matematik-1c-ht13:frågor_sannolikheter

Diverse sannolikhetsproblem

1. En sexsidig tärning kastas. Vad är sannolikheten att få

a) en femma?
b) ett udda tal?
c) något annat än en etta?

2. Två sexsidiga tärningar kastas. Vad är sannolikheten att få

a) summa 12?
b) summa 7?
c) Vi tänker oss att man kan satsa pengar på summan. Vad är du beredd att betala för en satsning på summa 5 om vinst (dvs att det blir just 5) ger dig 100 kronor?

3. Två mynt kastas. Hur stor är sannolikheten att man får en klave och en krona?

4. Rulle har åkt till kasinot i Malmö för att spela Roulette. Innan han spelar själv observerar han spelet och för statistik på de nummer som kommer upp. Efter tusen rundor känner han sig redo att spela. Det nummer som har kommit upp minst antal gånger hitintills är 23. ”Då måste det vara störst chans att 23 kommer nu, eftersom alla nummer är lika vanliga i långa loppet”, tänker Rulle och satsar på 23. Tänker han rätt?

5. Rulle byter taktik. Han satsar på svart varje gång, och dubblar insatsen successivt tills han vinner. Då börjar han om med startinsatsen. ”På detta sätt går jag i alla fall säkert på plus, även om det inte blir så mycket”, tänker Rulle. Tänker han rätt?

6. Från spelkorten hjärter ess, spader ess, hjärter kung, spader kung
väljer någon (MrX) slumpmässigt ut två kort och säger:
”Jag har hjärter ess”. Hur stor är då sannolikheten att X i själva verket har två ess?
”Jag har åtminstone ett ess”. Hur stor är då sannolikheten att X i själva verket har två ess?

7. I TV-programmet ”24 karat” från tidigt 90-tal gick finaltävlingen till på följande sätt: Finalisten skulle välja på en av tre lådor. I en av dessa fanns 1 kg guld, i de båda andra fanns sunkiga T-shirts. Finalisten valde en låda, programledaren Harald Treutiger öppnade en av de återstående lådorna och sa ”Här är inte guldet, vill du byta låda?”. Det återstår alltså två oöppnade lådor. Hur ska du göra för att maximera din chans och hur stor blir den?

8. Någon visar dig tre kort. Ett har två röda sidor, ett har två svarta, medan det tredje har en sida av varje färg. De tre korten blandas och en sida på ett av korten visas för dig. Låt oss anta att du ser en röd sida. Du ombeds gissa på färgen på baksidan. Vad är din bästa gissning?

9. Hur många elever behövs det i en klass för att sannolikheten att åtminstone två av dem ska ha samma födelsedag blir större än 50%.

10. Den excentriske professor Balthazar har räknat ut sannolikheten för att det finns en bomb ombord på ett flygplan. Han tycker sannolikheten är väl stor och tar sig en funderare inför nästa flygresa. Plötsligt kom han på lösningen. Han tar själv med sig en bomb (som han ju har koll på). Sannolikheten att det skulle finnas två bomber på ett och samma flygplan måste ju vara obefintlig. Har Balthazar tänkt rätt?

11. Du träffar den gamla damen Rogerina på stan och följande samtal utspelar sig:

”Jag har ett syskon, hur stor är chansen att det är en bror?”, frågar Rogerina.
”Självklart 50%”, säger du.
”Nej, såhär är det, det finns tre möjliga kombinationer i åldersordning FF, FP eller PF. I två av dessa fall har jag en bror och i ett en syster. Alltså 2/3 chans att jag har en bror!”, säger Rogerina triumfatoriskt.
Vem har rätt, du eller Rogerina?

12. Du, och två andra, har blivit fångade av en kannibalstam. Innan de käkar upp er vill de leka lite och faktiskt också ge er en chans att överleva. Kannibalerna har fem mössor, två röda och tre blå. Tre av dessa kommer de slumpvis att placera på era huvuden. Därefter ska ni ställa er i en ”gåsarad” med en person främst, en i mitten och en sist. Ni kommer då att se färgen på mössorna framför er, och ska gissa färgen på er egen mössa. Om man är säker på sin färg skriker man ”Jag vet” så att alla hör (om man inte vet chansar man inte!). Du får välja position först. Var ställer du dig och hur stor är chansen att du överlever.

13. Matteläraren ska ge klassen ett oplanerat läxförhör under veckan. Det är mycket viktigt att förhöret blir oförberett, så om eleverna av någon anledning kan lista ut att förhöret kommer ”dagen efter”, så kommer det att ställas in. Klassens mattegeni förklarar att han redan på måndagen kan säga att det inte blir något läxförhör. Hur resonerar han?

14. En elak häxa har fångat Ada, Beda och Cecilia och placerat dem i var sin isoleringscell. Häxan berättar för Ada att hon tänker, vid ett tillfälle, slumpvis välja ut två av de tre fångarna och därefter koka lim på de två utvalda. När detta är avklarat släpper hon den tredje fången.

- Ada funderar på hur stor sannolikhet det är att hon ska överleva. Vilken är den?

Dagen innan första koket berättar häxan för Ada att hon ska vara lite schysst. Om häxan drar Adas namn kommer hon att låta Ada vänta till andra limkoket (men sedan eventuellt kokas som andra person).

- Ada funderar, efter denna nya information, på sannolikheten att hon ska överleva. Vilken är den?

Nästa dag tittar Ada ut genom sitt gallerfönster och ser Beda kokas till lim. "Nu är det bara jag och Cecilia kvar", tänker hon.

- Vilken är nu sannolikheten för att Ada ska överleva?

15. Rogerina har vunnit första pris i en tävling. Som pris finns det två kuvert, kuvert 1 och kuvert 2, och Rogerina får veta att det ena kuvertet innehåller dubbelt så mycket pengar som det andra. Men ingen information om belopp i krontal finns. Hon får välja ett av kuverten som pris.

- Spelar det någon roll vilket kuvert Rogerina väljer?

Rogerina väljer kuvert 1. Innan hon öppnar det frågar prisutdelaren om hon vill byta kuvert.

- Vill hon det? (Verkar ju onödigt för om hon vill byta till kuvert 2 kunde hon ju lika gärna tagit det från början).

Men om man tänker såhär. Kuvertet som Rogerina valde innehåller A kr. Om hon byter är det 50% chans att hon får 2A kr och 50% chans att hon får 0.5A kr. I genomsnitt får hon alltså $0.5 \cdot 2A + 0.5 \cdot 0.5A = 1.25A$ kr om hon byter. Det är en ökning med 25%! Så hon ska byta!?

Men om hon väljer att byta (till kuvert 2) kan ju prisutdelare fråga henne, innan hon öppnar, om hon vill byta till kuvert 1. Och med samma resonemang som ovan bör hon byta. Men nu har hon samma kuvert som hon valde från början.

Vad är problemet med resonemangen ovan? Är det någon mening att byta eller inte? Kommer Rogerina att byta kuvert resten av sitt liv?

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License