matematik-2c:extraproblem

Nedan följer ett antal problem som är görbara i en Ma2c-kurs. Problemen är av olika typ;

Först är det en lista med problem från läroboken. Samtliga är av utredande karaktär och har i flera fall förekommit på gamla NP. Man kan visa på kvaliteer på alla betygsnivåer beroende på hur långt man kommer. Man kan nog säga att dessa rekommenderas för "den vanlige" eleven.

Sedan kommer några svåra (till rejält svåra) problem hämtade från mattetävlingar. Dock kan dom nog ha hyfsat korta lösningar om man genomskådar problemen. Problemen ligger på betygsnivåerna A/B och uppåt! Uppgifterna är inte av standardtyp.

Till sist följer att antal större utredande problem, som alltså inte finns i boken. Överlag är dom både svårare och mer omfattande (och kanske också mer intressanta?) än bokens utredande uppgifter. Man kan i princip visa kvaliteer på alla betygsnivåer, men "det mesta" är på högre nivå.

Under kursen kan ni lämna in lösningsförslag. Välj själv uppgift som verkar lämplig/intressant. Jobba gärna i par. Jag lämnar sedan feedback skriftligt och helst muntligt (beroende på tidsåtgång). Tanken är att ni ska få träna på problemlösning, resonemang och kommunikation. Så det ni lämnar in måste vara genomarbetat och välskrivet. Däremot behöver det inte vara en komplett lösning.

Man kan hitta lösningar på nätet, fråga en kompis eller en släkting. Detta är inte förbjudet (omöjligt att kontrollera för mig ändå), och till och med att rekommendera om det används på rätt sätt. Man tänker och arbetar seriöst själv och tar under tiden emot lite hjälp och tips vid behov.

En inlämning ska ses som ett inlärningstillfälle och inte som "examination".

---

Utredande uppgifter från boken

sid 66, uppgift 19
sid 69, uppgift 22
sid 142, uppgift 27
sid 145, uppgift 26
sid 181, uppgift 17
sid 185, uppgift 35
sid 233, uppgift 13

---

Några problem från mattetävlingar

1. (kapitel 1) $f(x)$ och $g(x)$ är linjära funktioner (har alltså formen $kx+m$) med egenskapen att $f(g(x))=g(f(x))=x$ för alla värden på $x$. Om dessutom $f(0) = 4$ och $g(5) = 17$, beräkna $f(2006)$.

2. (kapitel 1) Two non-zero real numbers, $a$ and $b$, satisfy $ab = a - b$. What is the value of $\frac {a}{b} + \frac {b}{a} - ab$?

3. (kapitel 1) Let $f$ be a function for which $f(x/3) = x^2 + x + 1$. Find the sum of all values of $z$ for which $f(3z) = 7$.

3. (kapitel 1,2) En linje genom origo skär kurvan vars ekvation är

(1)

\begin{equation} 5y = 2x^2 − 9x + 10 \end{equation}

i två punkter vars $x$-koordinater summerar till 77. Bestäm linjens lutning.

4. (kapitel 1,2) Låt $b$ och $c$ vara positiva heltal sådana att ekvationen $2x^2+bx+c=0$ har två reella lösningar med differens 30. Vilket är i så fall det minsta möjliga värdet på $b+c$?

5. (kapitel 1,2) Professor Balthazar tänkte i sin ungdom ut en räkneoperation $\star$ som fungerar på de positiva heltalen och som uppfyller reglerna

(2)

\begin{align} \; (a+b) \star c=(a \star c)+(b \star c) \textrm{ och } a \star (b+c)=(a \star b) \star c \end{align}

för alla positiva heltal $a, b$ och $c$.

Dessvärre har Balthazar drabbats av senilitet och minns, utöver ovanstående, enbart att $5 \star 5 = 160$. Hjälp Balthazar att räkna ut vad $7\star7$ blir.

6. (kapitel 1) For some integers a and b the function $f(x) = ax + b$ has the properties that
$f(f(0)) = 0$ and $f(f(f(4))) = 9$. Find $f(f(f(f(10))))$.

7. (kapitel 2) Talet

(3)

\begin{align} \log_{4}\left(32^{\log_9 27} \right) \end{align}

är faktiskt ett bråk. Vilket?

---

Triangel på A4 (kapitel 3)

Utgå från ett av hörnen på ett A4-papper. Markera mittpunkterna på motstående sidor (dvs. de sidor som inte utgår från ursprungshörnet). Förbind de tre punkterna med räta linjer så att du får en triangel.

a) Visa att denna triangel är rätvinklig.
b) På pappret finns fyra rätvinkliga trianglar. Visa att tre av dem är likformiga.
c) Visa att areaförhållandet mellan de tre trianglarna är 1:2:3.

Anm. Tanken är inte att du ska mäta (även om du får göra detta för din egen skull) utan räkna. Utgå ifrån att den sidförhållandet hos ett A4-papper är $1:\sqrt{2}$

Halvcirkel på A4 (kapitel 3)

Utgå från ett A4-papper. Vilken är den största halvcirkel som kan klippas ut ur ett sådant papper? En "ritning" på A4-pappret med inritad maximal halvcirkel plus tillhörande beräkningar ska presenteras. Vilken area får halvcirkeln? Samtliga mått ska alltså också räknas fram (så långt möjligt), det räcker inte att bara rita.

Area- och omkretssamband hos rektanglar (kapitel 1,2,3)

a) Rita en rektangel (vilken du vill), denna rektangel kallas nedan R.

b) Konstruera sedan en rektangel som har dubbelt så stor area som R:s area och en (annan) rektangel med dubbelt så stor omkrets som R:s omkrets.

c) Konstruera en rektangel som både har dubbelt så stor area och omkrets jämfört med R:s area och omkrets?

d) Visa att för varje rektangel är det möjligt att konstruera en ny rektangel med dubblad omkrets och dubblad area.

e) Givet en rektangel med sidlängder a och b. För vilka värden är på a och b är det möjligt att konstruera en rektangel med halverad area och halverad omkrets?

Vertex på andragradskurva (kapitel 2)

Betrakta en allmän andragradsfunktion

(4)

\begin{equation} f(x)=ax^2+bx+c \end{equation}

Låt a och c vara fixerade (men godtyckliga) och variera b. Vertex rör sig då längs en kurva. Bestäm denna kurva. Börja gärna med några "konkreta" andragradsfunktioner, men försök till sist finna ett uttryck för "vertexkurvan" med a och c. Kan du dessutom dra några allmänna slutsatser?

Kvadratrötter och minimalpolynom (kapitel 1,2)

Den enklaste ekvationen med heltalskoefficienter som $r=\sqrt{2}$ är en lösning till är $x^2-2=0$. Polynomet $x^2-2=0$ kallar vi minimalpolynomet till $\sqrt{2}$. Kravet på ett sådant polynom är alltså att det har heltalskoefficienter, en 1:a framför högstagradstermen och att det inte finns något polynom av denna typ och av lägre gradtal som har $\sqrt{2}$ som nollställe.

a) Konstruera en andragradsekvation som har $r=\sqrt{2}+1$ som en av sina lösningar.
b) Visa att $r=\sqrt{2}+ \sqrt{3}$ är en lösning till $x^4-10x^2+1=0$.
c) Konstruera ett fjärdegradspolynom med heltalskoefficienter som har $r=\sqrt{5}+\sqrt{7}$ som en av sina lösningar.
d) Låt $p$ och $q$ vara två olika primtal. Minimalpolynomet med en rot $\sqrt{p}+\sqrt{q}$ är då alltid ett fjärdegradspolynom på formen $x^4+ax^2+b$. Visa detta (dvs. att koefficienterna framför $x^3$ och $x$ alltid är 0). Red också ut hur talen $a$ och $b$ förhåller sig till primtalen $p$ och $q$.
e) Ange en ekvation på formen $x^4+ax^2+b=0$ där ingen lösning är på formen "$\sqrt{heltal}+\sqrt{heltal}$''.

Snyggt talmönster

Räkna ut summorna nedan

(5)

\begin{array} {} 1^3+5^3+3^3= ?\\ 16^3+50^3+33^3 = ?\\ 166^3+500^3+333^3 =?\\ 1666^3+5000^3+3333^3 = ? \end{array}

Ser du något mönster? Tror du att mönstret fortsätter på samma sätt. Kan du bevisa, eller motbevisa, detta? Observera att för att bevisa något allmänt räcker det inte med ett antal exempel utan ett generellt argument behövs. För motbevis räcker i princip ett exempel.