Gymnasiearbete

Allmän information

Skolverket har som bekant en hel del att säga till om angående gymnasiearbete. Här är en sida med information och länkar, som man kanske orkar ögna igenom. Som elev kan man ju hoppas att läraren i alla fall har gjort detta…

Man kan skriva arbeten inom matematik av olika typ. I nuläget kan jag komma på tre varianter

- man försöker "göra något nytt" eller löser ett nytt problem. Nu har ju matematiken kommit ganska långt så detta innebär att man får utgå från relativt enkla och speciella frågeställningar. Man kan tänka sig att studera olika typer av spel, utgå från tävlingsproblem som kan generaliseras, undersöka något genom att skriva ett program, göra några "nya" konstruktioner i GeoGebra.

- man ger sig på ett svårare och kanske intressantare problem eller en teoribildning. Per automatik kommer detta att innebära att saken redan är utredd av någon. Det hindrar ju inte att man återupptäcker, själv lär sig och formulerar sig. Rimligen innebär detta intensivare och mer styrd handledning. T.ex. vill nog handledaren löpande övertyga sig om att eleven förstår det han skriver och att det inte är plagiat/rena avskrifter. De problem som listas nedan sorteras till största delen in under denna typ.

- man har ett mer "pedagogiskt" anslag. I ett av exemplen nedan har man undersökt högstadieelevers problemlösningsförmåga. Man kan ju tänka sig detta på alla stadier. En annan möjlighet är att sätta ihop inspirationsmaterial, pröva ut detta och dra slutsatser. Dylika uppgifter kräver ju inte att man sätter sig in i mer matematik än man redan kan. Notera dock att det i princip är krav på en vetenskaplig rapport som slutprodukt.

Ska man skriva professionell matematik görs detta i LaTex (en variant av ordbehandlingsprogram) och åtminstone om man gör någon av de två första typerna av arbete är det en lämplig ingrediens att just lära sig och skriva i LaTex. Istället för att ladda ner kan man t.ex. använda en onlinevariant såsom ShareLaTex.

När man är klar kan man skicka in sitt arbete till Stockholms universitets tävling "Bästa matematiska text". Mer om det här.

Exempel på genomförda arbeten

Vinna eller försvinna - En introduktion till matematisk spelteori, av Hannes Nilsson, Spyken, vt2017

Polynomekvationers lösningsformler, av Valle Johansson, Spyken, vt2017

Landsvägen - grafteori och den giriga algoritmen, av Oskar Åström, Spyken, vt2017

Rubiks kub - en matematisk studie, av Olof Nilsson, Spyken, vt2016

Rättvisa i rangordnande valsystem, av Ossian Gewert, Spyken, vt2015

Förekomsten av Fibonaccis talföljd i fyllotaktiska formationer i floran, av Malin Runeson, Spyken, vt2015.

Högstadieelevers problemlösningsförmåga, av Erik Linner, Eskil Jarlskog och Ylva Wahlqvist, Polhemskolan, vt2014. Arbetet utsågs till Bästa matematiska text 2014. Se mer här.

Rationella punkter på algebraiska kurvor, av Robert Nilsson, Spyken, vt2014.

Att dela en hemlighet, av Olle Alvin, Spyken, vt2014.

Förslag på ämnen

Nedan följer ett antal mer eller mindre genomtänkta förslag på ämnen för gymnasiearbete. Varje förslag kan nog anpassas efter tid och ambitionsnivå, så man behöver inte oroa sig för att man inte ska komma någonstans. Å andra sidan kan säkert varje förslag växa godtyckligt i omfattning. I matematik är det typiskt att man samtidigt som man lyckats lösa ett problem också kan formulera tio nya!

Från Chalmers

Här kan har Chalmers en sida med tips och länkar.

Från Svenska GeoGebrainstitutet

Här finns en lista med förslag på gymnasiearbete i matematik där man också förväntas använda GeoGebra som hjälpmedel. Jag har inte gått igenom dem ordentligt men utgår ifrån att problemen är både görbara och intressanta. Dock har jag inte koll på alla, men det går ju att åtgärda vid behov.

Från Vetenskapens hus

Här finns några dokument med förslag på ämnen. Tydligen kan man ansöka om att få vara med och kan då få hjälp och handledning. Men det går nog att göra arbeten också lokalt, iofs med sämre handledarkompetens.

Ämnen av allmän karaktär

Delta i Victors problemlösningsverksamhet

Professor Victor Ufnarovski på LTH har veckovisa träffar där elever, under Victors ledning, diskuterar och löser matematiska problem. Problemen är ofta av den typ som dyker upp på nationella och internationella matematiktävlingar, så vill man ha en chans att lyckas på dessa är Victors träning den bästa. Man kan givetvis delta i denna verksamhet utan att göra det till ett gymnasiearbete, men att slå två flugor i en smäll vore kanske lockande. Om man ska kunna gymnasiarbeta med detta krävs såklart ett mer organiserat och aktivt deltagande än om man bara deltar för skojs skull. En del i gymnasiearbetet skulle kunna vara att man såväl skriftligt som muntligt redovisar en del av problemen. Det går säkert att komma fram till en bra lösning för den som är intresserad.

Rolig matematik för högstadiet

Ett alltid lovvärt initiativ är att öka intresset för matematik bland (eleverna på) högstadieskolorna. Ett sätt att göra detta skulle vara att sätta ihop ''matematisk show'' som skulle kunna visas på högstadier. Att (hjälpa till att) sätta ihop en sådan ''show'' skulle vara ett utmärkt gymnasiearbete. Givetvis bör det också ingå att sätta upp ''showen'' och ett krav är att man sedan sätter sina slutsatser/erfarneheter i relation till "teori" på något sätt, så det går att skriva ihop en artikel.

Mattehjälp

Funderar du själv på att bli lärare, kanske i matematik. Då kan det vara bra att träna och samla erfarenheter redan nu. Du kan ha som gymnasiearbete att hjälpa andra elever med matematik, i grupper eller enskilt, de som har svårt eller de som har lätt. Välj själv. I gymnasiearbetet ingår då inte bara att svara på mattefrågor, utan också att organisera, dokumentera och reflektera.

Eget förslag

$\ldots$

Specifika matematiska ämnen

Nedan följer en rad olika matematiska problem/teorier/ämnen som man skulle kunna jobba med. Man kan, inom ett gymnasiearbete, inte begära att det ska göras någon ny matematik utan det räcker gott att återupptäcka. De första ämnena eftergås av ett namn. Detta beror på att just den nämnde svenske matematikern föreslog detta ämnet i en specialarbetessamling som hörde till det gamla gymnasiet. Hela denna samling finns här.

Jag har valt ut de ämnen som jag funnit lämpliga och beskivit kort vad de handlar om. Mer info finns i länken ovan. De senare ämnena saknar namn och kommer därför inte från samma text.

Två formler för talet pi, Leif Abrahamsson

Talet $\pi$ har ingen ändlig - och för den delen inte heller periodisk - decimalutveckling. Hur kan man då finna närmevärden till $\pi$? Den första ''formeln'' du ska visa är

(1)
\begin{align} \frac{2}{\pi} = \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}} \cdot \ldots \end{align}

dvs ju fler faktorer man tar med i vänsterledet ovan desto bättre approximation till $\frac{2}{\pi}$ får du. Den andra ''formeln'' du ska visa är

(2)
\begin{align} \frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \ldots \end{align}

Om rättvisa val, Leif Arkeryd

Att genomföra en omröstning med två alternativ är enkelt. Man röstar en gång och alternativet med flest röster vinner. Mer problematiskt blir det om man har tre (eller flera) alternativ, A, B och C. Ställer man alla tre mot varandra i en omröstning kan t.ex. alternativet som nästan två tredjedelar tycker är allra sämst vinna. Istället ställer man kanske alternativen mot varandra parvis, t.ex. A mot B och sedan vinnaren mot C. Men inte heller detta är problemfritt. Du kommer att ledas genom ett antal axiom som bör gälla för en valprocedur, med egna uppgifter att göra ''på vägen''. Den intressanta slutklämmen är Arrows omöjlighetssats, som du ska sätta dig in i.

Gjort av Ossian Gewert, vt2015.

Vinkeln 60 grader kan inte tredelas med enbart passare och linjal, Jöran Bergh

I grekiska geometrin var passaren och den ograderade linjalen de fundamentala hjälpmedlena. Grekerna kunde utföra mängder av geometriska konstruktioner med dessa. Något som de däremot inte klarade var att tredela en vinkel, dvs utifrån en given vinkel rita en linje i vinkelspetsen som delar vinkeln i förhållandet 2:1. Först på 1800-talet visades att det inte går att tredela en vinkel med bara passare och linjal. Det spelar alltså ingen roll hur listiga konstruktioner man gör, det går ändå inte. Beviset för omöjligheten är främst algebraisk och handlar om ekvationslösning. Uppgiften är att rekonstruera beviset för omöjligheten att tredela en vinkel.

Polyedrar och polygoner, Ralf Fröberg

Du känner nog till några regelbundna polyedrar, nämligen tetraedern och kuben. Typiskt för dessa är att sidorna är regelbundna polygoner. Hur många regelbundna polyedrar finns det egentligen? Svaret var känt redan av Euklides och din uppgift är att återupptäcka de övriga regelbundna polyedrarna, men också bevisa varför det inte går att hitta fler.

Något om algebraiska kurvor, Björn Gustafsson

Du vet säkert hur grafen till $y=x^2$ ser ut. Denna graf är ett (enkelt) exempel på en algebraisk kurva, ett geometriskt objekt som hör till ett algebraiska uttryck. Man kan givetvis tänka sig att studera mer komplicerade uttryck, som $x^2 + y^2 =1$, $x^3 + y^3 =1$ och $(x^2 + y^2)^2 = x^2y$. Hur ser de motsvarande geometriska objekten ut? Kan kurvorna parametriseras? Har de några hörn? Består de av mer än en komponent?

Till stor del gjort av Robert Nilsson, vt2014.

Periodiska decimalbråk, Hans Riesel

(3)
\begin{array} {l} \frac{1}{2} = 0,5\\ \frac{1}{3} = 0,333\ldots\\ \frac{1}{4} = 0,25\\ \frac{1}{5} = 0,2\\ \frac{1}{6} = 0,1666\ldots\\ \frac{1}{7} = 0,142857142\ldots\\ \frac{1}{8} = 0,125\\ \frac{1}{9} = 0,111\ldots \end{array}

Vad ser du för mönster? Vilka bråk har ändliga decimalutvecklingar? Vilka bråk har periodiska decimalutvecklingar? Hur lång är perioden i dessa bråk? Det finns många intressanta frågeställningar, vissa av dem är faktiskt olösta!

Fibonaccis talföljd, Bernt Lindström

Fibonaccis talföljd definieras rekursivt av $F_1 = 1$, $F_2 = 1$, $F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}$ för $n \geq 2$.Talen i talföljden uppfyller en räcka identiteter som du får försöka bevisa. T.ex.

(4)
\begin{equation} F_{n+1}^2 = F_{n+2}F_{n} + (-1)^{n} \end{equation}

och

(5)
\begin{align} F_1^2 + F_2^2 + \ldots + F_n^2 = F_nF_{n+1}. \end{align}

Det går också att hitta obevisad hypoteser som man kan undersöka.

Summan av två heltalskvadrater, Hans Riesel

Redan de stora matematikerna Fermat och Euler intresserade sig för problemet att skriva ett tal som summan av två kvadrattal. Med kvadrattal menas talen 0, 1, 4, 9, 16, $\ldots$, dvs. tal som är kvadrater av heltal ($0^2, 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, \ldots$). Vi får följande tabell,

(6)
\begin{array} {l l l l l} 0 & + & 0 & = & 0\\ 0 & + & 1 & = & 1\\ 1 & + & 1 & = & 2\\ 0 & + & 4 & = & 4\\ 1 & + & 4 & = & 5\\ 4 & + & 4 & = & 8\\ 0 & + & 9 & = & 9\\ 1 & + & 9 & = & 10\\ 4 & + & 9 & = & 13\\ \vdots & + & \vdots & = & \vdots \end{array}

och noterar samtidigt att talen 3, 6, 7, 11, 12, $\ldots$, inte har en sådan framställning.

Man kan tänka sig flera ''undersökningar'': Vilka tal kan skrivas som summan av två kvadrater? På hur många sätt kan talet skrivas? Vilka tal kan skrivas på formen $x^2+3y^2$ etc.

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta, Peter Sjögren

Den plana geometrin är välkänd för de flesta. Du vet säkert att den kortaste vägen mellan två punkter är längs den räta linjen och att vinkelsumman i en triangel är $180^{\circ}$. Men hur blir det på en sfärisk yta (som vårt jordklot). Vilket är den kortaste vägen? Hur lång är den? Finns det alltid en kortaste väg? Vad är vinkelsumman i en triangel? Hur fungerar trigonometrin? Detta undersöker du under ledning av Sjögren!

Felrättande koder, Thomas Höglund

När information överförs finns risken att den delvis förstörs. Då gäller det att konstruera ett ''kodsystem'' som dels upptäcker felet, dels rättar det, men samtidigt innebär att den överförda informationsmängden inte ökar mer än nödvändigt. Ett brutalt sätt att gardera sig vore ju att skicka samma meddelande 100 gånger i rad, men det är alltså inte lämpligt. Hur ska man bete sig för att med så lite extrainformation som möjligt få ett dylikt kodsystem? Det visar sig också att den s.k. Hammingkoden som man använder har vissa kopplingar till hur apelsiner staplas i frukthyllan (dvs hur man packar sfärer så tätt som möjligt).

Offentlig kryptering, Johan Håstad

RSA-kryptot används idag av banker m.m. för säker kommunikation över nätet. En av poängerna är att metoden för kryptering är offentlig, vilket betyder att vem som helst kan göra om klartext till kryptotext, men bara den som besitter en nyckel kan (i praktiken) avkoda kryptotexten. För att förstå hur RSA-kryptot fungerar behöver man sätta sig in i en hel del talteori, framför allt kongruensräkningar. Detta och själva kryptot beskriver Håstad. Slutprodukten ska vara ett program som utför just RSA-kryptering så hyfsade kunskaper om programmering är nödvändiga.

Ett belysande exempel, Lasse Svensson

Här är ett (klassiskt) problem som är enkelt att formulera men svårare att lösa. En lokal består av $n$ stycken väggar. Dessa väggar får placeras hur som helst, men så att ett område (en lokal) innesluts. I denna lokal ska du placera lampor så att hela lokalen blir upplyst. En punkt räknas som upplyst om det är möjligt att förbinda punkten med en lampa med en rät linje som ligger i lokalen (alltså som inte skär någon vägg). Vilket är det minsta antal lampor som behövs för att man säkert ska kunna lysa upp hela lokalen (oavsett hur ''taskigt'' väggarna placeras)? Problemets lösning snitslas av författaren som också slutligen föreslår några öppna problem att fortsätta med.

Algebraisk ekvationslösning

Som bekant finns det en formel för att lösa andragradsekvationer, nämligen

(7)
\begin{align} x^2+px+q = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right) ^2 -q}. \end{align}

Denna visar man i kursen Matematik B och resonemanget bygger i princip på en kvadratkomplettering, där man laborerar med de fyra räknesätten och rotutdragningar. Man kan säga att målet är att ''flytta om'' med dessa operationer och slutligen få $x$:et ensamt på ena sidan och ett uttryck med ekvationens koefficienter på andra. Klarar man detta kan man hävda att man löst ekvationen algebraiskt.

På 1400- och 1500-talet arbetade flera matematiker med tredjegradsekvationer, dvs ekvationer på formen $x^3+ax^2+bx+c = 0$. Man fann lösningsformel också för denna typ av ekvationer, formlerna blir dock mer komplicerade och det är inte lika självklart hur man ''får $x$:et fritt''.

Även fjärdegradsekvationer behandlades och lösningsformel hittades, dock ännu mer komplicerad. Men sedan var det stopp, lösningsformler för femtegradsekvationer kunde man inte hitta. I början 1800-talet löstes problemet, på ett kanske oväntat sätt. Fransmannen Galois och norrmannen Abel visade att det inte finns någon allmän lösningsformel. Observera vad som påstås, det är inte så att matematikerna ännu inte hittat en lösningsformel, utan det finns ingen!!. Hur kan man bevisa något sådant?

Det var i alla fall inte så konstigt att de äldre matematikerna körde fast. T.ex. är ekvationen $x^5-6x+3=0$ inte lösbar (i en viss mening).

Att göra

  • Gå igenom problemets historia, såväl Abel som Galois hade korta men spännande liv.
  • Ta reda på och beskriv vad som menas med en ''algebraisk ekvationslösning''. Finns det andra metoder?
  • Red ut lösningsformeln för andragradsekvationer.
  • Red ut lösningformeln för tredjegradsekvationer.
  • Red ut lösningsformeln för fjärdegradsekvationer.
  • Undersök varför vissa femtegradsekvationer är ''olösbara''.
  • Om man råkar kunna en del linjär algebra, egenvärden och egenvektorer, kan man försöka reda ut lösningsfomlerna utifrån en så kallad "Circulant matrix".
  • $\ldots$

Gjort av Valle Johansson, vt2017.

Logik, konstruktiva bevis - lagen om uteslutande tredje

För att göra matematiken oberoende av tolkningar, värderingar och olika språk, används ibland formella språk för att presentera matematik. Två sådana språk är det Satslogiska språket och det Predikatlogiska språket. I båda fallen går det ut på att matematiska påståenden formaliseras/formuleras efter vissa regler.

I satslogik betyder t.ex.

(8)
\begin{align} A \wedge B \rightarrow \neg C \end{align}

att ''om påstående $A$ och påstående $B$ är sanna så är påstående $C$ falskt''. I predikatlogik betyder t.ex.

(9)
\begin{align} \forall \epsilon \exists \delta \forall y (|x-y| < \delta \rightarrow |f(x) - f(y)| < \epsilon) \end{align}

att ''funktionen $f$ är kontinuerlig i $x$''.

Till det matematiska språket kopplar man ett antal härledningsregler. Genom successiv användning av dessa regler bygger man sedan matematiska bevis och bevisföring blir därmed i någon mening en mekanisk procedur, där man utifrån ett antal grundsatser (axiom) fyller på med konsekvenser. En härledningsregel säger t.ex. att om man har $A$ och $A \rightarrow B$ så har man rätt att lägga till $B$ själv.

En annan säger att om man har $\neg \neg A$ så har man rätt att lägga till $A$. Symbolen $\neg$ utläses ''icke'', så härledningsregeln säger om icke icke $A$ gäller så gäller $A$ själv. T.ex. kan $A$ vara påståendet ''Lund ligger i Skåne'', och vi har av förutsättningen ''det är inte så att Lund inte ligger i Skåne'' rätt att dra slutsatsen att ''Lund ligger i Skåne''.

Denna härledningsregel kallas ibland ''lagen om uteslutande tredje'' och är faktiskt något kontroversiell. Det har funnits (och finns?) matematiker som anser att denna regel inte bör ingå. I vilket fall bör man undvika den när den inte är nödvändig. Härledningar/bevis som använder regeln kallas icke-konstruktiva.

Att göra

  • Sätt dig in i det ''matematiska språket'' Satslogik.
  • Sätt dig in i härledningssystemet Naturlig Deduktion.
  • Studera några så kallade ''motsägelsebevis'' och fundera på dessas princip.
  • Specialstudera regel ''lagen om uteslutande tredje'' och ge något bevis där den används.
  • Undersök om så kallade motsägelsebevis använder ''lagen om uteslutande tredje''.
  • Gör en historisk redogörelse för ''lagen om uteslutande tredje''.
  • Sätt dig in i det ''matematiska språket'' predikatlogik.
  • Undersök om det finns datorprogram som kan generera formella bevis.

Summor av potenser

Du kanske vet att man kan summera de $n$ första naturliga talen med en enkel formel, nämligen

(10)
\begin{align} 1+2+3+4+ \ldots +n = \frac{n(n+1)}{2}. \end{align}

Om t.ex. $n=100$ får vi

(11)
\begin{align} 1+2+3+4+ \ldots +100 = \frac{100(100+1)}{2}=5050. \end{align}

Smidigt, eller hur. Kan du bevisa att formeln fungerar för alla värden på $n$? Försök! Gauss påstås ha gjort detta som liten grabb.

För att generalisera problemet noterar vi att vi kan se summan som en summa av konsekutiva (på varandra följande) enpotenser, nämligen

(12)
\begin{align} 1+2+3+4+ \ldots + n = 1^1 +2^1 + 3^1 + 4^1 + \ldots + n^1 = \frac{n(n+1)}{2}. \end{align}

Vad händer om vi tar tvåpotenser istället för enpotenser? Vi får

(13)
\begin{align} 1^2 +2^2 + 3^2 + 4^2 + \ldots + n^2 = ???. \end{align}

Kan du komma på en formel som ''direkt'' beräknar summan av de $n$ första tvåpotenserna? Försök!

Självklart kan vi summera trepotenser

(14)
\begin{align} 1^3 +2^3 + 3^3 + 4^3 + \ldots + n^3 = ??? \end{align}

eller vilka $k$-potenser vi önskar

(15)
\begin{align} 1^k +2^k + 3^k + 4^k + \ldots + n^k = ???. \end{align}

Finns det någon formel också i dessa fall och hur ser den i så fall ut? Hur gör man för att ta fram formlerna?

Låt $p$ vara ett godtyckligt polynom av grad $k$. Kan du beräkna

(16)
\begin{align} p(1) + p(2) + \ldots +p(n)? \end{align}

Formel? Princip?

Hur man konstruerar våra tal

Genom historien har människan succesivt utvecklat sina talsystem. Från början hade man de Naturliga talen $1, 2, 3, \ldots$, som alla säkert uppfattar som just naturliga. Till dessa tal lägger man sedan de negativa talen och talet 0 och får då de Hela talen $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$. Nästa steg är bråken, eller de så kallade Rationella talen. Formellt sätt är dessa mera problematiska, det finns ju bråk som har olika utseende, men ändå ska betraktas som ''samma'', t.ex.

(17)
\begin{align} \frac{1}{2} = \frac{2}{4} \end{align}

Hur hanterar man detta?

Beräknar man diagonalen i en kvadrat med sida 1, erhåller man ett tal, $\sqrt{2}$, som visar sig inte vara ett bråk. Hur inser man det förresten? Alltså måste vi fylla på med nya tal, som i någon mening motsvarar alla avstånd på tallinjen. Dessa tal kallas de Reella talen. Konstruktionen av dessa är i sin tur ännu mer komplicerad än konstruktionen av de rationella talen.

Vill man lösa ekvationen $x^2+1 = 0$ blir man besviken. Det finns inget reellt tal som passar in. Då hittar man på ännu fler tal, så att man bland annat kan lösa den nämnda ekvationen. Vi har nått till de Komplexa talen.

Man brukar beteckna de olika talmängderna med bokstäver med följande bokstäver,

(18)
\begin{array} {l l} \mathbb{N} & \textrm{de naturliga talen}\\ \mathbb{Z} & \textrm{de hela talen}\\ \mathbb{Q} & \textrm{de rationella talen}\\ \mathbb{R} & \textrm{de reella talen}\\ \mathbb{C} & \textrm{de komplexa talen} \end{array}

Eftersom vi successivt byggt ut talsystemet har vi

(19)
\begin{align} \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \end{align}

där $\subset$ betyder ''delmängd till''.

Man kan nu fråga sig om vi inte kan bygga på med ännu fler tal. Då inställer sig rimligen följande frågor: Vad ska vi ha fler tal till? och Om vi fyller på, vilka egenskaper får i så fall de nya talen, vilka räkneregler uppfylls?

Att göra

  • Konstruera successivt de olika talmängderna.
  • Fundera på vilka utvidgningar man kan göra av de komplexa talen.
  • Beskriv mera i detalj någon möjlig utvidgning. Hur fungerar dina nya tal, vad ska man ha dem till?

Oändligheter av olika storlek

Självklart innehåller en mängd med 5 element fler element är en mängd med 4 element, och en mängd med 14893027 element innehåller fler element än en mängd med 14893025 element. Eller är det så självklart? Vad menar man med att innehålla fler egentligen? Observera att mängderna kan bestå av helt olika ''saker''. Varför innehåller mängden av bilmärkena Volvo, Saab, Ford, Opel och Nissan fler element är antalet årtider (vår, sommar, höst, vinter)?

Du tycker nog fortfarande detta är självklart! Låt oss då kika lite på oändliga mängder. Vilka är flest, de positiva heltalen (1,2,3, osv) eller de jämna positiva heltalen (2,4,6, osv)? Kanske de postiva heltalen eftersom vi i den andra mängden ''glesat ut'' den förstnämnda, dvs de jämna postiva talen är en äkta delmängd av de positiva heltalen. Nja…

Precis som i fallet med ändliga mängder vill vi kunna jämföra mängder med helt olika element (jfr bilmärke och årstider). Då duger inte argumentet med delmängder. Hitta på något bättre sätt att jämföra antal!

Det har redan matematikerna gjort och det visar sig att mängderna blir lika stora, de innehåller (i en viss mening) lika många element. Hur inser man detta? Hur defineras antalsbegreppet för oändliga mängder?

När du besvarat ovanstående frågor infinner sig nästa naturliga fråga: Innehåller alla oändliga mängder lika många element? Svaret är nej, de reella talen är fler än de hela talen! Men hur många är då de rationella talen? Någonstans emellan kan man tro!?

Finns det mängder som innehåller fler element än de reella talen. Kanske de komplexa talen? Nja…

Tar det någonsin slut? Finns det någon mängd med ''maximalt'' antal?

Som du ser så finns det många frågor att besvara och fundera på. För att förstå ''fullt ut'' behöver man sätta sig in i delar av teorin för mängdläran. Abstrakt men oerhört intressant!

Frågan om det finns mängder med fler element än de hela talen men färre än de reella får ett oväntat svar. Håller du ut så långt får du insyn i en av 1900-talets mest omtumlande matematiska upptäckter och bedrifter. Svaret blir ungefär: Det kan du bestämma själv!

Pagerank, Googles sätt att rangordna

Om du söker på ''Spyken'' med Googles sökmotor får du upp en lista med mer än 15000 länkar. Det beror självklart på att ordet Spyken förekommer på många sidor på webben. Men alla länkarna är inte lika intressanta, och för att hjälpa dig så rangordnar Google sidorna. I Spyken-fallet innebär detta att Spykens hemsida kommer först, följt av Wikipedias Spykensida.

Hur kan man rangordna sidor?

  • Det enklaste sättet att rangordna hade varit att bara räkna antalet förekomster av ordet ''Spyken'' på respektive sida och rangordna efter antal. Vad finns det för nackdelar med detta?
  • Ett annat alternativ är att räkna hur många länkar var och en av ''Spyken''-sidorna har från de övriga ''Spyken''-sidorna och rangordna efter detta antal. Vad finns det för nackdelar med detta?
  • Ett tredje alternativ är att, som i föregånde punkt, räkna länkar från övriga ''Spyken''-sidor, fast med vikter. Det betyder i princip att ju fler viktiga sidor som länkar till en viss sida desto tyngre vikt får denna sida.

Googles sökmotor arbetar i princip efter alternativ tre. Det ligger en hel del matematik bakom, och för att förstå principen behöver man sätta sig in i grundläggande grafteori och linjär algebra. Centrala begrepp är t.ex. närhetsmatris och egenvärden/egenvektorer.

Rangordningsprincipen fungerar såklart inte bara på hemsidor utan också i andra sammanhang.

Att göra

  • Läs på lämplig grafteori.
  • Läs på lämplig linjär algebra.
  • Sätt dig in i Googles Pagerank.
  • Konstuera andra exempel där rangordningen kan användas.
  • Fundera på andra sätt att rangordna.
  • $\ldots$

Optimala system på stryktipset

Stryktipset består av 13 matcher, oftast fotbollsmatcher, där man i varje match har att välja mellan 1:a (hemmaseger), X (oavgjort) och 2:a (bortaseger). För att konstruera en stryktipsrad väljer man 1, X eller 2 i varje match. Ett stryktipssystem består i sin tur av ett antal rader.

Din första uppgift är att konstruera ett system som garanterar åtminstone 5 rätt. Ditt system ska dessutom vara minimalt, i den meningen att inget system med färre rader garanterar 5 rätt.

Hur många rader måste du ha i ditt system för att garantera 1, 2, 3 repektive 4 rätt. Blir det färre än för att garantera 5 rätt?

Hur många rader måste du ha i ditt system för att garantera 6, $\ldots$, 13 rätt? Hur ett system som garanterar 13 (alla!) rätt ska se ut är nästan självklart men i övriga fall är det mindre enkelt. T.ex. är fallet med 10 rätt olöst såvitt jag vet.

Börja med att konstruera system som garanterar ett givet antal rätt, och fundera sedan på om det finns bättre system. Även om du inte kan hitta (eller bevisa att du hittat) det optimala systemet är alla resultat och exempel intressanta.

Lyckas du lösa problemet med 10 rätt kan viss berömmelse vänta!

"Mekaniska" kurvor

Många intressanta kurvor dyker upp i vad man kan kalla mekaniska sammanhang. Nedan är ett antal sådana uppräknande, och mer eller mindre begripliga:

cykloid, dragkurva, brachistochrone, tautochrone, frihängande kedja, "dominostapling".

Ta reda på vilken "mekanisk" konstruktion som definierar kurvan och försök bestämma kurvan så explicit som möjligt. Ibland är det svårt att hitta en sluten formel. Fundera också på var och när kurvan dyker upp i olika realistiska situationer.

Wildberger har en inspirerande och lärorik föreläsning i ämnet här.

Hyperbolisk geometri

När Euklides postulerade sin geometri i Elementa (kolla upp detta) var ett axiom, parallellaxiomet, mindre acceptabelt än övriga, nämligen att det genom varje punkt utanför en rät linje går precis en parallell linje. Länge försökte man visa att detta "självklara" postulat följde ur de övriga, utan att lyckas.

Under 1800-talet visade det sig att lösningen på problemet helt enkelt var att parallellpostulatet inte följde ur de övriga. Man kunde alltså konstruera geometrier där det saknas parallella linjer (elliptisk geometri) och där det finns oändligt många parallella linjer (hyperbolisk geometri).

Uppgiften går ut på att studera hyperbolisk geometri…

Matematiken bakom relativitetsteorin

Olika ytor

Om man beväpnar sig med ett rektangulärt papper som dessutom är töjbart kan man (i varje fall i "matematisk mening") konstruera ett antal olika tvådimensionella objekt (ytor) genom att på olika sätt klistra ihop papprets kanter, eller låta bli. T.ex. kan man tillverka

- ett plan
- en cylinder
- ett Möbiusband
- en sfär
- en torus
- ett projektivt plan (låter sig inte realiseras i tre dimensioner dock)
- en Kleinflaska (låter sig inte realiseras i tre dimensioner dock)

Antag nu att man är en tvådimensionell individ som lever på (eller snarare i) någon av dessa ytor. Hur kan man i så fall, genom att göra diverse undersökningar i sin värld, lista ut vilken typ av yta man lever på? Notera att individen inte kan se ytan utifrån.

Uppgiften går ut på att tänka igenom och konstruera de olika ytorna ovan och sedan finna olika metoder för att "internt" skilja dem åt. Slutligen kan man fundera på hur man tror att den värld vi lever i ser ut (det handlar om ett tredimensionellt rum men är det klart att det också är "plant" t.ex.)?

Hur ser lösningsmängder till parameterberoende ekvationer ut?

Betrakta andragradsekvationen $z^2+a=0$. Över de komplexa talen har denna ekvation exakt två lösningar (räknade med multiplicitet). Låt a variera (reellt och komplext) och undersök hur lösningarna varierar i komplexa planet med a.

Ovanstående är förhållandevis enkelt men man kan enkelt "försvåra". Studera t.ex. hur lösningarna varierar med a i

(20)
\begin{equation} z^2+ax+b=0 \end{equation}

varierar med a för olika konstanter b.

Därefter kan man göra motsvarande studie för tredjegradsekvationer

(21)
\begin{equation} z^3+az^2+bz+c=0 \end{equation}

där två av a,b,c är konstanta och den tredje varierar.

Kan man inse/bevisa något allmänt?

Sortering av "stackar"/högar

Mer info kommer kanske…

Schackmatt på oändligt schackbräde

(Torkel Lomans ide, fast han vet inte att den hamnat här)

Antag att du har ett oändligt schackbräde. Med vilka pjäskombinationer är det möjligt att sätta matt på en ensam kung? På standardbrädet är det t.ex. möjligt med dam och kung, torn och kung, två löpare och kung, löpare och springare och kung.

Uppenbarligen är det "svårare" på ett oändligt bräde, men med vilka kombinationer går det/går det inte. Och framförallt, hur gör man för att sätta matt eller varför är det omöjligt?

Talsystem bland matriserna

För att fixa detta ämne behöver du känna till eller lära dig en del om matriser, typ det som ingår i första kursen på universitet/högskola.

De komplexa talen introducerades på 1500-talet i samband med ekvationslösning, och som namnet antyder var man skeptiskt till dem.
Man talar om imaginära tal, så inte nog med att dessa nya tal var "komplicerade", man frågade sig också om de verkligen existerade. Finns det ett tal $i$ sådant att $i^2=-1$? Vad anser du?

Ett sätt att besvara frågan med JA är att helt enkelt definiera ett tal/en symbol med denna egenskap. Och därmed finns talet! Så gör man i princip i dagens matematik.

Men man kan också tänka sig ett annat angreppssätt. Nämligen att "finna" talet $i$ i en given "talmängd". Betrakta mängden av alla $2 \times 2$-matriser med heltal på "platserna" (heltalsmatris) med vanligt matrismultiplikation och addition. Finns det någon sådan matris J som har egenskapen $J^2=-I$ (och som skulle kunna motsvara $i$)? Hur finner man en sådan matris? Hur många alternativ finns det? Kan hela det komplexa talsystemet ses som en delmängd av $2 \times 2$-matriserna? Vilka tal motsvaras i så fall av heltalsmatriser?

Bland de rationella talen finns inget tal $t$ med egenskapen $t^2=2$. Hur visar man det förresten? Men finns det någon $2 \times 2$-heltalsmatris T sådan att $T^2=2$? Osv som ovan.

Kan man finna vilken kvadratrot som helst bland $2 \times 2$-matriserna?

Ovan har vi i princip funnit lösningar till alla kvadratiska ekvationer bland matriserna. Men hur är det om vi tar ett godtyckligt polynom

(22)
\begin{align} p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x+a_0, \textrm{ där } a_i\textrm{:na är heltal} \end{align}

Kan man finna en matris X sådan att $p(X)=0$? Hur? Räcker det allt leta bland $2 \times 2$-matriser, eller vilken storlek behövs.

Osv.

Fraktala dimensioner

Läs in teori om fraktar dimension. Räkna ut dimensionen på några fraktaler. Konstruera en fraktar av godtycklig dimension (om möjligt).

Eget förslag

Har du ett eget förslag på ämne kontaktar du lämplig mattelärare för feedback. Det finns såklart massor med intressanta ämnen, men alla är kanske inte lämpliga som gymnasiearbete.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License