matematik-1c-ht16:detaljplan

1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 5.1 5.2 5.3 6.1 6.2

Introduktion

Första lektionen "går åt" till lite praktisk info om kursen och en sorts introduktion till matematik i allmänhet under rubriken "Vad är matematik?". Bland annat får ni tycka till själva anonymt här https://padlet.com/wall/6817snqnfw3w

1.1 Hela tal

Positiva tal - räkneordning och räknesätt (sid 10-12)

Förutom räknesätten måste man känna till och respektera prioriteringsregler. Observera att i ett uttryck som $\frac{2+8}{3+2}$ ska man först beräkna täljare och nämnare för sig (trots att parentes saknas).

Lös uppgifter efter behov. Det betyder rimligen att man kollar igenom a-uppgifterna och bearbetar de man känner sig osäker på. Sedan kikar man lite mer noggrant på b- och c-uppgifter.

Primtal - delbarhet och faktorisering (sid 13-15)

Primtal är ett tal som bara kan delas (jämnt) av 1 och sig självt. De första primtalen är alltså 2, 3, 5, 7, 11, 13. Observera att talet 1 inte räknas som ett primtal (det visar sig vara praktiskt så). Varje heltal kan på ett (och endast ett) sätt faktoriseras i primtal, t.ex

(1)
\begin{align} 5746=2 \cdot 13^2 \cdot 17. \end{align}

Med hjälp av ett faktorträd kan man successivt hitta primfaktorerna i enkla fall. Observera att det är mycket enklare att multiplicera två primtal än att faktorisera "tillbaka". Detta faktum använder man i princip för att skicka kodad information över internet.

Lös a-uppgifter efter behov (men hoppa 1128 och 1129). Därefter 1133, 1134, 1136 och 1137 för de med högre betygsambitioner.

Negativa tal (sid 16-19)

Negativa tal kan man se som "motsatstal" till de positiva. Med det menas att t.ex. $2+(-2)=0$, dvs om man adderar ett positivt tal till det motsatta negativa får man noll.

Observera att det i princip är två olika minustecken i ett uttryck som $5-(-2)$ även om de ser likadana ut (på räknedosan ser de olika ut dock). Det första minustecknet anger att två tal ska subtraheras, det andra att det är fråga om en "negativ" tvåa.

Precis som boken skriver tyckte man länge att negativa tal var skumma, och det dröjde in på 1600-talet innan de började accepteras i Europa. Det har vi svårt att förstå idag!

Lös a-uppgifter efter behov och sedan 1150, 1151, 1153, 1155.

1.2 Rationella och reella tal

Bråkbegreppet (sid 20-22)

Det finns en väsentlig skillnad mellan bråk och hela tal, hela tal som ser olika ut har olika värde medan bråk som ser olika ut kan ha samma värde, t.ex.

(2)
\begin{align} \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{-3}{-6}. \end{align}

När man ska jämföra storleken på två bråk, eller kanske ange ett bråk mellan två givna bråk, är det lämpligt att skriva om dem på en gemensam nämnare.

Lös uppgifter efter behov. Om man vill kan man starta på b- och c-uppgifterna direkt. Om man klarar dessa - strunta i a-uppgifterna.

Räkna med bråk (sid 23-26)

Vid addition och subtraktion ser man till så man får gemensam nämnare, sedan skriver man på ett bråkstreck med additionen eller subtraktionen i täljaren. Amatörfelet

(3)
\begin{align} \frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{2+1}{3+4} = \frac{3}{7} \end{align}

passar man sig för. Tänk efter själv varför resultatet ovan är helt orimligt.

När det gäller multiplikation av bråk fungerar det däremot att multiplicera täljare och nämnare var för sig. Tänk efter varför!

Vid division skriver man som en multiplikation mellan täljaren och nämnarens inverterade värde. Tänk efter varför!

Någon kanske tycker det räcker att veta ATT något fungerar och struntar i VARFÖR. Givetvis blir matematiken mycket roligare och "räkneregler" blir mycket lättare att komma ihåg om man vet VARFÖR!

Lös uppgifter efter behov. Just här kan det vara bra att lägga lite extra krut också på a-uppgifterna. Säkerhet i bråkräkning är en god investering i resten av livet!

Tal i decimalform (sid 27-29)

Alla reella tal (alla tal på tallinjen) kan skrivas på decimalform. Ibland behövs oändligt många decimaler, t.ex

(4)
\begin{align} \frac{1}{3}=0,333 \ldots ; \, \pi = 3,1415 \ldots \end{align}

Man kan också tänka igenom var olika tal placeras på tallinjen.

Lös a-uppgifter efter behov och därefter (eller istället) 1258, 1260, 1262ab, 1263, 1265, 1269.

Avrundning och gällande siffror (30-31)

Vid avrundning måste man kan koll på vilken position som är tiondel, hundradel osv. En 5:a avrundas alltid uppåt så t.ex. $3,65 \approx 3,7$. Vad får man om man avrundar 0,9999 till tusendelar, hundradelar, tiondelar respektive ental förresten?

Gällande siffror kan vara lite lurigt, framför allt tal som avslutas med nollor. Ibland framgår det av sammanhanget, en prislapp på 100000 kr har troligen alla nollor som gällande, medan om man anger att 100000 personer var på en konsert så är inte alla nollorna gällande. Sättet att kringgå denna oklarhet är att skriva i grundpotensform, vilket det blir mer om längre fram.

En genomgång av värdesiffror på YouTube av Anders Gustafsson finns här

Lös a-uppgifterna och 1276.

Kvadratrötter (sid 32-33)

Kvadratroten ur ett tal x är det POSITIVA tal t vars kvadrat blir x. T.ex har vi $\sqrt{16} = 4$ ty $4^2=16$. Observera särskilt att $\sqrt{16} = \pm 4$ är fel, kvadratroten är det POSITIVA tal osv.

Många gånger är det smidigare att arbeta med tal i bråkform än i decimalform i "rot"-sammanhang. Vad är t.ex. $\sqrt{2,25}$? Jo, $2,25 = 9/4$

(5)
\begin{align} \sqrt{2,25}=\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2} \end{align}

vilket är 1,5 om man ändå envisas med decimalform.

Lös en deluppgift på varje uppgift, t.ex. den sista. Finns inga deluppgifter löser man hela uppgiften. c-uppgifterna kan man hoppa om man inte har de högre betygsambitionerna.

1.3 Tal i potensform

Positiva heltalsexponenter (34-35)

Detta bör ni känna igen. Så länge man har positiva heltalsexponenter så kan man tänka ut alla räkneregler enkelt utifrån upprepad multiplikation.

Lös uppgifter efter behov, kanske varannan. De sista uppgifterna erbjuder nog lite tuggmotstånd.

Negativa heltalsexponenter och exponenten noll (sid 36-37)

Notera att $a^0=1$ (varför?) och $0^a = 0$ (varför?) om $a \neq 0$. I uttrycket $0^0$ kan man säga att dessa båda regler konkurrerar och det enklaste är att låta $0^0$ vara odefinierat, precis som t.ex. $\frac{1}{0}$.

Tänk efter varför man har gjort definitionen

(6)
\begin{align} a^{-x} = \frac{1}{a^x}. \end{align}

I matematiken vill man i princip ha konsekventa och enkla "räkneregler". Man väljer definitioner därefter.

Lös uppgifter efter behov kanske varannan. 1334 kan man hoppa över.'

Grundpotensform (sid 38-39)

För att spara plats och underlätta räkningar så skriver man ofta stora och små tal på grundpotensform. T.ex. är elektronens massa (i kg)

(7)
\begin{align} 9,1093826 \cdot 10^{-31} = 0,00000000000000000000000000000091093826 \end{align}

Gissa vilket som är smidigast!

Man hanterar också nollor som eventuella värdesiffror i slutet av tal med hjälp av grundpotensform. Om man säger att man ser 100 personer på Spykens innergård så är det oklart om ingen, en eller båda nollorna är gällande. Det kan ju vara så att man faktiskt räknat till exakt 100, och då är båda nollorna gällande. Det kan också vara så att man skattat till närmsta hundratal och då är ingen av nollorna gällande. Det hanterar man såhär: $1 \cdot 10^2$ har ingen gällande nolla (och alltså en gällande siffra nämligen 1:an), $1,0 \cdot 10^2$ har en gällande nolla och $1,00 \cdot 10^2$ har två gällande nollor.

Lös uppgifter efter behov, kanske varannan.

Prefix (40-41)

Istället för tiopotenser kan man använda prefix. Det är vanligt i tillämpningarna, medan man i (ren) matematik föredrar tiopotenser. Man bör känna till de vanligaste, milli, centi, deci, hekto, kilo medan övriga kan kollas upp vid behov. Observera att kilo alltså betyder 1000. Om något väger ett "kilo" är det korrekta mätetalet såklart kilogram. Boken utelämnar prefixet för $10^1$. Sådant finns men är ganska ovanligt. Ta reda på själv om du vill.

För att få lite perspektiv på våra "moderna" enheter och prefix kan man kolla in sidan med gamla mått.

Lös efter behov, kanske b-uppgifterna.

Talsystem med olika baser (sid 44-46)

Att vi räknar i bas 10, dvs i ett positionssystem med basen 10, beror troligen på att vi har så många fingrar. Historiskt har man använt andra baser och för en dator är det mest praktiskt att använda basen 2. Avsnittet innehåller i kort orientering om talbaser. På sida 47 kan man läsa om några historiska talsystem, intressant men kursivt.

Lös 1366, 1368, 1373 och eventuellt 1374a.

1.4 Problemlösning

Problemlösning är ett viktigt inslag i varje mattekurs, och innebär att man utsätts för ett problem där lösningsmetoden inte är självklar, utan kräver en del eftertanke och undersökning. Vilka problem man sedan löser spelar inte så stor roll, viktigare är att de är lagom svåra och intressanta. T.ex. är Quiz-problemen i många fall bra exempel på "problemlösningsproblem". Men ni kan såklart också välja några problem i detta avsnitt. Välj själv, men ta något som verkar intressant.

Lös valfria. Men lös hellre färre med kvalitet än många. Hellre svårare än för enkla, t.ex. kan man börja med c-uppgifterna och nöja sig med dessa om det går bra. Men observera att man kanske måste fundera lite (mycket). Inget konstigt med det.

2.1 Procentuella beräkningar och jämförelser

Tre basproblem (64-66)

Om man har koll på räknesätt och räkneregler i allmänhet så vållar inte procentuppgifter några problem förutsatt att man kan tolka texten rätt. Man behöver såklart känna till att procent anger hundradelar, vilket betyder att man genast skriver om procent till decimaltal (eller bråk) och räknar på som vanligt.

Det som ibland kan missuppfattas är vad man räknar procent av. Antag att Rogerinas vikt ökat från 90 kg till 100 kg. Ökningen är då 10 kg och den procentuella ökningen ges av:

(8)
\begin{align} \frac{\textrm{förändring}}{\textrm{ursprungsvärde}}=\frac{10}{90} \approx 0,111 = 11,1\%. \end{align}

Man ska alltså dela med ursprungsvärdet (90) och inte "slutvärdet" (100).

Förresten, momsen i Sverige är 25%. Om du köper en vara som kostar 100 kr i en affär så är momsen 20 kronor (pengar som alltså går till staten). Hur hänger det ihop?

Lös 2104, 2106, 2107, 2110, 2111, 2114, 2118, 2121.

Procentenheter (sid 67)

Vad gäller procentenheter så är det i princip enkelt (men jag har hört Sveriges finansminister säga fel!). Om något ändrar sig från 5% till 3% så är förändringen en minskning på 40% (ett förhållande). Samtidigt är minskningen två procentsteg. Vi säger då att minskningen är två procentenheter.

Lös 2125, 2127, 2128, 2130.

Procent utan räknare (sid 70)

Här handlar det om huvudräkning.

Lös 2133, 2134, 2139, 2141.

2.2 Procentuella förändringar

Förändringsfaktor (sid 72-74)

Antag att Ulla-Bellas hyra är 6000 kr och ökar med 5%. Vad blir då hennes nya hyra?

Alt1. 5% av 6000 är $0,05 \cdot 6000 = 300$ så hyran höjs med 300 kr och blir alltså 6300 kr.

Alt2. Ursprungshyran är 100% av ursprungshyran (känn på den!). Sedan lägger man på 5% av ursprungshyran. Alltså måste den nya hyran vara 105% av ursprungshyran. Men 105%=1,05 så den nya hyran ges av $1,05 \cdot 6000 = 6300$ kr.

Om man är intresserad av det nya värdet snarare än ökningen/minskningen är det smidigast att använda alternativ 2. Talet 1,05 kallas förändringsfaktor och är alltså vad ursprungsvärdet ska multipliceras med för att man ska få det nya värdet. Ytterligare ett skäl att använda förändringsfaktor är att det går enkelt att hantera upprepade procentuella förändringar.

Om Ulla-Bella råkar få en hyressänkning på 5% istället blir förändringsfaktorn 100%-5% =95%=0,95 och hennes nya hyra blir $0,95 \cdot 6000 = 5700$ kr.

Lös 2204, 2206, 2211, 2212, 2215, 2217.

Upprepade procentuella förändringar (sid 75-78)

Om man sätter in 500 kr på ett sparkonto med räntesatsen 2% och låter pengarna stå orörda i tio år, hur stor blir då behållningen? För att beräkna detta arbetar man med fördel med förändringsfaktorn, som i detta fallet blir 1,02. Varje år får man den nya behållningen genom att multiplicera den gamla med 1,02. Efter ett år har man alltså $500 \cdot 1,02$ kr (vänta med att räkna ut detta). Efter två år har man $(500 \cdot 1,02) \cdot 1,02 = 500 \cdot 1,02^2$. Fortsätter man på samma sätt inser man att behållningen efter tio år blir

(9)
\begin{align} 500 \cdot 1,02^{10} \approx 609,50 \textrm{ kr}. \end{align}

Lös 2228, 2230, 2232, 2233, 2235 och eventuellt 2237 och 2238. Går detta dåligt, ta några a-uppgifter först.

Problemlösning (sid 79)

Ingen ny matematik, men kanske några trevliga problem. Utöver bokens nedan kan man fundera på;

"How many gallons of a solution which is 15% alcohol do we have to mix with a solution that is 35% alcohol to make 250 gallons of a solution that is 21% alcohol?"

"A canister contains two and a half cups of flour. Greg and Sally have a brownie recipe which calls for one and one third cups of flour. Greg and Sally want to make one and a half recipes of brownies. To the nearest whole percent, what percent of the flour in the canister would they use?"

och detta som är svårast,

"A bowl contained 10% blue candies and 25% red candies. A bag containing three quarters red candies and one quarter blue candies was added to the bowl. Now the bowl is 16% blue candies. What percentage of the candies in the bowl are now red?"

Lös 2241, 2243, 2244.

2.3 Lån och index

Ränta (sid 80-81)

Finns inte så mycket att säga om detta. Det handlar om procent på pengar (dvs ränta).

Lös 2304, 2306, 2308, 2310

Amortering (sid 82-83)

Att amortera betyder att man betalar av på själva lånet (alltså inte räntan). Kolla in exemplet på sida 82 innan ni löser uppgifter. I princip lätt men lite "jobb".

Lös 2314, 2316, 2317.

Avgifter (sid 84-85)

Förutom amortering och ränta kan man råka ut för avgifter. Kolla själv in begreppen på sida 84.

Lös 2320, 2322, 2325.

Index (sid 86-87)

Index används för att på ett enkelt sätt jämföra t.ex. priser över tid eller hur priser på olika varor/tjänster förhåller sig. Man bestämmer då ett basår som motsvarar index 100 (man kan tänka sig det som 100% av priset vid basåret). Övriga års index bestäms sedan i förhållande till basåret.

Här är några exempel på aktuella KPI.

Lös 2328, 2330, 2332, 2333.

3.1 Algebraiska uttryck och förenklingar

Algebraiska uttryck (sid 98-100)

Lite slarvigt kan man säga att algebra handlar om bokstavsräkning (i "den högre" matematiken skulle man inte säga så men det funkar bra i Ma1c). Man observerar att det INTE finns några nya räkneregler bara för att det råkar finnas med bokstäver/variabler (som representerar okända tal). Så räkna som vanligt, och inga egna påhitt!

I några uppgifter ska man själva översätta en svensk text till "matematiska", dvs skriva ett uttryck. Det kräver viss träning och att man läser rätt. Om man kör fast kan det vara en ide att lösa problemet med konkreta tal, men då fokusera på HUR man utför sin beräkning snarare än slutresultatet. Sedan försöker man ersätta sitt konkreta tal med variabeln.

Lös 3105, 3106, 3107, 3110, 3113, 3117, 3118 och eventuellt 3119 och 3120.

Förenkling av algebraiska uttryck (sid 101-103)

Finns inte så mycket att säga om detta mer än vad som sagts ovan. Ganska tråkigt men helt nödvändigt att behärska.

Lös 3123d, 3124d, 3126, 3129, 3130cd, 3131cd, 3132cd, 3134, 3135.

Faktorisera (sid 104-105)

I allmänhet är det enkelt att multiplicera ihop faktorer (i alla fall behöver man inte vara så "fiffig"). Att återställa faktorer, eller faktorisera, är svårare och kräver att man ser på uttrycket på rätt sätt. Den enklaste varianten är att man bryter ut något som är gemensamt i termerna. Bra på detta blir man genom att träna…

Lös 3138, 3139, 3140, 3141, 3144, 3146cd, 3147c och eventuellt 3149, 3150, 3152, 3153.

3.2 Linjära ekvationer och olikheter

Ekvationsbegreppet (sid 107-109)

En ekvation är en likhet mellan två uttryck, som innehåller minst en variabel. $2x+1=x-2$ är en ekvation som man alltså fått genom att sätta uttrycken $2x+1$ och $x-2$ lika.

Att lösa en ekvation betyder att man ska finna samtliga möjliga värden på variabeln så att likheten uppfylls. I enkla fall kan man se lösningar någorlunda direkt, t.ex. är $x=-3$ en lösning till ekvationen ovan. Det är i de flesta fall svårt att se lösningar direkt och man behöver göra en organiserad och successiv lösning. Då kan man också vara säker på att man inte missat någon lösning.

I detta avsnitt är det dock mening att man ska lösa ekvationer genom okulärbesiktning (man tittar på dem, inspektionsmetod). Det går alltså bra om det är särskilt enkla ekvationer.

Lös 3206, 3209, 3214, 3215, 3216a, 3219 och c-uppgifter efter eget behov. Är urvalet för svårt, ta några a-uppgifter istället.

Ekvationslösningens grunder (sid 110-113)

Här är det meningen att man ska organisera sin lösning skriftligt och stegvis. Målet är alltid att få variabeln ensam (då är ju ekvationen löst), och principen är att man bearbetar den ursprungliga likheten på ett bra sätt. Man får göra "vad man vill" på en sida av likheten, bara man gör "samma sak" på den andra. Det handlar alltså om att "vilja" (på en sida gör man som man vill) och "måsta" (på andra sidan måste man göra samma sak).

Vad man ska göra beror på hur ekvationen ser ut. Man lokaliserar variabeln och "rensar" successivt kring denna. Om något är adderat till variabeln subtraherar man detta etc. Principerna är enkla men man måste träna på hantverket.

Lös deluppgift d på 3224-3229 och sedan b- och c-uppgifter tills man ledsnar eller kan det. På uppgifter med flera deluppgifter kan man fortfarande satsa på att göra en.

Problemlösning med ekvationer (sid 114-116)

Att lösa ekvationerna i Matematik 1c är ofta ganska enkelt. Svårare är kanske att läsa och tolka en problemtext på svenska och översätta den till matematiska, t.ex. till en ekvation. En bra start är att undersöka vad som söks, kalla detta för x och så vidare.

Som kuriosa och rejäl överkurs kan nämnas att vissa ekvationer är svårlösta (men lösbara). Ett sådant exempel är allmänna fjärdegradsekvationer var lösning man kan studera här. Ekvationer av högre gradtal än 4 är i allmänhet inte lösbara alls med algebraiska metoder. Här står lite om detta!

Prova med att börja på uppgifterna 3259-3263 (b-uppgifter). Går dessa bra struntar man i a-uppgifterna och försöker eventuellt med c-uppgifterna. Om det inte gick bra så backar man och gör a-uppgifter efter behov. Men lös hellre lite färre med kvalitet än många slarvigt.

Olikheter (117-119)

Med olikhetsteckena (se sid 117) kan man teckna intervall på en axel. Notera att man har ifyllda eller oifyllda cirklar i ändpunkterna beroende på om ändpunkter ingår eller inte.

En olikhet är i princip som en ekvation, fast med ett olikhetstecken istället för =. Man löser olikheter på samma sätt som ekvationer med den väsentliga skillnaden att om man dividerar eller multiplicerar med ett negativt tal så måste olikheten vändas. Tänk efter varför det är så!

Lös 3270, 3272cd, 3273d, 3274, 3277 (rätt svar är $x < 10$), 3281 och eventuellt 3282 och 3284.

3.3 Potensekvationer

Enkla $x^2$-ekvationer (120-121)

Det som är "enkelt" med dessa är att variabeln endast förekommer på ett ställe i ekvationen, men då med exponent 2. Lösningsstrategin är som tidigare att man stuvar om i likheten så att x-potensen blir ensam (om det behövs). Sedan "städar man bort" denna som följande exempel visar:

(10)
\begin{align} x^2 = 36 \Leftrightarrow x=\pm 36^{1/2} = \pm \sqrt{36} = \pm 6 \end{align}

Observera att "kvadratroten ur" alltid ger ett positivt tal, därför behövs plus/minus framför för att lösningen ska vara fullständig.

Lös 3303, 3304, 3306, 3308bd, 3310, 3311 och eventuellt 3313.

Ekvationen $x^n=a$ (sid 122-125)

En potensekvation har formen

(11)
\begin{equation} x^n = a \end{equation}

där n är ett heltal. En sådan löses såhär, med $n=4$ och $a=5$:

(12)
\begin{align} x^4 = 5 \Leftrightarrow (x^4)^{\frac{1}{4}} = \pm 5^{\frac{1}{4}} \Leftrightarrow x= \pm 5^{\frac{1}{4}} \approx \pm 1,495. \end{align}

Observera att om n är jämnt måste man själv komma ihåg att lägga till $\pm$. Om däremot n är udda och $a \geq 0$ så blir det endast en positiv lösning. Tänk efter varför!

Lös samtliga a-uppgifter, 3322, 3323, 3326, 3330 och eventuellt 3332 och 3334.

3.4 Formler och mönster

Formler (sid 127-129)

Lite slarvigt kan man säga att en formel är en likhet mellan en variabel och ett uttryck med en eller flera variabler. En välkänd formel från fysiken är $s = v \cdot t$.

Här går det ut på att "översätta" text, tabeller och figurer till formler och sedan kanske göra några beräkningar. Kom ihåg att du måste tala om vad de förekommande variablerna står för. Rimligen känner man till hur man sätter in i formler så uppgifterna nedan tränar i första hand hur man konstruerar en formel.

Lös 3407, 3409, 3410, 3414, 3415 och eventuellt 3417 och 3418.

Mönster och formler (130-131)

Titta på figurerna, tänk efter hur dom konstrueras och snickra en formel.

Lös 3421, 3422, 3425, 3427 och eventuellt 3428.

Lösa ut ur formler (sid 132-134)

I fysik, kemi, matematik etc. är det fullt med formler. I "urspungsformeln" är ofta en av variablerna (bokstäverna) ensam (utlöst). T.ex. kan man säga att s är utlöst i formeln $s = v \cdot t$. Nu kan det ju vara så att man råkar känna till s och t och att v sökes. Självklart lär man sig då inte en ny formel utan använder den ursprungliga, men löser ut v i denna. Sagt och gjort

(13)
\begin{align} s = v \cdot t \Leftrightarrow v = \frac{s}{t}. \end{align}

För att man ska slippa lära sig/memorera en massa varianter av en formel är det viktigt att kunna lösa ut vilken variabel som helst (går iofs inte alltid). Det ska man träna på dessa sidor.

Lös en deluppgift av varje a- och b-uppgift (eller till man tröttnar/kan det) och sedan eventuellt c-uppgifterna.

3.5 Undersöka och bevisa (sid 138-140)

Uppgifterna i detta avsnitt påminner om sådana som kan dyka upp som "större uppgift" på nationella prov. Ofta går det ut på att man ska undersöka något med ett eller flera exempel och sedan bevisa något generellt. Här är det viktigt att ni gör ordentliga lösningar. Presentationen är viktigare än ett rätt svar. I facit finns beskrivning hur olika lösningar bedöms, titta men inte innan du gjort en lösning.

Lös 3505, 3506, 3507. Samtliga har förekommit på NP. Det blir ingen genomgång av dessa på lektionen. Istället kan man (frivilligt) lämna in sin lösning till läraren och få kommenterar. Man kan i princip lämna in när som helst, men lämpligen inte vänta för länge.

4.1 Geometri och algebra

Omkrets och area för några enkla områden (sid 157-159)

Med enkla områden avses här triangeln och diverse mer eller mindre speciella fyrhörningar, såsom kvadrat, rektangel, romb ("tillsparkad kvadrat"), parallellogram ("tillsparkad rektangel") och parallelltrapets. Formlerna för dessa figurers area och omkrets bör vara bekanta. Tänk gärna igenom areaformlerma och hur man kan återföra, genom att pussla lite, areorna till arean av en rektangel.

En sak som man kan notera (och kanske diskutera) är att en kvadrat är en speciell rektangel. Om man alltså pratar om rektanglar i allmänhet så ingår kvadraterna.

Lös 4106, 4111, 4113 och 4115.

Cirkel och cirkelsektor (sid 160-162)

Att förhållandet mellan en cirkels omkrets O och dess diameter d är oberoende av cirkelns storlek känns tämligen självklart. Detta förhållande/tal är så viktigt att det fått ett eget tecken nämligen $\pi$, dvs

(14)
\begin{align} \pi = \frac{O}{d} \Leftrightarrow O=\pi d = 2\pi r. \end{align}

Med diverse fiffiga geometriska och algebraiska metoder har man lyckats bestämma $\pi$ till 3,1415…. Notera dock att decimalutvecklingen aldrig tar slut eller ens blir periodisk, så ett helt exakt värde på $\pi$ kan aldrig anges.

Man kan inse att förhållandet mellan arean A av en cirkel med radie r och arean $r^2$ av en kvadrat med sida r också måste vara konstant. Mer överraskande är att denna konstant blir samma som ovan, nämligen $\pi$ (detta är inte självklart!). Vi får då

(15)
\begin{align} \pi = \frac{A}{r^2} \Leftrightarrow A=\pi r^2. \end{align}

Här

https://www.youtube.com/watch?v=YokKp3pwVFc

finns en illustration av detta.

Det finns några formler för area och omkrets av en cirkelsektor. Dessa är så enkla att tänka ut så det är onödigt att lära dem utantill.

Lös 4119, 4124, 4126, 4128 och eventuellt 4130.

Area och volym för några enkla kroppar (sid 165-167)

Namn på dessa kroppar lär man sig utantill. Formler för area och begränsningsyta är enkla att tänka ut, men finns också på standardformelblad.

Lös 4136 och b-uppgifterna (går inte detta bra byt in några a-uppgifter).

Kon och klot (sid 168-170)

Arean för konens mantelyta $A=\pi r s$ kan man försöka härleda. Tipset är att klippa upp och platta ut ytan. Den blir då en cirkelsektor med radie s och båge $2\pi r$ osv. Formlerna för klotets yta och volym är inte så lätta att bevisa och tas för givna i denna kurs. En metod för att härleda formlerna dyker upp i Matematik 4.

Lös 4150, 4156, 4159, 4160, 4161. Byt c-uppgifter mot a-uppgifter om det hänger upp sig.

Om man får tid över kan man umgås med följande extraproblem. I samtliga förutsätts att jordklotet är ett perfekt klot.

1. Ett rep spänns längs marken runt jordens ekvator. Detta rep förlängs sedan med 1 meter och lyfts upp så att det har samma avstånd från marken runt hela ekvator. Kan en katt gå under detta rep?

2. Samma rep som i förra uppgiften. Men istället tar man tag i en punkt på repet och drar denna så lång från jordytan som möjligt. Repet kommer att få en spets i en bit från ytan men ligga an till stor del. Kan en giraff gå under repet?

3. En upptäcksresande genomför följande resa på jordklotet. Först reser han 10 mil söderut, sendan 10 mil österut och till sist 10 mil norrut. När denna resa är avklarad visar det sig att han är tillbaka på samma punkt som han startade. Vilka punkter på jordklotet kan han ha startat i? Försök hitta samtliga, de är nog fler än ni tror!

4.2 Geometri och bevis

Vinklar och vinkelsummor (sid 172-175)

Varför mäter vi vinklar i grader och varför är det $360^{\circ}$ på ett varv (det kunde väl lika gärna varit t.ex. 100)? Triangelns vinkelsumma är $180^{\circ}$ och fyrhörningens $360^{\circ}$. Varför är det så? Hur stor vinkelsumma har en n-hörning? Beror det kanske på formen?

Lös 4202, 4204, 4205, 4208, 4209, 4212, och eventuellt 4213.

Några bevis med vinklar (sid 176-177)

I dessa uppgifter är det särskilt viktigt att argumentera för sina påståenden. Skriv alltså ordentliga och logiska lösningar, gärna med inslag av "svenska".

Lös 4221, 4223, 4225, 4226 och eventuellt 4228 och 4229.

Några bevis med area och volym (sid 178-179)

Lös 4232, 4234 och eventuellt 4236, 4237.

Likformiga trianglar (sid 180-181)

Två trianglar är likformiga om dom parvis har samma vinklar, eller om deras parvisa sidförhållande är konstant. Man måste hålla koll på vilka sidor det är som parvis motsvarar varandra, trianglarna kan ju vara omskalade, roterade och speglade.

Lös 4241, 4243, 4245 och eventuellt 4246.

Implikation och ekvivalens (sid 182)

Det känns som man pressat in detta avsnittet här. Förvisso är implikationer och ekvivalenser väsentliga i bevisföring, men det har inget speciellt med geometri att göra. Gör det på egen hand och endast en uppgift.

Lös 4247.

Pythagoras sats (sid 183-186)

Pythagoras sats är nog den mest kända matematiska satsen (i alla fall bland allmänheten). Den lär ha varit känd långt innan Pythagoras tid, men kanhända återupptäcktes den, eller kanske till och med bevisades, av Pythagoras.

Som bekant så säger satsen att i en rätvinklig triangel så är summan av kvadraterna på kateterna lika med kvadraten på hypotenusan. Observera dock att satsen också gäller omvänt, nämligen om man har en triangel där likheten gäller så måste den vara rätvinklig!

Lös 4251, 4253, 4257, 4260, 4262, 4263 och eventuellt 4265 och 4267.

4.3 Trigonometri

Inledning, räkna med tangens, sinus och cosinus (sid 188-196)

Trigonometri betyder (fritt översatt) "trevinkelmätning", vilket antyder att det handlar om vinklar och trianglar. En bättre förklaring är att trigonometri handlar om samband mellan sidlängder och vinklar i trianglar. Om trianglarna är rätvinkliga (vilket dom är i Ma1c) kommer dessa förhållanden att ha särskilda namn.

Antag att vi har en given rätvinklig triangel (de två icke-räta vinklarna är alltså givna). Triangelns form (men inte storlek) är då entydigt bestämd. Detta innebär i sin tur att sidförhållandena är entydigt bestämda (tänk igenom detta). Alltså finns det funktioner som till en given vinkel ordnar olika sidförhållanden. Såhär heter dessa funktioner:

(16)
\begin{align} \sin v = \frac{\textrm{motstående katet}}{\textrm{hypotenusa}}, \; \cos v = \frac{\textrm{närliggande katet}}{\textrm{hypotenusa}}, \; \tan v = \frac{\textrm{motstående katet}}{\textrm{närliggande katet}} \end{align}

Knappar för dessa funktioner finns på räknaren. Hur den gör för att beräkna dem är en senare historia.

Vill man "gå åt andra hållet", dvs om man känner till en sidkvot i en rätvinklig triangel och söker vinklar, använder man inverserna $\sin^{-1}, \cos^{-1}, \tan^{-1}$. Dessa hittar man på samma knapp på räknaren fast som "andrafunktion".

Lös först 4305, 4309, 4310, 4314, 4322ab, 4323, 4332, 4333, 4342, 4343, därefter 4315-18, 4327-28, 4336-38, 4346 och sist om tid medger 4329, 4339.

Blandade uppgifter (sid 197-198)

Lös 4354, 4356, 4358 och om man får tid över 4360 och 4361.

4.4 Vektorer

Introduktion och räkneoperationer (sid 199-201, eventuellt 207-208)

En vektor är en storhet som har avstånd och riktning, men valfri startpunkt. Ett lämpligt sätt att illustrera vektorer är med pilar (som alltså får flyttas som man önskar så länge man inte ändrar längd eller rikning på pilen).

Vill man känna på lite vektorräkning kan man t.ex. göra det i GeoGebra.

Lös 4404def, 4405, 4406de, 4407.

Komposanter, koordinater och vektorlängd (sid 202-204)

När man befinner sig i ett koordinatsystem (i ett plan) kan vektorerna beskivas av koordinater. Man placerar helt enkelt vektorpilens startpunkt i origo och läser av i vilken punkt spetsen hamnar. Räknereglerna blir naturliga, man räknar helt enkelt koordinatvis (men tänk gärna efter så ni förstår varför det funkar så.

Lös 4409, 4410, 4412bd, 4413, 4414d, 4415a och eventuellt 4417. Får man tid över kikar man på "kraftuppgiftena" 4, 6, 7, 8 och 9 på sidorna 206-207.

4.5 Geometri och problemlösning

Ingen ny matte, men några trevliga problem. Vi gör några gemensamt medan resten sparas till eget arbete vid träning inför NP.

Lös 4505, 4509, 4510 samt några extraproblem.

5.1 Enkla slumpförsök

Den klassiska sannolikhetsmodellen (sid 229-231)

Detta är nog ett ganska lätt avsnitt och ni bör känna igen er. Ha inte för bråttom dock utan se till så ni har ögnat igenom texten på sida 228-229. Det finns några begrepp som man bör känna till.

Lös jämna uppgifter bland a, b och eventuellt bland c.

Experimentella sannolikhet (sid 232-233)

Ibland (i "verkligheten") måste man göra försök för att få fram sannolikheter för olika utfall. Det räcker alltså inte att man sätter sig på kammaren och tänker. Iden är enkel, man gör massor av försök och räknar efter hur många utfall som är gynnsamma. Den relativa frekvensen (kvoten mellan antalet gynnsamma utfall och samtliga utfall) blir då en bra uppskattad sannolikhet.

Observera att man måste göra många försök. Om man singlar slant en gång, noterar krona, och sedan påstår att det är 100% chans att det blir krona vid slantsingling så är man "ute och cyklar".

Lös jämna uppgifter bland a, b och eventuellt bland c.

5.2 Slumpförsök med flera föremål eller i flera steg

Försök med två föremål (sid 234-235)

Vid försök med två föremål eller i två steg kan utfallen i försöken markeras på en x- och y-axel. Punkter i koordinatsystemet kommer sedan att motsvara olika utfall. Man ser sedan lätt hur många olika utfall det finns (typ basen gånger höjden) och det är också lätt att markera och räkna gynnsamma utfall.

Lös (åtminstone) jämna uppgifter bland a och b plus samtliga c (om man har högre ambitionsnivå), fast 5211 bara om man inte har bättre för sig.

Träddiagram (sid 237-240)

I träddiagram kan man (i teorin) illustrera försök med "massor" av steg eller föremål. Observera att man behöver skriva ned sannolikheterna på de enskilda grenarna och att man sedan kan räkna ut sannolikheten för en väg genom trädet genom att multiplicera sannolikheterna längs grenarna. Om det finns flera gynnsamma utfall räknar man ner sannolikheterna för varje väg genom trädet och adderar sedan de gynnsamma utfallens sannolikheter. I praktiken är det dock svårt att rita stora träddiagram, men då kan man ändå TÄNKA träddiagram även om man inte ritar.

Lös (åtminstone) jämna uppgifter bland a, b. Får man tid över arbetar man med c-uppgiften.

Beroende händelser (sid 242-243)

Om utfallet av en senare händelse beror på utfallet av en tidigare talar man om beroende sannolikheter. Om man t.ex. plockar godis, utan återläggning, ur en påse med 5 kolor och 4 punschpraliner blir ju sannolikheten att få en punschpralin andra gången man plockar beroende på vad man fick i första.

Lös 5229, 5232 och eventuellt 5233, 5234, 5235.

Komplementhändelse (sid 244-245)

Ibland är det smidigast att "backstabba" vissa sannolikhetsberäkningar. På mer vårdat språk innebär det att man räknar på komplementhändelsen (motsatsen, resten). Man räknar helt enkelt ut sannolikheten för motsatsen och bestämmer sedan "ett minus motsatsens sannolikhet" och får då sannolikheten för den ursprungliga händelsen.

Lös jämna uppgifter bland a och b plus eventuellt samtliga c (om man har högre ambitionsnivå).

5.3 Statistik

Tolka tabeller och diagram (sid 249-253)

Följande diagramtyper ska man kunna hantera; stolp-, stapel-, linje- och cirkeldiagram samt histogram. Dessutom ska man kunna sätta ihop och läsa av en tabell (med statistiska data) och känna till begreppen medelvärde, median och typvärde och få lite känsla för vad de mäter.

Här finns några diagram som komplement till bokens.

Lös samtliga uppgifter, det är inte så många.

Rita diagram med kalkylprogram (sid 254-255)

Återkommer vi till i mån av tid.

Vilseledande statistik (sid 256-257)

Som komplement till boken kan man kolla in följande "genomgång" på YouTube

https://www.youtube.com/watch?v=ClM8dzzeqK0

Lös a-uppgifterna.

6.1 Grafer och proportionalitet

Koordinatsystem (sid 278-279)

Att länka samman algebra ("bokstavsräkning") och geometri ("figurer") är ett relativt nytt påfund. Det lär ha varit en febrig Descartes som först gjorde kopplingen på 1600-talet (notera alltså att t.ex. grekerna gjorde all sin geometri utan koordinatsystem). Själva sammanlänkningen går via koordinatsystem som (oftast och i kursen) byggs upp av två vinkelräta, skalade axlar som skär i ett origo. På detta sätt kan t.ex det "algebraiska" $y=2x$ ses som en linje och $y=x^2$ som en parabel.

Man bör känna till begrepp som axlar, punkter, koordinater, kvadranter, avstånd i samband med koordinatsystem. Lär er detta utantill.

Ett mycket trevligt "program" som använder geometri ihop med algebra är GeoGebra (det hörs alltså på namnet). Ha detta program i beredskap på alla uppgifter där grafer ska ritas. Även om man också måste räkna/tänka själv så "boostar" man ofta sin intuition med GeoGebra.

Lös 6102, 6104, 6105, 6107, 6109 och eventuellt 6111.

Tolka grafer som beskriver vardagliga förlopp (sid 281-283)

Det är väsentligt att man har kollat av vad det är för storheter på axlarna och vilka enheterna och axelgraderingen är. Sedan brukar det vara ganska lätt att läsa av och dra slutsatser. Man använder bland annat sunt förnuft.'

Lös 6113, 6115, 6117, 6119.

Direkt proportionalitet, Grafritande räknare (sid 284-285)

Direkt proportionalitet eller enbart proportionalitet betyder att förhållandet mellan två storheter är konstant. T.ex. är sträcka proportionell mot tiden om hastigheten råkar vara konstant, vi har ju s/t= v (konstant). Flera andra fysikaliska storheter "beter sig" proportionellt, se exempel i boken.

I avsnittet ska man också lära sig att hantera räknare, göra graf, värdetabell etc.

Lös 6124, 6125 (med räknare eller GeoGebra), 6126, 6128, 6130.

6.2 Funktioner

Funktionsbegreppet (sid 288-291)

Definitionen (i alla fall i denna kurs) av en funktion f är att det är en regel som till ett givet indatavärde (x-värde) på ett entydigt sätt ordnar ett utdatavärde (y-värde). Med entydigt innebär att det aldrig får finnas någon valmöjlighet angående vad utdatan ska bli. Man kan presentera funktioner (regler) på olika sätt

  • i ord; "y är det tal man får om man dubblar x".
  • med formel: $y=2x$
  • med värdetabell (se exempel i bok)
  • med graf (se exempel i bok)

Den utdata man får i funktionen då man "stoppar in" x skrivs ofta f(x) och utläses "f av x". I princip kan man säga att $y=2x$ och $f(x)=2x$ beskriver samma funktion. T.ex. betyder sedan $f(3)$ den utdata man får då $x=3$, dvs. $f(3)=2 \cdot 3=6$.

Den mängd som fungerar som indata heter med ett finare ord definitionsmängd medan utdatamängden heter värdemängd.

Lös samtliga a-uppgifter. Om man sedan har ork/ambition ger man sig på resten av uppgifterna. Ju fler man gör desto bättre, men ska man göra många får man säkert ta av sin fritid. Det är dock mycket väsentligt att ni har koll på detta avsnitt för all framtida matematik.

Linjära modeller (sid 293-295)

Här handlar det om att översätta textproblem till matematiska. I samtliga fall är det fråga om linjära funktioner, till vilka man behöver startvärdet och hastigheten med vilket något ändras. Man kommer långt med lite algebraisk rutin och sunt förnuft.

Lös 6230, 6232, 6235 och eventuellt 6237.

Räta linjens ekvation (sid 296-297)

Detta är en abstraktare variant av ovanstående avsnitt. En linjär funktion kan skrivas

(17)
\begin{align} y=kx + m \; (\textbf{eller } f(x)=kx+m). \end{align}

Skälet till namnet linjär funktion är att grafen alltid blir en rät linje. "Startvärde" eller snarare var grafen skär y-axeln är talet m medan talet k anger linjens lutning termer av förändring i y-led per ett steg i x-led. Ett annat sätt att beskriva detta är att

(18)
\begin{align} k=\frac{\textbf{Förändring i y-led}}{\textbf{Förändring i x-led}} = \frac{\Delta y}{\Delta x} \end{align}

Lek gärna lite med graferna i GeoGebra.

Lös samtliga uppgifter utom möjligen 6246.

Skillnader mellan begreppen algebraiskt uttryck, ekvation, olikhet och funktion (sid 298-299)

Läs själv igenom exemplen på sid 298 så klarnar det nog. Det är inte helt vattentäta skott mellan begreppen, t.ex. kan man kalla

(19)
\begin{equation} y=kx+m \end{equation}

både för en funktion och en ekvation.

Lös 6249, 6250, 6253.

Grafisk lösning av linjära ekvationer och olikheter (sid 300-301)

Här handlar det om att tolka algebraiska uttryck grafisk och med hjälp av denna tolkning lösa ekvationer och olikheter. Att lösa t.ex.

(20)
\begin{equation} 2x+1=3x-5 \end{equation}

grafiskt innnebär att finna x-koordinaten för skärningspunkten mellan linjerna y=2x+1 och y=3x-5. Antingen ritar man en snygg egen figur eller använder man räknare och Intersect.

Om man vill lösa olikheten

(21)
\begin{equation} 2x+1<3x-5 \end{equation}

grafiskt bestämmer man samtliga x-värden för vilka linjen y=2x+1 ligger under linjen y=3x-5.

Lös 6257, 6258, 6261, 6262 och eventuellt 6264.

Exponentialfunktioner (sid 303-305)

Denna typ av funktioner har ni i princip redan stött på i kapitel 2, nämligen vid upprepad procentuell förändring. Säg att ett kapital på 1000 kr förräntas med årsräntan 5%. Kapitalet K(t) efter t år ges då av funktionen

(22)
\begin{align} K(t)=1000 \cdot 1,05^t \end{align}

vilket är en exponentialfunktion. Det typiska är att den obekanta ska stå i exponenten (inte i basen). I allmänhet har en exponentialfunktion utseendet

(23)
\begin{align} y=C \cdot a^x \end{align}

där $C$ och $a$ är givna tal.

Att rita graferna till dessa funktioner (det blir inte räta linjer) är jobbigt att göra för hand. Kör med räknedosan, men tänk efter varje gång om grafen verkar rimlig.

Lös 6268, 6269, 6271, 6273, 6275 och eventuellt 6277.

Potensfunktioner (306-307)

Detta är den sista typen av funktion som ni "drabbas" av i denna kurs. Utseeendet hos en potensfunktion är

(24)
\begin{align} f(x)=C \cdot x^a \end{align}

där C och a är givna tal. Observera att den obekanta (x) är i basen i en potensfunktion medan den var i exponenten i en exponentialfunktion. Liten skillnad typografiskt men helt olika beteenden som funktioner, så skilj dem åt.

Lös a-uppgifterna, 6285, 6287 och eventuellt 6289.

Olika matematiska modeller (sid 308-309)

Ingen ny matematik men lite blandade "textproblem".

Lös 6293, 6295, 6297, 6299 och eventuellt 62AA och 62AB.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License