|
Table of Contents
|
Instruktioner
Nedan följer ett antal svåra och relativt omfattande uppgifter inom ramen för kursen Ma3c. Uppgifterna kan göras för att visa färdigheter på AB-nivå.
Uppgifterna löses enskilt. Skriftligt lösningsförslag inlämnas till läraren. Några dagar efter inlämning träffar man läraren och är då beredd att redovisa/diskutera sitt lösningsförslag och svara på "tuffa" förståelsefrågor. Det ska göras utan betänketid eller omtag. Om ni är otillräckligt förberedda eller inte "kan er sak" tillräckligt bra (för den aktuella nivån A/B) avslutas diskussionen och inga fler tillfällen till diskussion erbjuds. Eftersom ni inte arbetar under (omedelbar) tidspress och får ta godtycklig hjälp kommer kravet på framställning och argumentation att vara högre än vad man begär på ett salsprov.
Man får alltså ta hjälp av vad som helst för att lösa uppgifterna (nätet, böcker, kompisar, föräldrar etc.). Fusk är alltså omöjligt. Dock måste man förstå och kunna redovisa sin lösning själv. Skriv/påstå alltså inget som ni inte kan stå för. Den enda som inte svarar på "matematiska" frågor på uppgifterna är läraren. Däremot reder han gärna ut andra oklarheter.
Sista tidpunkt …
Man kan själv önska vilket uppgift man vill arbeta med, men valet sker i samråd med läraren, så att det blir viss spridning. Kvaliteterna på era lösningar tas med i bedömningen främst för betyget A/B. Notera att uppgifterna nedan mäter djup, inte nödvändigtvis bredd, så de kan inte kompensera för den bredd i kunskaperna som man också måste ha för de högre betygen.
En förhoppning är också att ni ser detta som ett inlärningstillfälle, med möjlighet till individuell feedback!
Men min största förhoppning är att ni ska få arbeta med ett större problem där ni inte ser en lösning direkt och där det krävs undersökningar och eftertanke. Glädjen (eller snarare en form av "rus") man upplever efter att ha löst ett problem är omvänt proportionell mot den tid man lagt ner!
Uppgifter
Derivatan av $x^n$
I boken på sida 84 argumenteras det för att
(1)Boken visar genom att utgå från derivatans definition att det stämmer för exponenterna 1, 2 och 3, hänvisar därefter till ett mönster och skriver "Man kan bevisa att mönstret kommer att gälla alla enligt följande regel:", och så kommer regeln ovan.
Gör ett bevis av påståendet ovan som fungerar för alla positiva heltal $n$. Självklart finns det redan gjort på massor av ställen, i böcker och på nätet. Kika gärna där. Det är dock viktigt att du själv formulerar beviset, har förstått det och kan presentera det muntligt.
Betrakta slutligen regeln
(2)där $a$ är ett godtyckligt reellt tal. Fungerar ditt bevis också i detta fall? Varför eller varför inte? Observera att du inte behöver prestera ett bevis för detta, utan "bara" sätta resultatet i relation till ditt tidigare bevis.
Vertex på andragradskurva, med GeoGebra
Betrakta en allmän andragradsfunktion
(3)Låt a och c vara fixerade (men godtyckliga) och variera b. Vertex rör sig då längs en kurva. Bestäm denna kurva. Börja gärna med några "konkreta" andragradsfunktioner, men försök till sist finna ett uttryck för "vertexkurvan" med a och c. Kan du dessutom dra några allmänna slutsatser?
Brantaste punkten på en tredjegradskurva
Låt $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ vara en tredjegradsfunktion med två lokala extrempunkter i ordningen (från vänster) först ett max sedan ett min. Visa att punkten mitt emellan dessa extrempunkter ligger på grafen och är den punkt där derivatan är som minst.
Joakim von Ankas sparande
Joakim von Anka är som bekant snål/sparsam. Han har nu anställt dig för att hantera sitt banksparande och det är mycket viktigt att du maximerar hans avkastning, annars är risken att han skickar dig till Långtbortistan. Ankeborgs sparbank, som du ska spara i, betalar 3% årlig ränta och du har 10 fantasiljoner att använda.
a) Pengarna står på kontot ett år. Hur mycket finns vid årets slut på kontot? (Svara i enheten fantasiljoner.)
b) För att öka avkastningen har du kommit på följande ide. Du tar ut pengarna efter ett halvår. Då kommer banken att betala ut halva årsräntan, dvs 1.5%, och du har de 10 fantasiljonerna plus halvårsräntan. Detta belopp, de 10 fantasiljonerna plus halvårsräntan, sätter du omedelbart in igen på kontot och låter det förränta sig ytterligare ett halvår, till räntan 1.5%. Hur mycket finns nu på kontot efter 1 år? Förklara i ord varför det blir mer om man gör på detta sätt.
c) Inspirerad av ovanstående tar du ut pengarna månadsvis, får 1/12 av årsräntan och sätter omedelbart in hela kapitalet på kontot igen. Hur mycket pengar finns i så fall på kontot efter 1 år.
d) Här går det tydligen att tjäna pengar! Genom att låta en dator sköta transaktionerna tar du ut, förräntar och sätter in pengar en gång per sekund. Vad blir kapitalet då efter 1 år?
e) Eftersom du ändå befinner dig i en fantasivärld tänker vi oss att du tar ut, förräntar och sätter in pengar "oändligt snabbt" (det betyder att vi gör som tidigare men delar in året i n delar och låter n gå mot oändligheten eller slarvigare bli oändligt stort). Hur mycket pengar finns i så fall på kontot efter 1 år? Verkar det blir "hur mycket som helst" eller finns det någon övre gräns?
f) Undersök med någon riktig bank hur de gör för att hantera omedelbar förräntning.
g) Undersök vad allt detta har med talet e att göra.
Felaktiga logaritmlagar
Logaritmlagarna brukar misshandlas i den meningen att man använder egna som inte stämmer. Följande omskrivningar är t.ex. inte korrekta i allmänhet:
(4)a) Visa att omskrivningarna ovan inte är korrekta i allmänhet.
b) Finn några specifika tal x, y, a, b så att omskrivningarna faktiskt är korrekta.
c) Vad kan man säga om talen x och y om omskrivningen ska gälla? Ge ett generellt samband.
d) Om $a=b$ är tal större än 0 är det klart att omskrivningen är korrekt. Bestäm/beskriv samtliga andra värden på $a$ och $b$ så att omskrivningen är korrekt.
Area- och omkretssamband hos rektanglar
a) Rita en rektangel (vilken du vill), denna rektangel kallas nedan R.
b) Konstruera sedan en rektangel som har dubbelt så stor area som R:s area och en (annan) rektangel med dubbelt så stor omkrets som R:s omkrets.
c) Konstruera en rektangel som både har dubbelt så stor area och omkrets jämfört med R:s area och omkrets?
d) Visa att för varje rektangel är det möjligt att konstruera en ny rektangel med dubblad omkrets och dubblad area.
e) Givet en rektangel med sidlängder a och b. För vilka värden är på a och b är det möjligt att konstruera en rektangel med halverad area och halverad omkrets?
Parabler och paraboler
Parabel är ett annat namn på en andragradskurva, och en parabol kan lite slarvig sägas vara en tredimensionell parabel. Vi ska i denna uppgift studera en egenskap hos parabeln som som gör att dess tredimensionella motsvarighet är lämplig just som antenn.
Betrakta grafen till funktionen $f(x)=x^2$. Antag att det finns en strålningskälla "oändligt" långt uppåt och att denna källa sänder strålar parallella med y-axeln ner mot parablen. Dessa strålar reflekteras i parabeln så att infallsvinkel mot parabeln är lika med reflektionsvinkeln. Man anger dessa vinklar punktvis mot parabelns tangenter.
Visa att alla infallande strålar reflekteras i en och samma punkt, samt bestäm koordinaterna för denna punkt.
Förklara varför parabeln dyker upp när man konstruerar strålkastare.
Polynom med minsta avvikelse från noll
I denna uppgift studerar vi värdena på vissa polynom av given grad i intervallet $I :-2 \leq x \leq 2$ och försöker finna det med minsta avvikelse från noll i följande mening. Låt $M$ var polynomets största värde och $m$ polynomets minsta värde i intervallet $I$ och låt C vara det största värdet av $|M|$ och $|m|$. Polynomet har minsta avvikelse från noll om talet $C$ är minsta möjliga, för den givna klassen av polynom.
a) Betrakta mängden av alla förstagradspolynom med högstagradskoefficient 1, $p(x)=x+a$. Finn det eller de polynom bland dessa som har minsta avvikelse från noll (i intervallet $I$).
b) Betrakta mängden av alla andragradspolynom med högstagradskoefficient 1, $p(x)=x^2+ax+b$. Finn det eller de polynom bland dessa som har minsta avvikelse från noll (i intervallet $I$).
c) Betrakta mängden av alla tredjegradspolynom med högstagradskoefficient 1, $p(x)=x^3+ax^2+bx+c$. Finn det eller de polynom bland dessa som har minsta avvikelse från noll (i intervallet $I$).
Från styrdokumenten
Betygskriterier betyget A
Eleven kan definiera och utförligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av flera representationer samt utförligt beskriva sambanden mellan begreppen. Dessutom växlar eleven med säkerhet mellan olika representationer. Eleven kan med säkerhet använda begrepp och samband mellan begrepp för att lösa komplexa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena. I arbetet hanterar eleven flera procedurer, inklusive avancerade och algebraiska uttryck, och löser uppgifter av standardkaraktär med säkerhet och på ett effektivt sätt, både utan och med digitala verktyg.
Eleven kan formulera, analysera och lösa matematiska problem av komplex karaktär. Dessa problem inkluderar flera begrepp och kräver avancerade tolkningar. I problemlösning upptäcker eleven generella samband som presenteras med symbolisk algebra. I arbetet gör eleven om realistiska problemsituationer till matematiska formuleringar genom att välja, tillämpa och anpassa matematiska modeller. Eleven kan med nyanserade omdömen utvärdera resultatets rimlighet samt valda modeller, strategier, metoder och alternativ till dem.
Eleven kan föra välgrundade och nyanserade matematiska resonemang, värdera med nyanserade omdömen och vidareutveckla egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden. Vidare kan eleven genomföra matematiska bevis. Dessutom uttrycker sig eleven med säkerhet i tal och skrift samt använder matematiska symboler och andra representationer med god anpassning till syfte och situation.
Genom att ge exempel relaterar eleven något i några av kursens delområden till dess betydelse inom andra ämnen, yrkesliv, samhällsliv och matematikens kulturhistoria. Dessutom kan eleven föra välgrundade och nyanserade resonemang om exemplens relevans.