mina-dokument:1+2+3+...=-1/12?

Är 1+2+3+…=-1/12?

Ett åtminstone vid första (och andra och tredje etc) anblicken märkligt påstående är att

(1)
\begin{align} 1+2+3+4+\ldots = -\frac{1}{12} \end{align}

Till vänster står alltså summan av alla positiva heltal, en summa som rimligen måste vara oändlig, och säkert inte -1/12. Ändå lyckas man "bevisa" att det är korrekt i nedanstående video:

Tanken här är inte att reda ut eventuella förtjänster och brister (det finns medvetna sådana) i det som presenteras i videon, utan istället försöka förklara hur man i viss men väldefinierad mening kan få likheten att bli korrekt. Det kommer att påstås en del om potensserier och deras konvergens nedan, det får läsaren själv kolla upp vid behov (fast det är inte det väsentliga).

För det första måste vi förstå definitionen av en funktion. Det avgörande är hur den fungerar och inte hur den ser ut. T.ex. är

(2)
\begin{align} f(x)=2x \textrm{ och } g(x)=x+x \end{align}

samma funktion eftersom uttrycken överensstämmer för alla möjliga $x$-värden. Att formlerna ser olika ut skiljer inte funktionerna åt.

För det andra måste vi vänja oss vid funktioner som definieras genom delfunktioner. T.ex.

(3)
\begin{align} f(x)=|x| = \begin{cases} x, \textrm{ då } x \geq 0 \\ -x, \textrm{ då } x < 0 \end{cases} \end{align}

Man kan alltså definiera en funktion genom att ange olika algebraiska uttryck i olika intervall.

Innan vi ger oss på summan i rubriken ska vi studera en annan summa, där vi kan vara mer explicita och där den väsentliga principen framgår.

Exempel 1: $1+2+2^2+2^3+\ldots =-1$

Vi utgår från funktionen

(4)
\begin{align} f(x)=\frac{1}{1-x} \end{align}

Detta funktionsuttryck är definierat för alla värden på x utom 1, alltså både då $x < 1$ och $x > 1$. Funktionen kan utvecklas i en potensserie (Taylorserie) centrerad i $x=0$. Vi är emellertid lite försiktiga och kallar denna potensserie för $f_0$, dvs

(5)
\begin{align} f_0(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+\ldots \end{align}

Funktionen $f_0$ konvergerar mot just $f$$-1 <x < 1$ men divergerar (antar inte något ändligt värde) för övriga x-värden. Alltså har vi att

(6)
\begin{align} f(x)=f_0(x) \textrm{ för } -1 < x <1 \end{align}

Om vi istället bestämmer potensserien för $f$ centrerad i $x=2$ får vi

(7)
\begin{align} f_2(x)=-1+(x-2)-(x-2)^2+(x-2)^3-(x-2)^4+\ldots \end{align}

med konvergers och likhet då $1<x<3$, dvs

(8)
\begin{align} f(x)=f_2(x) \textrm{ för } 1 < x <3. \end{align}

Det spelar egentligen inte så stor roll om man inte hänger med på hur potensserierna tas fram, det väsentliga är att vi kan skriva funktionen $f(x)=\frac{1}{1-x}$ med klammernotation,

(9)
\begin{align} f(x)=\frac{1}{1-x} = \begin{cases} \ldots\\ f_0(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+\ldots \textrm{ för } -1 < x <1 \\ f_2(x)=-1+(x-2)-(x-2)^2+(x-2)^3-(x-2)^4+\ldots \textrm{ för } 1 < x <3 \\ \ldots \end{cases} \end{align}

där $\ldots$ kan fyllas i med potensserier centrerade i andra punkter.

Låt oss använda ovanstående för att bestämma summan $1+2+2^2+2^3+\ldots$. Det rimligaste är nog att säga att det är omöjligt eller kanske att den blir oändlig. Men låt oss önsketänka lite; om $f_0$ hade varit definierad för $x=2$ så hade $f_0(2)=1+2+2^2+2^3+ \ldots$. Nu är det inte så, så vad göra?

Jo, vi har sett ovan att $f_0$ är en naturlig del av $f$, och $f$ är i sin tur definierad i $x=2$ och vi får

(10)
\begin{align} f(2)=\frac{1}{1-2}=-1 \textrm{ eller } f_2(2)=-1. \end{align}

Med detta resonemang skulle man kunna hävda att

(11)
\begin{align} 1+2+2^2+2^3+\ldots = -1 \end{align}

För att komma åt summan $1+2+3+4+\ldots$, som är huvudnumret, ska vi i princip göra som i exemplet ovan. Fast med en annan funktion och mindre explicit eftersom "detaljerna" blir tekniska och svåra. Men förhoppningvis framgår principen.

Exempel 2: $1+2+3+4+\ldots =-\frac{1}{12}$

Vi utgår från funktionen

(12)
\begin{align} \zeta_{>1}(x)=1^{-x}+2^{-x}+3^{-x}+4^{-x}+ \ldots \textrm{ för } x >1 \end{align}

Denna summa konvergerar för $x>1$, så $\zeta_{>1}$ fungerar då. Dessvärre fungerar inte $\zeta_{>1}(-1) = 1+2+3+4+\ldots$. Hur tänka nu?

Jo, tänk på $\zeta_{>1}$ som motsvarande $f_0$ ovan, dvs att $\zeta_{>1}$ är en naturlig del av en funktion $\zeta$ som också är definierad för $x=-1$ av en annan delfunktion $\zeta_{-1}$, dvs

(13)
\begin{align} \zeta(x) = \begin{cases} \ldots\\ \zeta_{>1}(x)=1^{-x}+2^{-x}+3^{-x}+4^{-x}+\ldots \textrm{ för } x>1 \\ \zeta_{-1}(x)=\textrm{ något uttryck som åtminstone fungerar för } x=-1 \\ \ldots \end{cases} \end{align}

Problemet jämfört med exemplet med $f(x)=\frac{1}{1-x}$ är att vi inte känner till $\zeta$ från början och utifrån detta kan bestämma olika delfunktioner. Men man kan visa (inte så lätt) att givet delfunktionen $\zeta_{>1}$ finns det precis ett "snyggt" sätt att utvidga till fler $x$-värden. Och när man gjort detta och i princip funnit $\zeta_{-1}$ kan man beräkna

(14)
\begin{align} \zeta_{-1}(-1)=-\frac{1}{12} \end{align}

Så i denna meningen är

(15)
\begin{align} 1+2+3+4+\ldots = -\frac{1}{12} \end{align}

Anmärkningar

1. Funktionen $\zeta$ ovan är Riemann_zeta_function. I Wikipediaartikeln kan man t.ex. läsa om hur man utvidgar $\zeta_{>1}$.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License