linjaer-algebra:extra

Texterna på denna sida är skissartade och ofullständiga (oftast medvetet) och kanske felaktiga (omedvetet) och mest till för mig själv. Så om någon orkar läsa måste ni tänka själva, och vara beredda på felaktigheter!

Table of Contents

Cayley-Hamilton sats

När vi söker efter egenvärden till en $n \times n$-matris A börjar vi med att plocka fram matrisens karakteristiska polynom

(1)
\begin{align} p(\lambda)=\det(\lambda I-A). \end{align}

Cayley-Hamiltons (CH) sats säger att om vi sätter in matrisen A som argument i karakteristiska polynomet och räknar ut värdet fås

(2)
\begin{align} p(A)=0 \textrm{ (en matrislikhet)}. \end{align}

Ett trivialt men felaktigt bevis för detta skulle vara att helt enkelt ersätta $\lambda$ med A i (1) och få

(3)
\begin{align} p(A)=\det(AI-A) = \det(0)=0. \end{align}

Den första likheten är dock felaktig eftersom $p(A)$ är en matris och $\det(AI-A)$ ett tal ("beviset" fungerar förvisso för $1 \times 1$-matriser, men då är resultatet självklart). Så ett bevis kräver avsevärt mer arbete. Bevistaktiken är som följer

  1. Visa att om $q(x)$ är ett polynom (vilket som helst) och $B=SAS^{-1}$ är ett "basbyte" så är $q(B)=Sq(A)S^{-1}$.
  2. Visa att CH är oberoende av basbyte.
  3. Visa att CH är sann för diagonaliserbara matriser. (Detta delresultat är inte nödvändigt utan man kan, logiskt sett, hoppa till del 4.)
  4. Visa att CH är sann för (uppåt) triangulära matriser.
  5. Visa att varje matris genom ett lämpligt basbyte kan skrivas om på triangulär form.

1. Detta har alltså inget med karakteristiskt polynom att göra utan vi utgår från ett godtyckligt polynom

(4)
\begin{align} q(x)=c_mx^m + c_{m-1} x^{m-1}\cdots + c_1x + c_0 \end{align}

och får

(5)
\begin{align} q(B)=q(SAS^{-1})=c_m (SAS^{-1})^m + c_{m-1} (SAS^{-1})^{m-1} \cdots + c_1SAS^{-1} + c_0 I = S(c_mA^m+ c_{m-1}A^{m-1}+ \ldots + c_1 A + c_0 I)S^{-1} \end{align}

2. Låt $B=SAS^{-1}$. Då

(6)
\begin{align} \det(\lambda I-B) = \det(\lambda I-SAS^{-1}) = \det(S\lambda IS^{-1}-SAS^{-1}) = \det(S(\lambda I-A)S^{-1}) = \det(S) \det(\lambda I-A) \det(S^{-1}) = \det(\lambda I-A) \end{align}

3. Låt A vara diagonaliserbar. Då finns S och diagonalmatris D så att $D=SAS^{-1}$, där alltså D och A har samma karakteristiska polynom (enligt 1). Låt vidare D ha elementen $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ på huvuddiagonalen. Då har vi att

(7)
\begin{align} p(\lambda)=\det(\lambda I-D)=(\lambda- \lambda_1) \cdot \ldots \cdot (\lambda- \lambda_n) \end{align}

Vi visar nu att

(8)
\begin{align} p(D) = (D- \lambda_1 I) \cdot \ldots \cdot (D - \lambda_n I)=0. \end{align}

Notera att matrisprodukterna ovan kommuterar, dvs vi får samma resultat om vi byter plats (hur vi vill) på dem. Det räcker att kontrollera detta parvis och vi har ju

(9)
\begin{align} (D- \lambda_1 I) (D - \lambda_2 I) = D^2-D \lambda_1 - \lambda_1 D + \lambda_1 \lambda_2 I \end{align}

där det framgår att värdet är oförändrat om vi byter på 1 och 2 som index.

Notera också att om vi i en matrisprodukt $C \cdot D$ har en matris $D$ med enbart nollor i en kolonn så har produkten också denna egenskap.

Produkten (8) måste därmed vara noll eftersom matrisen $D-\lambda_i$, som vi kan "flytta sist", enbart har nollor i kolonn i. Alltså har produkten enbart nollor i kolonn i. Men i är godtyckligt så produkten (8) måste vara noll.

Slutligen har vi att $p(A)=S^{-1}p(D)S = 0$.

4. Med en uppåt triangulär matris menas en matris T som har nollor under huvuddiagonalen, eller med andra ord att om $T=(t_{ij})$ så gäller att $t_{ij} = 0$ om $i >j$. Matrisen T:s karakteristiska polynom blir

(10)
\begin{align} p(\lambda)=(\lambda-t_{11}) \cdot \ldots \cdot (\lambda-t_{nn}) \end{align}

och vi ska visa att

(11)
\begin{align} p(T) = (T- t_{11} I) \cdot \ldots \cdot (T - t_{nn} I)=0. \end{align}

Man kan nu inse (sätt upp exempel själv eller tänk ut något konceptuellt som jag misslyckades med) att produkten av de k första faktorerna (oavsett k)

(12)
\begin{align} (T- t_{11} I) \cdot \ldots \cdot (T - t_{kk} I) \end{align}

blir en matris med enbart nollor på de k första kolumnerna och följaktligen blir $p(T)=0$.

5. Vi ska nu finna ett basbyte så att $T=SAS^{-1}$, där A godtycklig matris och T triangulär. För att detta ska vara sant arbetar vi över de komplexa talen. Varje polynomekvation har en lösning bland de komplexa talen så vi kan säkert finna ett egenvärde $\lambda_1 = t_{11}$ till A. Vi väljer dessutom motsvarande egenriktning $v_1$ som vår första basvektor i en ny bas. Betrakta nu underrummet U (=$\mathbb{R}^{n-1}$) till $\mathbb{R}^n$ av vektorer som är vinkelräta mot $v_1$ och avbildningen på U som ges av $A$ åtföljt av ortogonal projektion på U (eller hellre att vi subtraherar kompostanten i $v_1$:s riktning). Denna nya avbildning har ett komplex egenvärde $\lambda_2 = t_{22}$ och egenriktning $v_2$. Vi noterar att

(13)
\begin{align} A(c_1v_1 + c_2v_2)=c_1\lambda_1v_1+c_2\lambda_2 v_2 + \textrm{''något tal''}v_1 \end{align}

så A avbildar underrummet som spänns av $v_1, v_2$ på sig självt. Vi kan fortsätta på samma sätt genom att nu betrakta underrummet vinkelrätt mot $v_1, v_2$ och avbildningen A följt av att vi subtraherar komposanterna i $v_1$:s och $v_2$:s riktningar. Detta ger analogt $\lambda_3=t_{33}$ och $v_3$ så att A avbildar rummet som spänns av $v_1, v_2, v_3$ på sig självt. Efter n steg har vi en ny bas $v_1, \ldots, v_n$ i vilken A har triangulär form.

Anm: Metoden för att successivt finnas $v_i$:na är i princip Gram-Schmidts metod.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License