Inlaemningsuppgift

Instruktioner

Nedan följer ett antal uppgifter inom ramen för kursen Ma3c. Uppgifterna löses i grupp om tre eller fyra elever (eller färre i undantagsfall). Första delen består av "enklare" uppgifter. Dessa löser samtliga grupper och snarlika uppgifter sedan kommer att dyka upp på ett salsprov, som man gör enskilt på onsdagslektionen vecka 47.

Utifrån resultatet på salsprovet (som bedöms med E, D, C) lämnas en rekommendation på hur man ska fortskrida. Om man lyckats bra fortsätter man att välja och arbeta med en eller flera svårare uppgift/er enligt nedan. I annat fall bearbetar man det grundläggande stoffet en gång till genom att i gruppen välja lämpliga uppgifter från boken (sånt man är osäker på), lösa dessa skriftligt och lämna in.

Lösning av de svåra/omfattande uppgifterna nedan kan visa färdigheter på främst AB-nivå. De färdigheter som främst mäts är problemlösnings-, resonemang- och kommunikationsförmåga. Procedurer förutsätts man ha koll på om man väljer detta spår! Det är dock inget krav att man ska prestera fullständiga lösningar utan delresultat är också intressanta. Viktigt är dock att man presenterar, argumenterar "bra" för sin sak och såklart tar sig en bit.

Efter inlämning av dessa uppgifter (oavsett om man väljer från boken eller nedan) kommer muntlig gruppvis "redovisning" ske med läraren (under vecka 50 och vid behov vecka 51). Då ska var och en i gruppen utan längre betänketid eller omtag redogöra för lösningsförslaget. Om gruppen är otillräckligt förberedd eller inte "kan sin sak" tillräckligt bra (för den aktuella nivån) avslutas diskussionen och inga fler tillfällen till diskussion erbjuds. Eftersom ni inte arbetar under (omedelbar) tidspress och får ta godtycklig hjälp kommer kravet på framställning och argumentation att vara högre än vad man begär på ett salsprov.

Man får alltså ta hjälp av vad som helst för att lösa uppgifterna (nätet, böcker, kompisar, föräldrar etc.). Fusk är alltså omöjligt. Dock måste man förstå och kunna redovisa sin lösning själv. Skriv/påstå alltså inget som ni inte kan stå för. Den enda som inte svarar på "matematiska" frågor på uppgifterna är läraren. Däremot reder han gärna ut andra oklarheter.

Sista tidpunkt för inlämning av "enklare" uppgifter är fredag 14/11, och svårare uppgift fredag 5/12, 16.00.

Man kan själv önska vilken (eller vilka) svårare uppgift(er) man vill arbeta med, men valet sker i samråd med läraren, så att det blir viss spridning. Notera att uppgifterna nedan mäter djup, inte nödvändigtvis bredd, så de kan inte kompensera för den bredd i kunskaperna som man också måste ha för de högre betygen.

Under lektionerna v.48-v.49 kommer det att vara möjligt att gruppvis träffa läraren för handledning. Mer info om detta på måndag v.48.

En förhoppning är också att ni ser detta som ett inlärningstillfälle, med möjlighet till feedback!

Men min största förhoppning är att ni ska få arbeta med ett större problem där ni inte ser en lösning direkt och där det krävs undersökningar och eftertanke, och att ni kan tycka detta är skoj och intressant. Det kommer att kräva mer uthållighet av er än vanligt, men å andra sidan kommer ni säkert att känna större glädje om ni lyckas komma en bit.

Angående uppgiftsräkning i boken så rekommenderar jag i planeringen ett fåtal uppgifter på varje avsnitt. Detta får ses som ett minimum. Jag har inte tagit med några c-uppgifter utan bland dessa plockar man själv, men först efter inlämningen och provet på de "enklare" uppgifterna.

Enklare problem

1. (efter 2.2) Bestäm gränsvärdena

a) $\lim_{h \to 0} \dfrac{(1+h)^2-1}{h}$ algebraiskt och förklara vilken derivata du beräknat. Men observera att du INTE får använda färdiga deriveringsregler utan ska "räkna hela vägen".

b) $\lim_{x \to 0}\dfrac{e^{2x}-1}{\ln(1+3x)}$ numeriskt.

2. (efter 2.2) Bestäm derivatan av $f(x)=x^2+2x$ genom att utgå från derivatans definition.

3. (efter 2.4) Bestäm derivatorna $f'(x)$

a) $f(x)=2x^3-4x^2+3x-7$

b) $f(x)=7 \sqrt{x} + \dfrac{1}{x}$

c) $f(x)=\dfrac{2x^{1.5}}{3x}$

d) $f(x)= x^2+ 2^x$

e) $f(x)=-3e^{-3x}$

4. (efter 2.4) Bestäm en ekvation för tangenten till kurvan $y=f(x)$ i den punkt där $x=1$ om $f(x)=x^3+2x+1$.

5. (efter 3.1, 6f efter sid 160) Betrakta grafen till $y=f(x)$ nedan

graf1.png

a) Lös ekvationen $f(x)=0$.

b) Lös ekvationen $f'(x)=0$.

c) Bestäm två värden på $x$ sådana att $f'(x)>0$.

d) Bestäm samtliga $x$ som uppfyller $f'(x) <0$.

e) Ange det största intervall på vilket $f(x)$ är avtagande.

f) Ange ett intervall där $f''(x)<0$.

Anm. Man läser alltså av värdena så gott man kan från grafen. Svara t.ex. med en decimal.

6. (efter 3.1) Betrakta funktionen $f(x)=x^3-2x^2-3x-4$.

a) Vilken term/vilka termer dominerar för stora $|x|$? Motivera!

b) Vilken term/vilka termer dominerar för små $|x|$? Motivera!

c) Gör, utifrån slutsatserna i a) och b) en grov skiss av grafen till $f$. Använd inte derivata här.

d) Varför kan man vara säker på att $f$ har lokal maxpunkt och en lokal minpunkt.

7. (efter 3.1, användning av andraderivata efter sid 160.) Bestäm eventuella lokala extrempunkter till följande funktioner. I minst en av deluppgifterna krävs teckenstudie av derivata, och i minst en användning av andraderivata (välj själv vilka). Ange också funktionens (globalt) största och minsta värde om sådana existerar. Gör dessutom en skiss av funktionens graf.

a) $f(x)=4x^3-9x^2-12x+3$

b) $g(x)=x+ \dfrac{1}{x}, \; x >0$

8. (efter 3.1) Skissera en graf till en funktion $f$ som är definierad för alla reella tal och som uppfyller $f(1)>0, f'(1)>0, f(2)<0, f'(2)>0$ och så att ekvationen $f(x)=0$ endast har en lösning.

9. (efter 3.2) En bonde vill hägna in två likadana rektangulära fält som har en sida gemensam med totalt 300 meter staket. Vilka mått ska han välja om han vill få stor inhägnad yta som möjligt (i båda fälten tillsammans)?

10. (efter 3.3) Bestäm primitiv funktion $F(x)$, med givet till villkor, till

a) $f(x)=x^2+x, \; F(1)=2$

b) $f(x)=-4e^{-2x}, \; F(0)=5$

c) $f(x) = -\frac{3}{x^2}-\frac{x^3}{3}, \; F(-1)=1$

11. (efter 3.2, lite svårare och kan överhoppas) Vilken punkt på grafen till funktionen $f(x)=\sqrt{x}$ ligger närmst punkten $(1,0)$? Anm. Notera att $\square$ är som minst/störst när $\sqrt{\Box}$ är som minst/störst (under förutsättning att $\square \geq 0$)

Lösningsskisser

finns i filen Enklare uppg ht 14 L

Svårare problem

Vertex på andragradskurva

Betrakta en allmän andragradsfunktion

(1)
\begin{equation} f(x)=ax^2+bx+c \end{equation}

Låt a och c vara fixerade (men godtyckliga) och variera b. Vertex rör sig då längs en kurva. Bestäm denna kurva. Börja gärna med några "konkreta" andragradsfunktioner, men försök till sist finna ett uttryck för "vertexkurvan" med a och c som parametrar.

Brantaste punkten på en tredjegradskurva

Låt $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ vara en tredjegradsfunktion med två lokala extrempunkter i ordningen (från vänster) först ett max sedan ett min.

a) Vad kan man säga om konstanterna a, b, c, och d om villkoret med först ett max och sedan ett min ska vara uppfyllt. Utred så mycket som möjligt.

b) Visa att punkten mitt emellan dessa extrempunkter ligger på grafen och är den punkt där derivatan är som minst.

Felaktiga logaritmlagar

Logaritmlagarna brukar misshandlas i den meningen att man använder egna som inte stämmer. Följande omskrivningar är t.ex. inte korrekta i allmänhet:

(2)
\begin{align} \ln(x+y) = \ln x+ \ln y \end{align}
(3)
\begin{align} \frac{\ln a}{\ln b} = \frac{a}{b} \end{align}

a) Visa att omskrivningarna ovan inte är korrekta i allmänhet.

b) Finn några specifika tal x, y, a, b så att omskrivningarna faktiskt är korrekta.

c) Vad kan man säga om talen x och y om omskrivningen ska gälla? Ge ett generellt samband.

d) Om $a=b$ är tal större än 0 är det klart att omskrivningen är korrekt. Bestäm/beskriv samtliga andra värden på $a$ och $b$ så att omskrivningen är korrekt.

Area- och omkretssamband hos rektanglar

a) Rita en rektangel (vilken du vill), denna rektangel kallas nedan R.

b) Konstruera sedan en rektangel som har dubbelt så stor area som R:s area och en (annan) rektangel med dubbelt så stor omkrets som R:s omkrets.

c) Konstruera en rektangel som både har dubbelt så stor area och omkrets jämfört med R:s area och omkrets?

d) Visa att för varje rektangel är det möjligt att konstruera en ny rektangel med dubblad omkrets och dubblad area.

e) Givet en rektangel med sidlängder a och b. För vilka värden är på a och b är det möjligt att konstruera en rektangel med halverad area och halverad omkrets?

Parabler och paraboler

Parabel är ett annat namn på en andragradskurva, och en parabol kan lite slarvig sägas vara en tredimensionell parabel. Vi ska i denna uppgift studera en egenskap hos parabeln som som gör att dess tredimensionella motsvarighet är lämplig just som antenn.

Betrakta grafen till funktionen $f(x)=x^2$. Antag att det finns en strålningskälla "oändligt" långt uppåt och att denna källa sänder strålar parallella med y-axeln ner mot parabeln. Dessa strålar reflekteras i parabeln så att infallsvinkel mot parabeln är lika med reflektionsvinkeln. Man anger dessa vinklar punktvis mot parabelns tangenter.

Visa att alla infallande strålar reflekteras i en och samma punkt, samt bestäm koordinaterna för denna punkt.

Förklara varför parabeln dyker upp när man konstruerar strålkastare.

Bästa sättet att plocka äpple eller när ska man byta träd

Antag att antalet kg äpplen som man kan plocka från ett träd på $x$ minuter är

(4)
\begin{align} m(x)=\frac{120}{1+e^{-0.2x}} -60 \end{align}

Antag också att det tar 1 minut att transportera sig till ett nytt träd som är "oplockat".

a) Enligt modellen, hur många kilo äpplen finns det totalt på ett äppelträd?

b) Rita och studera grafen till $m(x)$ och kommentera dess utseende och hur realistisk den är (i förhållande till äppelplockarsituationen).

c) Om man plockar för länge på samma träd kommer "effektiviteten" efter hand att minska. Därför vill man byta träd. Å andra sidan tar det tid att byta träd, och under denna tid plockar man inget. Givet modellen ovan, utred vilken som är den optimala tiden att arbeta på varje träd.

d) Förklara hur man kan finna den optimala tiden som man ska plocka på ett och samma träd (innan man går vidare till ett nytt oplockat) om man har en annan funktion än den ovan.

Anm. Om ni skulle behöva derivatan av $m(x)$, som hamnar utanför Ma3c, kan antingen använda Wolfram Alpha eller resonera utifrån funktionens graf. Deriveringsregeln ligger utanför kursens ramar.

Samband mellan riktningskoefficienter

Som ni kanske minns från Matematik 2c så finns det ett enkelt samband mellan k-värdena, $k_1, \, k_2$, för två vinkelräta linjer, nämligen

(5)
\begin{align} k_1 \cdot k_2 = -1. \end{align}

Försök plocka fram ett samband ("en formel") mellan k-värden hos två linjer med mellanliggande vinkel $45^{\circ}$. Kan ni bevisa den?

Funktionalekvationer med polynom

En funktionalekvation är en ekvation där det obekanta är en funktion och inte ett tal. I denna uppgift förutsätter vi att den sökta funktionen är ett polynom $p(x)$. Lös följande funktionalekvationer (eller utred så mycket som möjligt om lösningarna):

a) $p(x)^2 = 2p(x)$

b) $p(p(x))=p(x+1)$

c) $p(x^3)=x^2p(x^2)$

d) $p(x)^2 = p(x^2)$

Polynom med minsta avvikelse från noll

I denna uppgift studerar vi värdena på vissa polynom av given grad i intervallet $I :-2 \leq x \leq 2$ och försöker finna det med minsta avvikelse från noll i följande mening. Låt $M$ var polynomets största värde och $m$ polynomets minsta värde i intervallet $I$ och låt C vara det största värdet av $|M|$ och $|m|$. Polynomet har minsta avvikelse från noll om talet $C$ är minsta möjliga, för den givna klassen av polynom.

a) Betrakta mängden av alla förstagradspolynom med högstagradskoefficient 1, $p(x)=x+a$. Finn det eller de polynom bland dessa som har minsta avvikelse från noll (i intervallet $I$).

b) Betrakta mängden av alla andragradspolynom med högstagradskoefficient 1, $p(x)=x^2+ax+b$. Finn det eller de polynom bland dessa som har minsta avvikelse från noll (i intervallet $I$).

c) Betrakta mängden av alla tredjegradspolynom med högstagradskoefficient 1, $p(x)=x^3+ax^2+bx+c$. Finn det eller de polynom bland dessa som har minsta avvikelse från noll (i intervallet $I$).'

d) Nu blir det (nog) rejält svårt. Bestäm det n:te-grads polynom med högstagradskoefficient 1 som har minsta avvikelse från noll, och motivera valet.

Från styrdokumenten

Betygskriterier betyget A

Eleven kan definiera och utförligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av flera representationer samt utförligt beskriva sambanden mellan begreppen. Dessutom växlar eleven med säkerhet mellan olika representationer. Eleven kan med säkerhet använda begrepp och samband mellan begrepp för att lösa komplexa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena. I arbetet hanterar eleven flera procedurer, inklusive avancerade och algebraiska uttryck, och löser uppgifter av standardkaraktär med säkerhet och på ett effektivt sätt, både utan och med digitala verktyg.

Eleven kan formulera, analysera och lösa matematiska problem av komplex karaktär. Dessa problem inkluderar flera begrepp och kräver avancerade tolkningar. I problemlösning upptäcker eleven generella samband som presenteras med symbolisk algebra. I arbetet gör eleven om realistiska problemsituationer till matematiska formuleringar genom att välja, tillämpa och anpassa matematiska modeller. Eleven kan med nyanserade omdömen utvärdera resultatets rimlighet samt valda modeller, strategier, metoder och alternativ till dem.

Eleven kan föra välgrundade och nyanserade matematiska resonemang, värdera med nyanserade omdömen och vidareutveckla egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden. Vidare kan eleven genomföra matematiska bevis. Dessutom uttrycker sig eleven med säkerhet i tal och skrift samt använder matematiska symboler och andra representationer med god anpassning till syfte och situation.

Genom att ge exempel relaterar eleven något i några av kursens delområden till dess betydelse inom andra ämnen, yrkesliv, samhällsliv och matematikens kulturhistoria. Dessutom kan eleven föra välgrundade och nyanserade resonemang om exemplens relevans.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License