linjaer-algebra-ht11-vt12:inluppg

Lös följande (obligatoriska) uppgifter och lämna in lösningar senast måndagen 16/1.

1. Givet matriserna

(1)

\begin{align} A=\left(\begin{array}{rr} 2 & 3 \\ -1 & -2\\ 3 & -1 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{rrr} 0 & 2 & 4 \\ -4 & 1 & 2 \end{array}\right) , C=\left(\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 2 & -1\\ 1 & 0 \end{array}\right) \end{align}

Utför de beräkningar som är möjliga av

(2)

\begin{align} A+B, A+C, B+C, A+B+C, A-B, A-C, B-C, A \cdot B, B \cdot A, A \cdot C, C \cdot A, B \cdot C, C \cdot B \end{align}

I de fall där beräkningen inte kan utföras, motivera kortfattat varför.

2. Betrakta ekvationssystemet

(3)

\begin{align} \left\{ \begin{array}{lll} 4x-2y+z & = & 0\\ -2x+y & = & 0 \\ -7x+4y-2z & = & 0 \end{array}\right. \end{align}

a) Skriv ekvationssystemet på matrisform och beräkna (för hand) inversen till koefficientmatrisen.
b) Lös ekvationssystemet.
c) Byt ut en av koefficienterna i ekvationssystemet så att det nya systemet får oändligt många lösningar.
d) Om du får byta ut vilka koefficienter som helst (men inte högerledet) är det möjligt att konstruera ett ekvationssystem som saknar lösningar?

3. En tetraeder har hörn i punkterna P:(0,1,1), Q:(3,2,1), R:(-1,4,3) och S:(1,0,2). Bestäm tetraederns volym.