matematik-2c-ht15:detaljplan

1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3 4.4

1.1 Repetition av algebra och funktioner

Räkna med algebraiska uttryck, ekvationer och omskrivning av formler (sid 8-13)

Detta ska var känt i princip men viss uppfriskning kanske kan behövas. Det tar man ansvar för själv.

Lös b- och c-uppgifterna. Skulle detta gå obra backar man till a-uppgifterna och gör efter behov.

Funktionsbegreppet (14-17)

Funktionsnotation kan kännas abstrakt vid första anblick. Men det är bara att ta tjuren vi hornen och börja vänja sig.

Notationen $f(x)=2x$ är mycket praktisk men också möjlig att missförstå. Väsentligt är att notera att x är en "dummy". Man kan presentera samma funktion som

(1)
\begin{align} f(t)=2t \textrm{ eller } f(\square)=2 \cdot \square \end{align}

där man i det sistnämnda fallet kan peta in vad som helst i rutan. Alltså får man t.ex.

(2)
\begin{align} & f(w)=2w\\ & f(x^2)=2x^2\\ & f(x+1)=2(x+1)=2x+2\\ & f(f(x))=2f(x)=2(2x)=4x, \textrm{ här "kör" man alltså f två gånger efter varandra} \end{align}

Lös uppgifter efter behov. Man kan börja med b- och c-uppgifterna och om dessa går bra känna sig nöjd, och annars "backa".

1.2 Räta linjens ekvation

Inledning (20-22)

En rät linje (som inte är vertikal!) kan skrivas på formen

(3)
\begin{equation} y=kx+m \end{equation}

för givna tal k och m. Kolla själv in graferna i boken eller (ännu hellre) ladda ner GeoGebra här GeoGebra och undersök själva.

Lös väldigt få :-). Detta är relativt enkla uppgifter och klarar man dem längre fram så är detta inget att lägga så mycket tid på.

En formel för linjens lutning (sid 23-26)

Givet två punkter finns exakt en rät linje som går genom dessa. För att bestämma linjens ekvation på formen

(4)
\begin{equation} y=kx+m \end{equation}

är det oftast enklast att börja med k-värdet, genom

(5)
\begin{align} k=\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\textrm{ändring i y-led}}{\textrm{ändring i x-led}} \end{align}

När väl k är bestämt sätter man in en punkt (vilken som helst) i linjen ekvation och räknar ut m.

Anders Karlsson (mattelärare vi Ållebergsgymnasiet i Falköping) har lagt upp en radda YouTubeklipp om olika delar av gymnasiematematiken. Kolla gärna in!

Matteskolan: Rita linje från ekv. y=kx+m, "trappstegsmetoden"

Lös, eller ha koll på, samtliga a-uppgifter. Lös dessutom 1226, 1227a, 1229, 1230 samt 1231 och de båda c-uppgifterna..

Parallella och vinkelräta linjer (sid 28)

Att två linjer är parallella precis om de har samma lutning och dämed samma k-värde är närmast självklart. Sambandet mellan lutningarna hos två vinkelräta linjer kräver lite eftertanke. Som ni ser i boken så kan man illustrera det genom att rotera en lämplig triangel 90 grader och hålla koll på vad som händer med sidlängderna.
"Extraläraren" Anders har några instruktiva YouTube-klipp

Matteskolan: Vinkelräta linjer, "k-form", ex 1
Matteskolan: Vinkelräta linjer, "k-form", ex 2
Matteskolan: Parallella linjer på allmän form, härledning och exempel

Lös 1235, 1236, 1239 och 1240.

k-form och enpunktsform (sid 29-31)

Boken presenterar två metoder för att bestämma linjens ekvation utifrån k-värdet och en punkt på linjen. Det räcker att behärska den ena. I själva verket kan man säga att metoderna är två sidor av samma mynt.

Notera att de två c-uppgifterna 1257 och 1258 finns lösta här; Lösta uppgifter. Efter önskemål fylls det på med lösningar av de lite svårare problemen (som inte hinner behandlas på tavlan).

Lös a-uppgifter efter behov. Troligen kan ni börja direkt på 1249, 1250, 1254, 1256, 1257 och 1258 och hoppas över a-uppgifterna.

Linjära modeller (sid 33-35)

Ingen ny matematik här. Det handlar om att koppla sin kunskap om räta linjer och deras ekvationer till tillämpade problem.

Lös 1266, 1268, 1270, 1271, 1273, 1274.

Mer om räta linjer (sid 38-40)

Man kan ju tycka att det kan räcka med att presentera linjers ekvation på s.k. k-form:

(6)
\begin{equation} y=kx+m. \end{equation}

Särskilt lämplig är denna form då man ska rita grafen i ett koordinatsystem. I andra sammanhang kan det dock vara bättre med den så kallade allmänna formen:

(7)
\begin{equation} Ax+By+C=0. \end{equation}

Ett skäl är att man också kan uttrycka vertikala linjer på denna form (tag B=0). Senare i livet kanske ni stöter på problem i högre dimensioner (t.ex. plan i 3D). Även då är ofta den allmänna formen att föredra eftersom den är "symmetrisk".

Matteskolan: Räta linjens ekv. allmän form

Lös 1279ab, 1280, 1281cd, 1284, 1285ab, 1287, 1289, 1291 samt 1293 och 1294 om man har högre ambition.

Linjär anpassning (sid 41-42)

Här handlar det om att, på bästa sätt (vilket det nu är), anpassa en rät linje efter ett antal punkter. Ni kommer att stöta på detta "problem" i tillämpade ämnen då ni gjort en massa mätningar i en som ni misstänker linjär modell.

På sida 41 ser ni hur man "väljer" sin bästa linje. Man mäter avståndet från linjen till punkterna i y-led, kvadrerar dessa avstånd och väljer linje så att summan av dessa kvadrater blir minimal. Varför man gör på detta sätt och hur sedan räkningarna går till ligger utanför kursens ramar (ni får reda på hur det funkar i en kurs i Linjär algebra t.ex.). Vi nöjer oss istället med att utföra den linjära anpassningen med räknare och GeoGebra som laddas ner här; GeoGebra. På lektionen får ni reda på hur det fungerar. Ni kan också kolla in Youtube-klippet nedan, som iofs är till en äldre GeoGebraversion. Att göra regression på räknaren är såklart mindre instruktivt, men nödvändigt eftersom räknare är det som gäller på proven i dagsläget.

Youtube: regressions

Lös 1298 och eventuellt 1299, båda med GeoGebra.

1.3 Linjära ekvationssystem

Grafisk lösning (sid 43-45)

Linjära ekvationssystem är vad det låter som, ett antal (två här) linjära ekvationer med ett antal obekanta varibler (som ofta ska bestämmas). Systemen kan lösas såväl grafiskt som algebraiskt, och i första avsnittet är det fråga om just grafisk lösning. Var och en av de linjära ekvationerna i systemet svarar grafisk mot en linje, som man ritar. Att sedan lösa ekvationssystemet betyder att man ska hitta x- och y-värden (ofta heter variablerna just x och y men det går så klart bra med andra) som uppfyller ekvationerna i systemet och grafiskt motsvarar detta punkter som ligger på båda linjerna, dvs skärningspunkter. Man läser helt enkelt av denna/dessa.

Lös 1305, 1307b (t.ex. med GeoGebra), 1309 och 1312.

Substitutionsmetod (sid 46-47), additionsmetod (48-49)

Detta är två olika metoder för att lösa ekvationssystem algebraiskt (och exakt). I princip räcker det att ni behärskar den ena. Om man stöter på större ekvationssystem är nog additionsmetoden att föredra men för mindre system är substitutionsmetoden lika bra och kanske begripligare. Lös någon uppgift med vardera sort, men välj sedan den metod ni tycker är bäst.

Kolla gärna in Anders Karlsson. Det han kallar elimination är det som boken kallar additionsmetod.

Matteskolan: Linjära ekvationssystem, substitution, exempel
Matteskolan: Linjära ekvationssystem, elimination, exempel

Lös på sida 47: 1317d, 1318, 1321b, 1323, 1325 och 1326.
Lös på sida 49: 1335, 1336c, 1338 och 1340.

Några speciella ekvationssystem (sid 50-51)

Vad boken menar med ett speciellt ekvationssystem verkar oklart, men själva presentationen av de olika fall som kan inträffa (på sid 50) är bra. Tänk efter så att ni förstår "sambandet" mellan den algebraiska lösningen och den grafiska tolkningen.

Lös 1344, 1345 och eventuellt 1349 (rita gärna denna i GeoGebra också).

Ekvationssystem med tre obekanta (sid 52-53)

Avsnittet är inte så upphetsande, man lägger till en ekvation och en obekant i ekvationssystemet. Lösningsmetoden är dock densamma. Man löser ut en bokstav i en rad, substituerar i de båda andra och vips har man ett system med två ekvationer och två obekanta. Detta löses som innan. Det alltså inte så svårt i princip men det blir ganska mycket räkningar så man får vara lite noggrann.

Det går utmärkt att göra geometriska tolkningar också av dessa större ekvationssystem, men det ligger utanför denna kursens ramar. I en framtida kurs i Linjär algebra kommer ni att se hur det hänger ihop.

Lös 1352c, 1353, 1355 och 1358.

Tillämpningar och problemlösning (sid 54-56)

Ingen ny matematik här. Däremot gäller det oftast att översätta svenska till matematiska (här snickra och lösa ekvationssystem). Några tips/måsten

  • om ni själva inför beteckningar/variabler så måste dessa förklaras.
  • även om ni i vissa fall kan göra en snabb och fiffig huvudräkningslösning, undvik det här eftersom poängen är att träna just organiserad och metodisk lösningsteknik.

Lös eller snarare ha koll på samtliga a-uppgifter. Dessutom kan ni lösa 1367, 1369, 1371 samt eventuellt 1375.

2 Algebra och icke-linjära modeller

Se Magnus planering

3.1 Vinklar

Inledning, yttervinkelsatsen (sid 148-151)

Läs inledningen själva, det dyker upp ett antal begrepp/definitioner som man får lära sig utantill. För att sedan lösa uppgifterna på sida 149 räcker det att känna till vinkelsumman i en triangel och ha lite sunt förnuft.

Yttervinkelsatsen är inte mycket till sats, men ni kan nu spana in beviset på sida 150.

Lös b- och c-uppgifterna. 3120 är den svåraste/roligaste. Titta inte i facit för fort.

Randvinklar och medelpunktsvinklar (sid 153-156)

Det inleds med några begrepp på sida 153. Dessa gör man bäst i att lära sig. Man kan ju tänka ut bevis av satser och lösningar på uppgifter men begrepp och definitioner får man memorera.

Randvinkelsatsen är, till skillnad från yttervinkelsatsen, inte helt trivial. Man behöver rita en kritisk hjälplinje (och sedan är det enklare). Det är ganska typiskt för geometriska problem, rita "fiffiga" hjälplinjer - svårt, slutföra bevis efter att man ritat lämpliga hjälplinjer - lättare. Se fall 2 och 3 på sida 154 för "fiffiga" hjälplinjer.

Lös 3123-3126, 3130, 3131 och samtliga c-uppgifter.

3.2 Likformighet

Topptriangel och transversalsatsen (sid 158-161)

Jag misstänker att detta är till stor del kända saker från Ma1c. Topptriangelsatsen är närmast självklar och bygger på att trianglar är likformiga om de har överensstämmande vinklar, vilket i sin tur följer av konstruktionen med parallelltransversal.

Transversalsatsen är egentligen bara en omskrivning av topptriangelsatsen, men kan vara smidigare i vissa fall.

Lös a-uppgifter vid behov samt 3209, 3211, 3213, 3214, 3215.

Area- och volymskala (sid 162-164)

Det gäller att

(8)
\begin{equation} areaskala = längdskala^2, volymskala=längdskala^3 \end{equation}

Argumentet är att areor fås genom att två längdmått multipliceras och volymer genom att tre längdmått multipliceras. Observera att det fungerar på alla typer av likformiga plana områden och tredimensionella kroppar.

Lös b-och c-uppgifterna.

Några bevis med likformighet (sid 166-167)

Här finns några trevliga problem men inte så enkla. Som oftast i geometriska problem gäller det att se ''rätt saker''. Ibland är det fråga om att rita in en lämplig hjälplinje, ibland att fokusera på en del av figuren. Hur blir man bra på detta? Jo man tränar och låter sig inte nedslås om man kör fast (ett tag).

Lös b- och c-uppgifterna.

Kongruens (sid 168-169)

Med kongruens "fångar" man trianglar som har samma form och storlek. Lite löst kan man säga att två trianglar är kongruenta om man kan få dem att överlappa varandra genom att man flyttar, roterar eller vänder den ena.

Den gamle greken Euklides ställde upp tre s.k. kongruensfall, med vilka man också kan avgöra om två trianglar är kongruenta (utan att hålla på att flytta). Se boken.

Lös b- och c-uppgifterna.

3.3 Koordinatgeometri

Avståndsformeln (sid 172-173)

Om man har koll på hur koordinatssystem fungerar och Pythagoras sats så är avståndsformeln tämligen självklar. Det bästa är alltså att ha/skaffa sig denna koll och inte lära sig formeln utantill.

Det räcker att lösa b-uppgifterna. I 3306 gäller det att läsa så pass noga att man fattar frågan rätt.

Mittpunktsformeln (sid 174-175)

Slutsatsen här är samma som ovan. Lär er inte formeln utantill utan förstå den. Det är inte konstigare än att mittpunktens koordinater är medelvärdena av ursprungspunkternas koordinaterna var för sig. En mittpunkt ligger ju såklart mitt emellan i såväl x- som y-led. Rita figur om ni inte förstår.

Lös 3313a, 3314, 3316 och 3318.

4.1 Statistiska metoder

Sammanställning och presentation av data (sid 188-190)

Se till så ni känner till de olika diagramtyperna, kan läsa av i och konstruera egna vid behov. Med frekvens avses antal och med relativ frekvens den procentuella andelen.

Lös 4103 om ni känner er osäkra på cirkeldiagram och 4105 om ni känner er osäkra på histogram.

Population, stickprov och urvalsmetoder (sid 191-193)

Här gäller det att lära sig ett antal begrepp, det är bara att "hamra in". Man använder också sunt förnuft.

Lös 4109, 4110 (diskutera med kompis), 4112, 4113 (diskutera med kompis), 4114.

Några felkällor vid statistiska undersökningar (sid 194-196)

Om en undersökning har ett stort bortfall (många låter bli att svara) finns det anledning att vara försiktig innan man drar slutsatser. Det säger sig ju nästan själv.

Felmarginalformel struntar vi i!

Lös 4117, 4119 och 4121.

4.2 Läges- och spridningsmått

Lägesmätt, några spridningsmått (sid 196-206)

Ganska enkelt avsnitt. Man repeterare begreppen medelvärde, median och typvärde och försöker få lite känsla för dessa.

Lös 4207, 4209, 4211, 4215, 4217, 4218, 4225, 4228, 4230, 4231.

Standardavvikelse (sid 208-211)

Utöver medelvärde, median och typvärde är man intresserad av hur utspritt det statistiska materialet är. Kvartiler och kvartilavstånd är några enkla mått på detta, man får ju koll på var fjärdedelarna av materialet är. Ett bättre, och mer använt, mått är standardavvikelsen. Denna räknas ut som följer

  • bestäm materialets (stickprovets) medelvärde
  • beräkna "avståndet" från var och en av mätdatan till medelvärdet och kvadrera dessa "avstånd"
  • addera alla dessa "kvadrater"
  • dela med antalet mätdata minus ett, n-1 (talet som fås här kallas varians)
  • ta roten ur denna kvot

Formel finns i formelblad eller bok. Observera att man ska dela med n-1 och inte n. Skälet till detta är inte helt enkelt att förstå och man ska strunta i det för nu. Boken ger heller ingen bra förklaring! Vill man ändå veta mer om detta kan man kika här och här.

Lös 4234, 4235, 4238, 4239 samt eventuellt 4240. Använd räknarens statistikfunktioner vid behov.

4.3 Normalfördelning

Om man gör ett stort antal observationer av oberoende slumpmässiga försök kommer "summan" (eller medelvärdet) av dessa att bli normalfördelade. Detta är därmed den kanske viktigaste fördelningsfunktionen.

Detaljer kring detta, varför det blir så, hur formeln för kurvan ser ut ligger utanför kursens ramar. Ni behöver bara känna till hur man läser av i en given graf/tabell som också finns på formelbladet.

Här står lite med om normalfördelningen

http://www.malinc.se/math/statistics/normal_distrsv.php

och här finns en interaktiv normalfördelningskurva i GeoGebra:

https://www.geogebra.org/m/90878

Lös 4302, 4303 (byt 5 mot i 3 i uppgift d), 4305, 4307, 4308, 4309.

4.4 Modellering/funktionsanpassning

Här handlar det om att till ett antal mätdata/punkter finna den räta linje som bästa "stämmer in". Ett finare namn för denna procedur är regression.

Det enklaste sättet, om det rör sig om linkär anpassning, är att göra det på är att pricka in punkterna i ett koordinatsystem och måtta in de bästa kurvan med linjal. Sedan tar man ut formeln $y=kx+m$ grafiskt. Ett annat sätt är att använda räknaren/GeoGebra för att göra regressionen. Om man t.ex. vill anpassa med en andragradsfunktion eller exponentialfunktion är detta att föredra. Hur räknaren/GeoGebra gör får ni reda på längre fram i ert "matematikliv".

Lös 4402, 4403, 4405, samtliga med GeoGebra/räknedosa.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License