matematik-2c-vt12:geometri

Information

Försöka lösa en av nedanstående uppgifter. Välj själv lämplig svårighetsgrad. Redovisningen sker med en inspelad lösning med tillhörande "snack". Tänk på att det inte bara är din problemlösningsförmåga utan också din kommunikationsförmåga som ska bedömas. Så formulera dig så korrekt, logiskt och rättframt som möjligt. Tillhörande figurer ritas för hand (snyggt) eller hellre med hjälp av GeoGebra.

Du får ta hjälp av vad och vem du vill för att lösa problemet. Läraren kommer dock inte att svara på frågor på de aktuella uppgifterna.

Om samma uppgift löses av många kan uppgiften utgå. De som då inte lämnat in en lösning får helt enkelt ge sig på ett annat problem.

Observera att problem är svårare (på repektive nivå) än t.ex. bokens. Å andra sidan har ni gott om tid på er och får ta hjälp av vad och vem som helst.

Bedömningsmatriser

Kommunikativ förmåga (matrisen är samma som den på NP:s muntliga del)

+ Visa matris

Fullständighet, relevans och struktur  Hur fullständig, relevant och strukturerad elevens redovisning är.	Redovisningen kan sakna något steg eller innehålla något ovidkommande.  Den finns en övergripande struktur men redovisningen kan vara bitvis fragmentarisk eller rörig.		Redovisningen är i huvudsak fullständig och endast relevanta delar ingår.  Redovisningen är välstrukturerad.
Beskrivningar och förklaringar Förekomst av och utförlighet i beskrivningar och förklaringar	Någon förklaring förekommer men tyngdpunkten i redovisningen ligger på beskrivningar.  Utförligheten i de beskrivningar och de förklaringar som framförs kan vara begränsad.		Redovisningen innehåller tillräckligt med utförliga beskrivningar och förklaringar.
Matematisk terminologi Hur väl eleven använder matematiska termer, symboler och konventioner.	Eleven använder ibland matematisk terminologi med rätt betydelse.	Eleven använder ofta matematisk terminologi med rätt betydelse och vid lämpliga tillfällen.	Eleven använder i huvudsak matematisk terminologi med rätt betydelse och vid lämpliga tillfällen.

Problemlösningsförmåga

+ Visa matris

Uppgiftens svårighetsgrad
Metodval för lösning	Lösningsmetoden är bristfällig eller onödigt komplicerad och leder enbart till en delvis lösning av problemet.	Lösningsmetoden kan vara bristfällig eller onödigt komplicerad men leder till en i princip fullständig lösning av problemet. Uppgiften är på minst C-nivå i svårighetsgrad.	Lösningsmetoden är inte onödigt komplicerad, vilket t.ex. innebär att man inte använder eller hänvisar till "starkare" resultat än vad som behövs. Metoden leder dessutom till en fullständig lösning av problemet. Uppgiften är på A-nivå i svårighetsgrad.

Problem/uppgifter

E-nivå

a) Rita en triangel med sidlängderna 20, 48 och 52 längdenheter.
b) Mät triangelns vinklar och avgör om den verkar vara rätvinklig.
c) Avgör med lämplig räkning om triangeln är rätvinklig.

*

a) Rita en fyrhörning.
b) Mät vinklarna och beräkna vinkelsumman.
c) Undersök vinkelsumman hos fler fyrhörningar. Hypotes?
d) Bevisa din hypotes!

*

Bevisa att diagonalerna i romb delar varandra mitt itu.

*

Två cirklar skär varandra i punkterna A och B enligt figur nedan. AC och AD är diametrar i cirklarna. Bevisa att punkterna B, C och D ligger på en rät linje.

C-nivå

Betrakta (de förlängda) kordorna som skär varandra utanför cirkeln som figuren visar.

Låt sträckan BF vara a l.e (längdenheter), CF b l.e, EF c l.e och DF d l.e. Visa att $ab=cd$

*

I en likbent triangel är har de lika långa sidorna längden a. En punkt P på triangelns bas har avstånden x, y och z till triangelhörnen. Visa att

(1)

\begin{equation} xy+z^2=a^2 \end{equation}

*

Halvcirkeln nedan har diametern 1 (längdenhet). Visa att, med beteckningar enligt figur, gäller

(2)

\begin{align} y=\sqrt{x} \end{align}

A-nivå

Utgå från ett av hörnen på ett A4-papper. Markera mittpunkterna på motstående sidor (dvs. de sidor som inte utgår från ursprungshörnet). Förbind de tre punkterna med räta linjer så att du får en triangel.
a) Visa att denna triangel är rätvinklig.
b) På pappret finns fyra rätvinkliga trianglar. Visa att tre av dem är likformiga.
c) Visa att areaförhållandet mellan de tre trianglarna är 1:2:3.

Anm. Tanken är inte att du ska mäta (även om du får göra detta för din egen skull) utan räkna. Utgå ifrån att sidförhållandet hos ett A4-papper är $1:\sqrt{2}$

*

a) Konstruera några trianglar och rita in de tre mittpunktsnormalerna. Vad upptäcker du? Hypotes?
b) Bevisa din hypotes.
c) Varje triangel kan omskrivas av en cirkel (som alltså har triangelns tre hörn på sin periferi). Ange en metod för att, till en given triangel, finna denna cirkels centrum.

*

I figuren nedan är två parallella linjer ritade. Mellan dessa inritas två cirklar som tangerar var sin linje och varandra. Tangeringspunkterna är A, B och C. Visa att dessa tre punkter ligger på en rät linje.

*

Ett glas har formen av en stympad rät kon, där bottenradien är hälften så stor som toppradien (glaset är alltså bredast upptill och smalnar av neråt). Om man önskar fylla detta glas med halva sin volym, till vilken höjd ska man i så fall fylla?

*

(Svår) Givet en godtycklig triangel $\Delta ABC$, markera de punkter som tredelar respektive sida. Konstruera ett linjesegment från respektive hörn A, B och C till den första tredelningspunkten på motstående sida, räknat moturs. Dessa linjesegment definierar en ny inre triangel. Hur är denna triangel relaterad till den ursprungliga triangeln?

Utför gärna dina konstruktioner och undersökningar med hjälp av datorprogrammet GeoGebra. Argumentera för dina slutsatser!