Bilkent Januari 2020 Derivata Sekvens

Bilkents januariproblem 2020 lyder

Let $m=p_1^{d_1}p_2^{d_2} \cdots p_k^{d_k}$ be the prime decomposition of a positive integer $m$ and the ''derivative''
function $f(n)$ be defined by

(1)
\begin{align} f(m) = f(p_1^{d_1}p_2^{d_2} \cdots p_k^{d_k}) = d_1d_2 \cdots d_k p_1^{d_1−1}p_2^{d_2−1} \cdots p_k^{d_k−1}. \end{align}

For a given positive integer $L$, the $L$ ''derivative'' sequence is the sequence $\{a_n\}, n = 1, 2, \ldots$
defined by $a_1 =L$ and $a_{n+1} =f(a_n) ,n>1$.
We say that a sequence $\{a_n\}$ is not $N$ repeating if $i \neq j, a_i = a_j$ implies that $min(i,j) > N$.
Prove or disprove that for each positive $N$ there is a $L$ ''derivative'' sequence which is not $N$ repeating.

Här är originalet http://www.fen.bilkent.edu.tr/~cvmath/Problem/1912q.pdf

När man har löst problemet ovan inställer sig (kanske) frågan om det existerar någon ''derivata"-sekvens med oändligt många olika tal (dvs som inte är periodisk). Jag vet ej.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License