur många banor är möjliga?

b) I sitt andra kast kastar hon bollen så att dess högsta höjd är 5 meter, och så att den landar efter 25 meter. Ge exempel på en andragradsfunktion som bollen kan ha följt. Hur många banor är möjliga?

c) I dina två exempel ovan, med vilken vinkel mot x-axeln lämnar bollen Rogerinas hand (i punkten (0,1))?

Optimalt pris

Klashild äger ett hotell med 100 rum. Om Klashild sätter rumshyran till 500 kr/natt kommer hotellet att hyra ut alla sina rum, men för varje 10 kr hen höjer priset tappar hotellet en kund (dvs om hon sätter rumshyran till 510 så får hen 99 gäster etc).

a) Vilken är Klashilds optimala rumshyra om hen vill dra in så mycket pengar som möjligt? Hur mycket får Klashild in vid optimal hyra?

b) Låt oss också ta hänsyn till de anställda på hotellet. Det behövs en anställd för varje påbörjat 10-tal antal gäster, dvs om det är färre än 11 gäster behövs en anställd, 11-20 gäster två anställda etc. En anställd kostar 2500 kr/dag. Vilket är nu Klashilds optimala rumshyra?

c) Facket har synpunkter på Klashilds löner till sina anställda och vill förhandla upp lönerna. Vilket är den maximala löneökningen (i kronor per anställd och dag) som Klashild kan acceptera om hen utöver personalkostnaden har en fast kostnad på 30000kr per dag för hotellet. Denna kostnad är alltså oberoende av hur många gäster hotellet har. (Klashild accepterar inga löneökningar som innebär att hon går med förlust totalt sett.)

Bästa sättet att plocka äpple eller när ska man byta träd

Antag att antalet kg äpplen som man kan plocka från ett träd på $x$ minuter är

(1)
\begin{align} m(x)=\frac{120}{1+e^{-0.2x}} -60 \end{align}

Antag också att det tar 1 minut att transportera sig till ett nytt träd som är "oplockat".

a) Enligt modellen, hur många kilo äpplen finns det totalt på ett äppelträd?

b) Rita och studera grafen till $m(x)$ och kommentera dess utseende och hur realistisk den är (i förhållande till äppelplockarsituationen).

c) Om man plockar för länge på samma träd kommer "effektiviteten" efter hand att minska. Därför vill man byta träd. Å andra sidan tar det tid att byta träd, och under denna tid plockar man inget. Givet modellen ovan, utred vilken som är den optimala tiden att arbeta på varje träd.

d) Om man får tid över: Förklara hur man kan finna den optimala tiden som man ska plocka på ett och samma träd (innan man går vidare till ett nytt oplockat) om man har en annan funktion än den ovan.

Anm. Om ni skulle behöva derivatan av $m(x)$, som hamnar utanför Ma3c, kan antingen använda Wolfram Alpha eller resonera utifrån funktionens graf. Deriveringsregeln ligger utanför kursens ramar.

Area- och omkretssamband hos rektanglar

a) Rita en rektangel (vilken du vill), denna rektangel kallas nedan R.

b) Konstruera sedan en rektangel som har dubbelt så stor area som R:s area och en (annan) rektangel med dubbelt så stor omkrets som R:s omkrets.

c) Konstruera en rektangel som både har dubbelt så stor area och omkrets jämfört med R:s area och omkrets?

d) Visa att för varje rektangel är det möjligt att konstruera en ny rektangel med dubblad omkrets och dubblad area.

e) Givet en rektangel med sidlängder a och b. För vilka värden är på a och b är det möjligt att konstruera en rektangel med halverad area och halverad omkrets?

Vertex på andragradskurva

Betrakta en allmän andragradsfunktion

(2)
\begin{equation} f(x)=ax^2+bx+c \end{equation}

Låt a och c vara fixerade (men godtyckliga) och variera b. Vertex rör sig då längs en kurva. Bestäm denna kurva. Börja gärna med några "konkreta" andragradsfunktioner, men försök till sist finna ett uttryck för "vertexkurvan" med a och c som parametrar.

Reservproblem

Brantaste punkten på en tredjegradskurva

Låt $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ vara en tredjegradsfunktion med två lokala extrempunkter i ordningen (från vänster) först ett max sedan ett min.

a) Vad kan man säga om konstanterna a, b, c, och d om villkoret med först ett max och sedan ett min ska vara uppfyllt. Utred så mycket som möjligt.

b) Visa att punkten mitt emellan dessa extrempunkter ligger på grafen och är den punkt där derivatan är som minst.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License